|
|
| (Nie pokazano 98 wersji utworzonych przez 3 użytkowników) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| ==Wprowadzenie== | | <quiz type="exclusive"> |
|
| |
|
| Logika zdaniowa jest językiem, który pozwala opisywać zależności
| |
| pomiędzy zdaniami. Przykładem może być zdanie:
| |
|
| |
|
| | </quiz> |
|
| |
|
| <center>Jeśli n jest liczbą pierwszą to n jest liczbą nieparzystą lub n jest równe '''2'''.</center>
| |
|
| |
|
| W powyższym zdaniu spójniki '''jeśli [..] to, lub''' mówią o związkach które zachodzą pomiędzy zdaniami:
| | ------------------------------ |
|
| |
|
| 1. ''<math>\textnormal{n}</math> jest liczbą pierwszą,''
| |
|
| |
|
| 2. ''<math>\textnormal{n}</math> jest liczbą nieparzystą,''
| | 1111111111111111111111111111111111111111111 |
|
| |
|
| 3. ''<math>\textnormal{n}</math> jest równe 2.''
| |
|
| |
|
| Oznaczmy powyższe zdania przez <math>p,q,r</math> (w takiej właśnie
| |
| kolejności). Używając symboli, które zwyczajowo odpowiadają
| |
| potocznemu rozumieniu spójników '''jeśli [..] to, lub''' oraz powyższych oznaczeń otrzymamy formułę
| |
|
| |
|
| | 1111111111111111111111111111111111111111111 |
|
| |
|
| <center><math>
| |
|
| |
|
| p \Rightarrow (q \vee r).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| |
| Jeśli powyższą formułę uznamy za prawdziwą to może nam ona posłużyć
| |
| do otrzymania nowych wniosków. Na przykład jeśli o jakiejś liczbie <math>\textnormal{n}</math> będziemy wiedzieć, że jest liczbą pierwszą oraz, że nie jest nieparzysta to klasyczny rachunek zdań pozwoli nam formalnie wywnioskować fakt że liczba <math>\textnormal{n}</math> jest równa '''2'''. Podsumowując, jeśli uznamy za prawdziwe następujące zdania:
| |
|
| |
| 1. <math> p \Rightarrow (q \vee r) </math>,
| |
|
| |
| 2. <math>p </math>,
| |
|
| |
| 3. <math> \neg q </math> (przez <math>\neg</math> oznaczamy negację)
| |
|
| |
| to zgodnie z klasycznym rachunkiem (może lepiej z intuicją?) zdań
| |
| powinniśmy uznać za prawdziwe zdanie <math>\textnormal{r}</math>, czyli ''<math>\textnormal{n}</math> jest równe '''2'''''. Powyższy schemat wnioskowania można również opisać formułą
| |
|
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \left((p \Rightarrow (q \vee r)) \wedge p \wedge (\neg q)\right)\Rightarrow q.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| |
| W powyższej formule spójnik symbol <math>\wedge</math> odpowiada spójnikowi <math>\textnormal{i}</math> (oraz).
| |
|
| |
| Dzięki rachunkowi zdań możemy precyzyjnie opisywać schematy
| |
| wnioskowania i zdania złożone oraz oceniać ich prawdziwość.
| |
|
| |
| ==Język logiki zdaniowej==
| |
|
| |
| Zaczniemy od definicji języka logiki zdaniowej. Składa się on z
| |
| formuł zdefiniowanych następująco:
| |
| {{definicja|2.1 [Formuła logiki zdaniowej]||
| |
|
| |
| ''1. zmienna zdaniowa jest formułą (zmienne zdaniowy oznaczamy
| |
| zwykle literami alfabetu rzymskiego np. <math>p,q,r</math>)''
| |
|
| |
| ''2. jeśli <math>{\phi}</math> oraz <math>{\psi}</math> są formułami to <math>(\phi \Rightarrow \psi)</math> jest formułą (spójnik <math>\Rightarrow</math> nazywamy implikacją)''
| |
|
| |
| ''3. jeśli <math>{\phi}</math> jest formułą to <math>\neg \phi</math> jest formułą (spójnik <math>\neg</math> nazywamy negacją)''
| |
|
| |
| ''4. nic innego nie jest formułą.''
| |
|
| |
| Powyższa definicja mówi, że formułami nazywamy te napisy które dają
| |
| się skonstruować ze zmiennych zdaniowych przy pomocy spójników
| |
| <math>\Rightarrow</math> oraz <math>\neg</math>.
| |
|
| |
|
| |
| '''Uwaga 2.2.''' Zgodnie z powyższą definicją nie jest formułą napis <math>p\Rightarrow q</math>, gdyż brakuje w nim nawiasów. Pomimo, iż poprawnie powinniśmy napisać <math>(p\Rightarrow q)</math> możemy przyjąć że nie będzie konieczne pisanie nawiasów, jeśli nawiasy można jednoznacznie uzupełnić.
| |
| }}
| |
|
| |
| {{przyklad|2.3 Poniższe napisy nie są formułami||
| |
|
| |
| * <math>p \Rightarrow \Rightarrow q</math>
| |
|
| |
| * <math>\neg \neg \neg</math>
| |
|
| |
| * ten napis na pewno nie jest formułą
| |
|
| |
| * <math>(p \Rightarrow \neg q))</math>
| |
|
| |
| ''Poniższe napisy są formułami''
| |
|
| |
| * <math>(p \Rightarrow (r \Rightarrow q))</math>
| |
|
| |
| * <math>\neg \neg \neg q</math>
| |
|
| |
| * <math>(p \Rightarrow \neg q)</math>
| |
| }}
| |
|
| |
|
| |
| {{cwiczenie|2.3||
| |
|
| |
| Rozmiarem formuły nazwiemy ilość występujących w niej spójników.
| |
| Na przykład formuła <math>\neg \neg q</math> ma rozmiar '''2''', a formuła <math>(p\Rightarrow q)</math> ma rozmiar '''1'''. Przypuśćmy, że jedyną zmienną zdaniową jaką wolno nam użyć jest <math>p</math>. Ile można skonstruować rożnych formuł o rozmiarze '''3'''?
| |
|
| |
| <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
| |
|
| |
| Oznaczmy przez <math>f_n</math> liczbę formuł o rozmiarze <math>\textnormal{n}</math> (czyli liczbę formuł w których jest <math>\textnormal{n}</math> spójników). Interesuje nas <math>f_3</math>. Każda formuła o rozmiarze '''3''' powstaje albo z dwóch formuł o rozmiarach '''1''' poprzez połączenie ich spójnikiem <math>\Rightarrow</math> albo z jednej formuły o rozmiarze '''2''' poprzez dodanie do niej spójnika <math>\neg</math>. Co więcej każda taka formuła powstaje tylko w jeden sposób. Wynika stąd następująca zależność:
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| f_3= f_2 + (f_1)^2
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Wiemy, że są tylko dwie formuły o rozmiarze '''1''', są to <math>\neg p</math> oraz <math>p \Rightarrow p</math>. Stąd mamy <math>f_1=2</math>. Dla formuł o rozmiarze '''2''' możemy zauważyć podobną zależność. Każda taka formuła jest albo zbudowana z
| |
| dwóch formuł z których jedna (niekoniecznie pierwsza) ma rozmiar '''1''' a druga '''0''' za pomocą <math>\Rightarrow</math>, albo jest zbudowana z formuły o rozmiarze '''1''' za pomocą negacji. Zauważmy też, że istnieje formuła o rozmiarze '''0''', jest to <math>\textnormal{p}</math>. Mamy więc następujący wzór dla <math>f_2</math>
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| f_2= 1 \cdot f_1 + f_1 \cdot 1 +f_1 = 3 \cdot f_1
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Z dwóch ostatnich wzorów otrzymujemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| f_3= 3 \cdot f_1 + (f_1)^2= 6+4 = 10
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Skoro jest ich niewiele to możemy wszystkie wypisać
| |
|
| |
| :1. <math>\neg \neg \neg p</math>
| |
|
| |
| :2. <math>\neg \neg (p \Rightarrow p)</math>
| |
|
| |
| :3. <math>\neg (p \Rightarrow \neg p)</math>
| |
|
| |
| :4. <math>\neg (p \Rightarrow (p\Rightarrow p))</math>
| |
|
| |
| :5. <math>\neg (\neg p \Rightarrow p)</math>
| |
|
| |
| :6. <math>\neg ((p\Rightarrow p) \Rightarrow p)</math>
| |
|
| |
| :7. <math> (\neg p)\Rightarrow (\neg p)</math>
| |
|
| |
| :8. <math> (\neg p)\Rightarrow (p \Rightarrow p)</math>
| |
|
| |
| :9. <math> (p \Rightarrow p) \Rightarrow (\neg p)</math>
| |
|
| |
| :10. <math> (p \Rightarrow p)\Rightarrow (p \Rightarrow p)</math>
| |
| </div></div>
| |
| }}
| |
|
| |
| '''Uwaga 2.4''' Język logiki zdaniowej można równoważnie zdefiniować nie
| |
| używając nawiasów za pomocą Odwrotnej Notacji Polskiej
| |
| <u>'''Odwrotna Notacja Polska.'''</u>
| |
|
| |
| ==Aksjomatyka Klasycznego Rachunku Zdań==
| |
|
| |
| Podobnie jak nie wszystkie zdania języka naturalnego mają sens, nie
| |
| wszystkie formuły opisują prawdziwe schematy wnioskowania, lub
| |
| zdania które bylibyśmy skłonni uznać za prawdziwe. W tym rozdziale
| |
| skupimy się na tym które spośród wszystkich formuł zdaniowych
| |
| wyróżnić jako prawdziwe.
| |
|
| |
| ===Aksjomaty===
| |
|
| |
| Wielu matematyków zgadza się dzisiaj co do tego że zdania pasujące
| |
| do poniższych schematów powinny być uznane za prawdziwe:
| |
|
| |
| {{definicja|3.1 Aksjomaty klasycznego rachunku zdań||
| |
|
| |
| ''1. <math>(\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi))</math> formuła ta jest nazywana aksjomatem K)
| |
|
| |
| ''2. <math>(\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow \left((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \nu) \right)</math>(formuła ta jest nazywana aksjomatem S)
| |
|
| |
| ''3. <math>(\neg \phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (\neg \phi \Rightarrow \neg \psi) \Rightarrow \phi</math>
| |
| }}
| |
| Zdania pasujące do powyższych schematów to wszystkie zdania które
| |
| można otrzymać podstawiając w miejsce <math>\phi, \nu, \psi</math> dowolne
| |
| formuły.
| |
|
| |
| ===Reguła dowodzenia===
| |
|
| |
| Przyglądnijmy się teraz jak posługujemy się implikacją we
| |
| wniskowaniu. W przykładzie z początku wykładu implikacja odpowiadała
| |
| konstrukcji językowej:
| |
|
| |
| <center>'''jeśli''' <math>{\phi}</math> '''to''' <math>{\psi}</math>.</center>
| |
|
| |
| W takim przypadku jeśli akceptujemy powyższą implikacjię jako zdanie
| |
| prawdziwe oraz jeśli zdanie <math>{\phi}</math> jako prawdziwe to powinniśmy
| |
| także zaakceptować <math>{\psi}</math>. Przedstawiony sposób wnioskowania nosi
| |
| nazwę reguły ''Modus Ponens'' (nazywana też regułą odrywania, często będziemy używać skrótu MP) i jest
| |
| skrótowo notowany w poniższy sposób
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \frac{\phi \Rightarrow \psi, \phi}{\psi}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Reguła modus ponens posłuży nam do uzupełniania zbioru aksjomatów o
| |
| ich konsekwencje logiczne, które również uznamy za prawdziwe. Aby
| |
| precyzyjnie zdefiniować zbiór wszystkich konsekwencji logicznych
| |
| aksjomatów definiujemy poniżej pojęcie dowodu.
| |
|
| |
| {{definicja|3.2||
| |
|
| |
| ''Ciąg formuł <math>\phi_0, \dots ,\phi_n</math> jest dowodem formuły <math>{\psi}</math>
| |
| ''wtedy i tylko wtedy, gdy:''
| |
|
| |
| ''1. <math>\phi_n</math> jest formułą <math>{\psi}</math>''
| |
|
| |
| ''2. dla każdego <math>i\leq n</math> formuła <math>\phi_i</math> jest aksjomatem
| |
| lub istnieją <math>j,k <i</math> takie, że formuła <math>\phi_i</math>
| |
| jest wynikiem zastosowania reguły modus ponens do
| |
| formuł <math>\phi_j, \phi_k</math>.''
| |
| }}
| |
| W drugim punkcie powyższej definicji jeśli formuła <math>\phi_i</math> nie jest
| |
| aksjomatem (a więc powstaje przez zastosowanie MP) to formuły
| |
| <math>\phi_j,\phi_k</math> muszą pasować do przesłanek reguły MP, a więc
| |
| <math>\phi_j</math> musi być postaci <math>\phi_k \Rightarrow \phi_i</math> lub <math>\phi_k</math> postaci
| |
| <math>\phi_j \Rightarrow \phi_i</math>.
| |
|
| |
| {{definicja|3.3||
| |
|
| |
| Formułę nazywamy twierdzeniem klasycznego rachunku zdań
| |
| ''jeśli istnieje jej dowód z aksjomatów klasycznego rachunku
| |
| zdań 3.1''
| |
| }}
| |
|
| |
| ===Przykład===
| |
|
| |
| Zastanówmy się na formułą postaci <math>\phi \Rightarrow \phi</math>. Intuicja
| |
| podpowiada, że taką formułę powinniśmy uznać za prawdziwą. Nie pasuje ona jednak do żadnego ze schematów aksjomatów 3.1. Formuła ta jest jednak twierdzeniem klasycznego rachunku zdań. Poniżej przedstawiamy jej dowód. Aby łatwiej dopasować formuły do schematów aksjomatów użyliśmy
| |
| nawiasów kwadratowych dla nawiasów, które pochodzą ze schematów.
| |
|
| |
| 1. <math>[\phi \Rightarrow [(q \Rightarrow \phi) \Rightarrow \phi)]\Rightarrow [[\phi \Rightarrow (q \Rightarrow \phi)] \Rightarrow [\phi \Rightarrow\phi]]</math> formuła ta jest aksjomatem zgodnym ze schematem S
| |
|
| |
| 2. <math>\phi \Rightarrow [(q \Rightarrow \phi) \Rightarrow \phi]</math> aksjomat zgodny ze
| |
| schematem K
| |
|
| |
| 3. <math>(\phi \Rightarrow (q \Rightarrow \phi)) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \phi)</math> z modus ponens z formuł 1 i 2.
| |
|
| |
| 4. <math>\phi \Rightarrow [q \Rightarrow \phi]</math> aksjomat zgodny ze schematem K
| |
|
| |
| 5. <math>(\phi \Rightarrow \phi)</math> z modus ponens z formuł '''3''' i '''4'''
| |
|
| |
| ===Podsumowanie===
| |
|
| |
| Klasyczny rachunek zdań, czyli zbiór formuł które uznajemy za
| |
| prawdziwe zdefiniowaliśmy wyróżniając pewne formuły jako aksjomaty 3.1 i dorzucając do nich wszystkie formuły, które dają się z nich wywnioskować przy pomocy reguły modus ponens.
| |
| Warto zwrócić uwagę, że pomimo tego iż w doborze aksjomatów i reguł wnioskowania kierowaliśmy się intuicyjnym pojęciem implikacji i konsekwencji, klasyczny rachunek zdań jest teorią syntaktyczną, zbiorem pewnych napisów o których znaczeniu nie musimy nic mówić.
| |
|
| |
| '''Uwaga 3.4.''' Warto przyglądnąć się przyjętym aksjomatom i zastanowić się
| |
| jakim zdaniom odpowiadają i czy rzeczywiście bylibyśmy skłonni
| |
| uznać je za prawdziwe. Pomocne może być interpretowanie formuł
| |
| postaci <math>\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi)</math> jako „jeśli prawdziwe jest
| |
| <math>{\phi}</math> i prawdziwe jest <math>\nu</math> to prawdziwe jest <math>{\psi}</math>”. W
| |
| kolejnych rozdziałach przekonamy się że taka interpretacja jest uzasadniona.
| |
|
| |
| ==Matryca boolowska==
| |
|
| |
| W poprzednim rozdziale zdefiniowaliśmy klasyczny rachunek zdań jako
| |
| teorię aksjomatyczną. Jeśli pozwolimy sobie na używanie skończonych
| |
| zbiorów i funkcji, możemy równoważnie zdefiniować klasyczny rachunek
| |
| zdań za pomocą tzw. matrycy boolowskiej.
| |
|
| |
| {{definicja|4.1||
| |
|
| |
| Dwuelementową matrycą boolowską nazywamy zbiór dwuelementowy
| |
| <math>\mathbb{B}=\{0,1\}</math> w którym '''1''' jest wyróżnioną wartością prawdy, wraz z
| |
| dwoma funkcjami odpowiadającymi za interpretacje spójników
| |
| <math>\Rightarrow</math> oraz <math>\neg</math> zdefiniowanymi następująco
| |
|
| |
| tabelka.........
| |
| }}
| |
|
| |
| {{definicja|4.2||
| |
|
| |
| Wartościowaniem nazywamy funkcję która przypisuje zmiennym
| |
| zdaniowym elementy zbioru <math>\mathbb{B}</math>. Wartościowanie zmiennych
| |
| można rozszerzyć na wartościowanie formuł interpretując spójniki
| |
| <math>\Rightarrow</math> oraz <math>\neg</math> jako funkcje zgodnie z tabelami 4.1.
| |
| }}
| |
| {{przyklad|4.3||
| |
|
| |
| Niech <math>v</math> będzie wartościowaniem zmiennych takim, że <math>v(p)=0,v(q)=1, v(r)=0</math>. Wtedy
| |
|
| |
| * formuła <math>q \Rightarrow p</math> jest wartościowana na '''0''' (będziemy to zapisywać jako <math>v(q \Rightarrow p)=0</math>),
| |
|
| |
| * formuła <math>r \Rightarrow (q \Rightarrow p)</math> jest wartościowana na '''1''' (czyli <math>v(r \Rightarrow (q \Rightarrow p))=1</math>)
| |
|
| |
| * formuła <math>\neg p \Rightarrow r</math> jest wartościowana na '''0''' (czyli <math>v(\neg p \Rightarrow r)=0</math>)
| |
|
| |
| }}
| |
|
| |
| {{cwiczenie|4.1||
| |
|
| |
| Przy wartościowaniu <math>v</math> z przykładu [[##eg:wartosciowania|Uzupelnic eg:wartosciowania|]] jakie
| |
| wartości przyjmują następujące formuły
| |
|
| |
| # <math>p \Rightarrow (q \Rightarrow r)</math>
| |
|
| |
| # <math>p \Rightarrow (p \Rightarrow q)</math>
| |
|
| |
| # <math>\neg \neg q \Rightarrow p</math>
| |
|
| |
| # <math>(\neg q\Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow \neg q)</math>
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| :
| |
|
| |
| :# <math>v(p \Rightarrow (q \Rightarrow r))=1</math>
| |
|
| |
| :# <math>v(p \Rightarrow (p \Rightarrow q))=1</math>
| |
|
| |
| :# <math>v(\neg \neg q \Rightarrow p)=0</math>
| |
|
| |
| :# <math>v((\neg q\Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow \neg q))=0</math>
| |
|
| |
| }}
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| # Podaj przykład wartościowania zmiennych tak aby poniższe formuły
| |
| były wartościowane na 0
| |
|
| |
| ## <math>p \Rightarrow (q \Rightarrow r)</math>
| |
|
| |
| ## <math>(\neg p \Rightarrow q)</math>
| |
|
| |
| ## <math>(p\Rightarrow q) \Rightarrow q</math>
| |
|
| |
| # Podaj przykład wartościowania zmiennych tak aby poniższe formuły
| |
| były wartościowane na 1
| |
|
| |
| ## <math>\neg (p \Rightarrow q)</math>
| |
|
| |
| ## <math>\neg (\neg p \Rightarrow \neg q)</math>
| |
|
| |
| ## <math>(\neg q\Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow \neg q)</math>
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| : Wartościowania będziemy oznaczać przez <math>v</math>
| |
|
| |
| :#
| |
|
| |
| :## <math>v(p)=1, v(q)=1, v(r)=0</math>
| |
|
| |
| :## <math>v(p)=0,v(q)=0</math>
| |
|
| |
| :## <math>v(p)=0,v(q)=0</math>
| |
|
| |
| :#
| |
|
| |
| :## <math>v(p)=1,v(q)=0</math>
| |
|
| |
| :## <math>v(p)=0,v(q)=1)</math>
| |
|
| |
| :## <math>v(q)=1</math>
| |
|
| |
| }}
| |
|
| |
| ===Twierdzenie o pełności===
| |
|
| |
| Zauważmy, że istnieją formuły, które dla każdego wartościowania
| |
| zmiennych zdaniowych zawsze przyjmują wartość 1 (np. <math>p \Rightarrow p</math>).
| |
| Takie formuły będziemy nazywać "'tautologiami"'.
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Sprawdź czy poniższe formuły są tautologiami
| |
|
| |
| # <math>(\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi))</math>
| |
|
| |
| # <math>(\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow \left((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow
| |
| (\phi \Rightarrow \nu) \right)</math>
| |
|
| |
| # <math>(\neg \phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (\neg \phi \Rightarrow \neg
| |
| \psi) \Rightarrow \phi</math>
| |
|
| |
| # <math>((\phi \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p</math>
| |
|
| |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Spróbuj poszukać wartościowań dla których formuła przyjmuje
| |
| wartość 0
| |
|
| |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Można też sprawdzić wszystkie możliwości wartościowań.
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
|
| |
| Nie przez przypadek pierwsze trzy formuły z poprzedniego zadania
| |
| odpowiadają aksjomatom klasycznego rachunku zdań
| |
| [[##defn:AksjomatyKRZ|Uzupelnic defn:AksjomatyKRZ|]]. Okazuje się że istnieje ścisły związek
| |
| pomiędzy tautologiami a twierdzeniami klasycznego rachunku zdań. Mówi o tym ważny wynik Emil Post.
| |
|
| |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| {Post 1921}
| |
|
| |
| Formuła jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań wtedy i
| |
| tylko wtedy kiedy jest tautologią.
| |
| }}
| |
|
| |
| Dowód powyższego twierdzenia jest przedstawiony na wykładzie Logika dla informatyków
| |
|
| |
| Dzięki powyższemu twierdzeniu możemy w miarę łatwo stwierdzać czy
| |
| dana formuła jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań sprawdzając czy jest tautologią,
| |
| co wymaga rozważenia jedynie skończonej (chociaż często niemałej)
| |
| liczby wartościowań. Co więcej, mamy też możliwość dowodzenia, że
| |
| jakaś formuła nie jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań. Uzasadnienie, że nie da się
| |
| jakiejś formuły udowonić z aksjomatów poprzez stosowanie reguły MP wydaje się zadaniem
| |
| trudnym, znacznie łatwiej jest poszukać wartościowania, które
| |
| wartościuje formułę na 0 (znowu wystarczy
| |
| sprawdzić jedynie skończenie wiele wartościowań).
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Udowodnij że każde twierdzenie klasycznego rachunku zdań jest tautologią.
| |
|
| |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Pokazaliśmy już w zadaniu
| |
| [[##zad:aksjomatyTatuologie|Uzupelnic zad:aksjomatyTatuologie|]], że aksjomaty są tautologiami.
| |
| Zacznij od pokazania, że zastosowanie reguły MP do tautologii daje
| |
| tautologię.
| |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Udowodnij, twierdznie przez indukcję ze względu na długość
| |
| dowodu.
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
|
| |
| ===Inne spójniki===
| |
|
| |
| Do tej pory jedynymi rozważanymi spójnikami była implikacja i
| |
| negacja. W analogiczny sposób do [[##eq:tabeleInterpretacjiKRZ|Uzupelnic eq:tabeleInterpretacjiKRZ|]]
| |
| możemy wprowadzać kolejne spójniki. Często używane spójniki to
| |
| koniunkcja (spójnik "'i"') oznaczana przez <math>\wedge</math> oraz
| |
| alternatywa (spójnik "'lub"') oznaczana przez <math>\vee</math>, które
| |
| będziemy interpretować w następujący sposób:
| |
|
| |
| Tabelka......
| |
|
| |
|
| |
| Zgodnie z intuicją koniunkcja <math>\phi \wedge \psi</math> jest wartościowana
| |
| na 1 wtedy i tylko wtedy gdy zarówno <math>\phi</math> jak i <math>\psi</math> są
| |
| wartościowane na 1. Alternatywa <math>\phi \vee \psi</math> jest wartościowana
| |
| na 1 jeśli przynajmniej jedna z formuł <math>\phi, \psi</math> jest
| |
| wartościowana na 1.
| |
|
| |
| Formuły <math>\phi</math> oraz <math>\psi</math> są "równoważne" (oznaczamy ten fakt
| |
| przez <math>\phi \equiv \psi</math> wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego
| |
| wartościowania formuła <math>\phi</math> przyjmuje tą samą wartość co
| |
| formuła <math>\psi</math>.
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Udowodnij, że następujące formuły są równoważne
| |
|
| |
| # <math>\phi \vee \psi \equiv \neg \phi \Rightarrow \psi </math>
| |
|
| |
| # <math>\phi \wedge \psi \equiv \neg (\phi \Rightarrow \neg \psi)</math>
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| :
| |
|
| |
| :# Lewa strona jest fałszywa jedynie gdy <math>\phi</math> oraz
| |
| <math>\psi</math> są wartościowane na 0. Prawa strona jest fałszywa
| |
| wtedy i tylko wtedy kiedy <math>\neg \phi</math> jest wartościowane na
| |
| 1 oraz <math>\psi</math> jest wartościowane na 0 (to jedyna możliwość
| |
| aby implikacja była fałszywa). Wobec tego prawa strona jest
| |
| fałszywa wtedy i tylko wtedy kiedy <math>\phi</math> oraz
| |
| <math>\psi</math> są wartościowane na 0, a więc jest równoważna lewej.
| |
|
| |
| :# Lewa strona jest prawdziwa jedynie gdy <math>\phi</math> oraz
| |
| <math>\psi</math> są wartościowane na 1. Prawa strona jest prawdziwa
| |
| wtedy i tylko wtedy kiedy <math>\neg (\phi \Rightarrow \neg \psi)</math> jest wartościowane na
| |
| 1, więc wtedy gdy <math>(\phi \Rightarrow \neg \psi)</math> jest wartościowane na 0. To z kolei
| |
| zdarzyć się może jedynie gdy <math>\phi</math> jest wartościowane na 1
| |
| i <math>\neg \psi</math> na 0, a więc wtedy gdy zarówno <math>\phi</math> jak i
| |
| <math>\psi</math> są wartościowane na 1. Wobec tego obie formuły są
| |
| równoważne.
| |
|
| |
| Równie dobrym rozwiązaniem jest sprawdzenie wszystkich
| |
| możliwości wartościowań i porównanie wyników.
| |
| }}
| |
|
| |
| Z powyższego zadania wynika, że każdą formułę w której występują
| |
| spójniki <math>\wedge</math> lub <math>\vee</math> można zastąpić równoważną formułą w
| |
| której jedynymi spójnikami są <math>\Rightarrow</math> oraz <math>\neg</math>. Tak naprawdę
| |
| więc nowe spójniki nie wprowadzają nic nowego poza użytecznymi
| |
| skrótami w zapisywaniu formuł.
| |
|
| |
| Aby się oswoić z własnościami spójników prześledzimy szereg ich
| |
| praw.
| |
|
| |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
| Udowodnij następujące równoważności
| |
|
| |
| # <math>\neg \neg p \equiv p</math>
| |
|
| |
| # <math>p\Rightarrow q \equiv \neg p \vee q</math>
| |
|
| |
| # <math>p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \equiv (p \wedge q) \Rightarrow r</math>
| |
|
| |
| # <math>\neg( p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q</math>
| |
|
| |
| # <math>\neg( p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q</math>
| |
|
| |
| # <math>p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p\wedge r)</math>
| |
|
| |
| # <math>p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p\vee r)</math>
| |
|
| |
| # <math>(p \Rightarrow q) \Rightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q)</math>
| |
|
| |
| ; Solution.
| |
| : Przedstwiamy przykładowe dowody kilku pierwszych równoważności.
| |
|
| |
| :# Jeśli <math>p</math> jest wartościowane na 1, to zgodnie z tabelą dla negacji [[##eq:tabeleInterpretacjiKRZ|Uzupelnic eq:tabeleInterpretacjiKRZ|]]
| |
| <math>\neg p</math> jest wartościowane na 0 i <math>\neg \neg p</math> jest wartościowane na 1. Jeśli <math>p</math> jest wartościowane
| |
| na 0 to <math>\neg p</math> jest wartościowane na 1 i <math>\neg \neg p</math> jest wartościowane na 0. Formuły przyjmują
| |
| te same wartości dla każdego wartościowania więc są równoważne.
| |
|
| |
| :# Jedyną możliwością aby lewa strona była fałszywa jest
| |
| aby <math>p</math> było wartościowane na 1, a <math>q</math> na 0. Prawa
| |
| stona jest fałszywa jedynie gdy <math>\neg p</math> oraz <math>q</math> są wartościowane
| |
| na 0. Czyli prawa strona jest fałszywa jedynie
| |
| gdy <math>p</math> jest wartościowane na 1 i <math>q</math> na 0. Formuły są więc
| |
| równoważne.
| |
|
| |
| :# Analogicznie do poprzedniego punktu łatwo się
| |
| przekonać, że jedynym wartościowaniem które falsyfikuje lewą
| |
| stronę jest takie które wartościuje <math>p</math> i <math>q</math> na 1 oraz <math>r</math>
| |
| na 0. Tą samą własność ma formuła po prawej stronie, więc
| |
| formuły są równoważne.
| |
|
| |
| :# Przykład rozwiązania przez rozważenie wszystkich
| |
| możliwości
| |
|
| |
| tabelka........
| |
|
| |
|
| |
| W pierwszych dwóch kolumnach są zapisane wartościowania
| |
| zmiennych <math>p</math> i <math>q</math> a w pozostałych odpowiadające im wartościowania
| |
| formuł zbudowanych z tych zmiennych. Ponieważ kolumna 4 i 7
| |
| są identyczne to formuły z zadania są równoważne.
| |
|
| |
| :# W równoważności z poprzedniego punktu, podstawiąjąc za <math>p</math>
| |
| formułę <math>\neg p</math> oraz za <math>q</math> formułę <math>\neg q</math> otrzymamy
| |
| równoważność
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \neg( \neg p \wedge \neg q) \equiv \neg \neg p \vee \neg \neg
| |
| q.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Stosując dwukrotnie równoważność z pierwszego punktu do prawej strony
| |
| otrzymujemy
| |
|
| |
| <center><math>
| |
|
| |
| \neg( \neg p \wedge \neg q) \equiv p \vee q.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| Negując tą równoważność obustronnie otrzymamy
| | 22222222222222222222222222222222222222222 |
|
| |
|
| <center><math>
| | ==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test== |
|
| |
|
| \neg \neg( \neg p \wedge \neg q) \equiv\neg( p \vee q).
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| Stosując równoważność z pierwszego punktu do lewej strony
| | 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 |
| otrzymamy szukaną równoważność.
| |
|
| |
|
| }}
| | ==Norma. Iloczyn skalarny. Test== |
|
| |
|
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
|
| Sprawdź które z następujących formuł są tautologiami
| | 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 |
|
| |
|
| # <math>( (p \vee r)\wedge( q \vee \neg r) )\Rightarrow (p \vee q)</math>
| | ==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test== |
|
| |
|
| # <math>(p \vee q) \Rightarrow ( (p \vee r)\wedge( q \vee \neg r)
| | <quiz> |
| )</math>
| | Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie |
| | <math> |
| | f_n(x)= |
| | \left\{ |
| | \begin{array} {lll} |
| | 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ |
| | 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] |
| | \end{array} |
| | \right</math> |
| | dla <math>n\in\mathbb{N}</math> |
| | Ciąg ten jest |
| | <rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption> |
| | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption> |
| | <wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)= |
| | \left\{ |
| | \begin{array} {lll} |
| | 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ |
| | 0 & \text{dla} & x<0 |
| | \end{array} |
| | \right</math></wrongoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| # <math>( (p \wedge r)\vee( q \wedge \neg r) )\Rightarrow (p \wedge
| | tak, nie, nie |
| q)</math>
| |
|
| |
|
| # <math>(p \wedge q) \Rightarrow ( (p \wedge r)\vee( q \wedge \neg r)
| | <quiz> |
| )</math>
| | Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie |
|
| |
|
| ; Solution.
| | <center><math>f_n(x)= |
| :
| | \left\{ |
| | | \begin{array} {lll} |
| :# Spróbujmy znaleźć wartościowanie które falsyfikuje tą
| | \frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\ |
| formułę. Skoro implikacja ma być fałszywa to formuła <math>(p \vee q)</math> (czyli następnik) musi być
| | \\ |
| fałszywa. Tak jest tylko wtedy kiedy zarówno <math>p</math> jak i <math>q</math> są
| | \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\ |
| fałszywe. Zobaczmy co się wtedy dzieje z poprzednikim implikacji,
| | \\ |
| czyli formułą
| | 0 & \text{dla} & x=0\\ |
| | | \end{array} |
| <center><math> | | \right. |
| | | \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots |
| (p \vee r)\wedge( q \vee \neg r).
| |
| </math></center> | | </math></center> |
|
| |
|
| Jeśli teraz ustalimy <math>r</math> na fałsz to <math>(p \vee q)</math> będzie
| | Ten ciąg funkcyjny jest |
| fałszywe a jeśli ustalimy <math>r</math> na
| | <wrongoption>zbieżny jednostajnie</wrongoption> |
| prawdę to <math>( q \vee \neg r)</math> będzie fałszywe. W obu tych przypadkach cały poprzednik jest
| | <rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie</rightoption> |
| fałszywy. Wynika stąd, że nie da się dobrać takiego
| | <wrongoption>rozbieżny</wrongoption> |
| wartościowania że poprzednik jest prawdziwy, a następnik
| | </quiz> |
| fałszywy więc rozważana formuła jest tautologą.
| |
|
| |
|
| :# Formuła nie jest tautologią. Wystarczy wartościować <math>p</math> i
| | nie, tak, nie |
| <math>r</math> na prawdę i <math>q</math> na fałsz.
| |
|
| |
|
| :# Formuła nie jest tautologią. Wystarczy wartościować <math>p</math> i
| | <quiz> |
| <math>r</math> na prawdę i <math>q</math> na fałsz. | | Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg |
| | <wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption> |
| | <wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption> |
| | <rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| :# Przykład rozwiązania przez rozważenie wszystkich
| | nie, nie, tak |
| możliwości
| |
|
| |
|
| tabelka.......
| | <quiz> |
| | Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest |
| | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption> |
| | <rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption> |
| | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| | nie, tak, nie |
|
| |
|
| W kolumnie odpowiadającej badanej formule są same 1, więc
| | <quiz> |
| jest ona tautologią.
| | Funkcja <math> |
| | f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math> |
| | Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi |
| | <rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption> |
| | <wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption> |
| | <wrongoption><math>0</math></wrongoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| }}
| | tak, nie, nie |
|
| |
|
| Binarne spójniki logiczne interpretowaliśmy jako funkcje z <math>\mathbb{B}
| | <quiz> |
| \times \mathbb{B} \rightarrow \mathbb{B}</math>. Nie trudno przekonać się że takich
| | Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest |
| funkcji jest dokładnie 16. Dla każdej takiej funkcji możemy dodać
| | <wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption> |
| spójnik, który będzie interpretowany dokładnie jako ta funkcja. W
| | <wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption> |
| poniższej tabeli zamieszczamy wszystkie takie funkcje wraz ze
| | <rightoption>rozbieżny</rightoption> |
| zwyczajowymi oznaczeniami odpowiadających im spójników.
| | </quiz> |
| | |
| W poniższej tabeli przedstawiamy wszystkie spójniki binarne.
| |
| | |
| tabelka....
| |
| | |
| | |
| Spójnik binarny <math>\circ</math> będziemy nazywać "przemiennym" jeśli zachodzi
| |
| następująca równoważność
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| p \circ q \equiv q \circ p
| |
| </math></center>
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]|| | |
| | |
| Sprawdź następujące równoważności
| |
| | |
| # <math>x NAND y \equiv \neg (x \wedge y)</math>
| |
| | |
| # <math>x NOR y \equiv \neg (x \vee y)</math>
| |
| | |
| # <math>x XOR y \equiv \neg (x \Leftrightarrow y)</math>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Ile spójników binarnych jest przemiennych? Wypisz je wszystkie.
| |
| | |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Wygodnie jest reprezentować spójniki binarne w tabeli
| |
| kwadratowej. Na przykład alternatywę
| |
| zdefiniowaliśmy jako
| |
| | |
| tabelka......
| |
| | |
| | |
| Jaką własność musi posiadać tabela aby spójnik definiowany przez nią był
| |
| przemienny?
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : Dla przemienności spójnika <math>\circ</math> istotne jest aby <math> 1\circ 0 = 0 \circ 1</math>. Dla pozostałych
| |
| przypadków wartościowań równoważnośc [[##eq:przemienność|Uzupelnic eq:przemienność|]]
| |
| jest zawsze spełniona. Każdy spójnik binarny możemy
| |
| zdefiniować za pomocą tabelki kwadratowej, np. alternatywę
| |
| zdefiniowaliśmy jako
| |
| | |
| tabelka.......
| |
| | |
| | |
| Warunek przemienności oznacza, że wartość w polu o
| |
| współrzędnych <math>(0,1)</math> jest równa wartości w polu o
| |
| współrzędnych <math>(1,0)</math>. Takich tabel jest 8, więc mamy 8
| |
| spójników przemiennych. Nietrudno je teraz odnaleźć w tabeli
| |
| [[##defn:spójniki|Uzupelnic defn:spójniki|]]. Są to
| |
| | |
| :# <math>F</math>
| |
| | |
| :# <math>\wedge</math>
| |
| | |
| :# <math>XOR</math>
| |
| | |
| :# <math>\vee</math>
| |
| | |
| :# <math>NOR</math>
| |
| | |
| :# <math>\Leftrightarrow</math>
| |
| | |
| :# <math>NAND</math>
| |
| | |
| :# <math>T</math>
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| Spójnik binarny <math>\circ</math> będziemy nazywać "łącznym" jeśli zachodzi
| |
| następująca równoważność
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| p \circ (q \circ r) \equiv (p \circ q) \circ r.
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Jeśli spójnik <math>\circ</math> jest łączny to dowolne dwie formuły, które są zbudowane
| |
| jedynie ze spójników <math>\circ</math> są równoważne jeśli występuje w nich tyle samo spójników.
| |
| Dlatego dla łącznych spójników binarnych pomija się często nawiasy.
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Udowodnij, że następujące spójniki są łączne
| |
| | |
| # <math>\vee</math>
| |
| | |
| # <math>\wedge</math>
| |
| | |
| # <math>\Leftrightarrow</math>
| |
| | |
| # <math>XOR</math>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| :
| |
| | |
| :# Formuła <math>(p \vee q) \vee r</math> jest fałszywa jedynie
| |
| wtedy gdy <math>p</math>,<math>q</math> i <math>r</math> są wartościowane na fałsz. Tak
| |
| samo jest dla formuły <math>p \vee( q \vee r )</math> więc są one
| |
| równoważne.
| |
| | |
| :# Formuła <math>(p \wedge q) \wedge r</math> jest prawdziwa jedynie
| |
| wtedy gdy <math>p</math>,<math>q</math> i <math>r</math> są wartościowane na prawdę. Tak
| |
| samo jest dla formuły <math>p \wedge( q \wedge r )</math> więc są one
| |
| równoważne.
| |
| | |
| :# Zbadamy równoważność formuł <math>(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r</math>
| |
| i <math> p \Leftrightarrow(q \Leftrightarrow r)</math> za pomocą tabeli
| |
| | |
| tabelka.......
| |
| | |
| | |
| Kolumna 4 i 6 są identyczne więc odpowiadające im
| |
| formuły są równoważne. Spójnik <math>\Leftrightarrow</math> jest więc łączny.
| |
| | |
| :# ...
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| Możemy również rozważać spójniki 3 i więcej argumentowe. Spójnik
| |
| <math>k</math>-argumetowy powinien odpowiadać funkcji <math>\mathbb{B}^k \rightarrow \mathbb{B}</math>.
| |
| ład
| |
| W poniższej tabeli przedstawiamy przykład spójnika trójargumentowego
| |
| | |
| tabelka........
| |
| | |
| | |
| ład
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Udowodnij, że różnych spójników <math>k</math>-argumentowych jest dokładnie
| |
| <math>2^{2^k}</math>.
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
| | |
| ==Systemy funkcjonalnie pełne==
| |
| | |
| Każda formuła odpowiada pewnej funkcji przekształcającej
| |
| wartościowania zmiennych w niej występujących w element zbioru
| |
| <math>\mathbb{B}</math>. Na przykład formuła <math>p \Rightarrow (q\Rightarrow r)</math> wyznacza funkcję
| |
| <math>f_{p \Rightarrow (q\Rightarrow r)}</math> opisaną poniższą tabelą
| |
| | |
| Tabelka.........
| |
| | |
| Mówimy, wtedy że formuła <math>\phi</math> definuje funkcję <math>f_{\phi}</math>.
| |
| | |
| Skończony zbiór funkcji boolowskich <math>\Gamma</math> nazywamy funkcjonalnie
| |
| pełnym, jeśli każdą funkcję boolowską da się zdefiniować przy
| |
| pomocy formuły zbudowanej wyłącznie ze spójników odpowiadających
| |
| funkcjom ze zbioru <math>\Gamma</math>.
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Zbiór <math>\{\wedge, \vee, \neg\}</math> jest funkcjonalnie pełny.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Zbiory <math>\{\wedge, \neg\}</math>, <math>\{\vee, \neg\}</math> są funkcjonalnie pełne.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| Udowodnij, że zbiór <math>\{\Rightarrow, \neg\}</math> jest funkcjonalnie
| |
| pełny.
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Zbiór <math>\{NOR\}</math> jest funkcjonalnie pełny.
| |
| }}
| |
| | |
| Udowodnij, że zbiór <math>\{NAND\}</math> jest funkcjonalnie pełny.
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Zdefiniuj alternatywę przy pomocy samej implikacji.
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : Łatwo sprawdzić że formuła <math>p \Rightarrow (p \Rightarrow q)</math> jest równoważna
| |
| formule <math>p\vee q</math>.
| |
| }}
| |
| | |
| Jakie funkcje binarne da się zdefiniować przy pomocy samej
| |
| implikacji?
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Udowodnij, że poniższe zbiory nie są funkcjonalnie pełne
| |
| | |
| # <math>\{\wedge\}</math>
| |
| | |
| # <math>\{\vee\}</math>
| |
| | |
| # <math>\{\Leftrightarrow\}</math>
| |
| | |
| # <math>\{XOR\}</math>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| :
| |
| | |
| :# Oznaczmy zbiór formuł w których jedynym spójnikiem jest <math>\wedge</math> przez
| |
| <math>F_\wedge</math>. Udowodnimy, że każda formuła z <math>F_\wedge</math> przyjmuje zawsze wartość 1, jeśli jej zmienne są
| |
| wartościowane na 1. Rozmiarem formuły będziemy nazywać liczbę wystąpień spójnika <math>\wedge</math> w formule.
| |
| Dowód będzie indukcyjny ze względu na
| |
| rozmiar formuły.
| |
| | |
| Baza indukcji: Każda formuła z <math>F_\wedge</math> o rozmiarze 0 jest postaci <math>x</math>, gdzie
| |
| <math>x</math> jest zmienną. Wobec tego przy wartościowaniu zmiennych na 1 formuła <math>x</math> też jest
| |
| wartościowana na 1. A więc każda formuła o rozmiarze 0 ma postulowaną własność.
| |
| | |
| Krok indukcyjny: Ustalmy dowolne <math>n>0</math> i przyjmijmy, że
| |
| wszystkie formuły o mniejszym rozmiarze mają postulowaną
| |
| własność. Niech <math>\nu</math> będzie dowolną formułą z <math>F_\wedge</math> o rozmiarze
| |
| <math>n</math>. Skoro <math>n>1</math> to <math>\nu</math> musi być postaci <math>\phi \wedge
| |
| \psi</math>. Rozważmy wartościowanie które wszyskim zmiennym
| |
| przypisuje wartość 1. Ponieważ rozmiary <math>\phi</math> oraz <math>\psi</math>
| |
| są silnie mniejsze od <math>n</math> to z założenia indukcyjnego
| |
| otrzymujemy, że dla naszego wartościowania obie przyjmują
| |
| wartość 1. Wobec tego zgodnie z tabelą
| |
| [[##eq:tabeleInterpretacjiKRZANDOR|Uzupelnic eq:tabeleInterpretacjiKRZANDOR|]] cała formuła <math>\phi \wedge
| |
| \psi</math> też przyjmuje wartość 1. Dowiedliśmy więc, że każda
| |
| formuła o rozmiarze <math>n</math> ma postulowaną własność.
| |
| | |
| Wiemy już że każda <math>F_\wedge</math> przyjmuje zawsze wartość 1, jeśli jej zmienne są
| |
| wartościowane na 1. Wobec tego niemożliwe jest zdefiniowanie
| |
| np. spójnika <math>F</math> gdyż definująca go formuła musiałby
| |
| przyjąć wartość 0 na takim wartościowaniu.
| |
| | |
| :# Dowód analogiczny do poprzedniego.
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Czy funkcje binarne zdefiniowane za pomocą formuł zawierającyh jedynie przemienne spójniki muszą być przemienne?
| |
| | |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Przyjrzyj się formułom zbudowanym z <math>\Leftrightarrow</math>
| |
| }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| (z wykładu prof. P.M.Idziaka)
| |
| Niech <math>F_n</math> oznacza ilość boolowskich funkcji <math>n</math> argumetnowych,
| |
| a <math>P_n</math> ilość boolowskich funkcji <math>n</math> argumentowych, takich że
| |
| przy pomocy każdej z nich da się zdefiniować dowolną funkcję
| |
| boolowską (czyli jeśli <math>\circ</math> jest takim spójnikiem to zbiór
| |
| <math>\{\circ\}</math> jest funkcjonalnie pełny). Udowdnij istenienie
| |
| poniższej granicy i wyznacz jej wartość
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{P_n}{F_n}
| |
| </math></center>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
| | |
| ==Postacie normalne==
| |
| | |
| "Literałem" nazywamy formułę która jest zmienną zdaniową lub
| |
| negacją zmiennej zdaniowej.
| |
| | |
| Zauważmy, że formuła konstruowana w dowodzie twierdzenia
| |
| [[##thm:AndOrNegFP|Uzupelnic thm:AndOrNegFP|]] jest w pewnej standartowej postaci - formuła
| |
| jest alternatywą formuł które są koniunkcjami literałów.
| |
| Przypomnijmy, że dla <math>p \Rightarrow q</math> zbudujemy formułę
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q).
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Formuła jest w dyzjunktywnej postaci normalnej (DNF) jeśli jest alternatywą formuł które są koniunkcjami
| |
| literałów. Czyli wtedy gdy jest postaci
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| \phi_1\vee \dots \vee \phi_n
| |
| </math></center>
| |
| | |
| oraz każda z formuł <math>\phi_i</math> jest koniunkcją literałów, czyli jest postaci
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| l_1^i \wedge \dots \wedge l_k^i
| |
| </math></center>
| |
| | |
| dla pewnych literałów <math>l_1^i, \dots,l_k^i</math>
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Dla każedej formuły istnieje równoważna formuła w DNF.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Wynika bezpośrednio z konstrukcji w dowodzie twierdzenia
| |
| [[##thm:AndOrNegFP|Uzupelnic thm:AndOrNegFP|]].
| |
| }}
| |
| | |
| Formuła jest w koniunktywnej postaci normalnej (CNF) jeśli jest koniunkcją formuł które są
| |
| alternatywami literałów.
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Dla każdej formuły istnieje równoważna formuła w CNF.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Jak sprawdzić, czy formuła w CNF jest tautologią?
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : Niech rozważaną formułą będzie
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| \phi_1\wedge \dots \wedge \phi_n
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Aby była tautologią konieczne jest aby każda z formuł <math>\phi_i</math> była tautologią.
| |
| Ponieważ każda z formuł <math>\phi_i</math> jest alternatywą literałów to jest tautologią jedynie wtedy
| |
| jeśli istnieje taki literał który występuje w <math>\phi_i</math> zarówno pozytywnie (czyli jako zmienna)
| |
| jak i negatywnie (czyli jako zanegowana zmienna).
| |
| }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Dla poniższych formuł wypisz ich najkrótsze równoważne formuły w
| |
| CNF
| |
| | |
| # <math>p \Leftrightarrow q</math>
| |
| | |
| # <math>p \Rightarrow (q \Rightarrow p)</math>
| |
| | |
| # <math>(p \Rightarrow q) \Rightarrow p</math>
| |
| | |
| # <math>(p \vee a \vee b) \wedge (\neg q \vee \neg a) \wedge (r \vee \neg b \vee \neg
| |
| c) \wedge (c \vee p))</math>
| |
| | |
| # <math>(p \wedge q) \vee (r \wedge s)</math>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
| | |
| ===Spełnialność===
| |
| | |
| Spośród wszystkich formuł wyróżnimy też zbiór formuł spełnialnych.
| |
| | |
| Formuła jest spełnialna jeśli istenieje takie wartościowanie
| |
| które wartościuje tą formułę na 1.
| |
| | |
| Formuły spełnialne są w ścisłym związku z tautologiami.
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Formuła <math>\phi</math> jest tautologią wtedy i tylko wtedy kiedy formuła
| |
| <math>\neg \phi</math> nie jest spełnialna.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Przypuśćmy, że formuła <math>\phi</math> jest tautologią. Wtedy dla każdego wartościowania <math>v</math> mamy
| |
| <math>v(\phi)=1</math>. Stąd otrzymujemy że dla każdego wartościowania <math>v</math> mamy<math>v(\neg \phi)=0</math>, a więc
| |
| nie istnieje wartościwanie, które spełnia <math>\neg \phi</math>, czyli formuła ta nie jest spełnialna.
| |
| | |
| Przypuśćmy, że formuła <math>\neg \phi</math> nie jest spełnialna, czyli nie istnieje wartościowanie <math>v</math>
| |
| takie, że <math>v(\neg \phi)=0</math>. Wynika stąd, że dla każdego wartościowania mamy <math>v(\phi)=1</math>, a więc <math>\phi</math> jest tautologią.
| |
| }}
| |
| | |
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Sprawdź spełnialność następujących formuł
| |
| | |
| # <math>(\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee \neg r) \wedge (\neg q \vee \neg p)</math>
| |
| | |
| # <math>(\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee \neg r) \wedge (\neg q \vee p)</math>
| |
| | |
| ; Solution.
| |
| : }}
| |
| | |
| ==Logika intuicjonistyczna==
| |
| | |
| Niektórzy logicy mają wątpliwości co do tego czy powinniśmy
| |
| przyjmować schemat dowodu nie wprost jako aksjomat. Poddanie w wątpliwość tego
| |
| aksjomatu doprowadziło do powstnia tzw. logiki intuicjonistycznej. Ważnym
| |
| powodem zajmowania się logiką intuicjonistyczną są jej zadziwiające
| |
| związki z teorią obliczeń (izomorfizm Curry-Howard).
| |
| | |
| Implikacyjny fragment logiki intuicjonistycznej, który będziemy
| |
| oznaczać przez <math>I_\Rightarrow</math> to zbiór tych formuł które da się dowodnić
| |
| przy pomocy reguły MP z aksjomatów S i K.
| |
| Aksjomaty <math>I_\Rightarrow</math>
| |
| | |
| # <math>(\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi))</math> (formuła ta jest nazywana
| |
| aksjomatem K)
| |
| | |
| # <math>(\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow \left((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow
| |
| (\phi \Rightarrow \nu) \right)</math> (formuła ta jest nazywana
| |
| aksjomatem S)
| |
| | |
| W pełnej wersji logiki intucjonistycznej
| |
| pojawiają się również aksjomaty dla spójników <math>\wedge, \vee</math> oraz <math>\neg</math>.
| |
| Dla uproszczenia zajmiemy się jedynie formułami w których jedynym
| |
| spójnikiem jest implikacja. Dodatkowym
| |
| argumentem uzasadniającym takie podejście jest fakt, że każde
| |
| twierdzenie logiki intuicjonistycznej w którym jedynymi spójnikami są
| |
| <math>\Rightarrow</math> da się udowodnić przy pomocy aksjomatów | |
| [[##defn:AksjomatyIntImp|Uzupelnic defn:AksjomatyIntImp|]]. Zobaczymy, że analogiczne twierdzenie
| |
| nie jest prawdą dla logiki klasycznej. Logika intuicjonistyczna jest
| |
| bardziej skomplikowana od logiki klasycznej. W szczególności nie
| |
| istnieje skończona matryca za pomocą której moglibyśmy rozstrzygać
| |
| czy dana formuła jest twierdzeniem logiki intuicjonistycznej.
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Każde twierdzenie logiki intuicjonistycznej
| |
| jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań.
| |
| }}
| |
| | |
| {{dowod|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Każdy dowód twierdzenia logiki inuicjonistycznej jest równocześnie dowodem
| |
| twierdzenia klasycznego rachunku zdań.
| |
| }}
| |
| | |
| Implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Istnieją formuły zbudowane
| |
| jedynie przy pomocy <math>\Rightarrow</math>, które nie należą do <math>I_\Rightarrow</math> pomimo
| |
| że są twierdzeniami klasycznego rachunku zdań. Przykładem takiej formuły jest prawo
| |
| Pierce'a:
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| ((p \Rightarrow q) \Rightarrow p ) \Rightarrow p
| |
| </math></center>
| |
| | |
| W zadaniu [[##zad:aksjomatyTatuologie|Uzupelnic zad:aksjomatyTatuologie|]] pokazaliśmy, że formuła ta jest w istocie tautologią
| |
| więc w myśl twierdzenia Posta [[##thm:zupełnośćPost|Uzupelnic thm:zupełnośćPost|]] również
| |
| twierdeniem klasycznego rachunku zdań.
| |
| | |
| W poniższych zadaniach wykażemy poniższe twierdzenie
| |
| | |
| {{twierdzenie|[Uzupelnij]||
| |
| | |
| Prawo Pierce'a nie jest twierdzeniem intuicjonizmu.
| |
| }}
| |
| | |
| Zauważmy, że oznacza to również że każdy dowód prawa Pierce'a w
| |
| logice klasycznej korzysta z aksjomatu 3 [[##defn:AksjomatyKRZ|Uzupelnic defn:AksjomatyKRZ|]], a więc wymaga
| |
| używania spójnika <math>\neg</math>.
| |
| | |
| Aby udowodnić twierdzenie [[##thm:PrawoPiercea|Uzupelnic thm:PrawoPiercea|]] zdefiniujemy
| |
| jeszcze jedną logikę którą nazwiemy <math>I_3</math>. Podobnie do
| |
| [[##defn:matrycaBool|Uzupelnic defn:matrycaBool|]] zdefiniujemy matrycę tym razem 3-elementową.
| |
| | |
| Matrycą <math>\mathbb{M}_3</math> będziemy nazywać zbiór trójelementowy
| |
| <math>M_3=\{0,1,2\}</math> w którym 2 jest wyróżnioną wartością prawdy, wraz z
| |
| funkcją odpowiadają za interpretacje <math>\Rightarrow</math> zdefiniowaną następująco
| |
| | |
| | |
| | |
| tabelka.......
| |
| | |
| | |
| | |
| W przypadku rozważanej matrycy <math>\mathbb{M}_3</math> wartościowanie będzie
| |
| funkcją przypisującą zmiennym zdaniowym elementy zbioru <math>M_3</math>.
| |
| Podobnie jak dla logiki klasycznej wartościowanie zmiennych
| |
| rozszzerzamy na wartościowanie formuł zgodnie z tabelą
| |
| [[##eq:tabeleInterpretacjiInt3|Uzupelnic eq:tabeleInterpretacjiInt3|]].
| |
| | |
| ład
| |
| Dla wartościowania <math>v</math> takiego, że <math>v(p)=2, v(q)=1, v(r)=0</math>
| |
| formuła
| |
| | |
| <center><math>
| |
| | |
| (p \Rightarrow q) \Rightarrow r
| |
| </math></center>
| |
|
| |
|
| przyjmuje wartość 0.
| | nie, nie, tak |
| ład
| |
|
| |
|
| Tautologią logiki <math>I_3</math> będziemy nazywać każdą formułę
| | <quiz> |
| implikacyjną,
| | Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to |
| która przy każdym wartościowaniu zmiennych w <math>M_3</math> przyjmuje
| | <wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption> |
| wartość 2.
| | |
| | <wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption> |
| | |
| | <rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| | nie, nie, tak |
|
| |
|
| Udowodnij, że aksjomaty S i K są tautologiami <math>I_3</math>.
| | <quiz> |
| | Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi |
| | <wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption> |
| | |
| | <rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption> |
| | |
| | <wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| ; Solution.
| | nie, tak, nie |
| : }}
| |
|
| |
|
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]|| | | <quiz> |
| | Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi |
| | <rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption> |
| | |
| | <wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption> |
| | |
| | <wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption> |
| | </quiz> |
|
| |
|
| Udowodnij, że jeśli formuła postaci <math>\phi \Rightarrow \psi</math> oraz formuła <math>\phi</math>
| | tak, nie, nie |
| są tautologiami <math>I_3</math> to formuła <math>\psi</math> jest tautologią <math>I_3</math>.
| |
|
| |
|
| ; Solution.
| | 5555555555555555555555555555555555555555555555555555 |
| : }}
| |
|
| |
|
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| | ==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test== |
|
| |
|
| Udowodnij, że każde twierdzenie logiki <math>I_\Rightarrow</math> jest
| |
| tautologią <math>I_3</math>.
| |
|
| |
|
| {hint}{1}
| | 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 |
| ; Hint .
| |
| : Przeprowadź rozumowanie indukcyjne ze względu na długość dowodu.
| |
| Pomocne będą poprzednie zadania.
| |
|
| |
|
| ; Solution.
| | ==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test== |
| : }}
| |
|
| |
|
| {{cwiczenie|[Uzupelnij]||
| |
|
| |
|
| Sprawdź, czy prawo Pierce'a jest tautologią <math>I_3</math>.
| | 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 |
| {hint}{1}
| |
| ; Hint .
| |
| : Nie jest.
| |
|
| |
|
| ; Solution.
| | ==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test== |
| : Dla wartościowania <math>v</math> takiego, że <math>v(p)=1</math> i <math>v(q)=0</math> kolejne
| |
| fomruły przyjmują następujace wartości
| |
|
| |
|
| :# <math>v(p\Rightarrow q) =0</math>
| |
|
| |
|
| :# <math>v((p\Rightarrow q)\Rightarrow p) =2</math>
| | 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212 |
|
| |
|
| :# <math>v(((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p) =1</math>
| | ==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test== |
|
| |
|
| Wobec tego prawo Pierce'a nie jest tautologią <math>I_3</math> gdyż
| |
| wyróżnioną wartością prawdy <math>I_3</math> w jest 2.
| |
| }}
| |
|
| |
|
| Podsumujmy wyniki powyższych zadań. Wskazaliśmy logikę <math>I_3</math>
| | 1414141414141414141414141414141414141414141414141414 |
| taką, że każda twierdzenie intuicjonizmu jest tautologią <math>I_3</math>.
| |
| Skoro prawo Pierce'a nie jest tautologią <math>I_3</math> to nie jest też
| |
| twierdzeniem <math>I_\Rightarrow</math>.
| |
|
| |
|
| UWAGA! W dalszej części będziemy się posługiwać wyłącznie
| | ==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test== |
| "'logiką klasyczną"'.
| |
| {amsplain}
| |
