SW wykład 8 - Slajd4

<<powrót do strony wykładu

Częściowe porządki zupełne Przykłady Funkcje ciągłe Intuicje Intuicje, c.d. Przestrzeń funkcji częściowych Twierdzenie o punkcie stałym Techniki dowodowe Semantyka while

Warto powiązać definicje zbioru łańcuchowo zupełnego i funkcji ciągłej z różnymi innymi znanymi lub oczekiwanymi pojęciami. Zacznijmy może od wskazania związków z topologią, która może dostarczyć intuicji o funkcjach ciągłych przynajmniej niektórym z Państwa.

Ustalmy dowolny zbiór łańcuchowo zupełny. Jego podzbiór nazwiemy otwartym, jeśli z każdym swoim elementem zawiera on wszystkie elementy od niego większe oraz nie zawiera kresów przeliczalnych łańcuchów, o ile pewien element łańcucha już do niego nie należy. Oczywiście, zbiór pusty i cały zbiór łańcuchowo zupełny są otwarte w tym sensie. Suma teoriomnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych też jest zbiorem otwartym. I końcu, część wspólna dwóch zbiorów otwartych też jest zbiorem otwartym (choć część wspólna dowolnej rodziny zbiorów otwartych już zbiorem otwartym być nie musi). Tak zatem zdefiniowana rodzina zbiorów otwartych zadaje na naszym zbiorze łańcuchowo zupełnym) pewną topologię.

Kluczowa własność, która może wskazywać na spójność budowanej teorii i wprowadzanych pojęć, to fakt, że funkcja między dwoma zbiorami łańcuchowo zupełnymi jest ciągła w zdefiniowanym na poprzednim slajdzie sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona funkcją ciągłą w sensie topologicznym pomiędzy tymi zbiorami ze zdefiniowaną właśnie topologicznym, to znaczy: przeciwobraz względem tej funkcji każdego otwartego podzbioru drugiego zbioru łańcuchowo zupełnego jest otwartym podzbiorem pierwszego zbioru łańcuchowo zupełnego.