Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 11: Wnioskowanie statystyczne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle” na „”
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 2 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
<quiz> Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie dwupunktowym <math>(0,1,p)</math>: <center><math>S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}{n}\bar{X} \;\; </math> oraz <math> \;\;
<quiz> Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie dwupunktowym <math>(0,1,p)</math>: <center><math>S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}{n}\bar{X} \;\;</math> oraz <math>\;\;
T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.</math></center>
T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}</math>.</center>
Wówczas:
Wówczas:


Linia 12: Linia 12:
<quiz>Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru <math>\alpha</math> w
<quiz>Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru <math>\alpha</math> w
rozkładzie jednostajnym na odcinku <math>(0,\alpha)</math>:
rozkładzie jednostajnym na odcinku <math>(0,\alpha)</math>:
<center><math>T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}.</math></center>
<center><math>T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</center>


<wrongoption><math>T</math> jest obciążony.</wrongoption>
<wrongoption><math>T</math> jest obciążony.</wrongoption>
Linia 35: Linia 35:
<rightoption><math>S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\longrightarrow}\theta</math> (symbol
<rightoption><math>S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\longrightarrow}\theta</math> (symbol
<math>\stackrel{s}{\longrightarrow}</math> został wprowadzony w uwadze 7.25).</rightoption>
<math>\stackrel{s}{\longrightarrow}</math> został wprowadzony w uwadze 7.25).</rightoption>
<wrongoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}{n} = \theta\right\}\right) =1 </math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}{n} = \theta\right\}\right) =1</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1 </math>.</rightoption>
<rightoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1 </math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 56: Linia 56:
<quiz>Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej
<quiz>Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej
"szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):
"szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):
<center><math>2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.</math></center>
<center><math>2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14</math>.</center>


Oceń prawdziwość poniższych zdań.
Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Aktualna wersja na dzień 22:17, 11 wrz 2023

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie dwupunktowym

(0,1,p)

:

S(X1,…,Xn)=n+1nX¯ oraz T(X1,…,Xn)=X1+Xn2.

Wówczas:

S jest estymatorem zgodnym, zaś T-- asymptotycznie nieobciążonym.

S nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym.

S jest estymatorem zgodnym, zaś T-- obciążonym.

T jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym.


Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru α w rozkładzie jednostajnym na odcinku (0,α):

T(X1,…,Xn)=(n+1)min⁡{X1,…,Xn}.

T jest obciążony.

T jest asymptotycznie nieobciążony.

T jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony.

T jest nieobciążony.


Przeprowadzono n prób Bernoulliego X1,…,Xn , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu p każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru p?

Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek".

kn, gdzie k oznacza liczbę sukcesów.

n−kn, gdzie k oznacza liczbę sukcesów.

∑Xin.


Jeżeli estymator S(X1,…,Xn) jest estymatorem zgodnym parametru θ, to:

S(X1,…,Xn)⟶sθ (symbol ⟶s został wprowadzony w uwadze 7.25).

P({ω∈Ω:limn⟶∞S(X1,…,Xn)n=θ})=1.

P({ω∈Ω:limn⟶∞S(X1,…,Xn)=θ})=1.

P({ω∈Ω:limn⟶∞S(X1,…,Xn)=0})=1.


Próbka prosta:

0,2,1,2,5,0,3,4,4,2

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem λ>0. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru λ?

3.0.

2.3.

3.1.

2.4.


Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki.

Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana".

Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5.

Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to prawdopodobieństwo otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1%.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_prawdopodobieństwa_i_statystyka/Test_11:_Wnioskowanie_statystyczne&oldid=82608”