Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,” |
m Zastępowanie tekstu – „,↵</math>” na „</math>,” |
||
(Nie pokazano 3 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
==={{kotwica|zad 4.1|Zadanie 4.1}}=== | ==={{kotwica|zad 4.1|Zadanie 4.1}}=== | ||
Dane jest odwzorowanie <math> f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </math>. | Dane jest odwzorowanie <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. | ||
Wykazać, że <math>f</math> jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy | Wykazać, że <math>f</math> jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy | ||
istnieją takie liczby rzeczywiste <math>a_1, a_2,\ldots, a_n</math>, że dla | istnieją takie liczby rzeczywiste <math>a_1, a_2,\ldots, a_n</math>, że dla | ||
Linia 43: | Linia 43: | ||
<center><math>a_i=f(e_i) | <center><math>a_i=f(e_i)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 56: | Linia 55: | ||
<center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n) | <center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 64: | Linia 62: | ||
<center><math>x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n)=a_1x_1+\ldots+a_nx_n | <center><math>x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n)=a_1x_1+\ldots+a_nx_n</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 117: | Linia 114: | ||
Wykazać, że <math>\Phi=(\varphi \, \psi )</math> jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\varphi</math> i <math>\psi</math> są odwzorowaniami liniowymi. | Wykazać, że <math>\Phi=(\varphi \, \psi )</math> jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\varphi</math> i <math>\psi</math> są odwzorowaniami liniowymi. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dla dowodu jednej z implikacji zauważyć, że zachodzą równości: <math>\varphi = p_V \circ \Phi</math>, oraz <math> \psi = p_W \circ \Phi </math>, gdzie <math>p_V</math> oraz <math>p_W</math> są rzutowaniami zdefiniowanymi w zadaniu [[#zad_4.2|4.2]]. Dla dowodu drugiej z implikacji skorzystać z definicji działań w przestrzeni <math>V\times W</math>. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Dla dowodu jednej z implikacji zauważyć, że zachodzą równości: <math>\varphi = p_V \circ \Phi</math>, oraz <math>\psi = p_W \circ \Phi</math>, gdzie <math>p_V</math> oraz <math>p_W</math> są rzutowaniami zdefiniowanymi w zadaniu [[#zad_4.2|4.2]]. Dla dowodu drugiej z implikacji skorzystać z definicji działań w przestrzeni <math>V\times W</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Załóżmy, że <math>\Phi= (\varphi , \psi )</math> jest odwzorowaniem liniowym, Zauważmy, że <math> \varphi =p_V \circ \Phi </math>, <math>\psi =p_W \circ \Phi</math>, gdzie <math>p_V</math> oraz <math>p_W</math> oznaczają rzutowania | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Załóżmy, że <math>\Phi= (\varphi , \psi )</math> jest odwzorowaniem liniowym, Zauważmy, że <math>\varphi =p_V \circ \Phi</math>, <math>\psi =p_W \circ \Phi</math>, gdzie <math>p_V</math> oraz <math>p_W</math> oznaczają rzutowania | ||
Linia 148: | Linia 145: | ||
<center><math>f \colon \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 + 3x_2 + x_3, 2 x_1 + | <center><math>f \colon \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 + 3x_2 + x_3, 2 x_1 + | ||
3x_2 - x_3 ) \in \mathbb{R} ^2 | 3x_2 - x_3 ) \in \mathbb{R} ^2 </math></center> | ||
</math></center> | |||
Wykazać, że odwzorowanie <math>f</math> jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę | Wykazać, że odwzorowanie <math>f</math> jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę | ||
podprzestrzeni <math> ker f</math>. Wyznaczyć <math> rk f</math> oraz <math> \dim ker f</math>. | podprzestrzeni <math>ker f</math>. Wyznaczyć <math>rk f</math> oraz <math>\dim ker f</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Podobnie jak w rozwiązaniu zadania [[#zad_4.1|4.1]] można przeprowadzić bezpośredni dowód liniowości odwzorowania <math>f</math>. Można także skorzystać z zadań [[#zad_4.1|4.1]] i [[#zad_4.3|4.3]]. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Podobnie jak w rozwiązaniu zadania [[#zad_4.1|4.1]] można przeprowadzić bezpośredni dowód liniowości odwzorowania <math>f</math>. Można także skorzystać z zadań [[#zad_4.1|4.1]] i [[#zad_4.3|4.3]]. | ||
Linia 160: | Linia 156: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(0,0) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(0,0)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 172: | Linia 167: | ||
2 x_1& + &3x_2& - &x_3&=0 | 2 x_1& + &3x_2& - &x_3&=0 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right | \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
Bazę podprzestrzeni <math>ker f</math> otrzymamy biorąc dowolny maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów | Bazę podprzestrzeni <math>ker f</math> otrzymamy biorąc dowolny maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów | ||
należących do <math>ker f</math>. | należących do <math>ker f</math>. | ||
Znając bazę przestrzeni <math> ker f</math> automatycznie znamy <math>\dim ker f</math>, | Znając bazę przestrzeni <math>ker f</math> automatycznie znamy <math>\dim ker f</math>, | ||
co pozwala wyznaczyć <math>rk f</math> ze wzoru: | co pozwala wyznaczyć <math>rk f</math> ze wzoru: | ||
<center><math>\dim ker f + rk f =\dim\mathbb{R}^3 | <center><math>\dim ker f + rk f =\dim\mathbb{R}^3</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 202: | Linia 195: | ||
<center><math>\left\{ \begin{array} {l} x_1 + 3x_2 + x_3=0\\ | <center><math>\left\{ \begin{array} {l} x_1 + 3x_2 + x_3=0\\ | ||
2 x_1 + 3x_2 - x_3=0 \end{array} \right | 2 x_1 + 3x_2 - x_3=0 \end{array} \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 217: | Linia 209: | ||
x_2 & + & x_3 & =0. | x_2 & + & x_3 & =0. | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right | \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 244: | Linia 235: | ||
<center><math>ker f =\{ \alpha(2,-1,1):\alpha\in\mathbb{R} \} | <center><math>ker f =\{ \alpha(2,-1,1):\alpha\in\mathbb{R} \}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 251: | Linia 241: | ||
<center><math>ker f = lin\{(2,-1,1)\} | <center><math>ker f = lin\{(2,-1,1)\}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 265: | Linia 254: | ||
<center><math> rk f = \dim \mathbb{R}^3 - \dim ker f =3-1=2</math>.</center> | <center><math>rk f = \dim \mathbb{R}^3 - \dim ker f =3-1=2</math>.</center> | ||
Linia 271: | Linia 260: | ||
==={{kotwica|zad 4.5|Zadanie 4.5}}=== | ==={{kotwica|zad 4.5|Zadanie 4.5}}=== | ||
Wyznaczyć odwzorowanie liniowe <math> f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, żeby | Wyznaczyć odwzorowanie liniowe <math>f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, żeby | ||
Linia 282: | Linia 271: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, | ||
a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3) | a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 301: | Linia 289: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | ||
a_{23}x_3) | a_{23}x_3)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 329: | Linia 316: | ||
&&a_{22}&+&a_{23}&=5 | &&a_{22}&+&a_{23}&=5 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right. | \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 370: | Linia 356: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2-x_3,x_1+2x_2+3x_3) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2-x_3,x_1+2x_2+3x_3)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 378: | Linia 363: | ||
==={{kotwica|zad 4.6|Zadanie 4.6}}=== | ==={{kotwica|zad 4.6|Zadanie 4.6}}=== | ||
Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe | Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe | ||
;a) <math> f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ;a) <math>f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ||
<center><math>\begin{align} f((1,0,1)) &= (4,-1),& f((0,1,1)) &= (-1,0),& f((1,1,-1)) &= (0,2). | <center><math>\begin{align} f((1,0,1)) &= (4,-1),& f((0,1,1)) &= (-1,0),& f((1,1,-1)) &= (0,2). | ||
\end{align}</math></center> | \end{align}</math></center> | ||
;b) <math> f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ;b) <math>f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ||
<center><math>\begin{align} f((1,1,1)) &= (1,0)&, f((0,1,2)) &= (0,-1),& f((1,2,3)) &= (2,2). | <center><math>\begin{align} f((1,1,1)) &= (1,0)&, f((0,1,2)) &= (0,-1),& f((1,2,3)) &= (2,2). | ||
\end{align}</math></center> | \end{align}</math></center> | ||
;c) <math> f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ;c) <math>f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, że | ||
<center><math>\begin{align} f((1,2,0)) &= (2,-1),& f((2,0,-1)) &= (5,1),& f((-1,2,1)) &= | <center><math>\begin{align} f((1,2,0)) &= (2,-1),& f((2,0,-1)) &= (5,1),& f((-1,2,1)) &= | ||
Linia 429: | Linia 414: | ||
a_{21}&+&a_{22}&-&a_{23}&= 2 | a_{21}&+&a_{22}&-&a_{23}&= 2 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right. | \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 463: | Linia 447: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(3x_1-2x_2+x_3,x_2-x_3) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(3x_1-2x_2+x_3,x_2-x_3)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 470: | Linia 453: | ||
<center><math>(0,1,2)+(1,1,1)=(1,2,3) | <center><math>(0,1,2)+(1,1,1)=(1,2,3)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 478: | Linia 460: | ||
<center><math>f((0,1,2)) + f((1,1,1)) = (0,-1)+(1,0) =(1,-1)\neq (2,2) | <center><math>f((0,1,2)) + f((1,1,1)) = (0,-1)+(1,0) =(1,-1)\neq (2,2) | ||
=f((1,2,3)) | =f((1,2,3))</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 486: | Linia 467: | ||
<center><math>(1,2,0)-(2,0,-1)=(-1,2,1) | <center><math>(1,2,0)-(2,0,-1)=(-1,2,1)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 493: | Linia 473: | ||
<center><math>f((1,2,0)) - f((2,0,-1)) = (2,-1)-(5,1) =(-3,-2)=f((-1,2,1)) | <center><math>f((1,2,0)) - f((2,0,-1)) = (2,-1)-(5,1) =(-3,-2)=f((-1,2,1))</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 516: | Linia 495: | ||
&&&&a_{{23}}&=0 | &&&&a_{{23}}&=0 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right | \right</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 531: | Linia 509: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{5}{2}x_1-\frac{1}{4}x_2,\frac{1}{2}x_1-\frac{3}{4}x_2) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{5}{2}x_1-\frac{1}{4}x_2,\frac{1}{2}x_1-\frac{3}{4}x_2)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 538: | Linia 515: | ||
==={{kotwica|zad 4.7|Zadanie 4.7}}=== | ==={{kotwica|zad 4.7|Zadanie 4.7}}=== | ||
Znaleźć endomorfizm <math> f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 </math> taki, żeby | Znaleźć endomorfizm <math>f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> taki, żeby | ||
Linia 559: | Linia 536: | ||
<center><math>f(x_1,x_2)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2) | <center><math>f(x_1,x_2)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 572: | Linia 548: | ||
<center><math>f(-1,-2)=(-a_{11}-2a_{12},-a_{21}-2a_{22})=(2,3) | <center><math>f(-1,-2)=(-a_{11}-2a_{12},-a_{21}-2a_{22})=(2,3)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 604: | Linia 579: | ||
<center><math>f(x_1,x_2)=(6x_1-4x_2,9x_1 -6x_2) | <center><math>f(x_1,x_2)=(6x_1-4x_2,9x_1 -6x_2)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 621: | Linia 595: | ||
<center><math>ker f = \{ (t,t,t) : t \in \mathbb{R} \} | <center><math>ker f = \{ (t,t,t) : t \in \mathbb{R} \}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 632: | Linia 605: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | ||
a_{23}x_3) | a_{23}x_3)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 686: | Linia 658: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3-4x_1,x_2-x_3) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3-4x_1,x_2-x_3)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 702: | Linia 673: | ||
będą dwoma wektorami przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> i niech <math>U</math> oznacza | będą dwoma wektorami przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> i niech <math>U</math> oznacza | ||
podprzestrzeń generowaną przez wektory <math>u_1</math> oraz <math>u_2</math>. Niech | podprzestrzeń generowaną przez wektory <math>u_1</math> oraz <math>u_2</math>. Niech | ||
ponadto <math>g\colon \mathbb{R}^2 \ni (s,t) \to 3s-t \in \mathbb{R} </math>. Znaleźć | ponadto <math>g\colon \mathbb{R}^2 \ni (s,t) \to 3s-t \in \mathbb{R}</math>. Znaleźć | ||
odwzorowanie liniowe <math>f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 </math> takie, żeby <math>ker f | odwzorowanie liniowe <math>f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> takie, żeby <math>ker f | ||
= U </math> oraz <math> g \circ f = 0</math>. | = U</math> oraz <math>g \circ f = 0</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Jeżeli znajdziemy wektor <math>v\in\mathbb{R}^3</math> taki, że wektory <math>u_1</math>, <math>u_2</math> oraz <math>v</math> będą tworzyły bazę przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>, to w celu wyznaczenia <math>f</math> możemy zadać wartości szukanego odwzorowania na tej bazie tak, żeby zerowało się na wektorach <math>u_1</math> i <math>u_2</math>, a równocześnie żeby <math> Im f \subset ker g</math>. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Jeżeli znajdziemy wektor <math>v\in\mathbb{R}^3</math> taki, że wektory <math>u_1</math>, <math>u_2</math> oraz <math>v</math> będą tworzyły bazę przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>, to w celu wyznaczenia <math>f</math> możemy zadać wartości szukanego odwzorowania na tej bazie tak, żeby zerowało się na wektorach <math>u_1</math> i <math>u_2</math>, a równocześnie żeby <math>Im f \subset ker g</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 713: | Linia 684: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ | ||
a_{23}x_3) | a_{23}x_3)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
gdzie <math>a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}</math>. | gdzie <math>a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}</math>. | ||
Zauważmy, że wektory <math>u_1</math> oraz <math>u_2</math> są liniowo niezależne w przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> oraz uzupełniając układ złożony z wektorów <math>u_1</math> i <math>u_2</math> o wektor <math>u_3=(0,0,1)</math> otrzymujemy bazę przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>. Szukane odwzorowanie <math>f</math> zdefiniujemy podając jakie wartości ma ono przyjmować na bazie złożonej z wektorów <math>u_1</math>, <math>u_2</math> oraz <math>u_3</math>. Z warunku <math>ker f = U </math> wynika natychmiast, że muszą zachodzi równości: | Zauważmy, że wektory <math>u_1</math> oraz <math>u_2</math> są liniowo niezależne w przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> oraz uzupełniając układ złożony z wektorów <math>u_1</math> i <math>u_2</math> o wektor <math>u_3=(0,0,1)</math> otrzymujemy bazę przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>. Szukane odwzorowanie <math>f</math> zdefiniujemy podając jakie wartości ma ono przyjmować na bazie złożonej z wektorów <math>u_1</math>, <math>u_2</math> oraz <math>u_3</math>. Z warunku <math>ker f = U</math> wynika natychmiast, że muszą zachodzi równości: | ||
Linia 726: | Linia 696: | ||
Aby dodatkowo był spełniony warunek <math> g \circ f = 0</math> musi zachodzić | Aby dodatkowo był spełniony warunek <math>g \circ f = 0</math> musi zachodzić | ||
Linia 759: | Linia 729: | ||
<center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(-x_1+x_2+x_3,-3x_1+3x_2+3x_3) | <center><math>f(x_1,x_2,x_3)=(-x_1+x_2+x_3,-3x_1+3x_2+3x_3)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 775: | Linia 744: | ||
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>V \times W </math>. | jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>V \times W</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Należy skorzystać z definicji odwzorawania liniowego oraz sposobu określenia działań w przestrzeni <math>V\times W</math>. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Należy skorzystać z definicji odwzorawania liniowego oraz sposobu określenia działań w przestrzeni <math>V\times W</math>. | ||
Linia 798: | Linia 767: | ||
==={{kotwica|zad 4.11|Zadanie 4.11}}=== | ==={{kotwica|zad 4.11|Zadanie 4.11}}=== | ||
Niech <math>V</math> oraz <math>W</math> będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem <math>\mathbb{K}</math>. Niech <math>\varphi \colon V \to W </math> będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie | Niech <math>V</math> oraz <math>W</math> będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem <math>\mathbb{K}</math>. Niech <math>\varphi \colon V \to W</math> będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie | ||
odwzorowanie liniowe <math>\psi \colon W \to V </math>, że <math>\psi \circ \varphi = Id_V </math>. | odwzorowanie liniowe <math>\psi \colon W \to V</math>, że <math>\psi \circ \varphi = Id_V</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Najłatwiej będzie pracować na bazach przestrzeni <math>V</math> i <math>W</math>. Poszukując odpowiedniego odwzorowania <math>\psi</math> będziemy się starali odpowiednio podać jego wartości na wybranej przez nas bazie przestrzeni <math>W</math>. Zauważmy, że jeżeli <math>\varphi</math> jest monomorfizmem, to odwzorowanie <math>\varphi \colon V \to Im \varphi</math> jest izomorfizmem, czyli odwzorowaniem odwracalnym i odwzorowywuje bazę przestrzeni <math>V</math> na bazę podprzestrzeni <math>Im \varphi</math>. Ponieważ baza podprzestrzeni <math>Im \varphi</math> jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni <math>W</math>, zatem korzystając z tego, że <math>\dim | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Najłatwiej będzie pracować na bazach przestrzeni <math>V</math> i <math>W</math>. Poszukując odpowiedniego odwzorowania <math>\psi</math> będziemy się starali odpowiednio podać jego wartości na wybranej przez nas bazie przestrzeni <math>W</math>. Zauważmy, że jeżeli <math>\varphi</math> jest monomorfizmem, to odwzorowanie <math>\varphi \colon V \to Im \varphi</math> jest izomorfizmem, czyli odwzorowaniem odwracalnym i odwzorowywuje bazę przestrzeni <math>V</math> na bazę podprzestrzeni <math>Im \varphi</math>. Ponieważ baza podprzestrzeni <math>Im \varphi</math> jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni <math>W</math>, zatem korzystając z tego, że <math>\dim | ||
Linia 808: | Linia 777: | ||
<center><math>\dim V\le \dim W | <center><math>\dim V\le \dim W</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 836: | Linia 804: | ||
Korzystając z liniowości odwzorowań <math> \psi</math> oraz <math>\varphi</math> łatwo sprawdzić, że | Korzystając z liniowości odwzorowań <math>\psi</math> oraz <math>\varphi</math> łatwo sprawdzić, że | ||
<center><math>\psi \circ \varphi = Id_V </math>,</center> | <center><math>\psi \circ \varphi = Id_V</math>,</center> | ||
Linia 847: | Linia 815: | ||
==={{kotwica|zad 4.12|Zadanie 4.12}}=== | ==={{kotwica|zad 4.12|Zadanie 4.12}}=== | ||
Niech <math>V</math> oraz <math>W</math> będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem | Niech <math>V</math> oraz <math>W</math> będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem | ||
<math>\mathbb{K}</math>. Niech <math>\varphi \colon V \to W </math> będzie epimorfizmem. Wykazać, | <math>\mathbb{K}</math>. Niech <math>\varphi \colon V \to W</math> będzie epimorfizmem. Wykazać, | ||
że istnieje takie odwzorowanie liniowe <math>\psi \colon W \to V </math>, że <math> | że istnieje takie odwzorowanie liniowe <math>\psi \colon W \to V</math>, że <math> | ||
\varphi \circ \psi = Id_W </math>. | \varphi \circ \psi = Id_W</math>. | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Przedstawić <math>V</math> w postaci <math>( ker \varphi) \oplus U</math>, gdzie <math>U</math> jest pewną podprzestrzenią przestrzeni <math>V</math> i zauważyć, że odwozorwanie: | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Przedstawić <math>V</math> w postaci <math>( ker \varphi) \oplus U</math>, gdzie <math>U</math> jest pewną podprzestrzenią przestrzeni <math>V</math> i zauważyć, że odwozorwanie: | ||
Linia 861: | Linia 829: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Niech <math>U</math> będzie dopełnieniem algebraicznym podprzestrzeni <math> \ker \varphi</math>, tzn. niech <math>V = (\ker \varphi) \oplus U</math>. | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> Niech <math>U</math> będzie dopełnieniem algebraicznym podprzestrzeni <math>\ker \varphi</math>, tzn. niech <math>V = (\ker \varphi) \oplus U</math>. | ||
Wtedy | Wtedy | ||
Linia 875: | Linia 843: | ||
Wystarczy teraz położyć <math>\psi := \iota \circ (\varphi \vert_U)^{-1} </math>, gdzie <math>\iota \colon U \ni u \to u \in V</math>. | Wystarczy teraz położyć <math>\psi := \iota \circ (\varphi \vert_U)^{-1}</math>, gdzie <math>\iota \colon U \ni u \to u \in V</math>. | ||
</div></div> | </div></div> |
Aktualna wersja na dzień 21:46, 11 wrz 2023
Zadanie 4.1
Dane jest odwzorowanie . Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby rzeczywiste , że dla dowolnego wektora zachodzi równość
. (4.1)
Zadanie 4.2
Niech oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Wykazać, że odwzorowania
są liniowe.
Zadanie 4.3
Niech , oraz będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech dane bedą odwzorowania
Definiujemy odwzorowanie
Wykazać, że jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy i są odwzorowaniami liniowymi.
Zadanie 4.4
Niech
Wykazać, że odwzorowanie jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę
podprzestrzeni . Wyznaczyć oraz .
Zadanie 4.5
Wyznaczyć odwzorowanie liniowe takie, żeby
Zadanie 4.6
Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe
- a) takie, że
- b) takie, że
- c) takie, że
Odpowiedź uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczyć
chociaż jedno takie odwzorowanie.
Zadanie 4.7
Znaleźć endomorfizm taki, żeby
Zadanie 4.8
Znaleźć odwzorowanie liniowe takie, żeby
oraz
Zadanie 4.9
Niech
będą dwoma wektorami przestrzeni i niech oznacza
podprzestrzeń generowaną przez wektory oraz . Niech
ponadto . Znaleźć
odwzorowanie liniowe takie, żeby oraz .
Zadanie 4.10
Niech i będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem i niech będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni .
Zadanie 4.11
Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Niech będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe , że .
Zadanie 4.12
Niech oraz będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem . Niech będzie epimorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe , że .