Analiza matematyczna 1/Test 3: Odległość i ciągi: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
mNie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 2 wersji utworzonych przez jednego użytkownika)
Linia 4: Linia 4:
i
i
<math>\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)</math>
<math>\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)</math>
w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math>
w <math>\mathbb{R}^2</math>
<rightoption>jest większa w metryce <math>d_1</math> niż w metryce <math>d_2</math></rightoption>
<rightoption>jest większa w metryce <math>d_1</math> niż w metryce <math>d_2</math></rightoption>
<rightoption>jest większa w metryce <math>d_2</math> niż w metryce <math>d_{\infty}</math></rightoption>
<rightoption>jest większa w metryce <math>d_2</math> niż w metryce <math>d_{\infty}</math></rightoption>
Linia 12: Linia 12:


<quiz>
<quiz>
Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq (\mathbb{R}^2,d_2)</math> dany wzorem <math>a_n=\bigg((-1)^n\frac{1}{n},(-1)^n\bigg)</math>
Ciąg <math>\{a_n\}\subseteq (\mathbb{R}^2,d_2)</math> dany wzorem <math>a_n=\bigg((-1)^n\frac{1}{n},(-1)^n\bigg)</math>
<wrongoption>jest ciągiem Cauchy'ego</wrongoption>
<wrongoption>jest ciągiem Cauchy'ego</wrongoption>
<wrongoption>jest zbieżny w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math></wrongoption>
<wrongoption>jest zbieżny w <math>\mathbb{R}^2</math></wrongoption>
<rightoption>ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego</rightoption>
<rightoption>ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego</rightoption>
</quiz>
</quiz>
Linia 20: Linia 20:


<quiz>
<quiz>
Niech <math>A</math> będzie kulą o środku w punkcie <math>(1,1)</math> i promieniu <math>1</math> w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką taksówkową <math>d_1.</math> kula ta zawiera się w kuli
Niech <math>A</math> będzie kulą o środku w punkcie <math>(1,1)</math> i promieniu <math>1</math> w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką taksówkową <math>d_1</math>. kula ta zawiera się w kuli
<wrongoption>o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce taksówkowej <math>d_1</math></wrongoption>
<wrongoption>o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce taksówkowej <math>d_1</math></wrongoption>
<wrongoption>o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce euklidesowej <math>d_2</math></wrongoption>
<wrongoption>o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce euklidesowej <math>d_2</math></wrongoption>
Linia 28: Linia 28:


<quiz>
<quiz>
Ciąg <math>\displaystyle\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25}, \frac{1}{36},\ldots</math>
Ciąg <math>\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25}, \frac{1}{36},\ldots</math>
jest podciągiem ciągu
jest podciągiem ciągu
<rightoption><math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></rightoption>
<rightoption><math>\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{n^2}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></rightoption>
<rightoption><math>\bigg\{\frac{1}{n^2}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{2n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\bigg\{\frac{1}{2n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Zbiór <math>\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg]</math> jest równy
Zbiór <math>\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg]</math> jest równy
<rightoption><math>\displaystyle\{0\}</math></rightoption>
<rightoption><math>\{0\}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle\emptyset</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\emptyset</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg)</math></rightoption>
<rightoption><math>\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg)</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle\{a_n\}</math> będzie ciągiem
Niech <math>\{a_n\}</math> będzie ciągiem
w <math>(\mathbb{R}^4,d_2)</math> takim, że
w <math>(\mathbb{R}^4,d_2)</math> takim, że
<math>a_n=\bigg((-1)^n, \frac{1}{n}, (-1)^n\frac{1}{n},(-1)^{n+1}\bigg).</math> Wtedy
<math>a_n=\bigg((-1)^n, \frac{1}{n}, (-1)^n\frac{1}{n},(-1)^{n+1}\bigg)</math>. Wtedy
<wrongoption><math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>(1,0,0,1)</math></wrongoption>
<wrongoption><math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>(1,0,0,1)</math></wrongoption>
<rightoption><math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>(-1,0,0,1)</math></rightoption>
<rightoption><math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>(-1,0,0,1)</math></rightoption>
<rightoption><math>a_n</math> jest rozbieżny</rightoption>
<rightoption><math> a_n</math> jest rozbieżny</rightoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 13:26, 22 lip 2024

Odległość punktów (22,22) i (22,22) w 2

jest większa w metryce d1 niż w metryce d2

jest większa w metryce d2 niż w metryce d

jest większa w metryce d niż w metryce d1


Ciąg {an}(2,d2) dany wzorem an=((1)n1n,(1)n)

jest ciągiem Cauchy'ego

jest zbieżny w 2

ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego


Niech A będzie kulą o środku w punkcie (1,1) i promieniu 1 w 2 z metryką taksówkową d1. kula ta zawiera się w kuli

o środku (0,0) i promieniu 2 w metryce taksówkowej d1

o środku (0,0) i promieniu 2 w metryce euklidesowej d2

o środku (0,0) i promieniu 2 w metryce maksimowej d


Ciąg 14,19,116,125,136, jest podciągiem ciągu

{1n}n

{1n2}n

{12n}n


Zbiór n=1[1n,1n] jest równy

{0}

n=1(1n,1n)


Niech {an} będzie ciągiem w (4,d2) takim, że an=((1)n,1n,(1)n1n,(1)n+1). Wtedy

an ma podciąg zbieżny do (1,0,0,1)

an ma podciąg zbieżny do (1,0,0,1)

an jest rozbieżny