Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
(Nie pokazano 2 wersji utworzonych przez jednego użytkownika)
Linia 40: Linia 40:
{{definicja|10.3.||
{{definicja|10.3.||
Jeśli pochodna <math>f^{(n-1)}</math> rzędu <math>n-1</math> funkcji <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0 \in (a,b)</math>, to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego: <center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h}</math>,</center>  
Jeśli pochodna <math>f^{(n-1)}</math> rzędu <math>n-1</math> funkcji <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0 \in (a,b)</math>, to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego: <center><math>\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x_0 +h)-f^{(n-1)}(x_0)}{h}</math>,</center>  
to mówimy, że funkcja jest '''''<math>n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math>x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math>n</math> ''''' (lub krótko: ''''' <math>n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy symbolem <math>f^{(n)}(x_0)</math> lub <math>\dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź <math>\dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>.
to mówimy, że funkcja jest '''''<math>n</math> krotnie różniczkowalna''''' w punkcie <math>x_0</math>, a granicę tę nazywamy '''''pochodną rzędu <math>n</math> ''''' (lub krótko: ''''' <math>n</math>-tą pochodną''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i oznaczamy symbolem <math> f^{(n)}(x_0)</math> lub <math>\dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0)</math>, bądź <math>\dfrac{d^n}{dx^n}f(x_0)</math>.
}}
}}


Linia 187: Linia 187:
Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt <math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math>(n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>.  
Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt <math>\xi_{n+1}\in (a,b)</math> taki, że <math>(n+1)!M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>.  
Rozważmy dla <math>t\in[a,b]</math> funkcję
Rozważmy dla <math>t\in[a,b]</math> funkcję
<center><math> g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}</math>.</center>
<center><math>g(t):=f(t)-T^{n}_a f(t)-M(t-a)^{n+1}</math>.</center>
Zauważmy, że <math>g(a)=0</math> i z określenia stałej <math>M</math> mamy również: <math>g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math>\xi_1\in (a,b)</math> taki, że <math>g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja <math>g</math>, ale również kolejne jej pochodne <math>g^{(k)}</math> dla <math>k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math>a</math>. Wobec tego, że <math>g'(a)=0</math> i <math>g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu <math>\xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje się druga pochodna funkcji <math>g</math>, tj. <math>g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math>g^{(k)}</math>, <math>k=1,2,\dots, n</math> na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów <math>\xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math>g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>. Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów <math>\xi_{n+1}</math> jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia.
Zauważmy, że <math>g(a)=0</math> i z określenia stałej <math>M</math> mamy również: <math>g(b)=0</math>. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje <math>\xi_1\in (a,b)</math> taki, że <math>g'(\xi_1)=0</math>. Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja <math>g</math>, ale również kolejne jej pochodne <math>g^{(k)}</math> dla <math>k=1,2,\dots, n</math> zerują się w punkcie <math>a</math>. Wobec tego, że <math>g'(a)=0</math> i <math>g'(\xi_1)=0</math>, z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu <math>\xi_2\in (a, \xi_1)</math>, w którym zeruje się druga pochodna funkcji <math>g</math>, tj. <math>g''(\xi_2)=0</math>. Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych <math>g^{(k)}</math>, <math>k=1,2,\dots, n</math> na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów <math>\xi_{k+1}\in (a, \xi_k )</math> takich, że <math>g^{(k+1)}(\xi_{k+1})=0</math>. Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów <math>\xi_{n+1}</math> jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia.
Zauważmy, że pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>g</math> wynosi
Zauważmy, że pochodna rzędu <math>n+1</math> funkcji <math>g</math> wynosi
Linia 276: Linia 276:
<center>
<center>
<math>
<math>
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}.
R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\theta h)}{(n+1)!}h^{n+1}</math>
</math>
</center>
</center>


Linia 290: Linia 289:
<center>
<center>
<math>w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1}</math> &nbsp;
<math>w(h)=w(0)+w'(0)h+\frac{w''(0)}{2!}h^2 +\dots +\frac{w^{(n)}(0)}{n!}h^n +R_{n+1}</math> &nbsp;
przy czym &nbsp; <math>R_{n+1}=0.
przy czym &nbsp; <math>R_{n+1}=0</math>
</math>
</center> }}</span>
</center> }}</span>


Linia 421: Linia 419:
ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math>w_n</math> taki, że
ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów <math>w_n</math> taki, że
<center>
<center>
<math> \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0.  
<math>\lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0.  
</math>
</math>
</center>}}
</center>}}
Linia 439: Linia 437:
<center>
<center>
<math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
<math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}.
f\big(\frac{k}{n}\big)\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}</math>
</math>
</center>}}
</center>}}


Linia 450: Linia 447:
<center>
<center>
<math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
<math>B_n f(t)=\sum_{k=0}^n
1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.
1 \cdot \binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1</math>
</math>
</center>  
</center>  
Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math> jest wielomianem stopnia nie wyższego niż <math>n</math>. Można wykazać, że jeśli <math>w</math> jest wielomianem stopnia nie wyższego niż <math>n</math>, to <math>B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej liczby <math>t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność  mają również
Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu <math>n</math> jest wielomianem stopnia nie wyższego niż <math>n</math>. Można wykazać, że jeśli <math>w</math> jest wielomianem stopnia nie wyższego niż <math>n</math>, to <math>B_n w(t)=w(t)</math> dla dowolnej liczby <math>t</math>. Przypomnijmy, że analogiczną własność  mają również

Aktualna wersja na dzień 07:54, 24 lip 2024

Wzór Taylora. Ekstrema

Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy Ck. Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy C2. Pokazujemy, jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy Cn+1, n1. Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

Pochodne wyższych rzędów

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym (a,b). Rozważmy funkcję pochodną

f:(a,b)xf(x).

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0(a,b), to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

limh0f(x0+h)f(x0)h,
to mówimy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f(x0) lub d2fdx2(x0) albo d2dx2f(x0), bądź też f(2)(x0).

Przykład 10.2.

Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości v:

d2dt2x(t)=ddt(ddtx(t))=ddtv(t),

gdzie tx(t) oznacza położenie punktu materialnego w chwili t.

Definicję pochodnej rzędu n możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych n=1,2,3,. Często - aby uprościć wypowiedzi twierdzeń - terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji f będziemy nazywać samą funkcję f. Symbol pochodnej rzędu zerowego f(0) będzie oznaczać funkcję f.

Niech f:(a,b) będzie funkcją n1 krotnie różniczkowalną, n>0.

Definicja 10.3.

Jeśli pochodna f(n1) rzędu n1 funkcji f jest różniczkowalna w punkcie x0(a,b), to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
limh0f(n1)(x0+h)f(n1)(x0)h,

to mówimy, że funkcja jest n krotnie różniczkowalna w punkcie x0, a granicę tę nazywamy pochodną rzędu n (lub krótko: n-tą pochodną) funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f(n)(x0) lub dnfdxn(x0), bądź dndxnf(x0).

Jeśli n=3,4,, na oznaczenie pochodnej rzędu n funkcji f w punkcie x0 używamy raczej symboli:

f(3)(x0), f(4)(x0),,

albo

d3dx3f(x0), d4dx4f(x0),

niż

f(x0),f(x0),

.

Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu n.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Twierdzenie 10.4. [wzór Leibniza]

Niech f,g: będą funkcjami n krotnie różniczkowalnymi, n1. Zachodzi równość

(fg)(n)=k=0n(nk)f(nk)g(k)

Dowód 10.4.

Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla n=1 mamy bowiem (fg)=(10)fg+(11)fg=fg+fg. Następnie, korzystając z równości (nk)+(nk+1)=(n+1k+1), pokazujemy, że dla dowolnej liczby m1,2,,n1 zachodzi implikacja

[(fg)(m)=k=0m(mk)f(mk)g(k)][(fg)(m+1)=k=0m+1(m+1k)f(mk+1)g(k)]

Niech k=0,1,2, będzie liczbą całkowitą nieujemną.

Definicja 10.5.

Mówimy, że funkcja f:(a,b) jest klasy Ck w przedziale (a,b), jeśli jest k krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b) i pochodna (a,b)xf(k)(x) rzędu k funkcji f jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby k{0,1,2,3,} funkcja f jest klasy Ck w przedziale (a,b), to mówimy, że jest klasy C w tym przedziale.

Przykład 10.6.

Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza exp są przykładami funkcji klasy C w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego f(x)=k=0ak(xx0)k jest klasy C w

przedziale otwartym (x0R,x0+R), gdzie R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Przykład 10.7.

Funkcja f0(x)=|x| jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale (a,b), do którego należy zero, tj. gdy a<0<b. Jest więc klasy C0 i nie jest klasy C1 w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału (a,b), czyli gdy a<b<0 lub 0<a<b, to restrykcja f(x)=|x| do przedziału (a,b) jest wielomianem, czyli funkcją klasy C.

<flash>file=am1m10.0010.swf|width=375|height=360</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.8.

<flash>file=am1m10.0020.swf|width=375|height=360</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.8.
Plik:Am1m10.0030.mp4
Rysunek do przykładu 10.8.

Przykład 10.8.

Funkcja


f1(x)={12x2, dla x<012x2, dla x0.

jest różniczkowalna i jej pochodna f(x)=|x|. Stąd jeśli a<0<b, to f1 jest klasy C1 w przedziale (a,b), ale nie jest klasy C2.

Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja


f2(x)={16x3, dla x<016x3, dla x0.


ma pierwszą pochodną równą f2(x)=f1(x), a jej drugą pochodną jest f2(x)=f0(x)=|x|. Funkcja f2 jest więc klasy C2, ale nie jest klasy C3 w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie

fn(x)=cn|x|n+1sgnx={cnxn+1, dla x<0cnxn+1, dla x0.
(gdzie cn=1(n+1)!, bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy Cn i nie jest klasy Cn+1 w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero.

Wzór Taylora

Niech w(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+an1xn1+anxn będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu k=0,1,2,3,,n,n+1, w punkcie x=0 wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:

w(0)=a0w(0)=a1, gdyż w(x)=0+a1+2a2x+3a3x2++(n1)an1xn2+nanxn1w(0)=2a2, gdyż w(x)=0+0+2a2+32a3x++(n1)(n2)an1xn3+n(n1)anxn2w(3)(0)=32a3, gdyż w(3)(x)=0+0+0+32a3++(n1)(n2)(n3)an1xn4+n(n1)(n2)anxn3w(n1)(0)=(n1)!an1, gdyż w(n1)(x)=0+0+0+0++(n1)!an1+n!anxw(n)(0)=n!an, gdyż w(n)(x)=0+0+0+0++0+n!anw(n+1)(0)=0, gdyż w(n+1)(x)=0+0+0+0++0+0 dla dowolnej liczby x.

Każda następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu w jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie x.

Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:

Twierdzenie 10.9.

Niech f:(α,β) będzie funkcją n+1 krotnie różniczkowalną w przedziale (α,β). Wówczas dla dowolnych punktów a, b takich, że α<a<b<β istnieje punkt ξn+1(a,b) taki, że

f(b)=Tanf(b)+1(n+1)!f(n+1)(ξn+1)(ba)n+1,

gdzie

Tanf(b)=f(a)+f(a)(ba)+f(a)2!(ba)2++f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(a)n!(ba)n.

Definicja 10.10.

Wielomian
Tanf:xTanf(x)=k=0nf(k)(a)k!(xa)k=f(a)+f(a)(xa)+f(a)2!(xa)2++f(n1)(a)(n1)!(xa)n1+f(n)(a)n!(xa)n

nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f o środku w punkcie a.

Nim wykażemy twierdzenie Taylora, zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu n+1 funkcji f w przedziale (α,β) wynika, że funkcja f i wszystkie jej pochodne f,f, f(3),,f(n1),f(n) aż do rzędu n włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.

Zauważmy też, że w przypadku n=1 twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:

f(b)=f(a)+f(ξ1)(ba)

Dowód 10.9.

(twierdzenia Taylora) Niech M będzie stałą określoną tak, że zachodzi równość

f(b)=Tanf(b)+M(ba)n+1.

Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt ξn+1(a,b) taki, że (n+1)!M=f(n+1)(ξn+1). Rozważmy dla t[a,b] funkcję

g(t):=f(t)Tanf(t)M(ta)n+1.

Zauważmy, że g(a)=0 i z określenia stałej M mamy również: g(b)=0. Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje ξ1(a,b) taki, że g(ξ1)=0. Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja g, ale również kolejne jej pochodne g(k) dla k=1,2,,n zerują się w punkcie a. Wobec tego, że g(a)=0 i g(ξ1)=0, z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu ξ2(a,ξ1), w którym zeruje się druga pochodna funkcji g, tj. g(ξ2)=0. Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych g(k), k=1,2,,n na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów ξk+1(a,ξk) takich, że g(k+1)(ξk+1)=0. Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów ξn+1 jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu n+1 funkcji g wynosi

dn+1dtn+1g(t)=dn+1dtn+1(f(t)Tanf(t)M(ta)n+1)=f(n+1)(t)0(n+1)!M.

(Pochodna rzędu n+1 wielomianu tTanf(t) jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej n.) Stąd 0=g(n+1)(ξn+1)=f(n+1)(ξn+1)(n+1)!M.

Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.

Plik:Am1m10.0035a.mp4
Rysunek do przykładu 10.12.

Twierdzenie 10.11.

Niech f:(a,b) będzie funkcją klasy C2 w przedziale (a,b) (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej f w przedziale (a,b)). Załóżmy, że w punkcie x0(a,b) pochodna f(x0) zeruje się.

a) Jeśli f(x0)>0, to f osiąga minimum lokalne w punkcie x0.

b) Jeśli f(x0)<0, to f osiąga maksimum lokalne w punkcie x0.

Dowód 10.11.

a) Załóżmy, że f(x0)>0. Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej f danej funkcji mamy


f(x0+h)=f(x0)+f(x0)+12f(x0+θh)=f(x0)+0+12f(x0+θh),


gdzie θ jest pewną liczbą z przedziału (0,1). Stąd znak różnicy f(x+h)f(x)=12f(x0+θh) jest taki sam jak znak drugiej pochodnej f(x0+θh) w pewnym punkcie pośrednim między punktem x0 a x0+h. Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej f na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie x0 druga pochodna f jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost h, aby zarówno x0 jak i x0+h należały do przedziału, w którym f jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność f(x+θh)>0 również w punkcie pośrednim. Stąd f osiąga minimum lokalne w punkcie x0, gdyż f(x+h)f(x)0 w pewnym otoczeniu punktu x0.

Dowód implikacji b) przebiega podobnie.

Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ani o typie ekstremum w przypadku, gdy f(x0)=0 oraz f(x0)=0.


<flash>file=am1m10.0035b.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.12.

<flash>file=am1m10.0035c.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.12.


Przykład 10.12.

Rozważmy funkcje f1(x)=x4, f2(x)=x4, f3(x)=x3. Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie x0=0 zerują się, podczas gdy f1 osiąga maksimum w tym punkcie, a f2 minimum. Natomiast funkcja f3 w ogóle nie osiąga ekstremum w punkcie x0=0.
Uwaga 10.13.

Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:

f(b)=Tanf(b)+f(n+1)(ξn+1)(n+1)!(ba)n+1=k=0nf(k)(a)k!(ba)k+f(n+1)(ξn+1)(n+1)!(ba)n+1
nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a
Rn+1=f(n+1)(ξn+1)(n+1)!(ba)n+1.
Jeśli oznaczymy przyrost argument funkcji przez h:=ba, to wzór ten przyjmie postać
f(a+h)=Tanf(a+h)+f(n+1)(a+θh)(n+1)!hn+1=k=0nf(k)(a)k!hk+f(n+1)(a+θh)(n+1)!hn+1

dla pewnej liczby θ(0,1) dobranej tak, aby a+θh=ξn+1. Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą Cauchy'ego

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię
Colin Maclaurin (1698-1746)
Zobacz biografię
Rn+1=f(n+1)(a+θh)(n+1)!hn+1.
W szczególnym przypadku, gdy a=0 otrzymamy wzór

f(h)=T0nf(h)+f(n+1)(θh)(n+1)!hn+1=k=0nf(k)(0)k!hk+f(n+1)(θh)(n+1)!hn+1,

który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą

Rn+1=f(n+1)(θh)(n+1)!hn+1

Uwaga 10.14.

Jeśli w jest wielomianem stopnia k, to dla dowolnej liczby nk wielomian Taylora rzędu n o środku w punkcie a=0 jest dokładnie równy wielomianowi w, to znaczy

w(h)=w(0)+w(0)h+w(0)2!h2++w(n)(0)n!hn+Rn+1   przy czym   Rn+1=0

Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji f za pomocą wielomianu Taylora Tanf tak, aby reszta Rn+1 była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie n, czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji f.

Odpowiedź na pytanie uzyskamy, stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.

Twierdzenie 10.15.

Niech f:(α,β) będzie funkcją n+1 krotnie różniczkowalną i niech α<a<b<β. Jeśli




M:=sup{|f(n+1)(t)|,t[a,b]}<




(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu (n+1) funkcji f jest ograniczona przez stałą M, która nie zależy od wyboru punktu t z przedziału [a,b]), to dla dowolnej liczby h takiej, że 0hba, zachodzi oszacowanie:

|f(a+h)k=0nf(k)(a)k!hk|M(n+1)!hn+1.

Dowód 10.15.

Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego), otrzymamy:

|f(a+h)k=0nf(k)(a)k!hk|=|f(n+1)(a+θh)(n+1)!hn+1|hn+1(n+1)!sup{|f(n+1)(a+θh)|,0<θh<ba}Mhn+1(n+1)!.

Wniosek 10.16.

Jeśli pochodna rzędu n+1 funkcji f jest ograniczona w przedziale (α,β), to dla dowolnych punktów a oraz a+h z tego przedziału mamy oszacowanie


|f(a+h)k=0nf(k)(a)k!hk|M(n+1)!|h|n+1,


gdzie M:=sup{|f(n+1)(t)|,α<t<β}.

Dowód 10.16.

Jeśli h>0, wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli h<0, należy powtórzyć poprzednie rozumowanie

w przedziale [a+h,a].

<flash>file=am1m10.0050.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.18.

<flash>file=am1m10.0040.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do przykładu 10.17.

Przykład 10.17.

Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste

sinh=hh33!+h55!++(1)nh2n+1(2n+1)!+R2n+2,

gdzie

|R2n+2|=|sin(2n+2)(θh)h(2n+2)(2n+2)!||h|(2n+2)(2n+2)!,

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość sinh z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć sin12 z dokładnością do 106, wystarczy wskazać taką liczbę n, aby zachodziła nierówność |R2n+2|<106, czyli 122n+2(2n+2)!<106. Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:

|sin12(121233!)|146080,

natomiast

|sin12(121233!+1255!)|110321920,

a więc suma 12148+13840 różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od sin12.


Przykład 10.18.

Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus

cosh=1h22+h44!++(1)nh2n(2n)!+R2n+1

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest ograniczona z góry przez 1, więc

|R2n+1|=|cos(2n+1)(θh)h(2n+1)(2n+1)!||h|(2n+1)(2n+1)!.

Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami

Plik:Am1m10.0060.mp4
Rysunek do przykładu 10.19.

Powstaje naturalne pytanie, czy reszta Rn+1 we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja f jest klasy C w przedziale zawierającym punkt 0? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.


Przykład 10.19.

Funkcja


f(x)={0 dla x0exp(1x) dla x>0


jest różniczkowalna w każdym punkcie x. W szczególności zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.


k=0,1,2,3, :f(k)(0)=0,


(fakt ten wykażemy w kolejnym module), czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: f(h)=T0n(h)+Rn+1=0+Rn+1. Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby h>0 funkcja f przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta Rn+1 nie stanowi ciągu zbieżnego do zera.

Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż - jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie - istnieją funkcje klasy C (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora Tanf.

Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 10.20. [twierdzenie Weierstrassa]

Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli f:[a,b] jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów wn taki, że

limnsup{|f(t)wn(t)|,atb}=0.

Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale [0,1].

Plik:Am1m10.0070.mp4
Wielomian Bersteina

Definicja 10.21.

Niech f:[0,1] będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n=0,1,2, definiujemy wielomian Bernsteina rzędu n funkcji f wzorem

Bnf(t)=k=0nf(kn)(nk)tk(1t)nk

Uwaga 10.22.

Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję f(x)=1, stałą w przedziale [0,1]. Wówczas na mocy wzoru Newtona

Bnf(t)=k=0n1(nk)tk(1t)nk=(t+1t)n=1

Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu n jest wielomianem stopnia nie wyższego niż n. Można wykazać, że jeśli w jest wielomianem stopnia nie wyższego niż n, to Bnw(t)=w(t) dla dowolnej liczby t. Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga 10.14.).

Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje

Twierdzenie 10.23. [twierdzenie Bernsteina]

Jeśli f:[0,1] jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do f jednostajnie na przedziale [0,1], to znaczy

limnsup{|f(t)Bn(t)|,0t1}=0.

Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy C0, tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.