MO Moduł 10

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Widać, że jednoczesna maksymalizacja obu kryteriów na zbiorze dopuszczalnym nie jest możliwa. Po dojściu do „północno-wschodniej” granicy zbioru powiększenie jednego kryterium, powoduje zmniejszenie drugiego kryterium.

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Ponieważ zbiór Pareto w przestrzeni kryteriów w zadaniu decyzyjnym pana X jest następujący $\mathit{P}=\{(q_1,q_2)\in [60,140]\times [14,46]|q_2=70-\frac{2}{5}{q}_1\}$, to podejście utylitarianistyczne oparte na maksymalizacji sumy $(q_1,q_2)\mapsto u(q_1,q_2)=q_1+q_2$ jako rozwiązanie da $(q_1^{\mathrm{B}},q_2^{\mathrm{B}})=(140,14)$ oraz decyzję $(x_1^{\mathrm{B}},x_2^{\mathrm{B}})=(14,0)$ – tylko pracować. (Dobrze jest wykonać stosowny rysunek.)

---

Przypisanie wag poszczególnym kryteriom oznacza posłużenie się funkcją $(q_1,q_2)\mapsto u_{\beta }(q_1,q_2)=q_1+\beta q_2$, gdzie współczynnik $\beta$ można interpretować jako cenę jednostki zadowolenia. Zauważmy, że dla $\beta =\frac{5}{2}$, każdy punkt ze zbioru Pareto daje tą samą wartość funkcji ${\mathit{u}}_{\mathit{\beta }}$. Dla $\beta <\frac{5}{2}$ rozwiązaniem będzie $(q_1^{\beta },q_2^{\beta })=(140,14)$ i $(x_1^{\beta },x_2^{\beta })=(14,0)$ – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu i nieujemności wariantów. Dla $\beta >\frac{5}{2}$ jako rozwiązanie otrzymamy $(q_1^{\beta },q_2^{\beta })=(60,46)$ oraz $(x_1^{\beta },x_2^{\beta })=(6,8)$ – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu oraz przyjętej maksymalnej liczby godzin przeznaczonych na czytanie. (Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)

---

---

Podejście oparte na zasadzie sprawiedliwości jako rozwiązanie da $(q_1^{\mathrm{R}},q_2^{\mathrm{R}})=(60,46)$ oraz jako wybrany wariant $(x_1^{\mathrm{R}},x_2^{\mathrm{R}})=(6,8)$. Nie zawsze prosta o nachyleniu 45° przecina zbiór Pareto !

---

---

---

Punkt idealny dla pana X to $(q_1^{\mathrm{U}},q_2^{\mathrm{U}})=(140,46)$, punkt nadiru $(q_1^{\mathrm{N}},q_2^{\mathrm{N}})=(50,5)$. Dla metryki euklidesowej najbliższym punktu idealnego w zbiorze Pareto jest punkt $(q_1,q_2)=(128.9655,18.4138)$ czyli wybranymi wariantami powinna być para $(x_1,x_2)=(12.8966,1.1034)$. Oczywiście pan X zaokragli ten wynik i przy takim sposobie wyboru decyzji bedzie pracował przez 13 godzin a tylko godzinę czytał, co da mu 130 zł i 18 jednostek zadowolenia. Dla tej samej metryki, punktem najdalej położonym w stosunku do nadiru jest punkt $(q_1,q_2)=(140,14)$ określony przez warianty $(x_1,x_2)=(14,0)$ (tylko pracować). (Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)

---

---

---