Test GR: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 115 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
==``Naiwna'' teoria mnogości==
<quiz type="exclusive">


wyszczególnionych w preambule
Teoria zbiorów, zwana również teorią mnogości, została stworzona
około połowy XIX wieku, przez niemieckiego matematyka '''Georg Cantor'''.
Teoria  mnogości to gałąź matematyki zajmująca się zbiorami --
kolekcja obiektów. Skończone zbiory można definiować wypisując
kolejno wszystkie ich elementy. '''Georg Cantor''' był pierwszą osobą która
podjęła się przeniesienia na ścisły grunt matematyczny pojęcia
zbioru nieskończonego. Według '''Georg Cantor''' zbiór może być dowolną
kolekcją obiektów zwanych elementami. Według tego podejścia zbiór
jest pojęciem podstawowym i niedefiniowalnym. Niestety podejście
do teorii zbiorów w ten sposób rodzi paradoksy i dlatego teoria
mnogości prezentowana w ten sposób jest często nazywana ``naiwną''
teorią mnogości.


Teoria matematyczna nie może dopuszczać istnienia paradoksów i
</quiz>
dlatego na początku XX wieku zmieniono podejście do teorii
mnogości. Zaproponowana przez '''Ernst Zermelo''' i uzupełniony przez
'''Adolf Abraham Halevi Fraenkel''' system aksjomatów wyklucza paradoksy które spowodowały
że naiwna teoria zbiorów musiała zostać porzucona. Aksjomaty te
nakładają pewne ograniczenia na konstrukcje zaproponowane przez
'''Georg Cantor'''. W większości przypadków jednak intuicje związanej z
naiwna teorią mnogości sprawdzają się również w aksjomatycznej
teorii zbiorów. Zaprezentowane poniżej, skrótowe przedstawienie
"naiwnej teorii mnogości" ma na celu wyrobienie intuicji
niezbędnych przy dalszej pracy formalną wersją tych teorii.
Aksjomatyczna teoria zbiorów zostanie przedstawiona w '''Wykład
4.'''


W podejściu zaproponowanym przez '''Georg Cantor''' zbiory skończone można
łatwo wskazywać poprzez wyliczenie ich elementów. Definiowanie
zbiorów nieskończonych wymaga bardziej rozwiniętego języka,
niemniej jednak, według '''Georg Cantor''', każda kolekcja obiektów jest
zbiorem. Podstawowym symbolem używanym przy definiowaniu i
opisywaniu zbiorów jest


oznaczający, że dany byt jest ''elementem'' pewnego zbioru.
------------------------------
Napis


"Kraków""zbiór wszystkich miast Polski"


ilustruje zastosowanie tego symbolu.
1111111111111111111111111111111111111111111


Aby zdefiniować zbiór należy określić definitywny sposób na
rozpoznawania czy dany byt jest elementem zbioru, czy nie.
Najczęściej używanym symbolem przy definiowaniu zbioru są nawiasy
klamrowe. Definicja skończonego zbioru może być bardzo łatwa.
Zbiór


2,3,Kraków


posiada trzy elementy. Liczba <math>2</math> jest elementem tego zbioru
1111111111111111111111111111111111111111111
<math>2\in\{2,3,\mbox{Kraków}\}</math>, ale również
<math>\mbox{Kraków}\in\{2,3,\mbox{Kraków}\}</math>.


Dwa zbiory są sobie równe&nbsp;(takie same) jeśli posiadają dokładnie
te same elementy. Jedynymi elementami zbioru <math>\{2,3\}</math> są liczby
naturalne <math>2</math> i <math>3</math> -- ten sam fakt jest prawdziwy dla zbioru
<math>\{2,2,3\}</math>, a więc


2,3 <nowiki>=</nowiki> 2,3,3.


Podobnie <math>\{2,3\}=\{3,2\}</math> i
22222222222222222222222222222222222222222


2,3<nowiki>=</nowiki>"zbiór liczb naturalnych ściśle pomiędzy <math>1</math> a
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==
<math>4</math>".


W definicji zbioru nie ma znaczenia kolejność w jakiej wymienione
są jego elementy, ani krotność w jakiej dany element pojawia się w
zbiorze.


Zbiory można definiować na wiele sposobów. Najprostszym sposobem
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
zdefiniowani zbioru jest wyliczenie jego elementów. Strategia ta
zawodzi jednak w odniesieniu do zbiorów nieskończonych -- nie
jesteśmy w stanie wypisać wszystkich liczb naturalnych. Zgodnie z
postulatami '''Georg Cantor''' możemy przyjąć że istnieje zbiór wszystkich
liczb naturalnych. Czasami, na określenie zbiorów nieskończonych
używamy nieformalnego zapisu -- zbiór wszystkich liczb naturalnych
może być zapisany jako


0,1,2,3,4,....
==Norma. Iloczyn skalarny. Test==


W podejściu zaproponowanym przez '''Georg Cantor''' równoważna definicja tego
zbioru brzmi


``zbiór wszystkich liczb naturalnych''
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444


Bardzo często tworzymy zbiory składające się z obiektów
==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test==
spełniających daną własność. Zbiór liczb parzystych możemy
zdefiniować w sposób następujący


x|<math>x</math> jest liczbą parzystą.
<quiz>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
<math>
  f_n(x)=
  \left\{
  \begin{array} {lll}
  1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\
  0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1]
  \end{array}
  \right</math>
dla <math>n\in\mathbb{N}</math>
Ciąg ten jest
<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do  <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
<wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)=
  \left\{
  \begin{array} {lll}
    1 & \text{dla} & x\geq 1\\
    0 & \text{dla} & x<0
  \end{array}
  \right</math></wrongoption>
</quiz>


Bardziej ogólnie
  tak, nie, nie


x|warunek
<quiz>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie


W skład powyżej zdefiniowanego zbioru wchodzą te elementy, które
<center><math>f_n(x)=
spełniają warunek występujący po znaku <math>\,|\,</math>. Żeby
  \left\{
zakwalifikować element do powyższego zbioru wstawiamy go w miejsce
  \begin{array} {lll}
<math>x</math> w warunku występującym po <math>\,|\,</math> i sprawdzamy czy jest on
\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\
prawdziwy. Żeby pokazać, że
  \\
\frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\
  \\
  0 & \text{dla} & x=0\\
  \end{array}
  \right.
  \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots
</math></center>


2x|<math>x</math> jest liczbą parzystą.
Ten ciąg funkcyjny jest
<wrongoption>zbieżny jednostajnie</wrongoption>
<rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie</rightoption>
<wrongoption>rozbieżny</wrongoption>
</quiz>


musimy dowieść, że warunek ``<math>2</math> jest liczbą parzystą'' jest
  nie, tak, nie
prawdziwy.


Pomiędzy zbiorem liczb parzystych a zbiorem wszystkich liczb
<quiz>
naturalnych występuje oczywista zależność. Każda liczba parzysta
Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg
jest liczbą naturalną, co, ujęte w języku zbiorów oznacza że każdy
<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption>
element zbioru liczb parzystych jest elementem zbioru liczb
<wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption>
naturalnych. Zbiór liczb parzystych jest ''podzbiorem''
<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption>
zbioru liczb naturalnych&nbsp;(a zbiór liczb naturalnych
</quiz>
''nadzbiorem'' zbioru liczb parzystych). Zapisujemy to w
następujący sposób


x|<math>x</math> jest liczbą parzystą"zbiór
  nie, nie, tak
liczb naturalnych".


Ogólniej, jeśli każdy element zbioru <math>A</math> jest elementem zbioru <math>B</math>
<quiz>
mówimy że zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math> i piszemy
Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption>
</quiz>


A B.
  nie, tak, nie


W takim przypadku mówimy, że pomiędzy zbiorami <math>A</math> i <math>B</math> zachodzi
<quiz>
inkluzja.
Funkcja <math>
    f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math>
Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi
<rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
</quiz>


W szczególności, dla dowolnego zbioru <math>A</math> zachodzi <math>A\subseteq A</math>.
  tak, nie, nie
Wspomnieliśmy wcześniej, że dwa zbiory są sobie równe wtedy i
tylko wtedy kiedy posiadają dokładnie takie same elementy. Fakt
ten możemy zapisać formalnie w następujący sposób


A <nowiki>=</nowiki> B  wtedy i tylko wtedy, kiedy  A B i
<quiz>
B A.
Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest
<wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption>
<rightoption>rozbieżny</rightoption>
</quiz>


Często zależy nam na określeniu znaczącym, że jeden zbiór jest
  nie, nie, tak
podzbiorem drugiego i że zbiory te nie są sobie równe. Używamy
wtedy symbolu <math>\varsubsetneq</math> w następujący sposób


A B  wtedy i tylko wtedy, kiedy  (
<quiz>
A B i nieprawda, że  A<nowiki>=</nowiki>B).
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to
<wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption>
 
<rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption>
</quiz>


Dla każdej pary zbiorów poniżej określ czy są sobie równe, oraz
  nie, nie, tak
czy jeden z nich jest nadzbiorem drugiego
[#]
<math>\{2,3\}</math>, <math>\{x\,|\,\mbox{</math>x<math> dzieli liczbę </math>6<math>}\}</math>


<math>\mbox{"zbiór liczb naturalnych"}</math>, <math>\{x\,|\,\mbox{</math>2<math> dzieli </math>x^2<math>}\}</math>
<quiz>
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi
<wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption>
 
<rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption>
 
<wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption>
</quiz>


<math>\{x\,|\, x^2 =1\}</math>, <math>\{x\,|\, x^3=1\}</math>
  nie, tak, nie
[:]
; Solution.
:[:]Rozwiązanie:
[#]
Zarówno <math>2</math>, jak i <math>3</math> dzielą <math>6</math>, a więc
<math>\{2,3\}\subseteq\{x\,|\,\mbox{</math>x<math> dzieli liczbę </math>6<math>}\}</math>. Liczba <math>6</math>
jest elementem lewego zbioru, a nie jest elementem prawego i dlatego
zbiory te są od siebie różne. Odpowiedzią jest
<math>\{2,3\}\varsubsetneq\{x\,|\,\mbox{</math>x<math> dzieli liczbę </math>6<math>}\}</math>.


Do zbioru liczb naturalnych należy <math>3</math>, które nie należy do zbioru
<quiz>
<math>\{x\,|\,\mbox{</math>2<math> dzieli </math>x^2<math>}\}</math>&nbsp;(ponieważ <math>2</math> nie dzieli <math>9=3^2</math>).
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi
Równocześnie do prawego zbioru należy liczba <math>-2</math> która nie jest liczbą
<rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption>
naturalną. Żaden z wymienionych tu zbiorów nie jest podzbiorem drugiego.
 
<wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption>
</quiz>


Lewy zbiór to, oczywiście zbiór <math>\{-1,1\}</math>, a prawy to
  tak, nie, nie
jednoelementowy zbiór <math>\{1\}</math>. W tym przypadku odpowiedzią jest
<math>\{x\,|\, x^2 =1\}\varsupsetneq\{x\,|\, x^3=1\}</math>.


Najczęstszymi operacjami wykonywanymi na zbiorach są operacje
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
''sumy'',''przecięcia'' i ''różnicy''. Sumą dwóch
zbiorów <math>A</math> i <math>B</math> jest zbiór oznaczony przez <math>A\cup B</math> w skład
którego wchodzą wszystkie element zbioru <math>A</math>, wszystkie elementy
zbioru <math>B</math> i żadne elementy spoza tych zbiorów.


A B <nowiki>=</nowiki> x| x A  lub  x B
==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==


{obra}{1}{{Obrazek {section}.{obra}}}standardowy obrazek ilustrujący unię zbiorów Podobnie
definiujemy przecięcie zbiorów


A B <nowiki>=</nowiki> x| x A  i  x B
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010


{obra}{1}{{Obrazek {section}.{obra}}}standardowy obrazek ilustrujący przecięcie zbiorów oraz
==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test==
różnicę zbiorów


A B <nowiki>=</nowiki> x| x A i  x B.


{obra}{1}{{Obrazek {section}.{obra}}}standardowy obrazek ilustrujący różnicę zbiorów
1111111111111111111111111111111111111111111111111111


Dla następujących par zbiorów ustal zawieranie, lub równość
==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test==
[#]
<math>A=\mbox{"zbiór liczb naturalnych"}\setminus\{x\,|\, \mbox{liczba nieparzysta, większa niż 2 dzieli </math>x<math>}\}</math> i drugi zbiór <math>B=\{2^n\,|\,\mbox{gdzie </math>n<math> jest liczbą naturalną}\}</math>,


<math>A=\{x\,|\, \mbox{liczba 2 dzieli </math>x<math>}\}\cup\{x\,|\, \mbox{liczba 3 dzieli </math>x<math>}\}</math> i zbiór
<math>B=\{x\,|\, \mbox{liczba 6 dzieli </math>x<math>}\}</math>.
[:]
; Solution.
:[:]Rozwiązanie:
[#]
Każda liczba postaci <math>2^n</math> jest liczbą naturalną
niepodzielną przez żadną liczbę nieparzystą większą niż
<math>2</math>, a więc <math>B\subseteq A</math>. Każda liczba naturalna, która
nie dzieli się przez żadną liczbę nieparzystą posiada tylko
jeden dzielnik pierwszy <math>2</math>. W związku z tym każda z liczb
w <math>A</math> występuje również w <math>B</math>. W związku z tym <math>A=B</math>.


Każda liczba która jest podzielna przez <math>6</math> dzieli się
1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
również przez <math>2</math> co dowodzi, że <math>B\subseteq A</math>. Zawieranie w
drugą stronę nie zachodzi ponieważ liczba <math>9\in A</math> i <math>9\notin
B</math>.


Dla dowolnego zbioru <math>A</math> zachodzi <math>A\cup A = A</math> i <math>A\cap A = A</math>.
==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test==
Zbiór który otrzymujemy jako wynik operacji <math>A\setminus A</math> jest
''zbiorem pustym''. Na mocy definicji różnicy zbiorów
elementami zbioru <math>A\setminus A</math> są wyłącznie te elementy <math>A</math>,
które nie należą do <math>A</math>. Takie elementy nie istnieją -- żaden
element ze zbioru <math>A</math> nie należy do <math>A\setminus A</math> i żaden element
spoza <math>A</math> nie należy do tego zbioru. Zbiór pusty jest oznaczany
przez <math>\emptyset</math>. Odejmowanie zbiorów od samych siebie nie jest
jedynym sposobem na otrzymanie zbioru pustego.


1,2,2006"zbiór liczb naturalnych"<nowiki>=</nowiki>"zbiór
psów""zbiór wszystkich zwierząt"


Zbiór po lewej stronie nierówności jest równy zbiorowi po prawej
1414141414141414141414141414141414141414141414141414
stronie nierówności. Każdy element zbioru po prawej stronie jest
również elementem zbioru po lewej stronie nierówności i vice versa
dlatego, że żaden z tych zbiorów nie posiada elementów.


Niestety, podejście zaproponowane przez '''Georg Cantor''' i uściślone przez
==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test==
'''Friedrich Frege''' posiada błędy. Jedną z pierwszych osób które zwróciły uwagę
na niedociągnięcia tej teorii jest '''Bertrandt Russell'''. Zgodnie z zasadami
zaproponowanymi przez '''Georg Cantor''' można zdefiniować dowolny zbiór.
Zdefiniujmy więc zbiór
 
Z <nowiki>=</nowiki> A| A A.
 
Zbiór <math>Z</math> składa się ze zbiorów, które nie są swoimi własnymi
elementami. Paradoks zaproponowany przez '''Bertrandt Russell''' polega na tym,
że pytanie czy <math>Z</math> jest swoim własnym elementem prowadzi do
sprzeczności. Jeśli <math>Z\in Z</math> to, zgodnie z definicją zboru <math>Z</math>
otrzymujemy <math>Z\notin Z</math> co jest sprzecznością z założeniem. Jeśli
<math>Z\notin Z</math>, to <math>Z</math> spełnia warunek na przynależność do <math>Z</math> i w
związku z tym <math>Z\in Z</math> co jest kolejną sprzecznością. Definicja
zbioru zaproponowana przez '''Georg Cantor''' prowadzi do powstania
logicznych paradoksów. Okazuje się że pytanie co jest zbiorem jest
trudniejsze niż wydawało się matematykom końca XIX wieku.
 
W dalszej części wykładu przedstawimy właściwe podejście do teorii
mnogości. Podejście to jest oparte o część logiki zwaną rachunkiem
predykatów. Podejście to zostało zaproponowane przez '''Ernst Zermelo''' na
początku XX wieku i ma na celu dostarczenie spójnej teorii zbiorów
o mocy podobnej to naiwnej teorii, przy równoczesnym uniknięciu
paradoksów. Aksjomatyczna teoria mocy definiuje bardzo dokładnie
które kolekcje obiektów są zbiorami. W szczególności paradoks
zaproponowany przez '''Bertrandt Russell''' nie pojawia się w aksjomatycznej
teorii zbiorów, ponieważ zbiór zdefiniowany powyżej jako <math>Z</math> w
niej nie istnieje.
 
=="Naiwna" indukcja==
 
Zasada indukcji matematycznej jest o prawie trzysta lat starsza
niż teoria mnogości. Pierwszy dowód indukcyjny pojawił się w pracy
'''Francesco Maurolico''' w 1575 roku. W pracy tej autor wykazał, że suma <math>n</math>
pierwszych liczb nieparzystych równa się <math>n^2</math>.
 
Aby zastosować zasadę indukcji matematycznej należy wykazać dwa
fakty:
[*]
hipoteza jest prawdziwa dla <math>n=1</math>;
 
jeśli hipoteza jest prawdziwa dla <math>n</math> to jest również prawdziwa dla
<math>n+1</math>.
Drugi z powyższych punktów musi być prawdą dla wszystkich <math>n\geq
1</math>. Jeśli oba fakty są prawdą to hipoteza jest prawdziwa dla
wszystkich liczb naturalnych większych od <math>1</math>. Rozumowanie które
stoi za tym wnioskiem wygląda następująco:
[#]
hipoteza jest prawdziwa dla <math>n=1</math> na podstawie podstawy indukcji,
 
hipoteza jest prawdziwa dla <math>n=2</math>, ponieważ jest prawdziwa dla <math>1</math>
i po zastosowaniu kroku indukcyjnego również dla <math>2</math>,
 
hipoteza jest prawdziwa dla <math>n=3</math>; w poprzednim punkcie pokazaliśmy,
że jest prawdziwa dla <math>2</math> i na podstawie kroku indukcyjnego jest również
prawdziwa <math>3</math>
 
i tak dalej.
Zasadę indukcji matematycznej można porównać do domina. Aby mieć
pewność że przewrócone zostaną wszystkie klocki wystarczy wykazać,
że przewrócony zostanie pierwszy klocek i że każdy klocek pociąga
za sobą następny. {obra}{1}{{Obrazek {section}.{obra}}}nieskończone domino ponumerowanych
liczbami naturalnymi klocków w trakcie przewracania
 
Dowód indukcyjny przedstawiony przez '''Francesco Maurolico''' pokazuje, że suma
pierwszych <math>n</math> liczb nieparzystych jest równa <math>n^2</math>.
[*]
Jeśli <math>n=1</math> to pierwsza liczba nieparzysta <math>1</math> jest równa <math>1^2</math>.
 
Jeśli hipoteza jest prawdą dla <math>n</math>, to znaczy że suma pierwszych <math>n</math>
liczb nieparzystych równa się <math>n^2</math>. Bardziej formalnie 
1+3++(2n-1) <nowiki>=</nowiki> n^2.
 
tak więc suma pierwszych <math>n+1</math> liczb nieparzystych
<math>1+3+\dotsb+(2n-1)+(2(n+1)-1)</math>, przy użyciu założenia powyżej może
być zapisana jako
 
1+3++(2n-1)+(2(n+1)-1) <nowiki>=</nowiki> n^2 +(2(n+1)-1)<nowiki>=</nowiki> n^2+2n+1<nowiki>=</nowiki>
{(n+1)}^2.
 
Krok indukcyjny został dowiedziony.
 
Wykaż, że suma pierwszych <math>n</math> liczb naturalnych jest równa
<math>\frac{1}{2}n(n+1)</math>. [:]
; Solution.
:[:]Aby udowodnić wzór na sumę <math>n</math>
pierwszych liczb naturalnych posłużymy się indukcją.
[*]
Dla <math>n=1</math> mamy <math>\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2 = 1</math>.
 
Zakładamy, że wzór jest prawdziwy dla <math>n</math>. W związku z tym do sumy
 
1+2++n+(n+1) <nowiki>=</nowiki>
 
stosujemy założenie indukcyjne
 
(1+2++n ) +(n+1) <nowiki>=</nowiki> {1}{2}n(n+1) + (n+1) <nowiki>=</nowiki>
 
i po paru prostych przekształceniach otrzymujemy
 
<nowiki>=</nowiki> {1}{2}n(n+1) +{1}{2}2(n+1) <nowiki>=</nowiki> {1}{2}(n+1)(n+2)
 
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Na zasadzie indukcji matematycznej dowiedliśmy wzór na sumę <math>n</math>
pierwszych liczb naturalnych.
 
Wykaż, że suma kwadratów pierwszych <math>n</math> liczb
naturalnych jest równa <math>\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)</math>. [:]
; Solution.
:[:]Aby
wykazać prawdziwość wzoru powyżej postępujemy jak
w poprzednim zadaniu.
[*]
Dla <math>n=1</math> mamy <math>\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = 1</math> co dowodzi
podstawy indukcji.
 
Zakładamy że wzór jest prawdziwy dla <math>n</math> to jest, że
 
1^2+2^2++n^2 <nowiki>=</nowiki> {1}{6}n(n+1)(2n+1).
 
Korzystając z tego faktu przekształcamy
 
1^2+2^2++n^2 + {(n+1)}^2<nowiki>=</nowiki> {1}{6}n(n+1)(2n+1) +
{(n+1)}^2 <nowiki>=</nowiki>
 
i dalej do
 
{1}{6}(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))<nowiki>=</nowiki>{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)<nowiki>=</nowiki>
{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)
 
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie zasada indukcji
matematycznej gwarantuje, że wzór jest prawdziwy dla wszystkich
liczb naturalnych.
 
Wykaż, że dla <math>n\geq 1</math> zachodzi <math>4|3^{2n-1}+1</math>. [:]
; Solution.
:[:]Jak
poprzednio stosujemy zasadę indukcji matematycznej.
[*]
Dla <math>n=1</math> mamy <math>3^{2n-1} + 1 = 3^1 +1 = 4</math> jest podzielne przez <math>4</math>.
 
Zakładamy że podzielność zachodzi dla <math>n</math>.
Pokażemy że <math>3^{2(n+1)-1}+1</math> jest podzielne przez <math>4</math>. Przekształcamy
 
3^{2(n+1)-1}+1 <nowiki>=</nowiki> 3^{2n-1+2} + 1 <nowiki>=</nowiki> 9 3^{2n-1} + 1<nowiki>=</nowiki>
 
wprowadzamy sztuczny czynnik
 
<nowiki>=</nowiki>9 (3^{2n-1} +1 -1) + 1 <nowiki>=</nowiki> 9 (3^{2n-1} +1 -1) + 1 <nowiki>=</nowiki>
9 (3^{2n-1} +1) -9 + 1 <nowiki>=</nowiki> 9 (3^{2n-1} +1) -8.
 
Zarówno <math>(3^{2n+1} +1)</math>&nbsp;(na mocy założenia indukcyjnego) jak i <math>8</math>
są podzielne przez <math>4</math>, a wiec ich różnica również. W ten sposób
udowodniliśmy krok indukcyjny.
 
Często bardzo niepraktyczne jest używanie indukcji w jej
podstawowej formie. Używa się wtedy indukcji, która w pierwszym
kroku nie zaczyna się od <math>n=1</math>, ale <math>n=0</math>, <math>n=2</math> lub dowolnej
innej liczby naturalnej. W takim przypadku drugi krok indukcyjny
nie musi działać dla wszystkich <math>n</math> a wystarczy by działał dla <math>n</math>
większych lub równych od liczby którą wybraliśmy w pierwszym
kroku. Końcowy dowód indukcyjny pokaże, że dana hipoteza nie jest
prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych, a jedynie dla liczb
większych od tej wybranej na pierwszy krok indukcyjny.
 
Jako przykład pokażemy, że <math>n!>2^n</math>. Po pierwsze nierówność ta nie
zachodzi dla <math>1,2,3</math>, więc nie można rozpocząć kroku indukcyjnego
od <math>n=1</math>. Indukcja będzie wyglądać następująco.
[*]
Hipoteza jest prawdą dla <math>n=4</math>, ponieważ <math>4!=24>16=2^4</math>.
 
Jeśli hipoteza jest prawdą dla <math>n</math> i jeśli <math>n\geq 4</math> to
 
(n+1)!<nowiki>=</nowiki> n! (n+1)>2^n(n+1)>2^{n+1}
 
gdzie pierwsza nierówność pochodzi z założenia indukcyjnego, a
druga z faktu, że dowodzimy krok indukcyjny dla liczb większych
niż <math>4</math>.
W tym ćwiczeniu dowodzimy wariant nierówności Bernoulliego. Dla dowolnego <math>x</math> takiego, że <math>x> -1</math> i <math>x\neq 0</math> i dla dowolnego <math>n\geq 2</math> zachodzi <math>{(1+x)}^n> 1+nx</math>.
[:]
; Solution.
:[:]Rozwiązanie:
[*]
Nierówność ostra nie jest prawdą dla <math>n=0</math>, ani dla
<math>n=1</math>. Krok indukcyjny zaczniemy od <math>2</math>. Wtedy
<math>{(1+x)}^2=1+2x+x^2>1+2x</math>, gdzie ostatnia nierówność bierze
się z faktu, że <math>x\neq 0</math>.
 
Zakładamy teraz, że nierówność jest prawdziwa dla <math>n</math>, czyli, że dla dowolnego <math>x</math> takiego, że <math>0\neq x> -1</math> mamy
 
{(1+x)}^n> 1+nx.
 
Przekształcając nierówność dla <math>n+1</math> otrzymujemy
 
{(1+x)}^{(n+1)}<nowiki>=</nowiki>{(1+x)}^n(1+x)>(1+nx)(1+x)<nowiki>=</nowiki>1+(n+1)x +x^2
1+(n+1)x,
 
gdzie otrzymujemy ostrą nierówność dzięki założeniu indukcyjnemu i
faktowi, że <math>x\neq -1</math>. W ten sposób krok indukcyjny został
udowodniony.
 
'''Liczby Fibonacciego''' zdefiniowane są następująco
 
f_1<nowiki>=</nowiki>1, f_2<nowiki>=</nowiki>1 oraz  f_i<nowiki>=</nowiki>f_{i-2}+f_{i-1}  dla  i>3.
 
Udowodnij, że dla dowolnego <math>n\geq 2</math> liczby <math>f_n</math> i <math>f_{n-1}</math> są
względnie pierwsze. [:]
; Solution.
:[:]Dowód przez indukcję matematyczną
[*]
Twierdzenie jest prawdą dla <math>n=2</math> ponieważ <math>f_2</math> i <math>f_1</math> są
względnie pierwsze.
 
Zakładamy że twierdzenie jest prawdą dla <math>n</math>. Rozpatrzmy wspólny
dzielnik liczb <math>f_{n+1}</math> i <math>f_n</math> i oznaczmy go przez <math>k</math>. Jeśli <math>k</math>
dzieli <math>f_{n+1}</math> i równocześnie <math>f_n</math> to <math>k | f_{n+1}-f_n</math>. Korzystając z
definicji liczb Fibbonaciego otrzymujemy
<math>f_{n+1}-f_n=f_n+f_{n-1}-f_n=f_{n-1}</math>.
W związku z czym <math>k</math> jest wspólnym dzielnikiem liczb <math>f_n</math> i <math>f_{n-1}</math>,
więc na mocy założenia indukcyjnego mówiącego, że liczby te są względnie
pierwsze, jest równy <math>1</math>. Pokazaliśmy,
że każdy wspólny dzielnik <math>f_{n+1}</math> i <math>f_n</math> jest równy <math>1</math>, a więc liczby
te są względnie pierwsze. Krok indukcyjny został pokazany.
 
Kolejnym uogólnieniem zasady indukcji matematycznej jest indukcja,
w której w drugi kroku indukcyjnym zakładamy, że hipoteza jest
prawdą dla wszystkich liczb mniejszych niż <math>n</math> i dowodzimy, że
jest również prawdziwa dla <math>n+1</math>.
 
Jako przykład udowodnimy, że każda liczba naturalna większa niż
<math>2</math> jest produktem jednej, lub więcej liczb pierwszych.
[*]
Hipoteza jest prawdą dla <math>n=2</math> ponieważ <math>2</math> jest liczbą pierwszą.
 
Zakładamy że hipoteza jest prawdziwa dla liczb od <math>2</math> do
<math>n</math>. Weźmy liczbę <math>n+1</math>, jeśli <math>n+1</math> jest liczbą pierwszą, to
hipoteza jest udowodniona. Jeśli <math>n+1</math> nie jest liczbą
pierwszą, to <math>n+1=k\cdot l</math> gdzie <math>2\leq k,l\leq n</math>. Założenie
indukcyjne gwarantuje, że 
k<nowiki>=</nowiki>p_1 p_2 p_i i l<nowiki>=</nowiki>q_1
q_2 q_j
 
gdzie <math>p_1,\dotsc,p_i,q_1,\dotsc,q_j</math> są liczbami pierwszymi. W
związku z tym
 
n+1<nowiki>=</nowiki>p_1 p_2 p_i q_1
q_2 q_j
 
i krok indukcyjny jest udowodniony.
Udowodnij, że każda liczba naturalna większa niż
<math>1</math> może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego tak, że
żadna liczba nie występuje w tej sumie więcej niż raz. [:]
; Solution.
:[:]Przedstawimy dowód przez indukcję.
[*]
Dla <math>n=1</math> mamy <math>f_2=1</math>.
 
Zakładamy że każda liczba mniejsza lub równa <math>n</math> może być
przedstawiona w sposób opisany powyżej. Jeśli liczba <math>n+1</math> jest
liczbą Fibonacciego to krok indukcyjny jest już dowiedziony, jeśli
nie to znajdujemy największą liczbę Fibonacciego mniejszą od <math>n+1</math>
-- oznaczmy tą liczbę <math>f_k</math>. Liczba <math>n+1-f_k</math> jest mniejsza niż
<math>n</math> więc, na mocy założenia indukcyjnego, posiada reprezentację
jako suma liczb Fibonacciego
 
n+1-f_k<nowiki>=</nowiki>f_{l_0}++f_{l_i}
 
tak, że każda z liczb w tej reprezentacji występuje co najwyżej
raz. Oczywiście
 
n+1 <nowiki>=</nowiki> f_k+f_{l_0}++f_{l_i}
 
i pozostaje wykazać, że <math>f_k</math> nie występuje pośród liczb
<math>f_{l_0},\dotsc,f_{l_i}</math>. Skoro <math>f_k</math> było największą liczbą
Fibonacciego mniejszą niż <math>n+1</math> to <math>f_{k+1}>n+1</math> a więc
<math>f_{k-1}=f_{k+1}-f_k>n+1-f_k</math>. W związku z tym liczby
<math>f_{l_0},\dotsc,f_{l_i}</math> są silnie mniejsze niż <math>f_{k-1}</math> i żadna
z nich nie może być równa <math>f_k</math>. W ten sposób krok indukcyjny
został dowiedziony.
 
Znajdź błąd w poniższym dowodzie indukcyjnym. Dowodzimy
indukcyjnie twierdzenia, że wszystkie liczby są parzyste.
[*]
Twierdzenie jest prawdą dla <math>n=0</math> ponieważ <math>0</math> jest liczbą parzystą.
 
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdą dla wszystkich liczb
mniejszych lub równych <math>n</math>. Liczba <math>n+1</math> jest niewątpliwie sumą
dwóch liczb silnie mniejszych od siebie <math>n+1=k+l</math>. Liczby <math>k</math> i
<math>l</math>, na podstawie założenia indukcyjnego, są parzyste, zatem ich
suma równa <math>n+1</math> jest parzysta. Krok indukcyjny został
dowiedziony.
Na zasadzie indukcji matematycznej wszystkie liczby są parzyste.
[:]
; Solution.
:[:]Dowód indukcyjny jest niepoprawny. Krok indukcyjny nie
działa dla wszystkich <math>n</math> większych lub równych od <math>0</math> -- które
jest podstawą indukcji. Jeśli <math>n=0</math>, to <math>n+1=1</math> i nie jesteśmy w
stanie rozbić liczby <math>1</math> na sumę dwóch liczb istotnie mniejszych
od niej samej.
 
W trójwymiarowej przestrzeni znajduje się <math>n</math> punktów. Ilość
punktów w rzutowaniu na płaszczyznę <math>O_x, O_y</math> oznaczamy przez
<math>n_{xy}</math>. Podobnie ilość punktów w rzutowaniu na <math>O_x, O_z</math> przez
<math>n_{xz}</math> i ilość punktów w rzutowaniu na <math>O_y, O_z</math> przez
<math>n_{yz}</math>. Wykaż, że dla dowolnego rozkładu punktów w przestrzeni
zachodzi nierówność
 
n^2 n_{xy}n_{xz}n_{yz}.
 
[:]{hint}{1}
; Hint .
:[:]Użyj nierówności pomiędzy średnią geometryczną, a
średnią arytmetyczną
 
{1}{2}(a+b) {ab}.
 
{hint}{1}
; Hint .
:[:]Podziel punkty na dwie grupy płaszczyzną równoległą do
którejś z płaszczyzn <math>O_x, O_y</math>, <math>O_x, O_z</math> lub <math>O_y, O_z</math>.
; Solution.
:[:]Dowiedziemy nierówność przy użyciu indukcji.
[*]
Jeśli <math>n=1</math> to <math>n_{xy}=n_{xz}=n_{yz}=1</math> i nierówność jest prawdziwa.
 
Zakładamy, że nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb
naturalnych&nbsp;(dla dowolnego układu punktów) mniejszych niż <math>n+1</math>.
Rozpoczynamy z dowolnym układem <math>n+1</math> punktów w przestrzeni.
Ponieważ <math>n+1>1</math> wiemy, że istnieje płaszczyzna równoległa do
którejś z płaszczyzn <math>O_x, O_y</math>, <math>O_x, O_z</math> lub <math>O_y, O_z</math> i
dzieląca <math>n+1</math> punktów na dwie niepuste części posiadające
odpowiednio <math>n'</math> i <math>n''</math> punktów. Ponieważ nasz układ jest bardzo
symetryczny możemy założyć że nasza płaszczyzna jest równoległa do
płaszczyzny <math>O_x, O_y</math>. Stosując założenie indukcyjne do każdej z
części otrzymujemy
 
{n'}^2  n'_{xy}n'_{xz}n'_{yz}
 
oraz
 
{n''}^2  n''_{xy}n''_{xz}n''_{yz}.
 
Co więcej, pomiędzy projekcjami zachodzą następujące zależności
 
n'_{xz}+n''_{xz}<nowiki>=</nowiki>n_{xz} oraz  n'_{yz}+n''_{yz}<nowiki>=</nowiki>n_{yz}.
 
Dla płaszczyzny <math>O_x, O_y</math> nie posiadamy podziału na część punktów
należących do <math>n'</math> i <math>n''</math> i możemy jedynie wnioskować, że
 
n'_{xy} n_{xy} oraz  n''_{xy} n_{xy}.
 
Zaczynamy przekształcenia mające udowodnić pożądaną nierówność
 
n^2& <nowiki>=</nowiki>{(n'+n'')}^2<nowiki>=</nowiki>{(n')}^2+2n'n'' + {(n'')}^2 {(n')}^2+2{{(n')}^2}{{(n'')}^2} + {(n'')}^2 <br>
&  n'_{xy}n'_{xz}n'_{yz} +2{n'_{xy}n'_{xz}n'_{yz}}{n''_{xy}n''_{xz}n''_{yz}}+n''_{xy}n''_{xz}n''_{yz} <br>
&  n_{xy}n'_{xz}n'_{yz} +2{n_{xy}n'_{xz}n'_{yz}n_{xy}n''_{xz}n''_{yz}}+n_{xy}n''_{xz}n''_{yz}  <br>
&  n_{xy}(n'_{xz}n'_{yz}
+2{n'_{xz}n'_{yz}n''_{xz}n''_{yz}}+n''_{xz}n''_{yz}
)
 
używając założenia indukcyjnego i nierówności pomiędzy projekcjami
na płaszczyznę <math>O_x, O_y</math>. Kontynuujemy używając nierówności
pomiędzy średnią algebraiczną i geometryczną
 
n^2 &  n_{xy}(n'_{xz}n'_{yz} +2{n'_{xz}n''_{xz}n'_{yz}n''_{yz}}+n''_{xz}n''_{yz})  <br>
&  n_{xy}(n'_{xz}n'_{yz} +2{1}{2}(n'_{xz}n''_{xz} +n'_{yz}n''_{yz})+n''_{xz}n''_{yz}) <nowiki>=</nowiki> <br>
& <nowiki>=</nowiki> n_{xy}(n'_{xz}n'_{yz} +n'_{xz}n''_{xz}
+n'_{yz}n''_{yz}+n''_{xz}n''_{yz}) <nowiki>=</nowiki> n_{xy}(n'_{xz} +
n''_{xz})(n'_{yz}+n''_{yz})
 
W ostatnim kroku wystarczy wykorzystać zależności pomiędzy
projekcjami na pozostałe dwie współrzędne i
 
n^2 n_{xy}(n'_{xz} + n''_{xz})(n'_{yz}+n''_{yz})<nowiki>=</nowiki>
n_{xy}n_{xz}n_{yz}.
 
Krok indukcyjny został dowiedziony.
Na podstawie zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest
prawdziwe.
 
{obra}{1}{{Obrazek {section}.{obra}}}Obrazek do powyższego ćwiczenia według załączonego skanu
 
Zasada indukcji matematycznej jest bardzo potężnym narzędziem.
Intuicyjnie wydaje się jasne, że dowody przeprowadzone przy jej
pomocy są poprawne. Niemniej jednak, żeby uzasadnić poprawność
samej zasady należy sięgnąć do teorii mnogości i definicji zbioru
liczb naturalnych. Wiemy już, że "naiwna teoria mnogości" nie daje
nam poprawnych zbiorów na których można oprzeć ścisłe rozumowanie.
W dalszej części wykładu wyprowadzimy zasadę indukcji
matematycznej w oparciu o aksjomaty i aksjomatycznie zdefiniowany
zbiór liczb naturalnych. Takie podejście gwarantuje nam poprawność
rozumowania -- podejście naiwne zapewnia intuicje niezbędne do
budowania poprawnych teorii.
=="Naiwne" dowody niewprost==
 
Częstą metodą dowodzenia twierdzeń matematycznych jest dowodzenie
niewprost. Dowód niewprost polega na założeniu zaprzeczenia
twierdzenia, które chcemy udowodnić i doprowadzeniu do
sprzeczności. Wykazujemy, że jeśli twierdzenie nasze jest
nieprawdziwe, jesteśmy w stanie udowodnić jakąś tezę, która jest w
sposób oczywisty fałszywa.
 
Jednym z najbardziej znanych dowodów niewprost jest dowód
istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. Dowód ten został
zaproponowany przez '''Euclid of Alexandria''' a my prezentujemy go w wersji podanej
przez Ernst'a Kummera.
 
{{twierdzenie|[Uzupelnij]||
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
}}
 
{{dowod|[Uzupelnij]||
Załóżmy że istnieje jedynie skończenie wiele liczb pierwszych
<math>p_0,\dotsc,p_n</math>. Zdefiniujmy liczbę
 
k <nowiki>=</nowiki> p_0 p_1 p_n
 
i rozważmy <math>k+1</math>. Liczba <math>k+1</math> posiada dzielnik pierwszy, a
ponieważ jedynymi pierwszymi liczbami są liczby <math>p_0,\dotsc,p_n</math>
wnioskujemy, że <math>p_i</math> dzieli <math>k+1</math> dla pewnego <math>i</math>. Liczba <math>p_i</math>
dzieli również <math>k</math>, a więc <math>p_i</math> dzieli <math>(k+1)-k=1</math> co jest
sprzecznością.
}}
 
Wykaż, że nie istnieje największa liczba naturalna.
[:]
; Solution.
:[:]Załóżmy, niewprost, że istnieje największa liczba
naturalna i oznaczmy ją przez <math>n</math>. Niewątpliwie <math>n+1</math> jest liczbą
naturalną większą od <math>n</math>, co jest sprzecznością z naszym
założeniem.
 
Wykaż, że <math>\sqrt{2}</math> jest liczbą niewymierną. [:]
; Solution.
:[:]Załóżmy,
niewprost, że <math>\sqrt{2}</math> jest liczbą wymierną, czyli, że istnieją
dwie naturalne, względnie pierwsze liczby <math>k</math> i <math>l</math> takie, że
<math>\sqrt{2}=k/l</math>. Przekształcając ostatnie wyrażenie otrzymujemy
<math>k^2=2l^2</math>. Skoro <math>2</math> dzieli lewą stronę równości dzieli też i
prawą, a ponieważ dwa jest liczbą pierwszą wnioskujemy, że <math>2</math>
dzieli <math>k</math>. Jeśli <math>2</math> dzieli <math>k</math> to <math>4</math> dzieli <math>k^2</math> i na
podstawie równości <math>4</math> dzieli <math>2l^2</math>. Wnioskujemy stąd, że <math>2</math>
dzieli <math>l^2</math> i, na podstawie pierwszości liczby <math>2</math>, że <math>2</math> dzieli
<math>l</math>. Udowodniliśmy, że <math>2</math> dzieli zarówno <math>k</math> jak i <math>l</math>, co jest
sprzecznością z założeniem, że liczby te są względnie pierwsze.
 
Ścisłe uzasadnienie poprawności dowodów niewprost leży na gruncie
logiki, której poświęcony jest następny wykład.
 
 
 
 
 
 
 
 
{{cwiczenie||{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="left"
! This
! is
|-
| a
| table
|-
|}
}}
 
 
{| border="1" cellspacing="0"
! !! Złożoność czasowa !! Złożoność pamięciowa
|-
! Maszyna dodająca || <math>f(0) = 1</math><br/><math>f(1) = 3</math><br/><math>f(n) = n+3; n\geq2</math> ||  <math>f(0) = 2</math><br/><math>f(1) = 3</math><br/><math>f(n) = n+1; n\geq2</math>
|-
! Maszyna rozpoznająca <math>ww^\leftarrow</math>        || <math>f(n) = 6 + 8 + \ldots + (n+3) + 2 ; n=2k+1</math><br/><math>f(n) = 5 + 7 + \ldots + (n+3) + 1 ; n=2k</math> ||  <math>f(n) = n+1</math>
|}

Aktualna wersja na dzień 22:12, 11 wrz 2023




1111111111111111111111111111111111111111111


1111111111111111111111111111111111111111111


22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right} dla n∈ℕ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do f(x)≡0

zbieżny punktowo do funkcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right} 

 tak, nie, nie

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie

fn(x)={1−n−x1+n−xdlax>02−nx2+nxdlax<00dlax=0 dla  n=1,2,…

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie

rozbieżny 

 nie, tak, nie

Dany jest ciąg funkcyjny fn(x)=xn dla x≥0 Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła 

 nie, nie, tak

Dany jest szereg ∑n=1∞sin⁡nx2n(x2+1), x∈ℝ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do funkcji f takiej, że 0<f(x)<3

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)=12(x2+1) 

 nie, tak, nie

Funkcja f(x):=∑n=1∞xnn(n+1)(x2+1) Granica limx→3f(x) wynosi

110

3

0 

 tak, nie, nie

Szereg ∑n=1∞1n(x4+4) jest

zbieżny punktowo

zbieżny jednostajnie

rozbieżny 

 nie, nie, tak

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji f(x)=cos⁡2x to

−266!

266!x6

−445x6 

 nie, nie, tak

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f(x)=12+x o środku w x0=0 wynosi

−164x6

−164x5

12x6 

 nie, tak, nie

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji x ośrodku w x0=1 Współczynnik przy x wynosi

1516

516

116 

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

1414141414141414141414141414141414141414141414141414

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR&oldid=82477”