Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 5: Macierze: Różnice pomiędzy wersjami
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „” |
m Zastępowanie tekstu – „,↵</math>” na „</math>,” |
||
(Nie pokazano 3 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 10: | Linia 10: | ||
1 & -1 & -1 | 1 & -1 & -1 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right] | \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 78: | Linia 77: | ||
<center><math>B^*A^*=\left[\begin{array} {rr}0&-3\\12&0\end{array} \right] | <center><math>B^*A^*=\left[\begin{array} {rr}0&-3\\12&0\end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 92: | Linia 90: | ||
c&d | c&d | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right] | \right]</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 147: | Linia 144: | ||
<center><math>BA=\left[\begin{array} {cc}1&0\\0&1\end{array} \right] | <center><math>BA=\left[\begin{array} {cc}1&0\\0&1\end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 217: | Linia 213: | ||
0&-1& 0 \\ | 0&-1& 0 \\ | ||
-1& 3&-1 | -1& 3&-1 | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math>.</center> | ||
Linia 331: | Linia 327: | ||
1& 3& 1 \\ | 1& 3& 1 \\ | ||
0&-1& 0 \\ | 0&-1& 0 \\ | ||
-1&-6&-2\end{array} \right] | -1&-6&-2\end{array} \right]</math>.</center> | ||
Linia 369: | Linia 365: | ||
0 & 1 | 0 & 1 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right] | \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 461: | Linia 456: | ||
0 & \lambda^n | 0 & \lambda^n | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right] | \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 502: | Linia 496: | ||
\left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0 | \left[ \begin{array} {cccc} 0&1&0&0\\0&0&1&0 | ||
\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array} | \\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array} | ||
\right] | \right]</math>.</center> | ||
Linia 508: | Linia 502: | ||
<center><math>V=\{M\in M(4,4;\mathbb{R}) :CM=MC\} | <center><math>V=\{M\in M(4,4;\mathbb{R}) :CM=MC\}</math></center> | ||
</math></center> | |||
;i) Sprawdzić, że <math>V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>. | ;i) Sprawdzić, że <math>V</math> jest podprzestrzenią przestrzeni <math>M(4,4;\mathbb{R})</math>. | ||
Linia 526: | Linia 519: | ||
<center><math>(\alpha A+\beta B)C=C(\alpha A+\beta B) | <center><math>(\alpha A+\beta B)C=C(\alpha A+\beta B)</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 582: | Linia 574: | ||
0&0&a&b\\ | 0&0&a&b\\ | ||
0&0&0&a | 0&0&0&a | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 589: | Linia 580: | ||
<center><math>A=aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3 | <center><math>A=aI+bJ_1+cJ_2+dJ_3</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 626: | Linia 616: | ||
<center><math>V= lin\{I,J_1,J_2,J_3\} | <center><math>V= lin\{I,J_1,J_2,J_3\}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 645: | Linia 634: | ||
0&0&0&0\\ | 0&0&0&0\\ | ||
0&0&0&0 | 0&0&0&0 | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 652: | Linia 640: | ||
<center><math>a=b=c=d=0 | <center><math>a=b=c=d=0</math>.</center> | ||
Linia 751: | Linia 739: | ||
<center><math>a_{st}=\sum_{k=1}^n z_{sk}m_{kt} | <center><math>a_{st}=\sum_{k=1}^n z_{sk}m_{kt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 759: | Linia 746: | ||
<center><math>a_{st}=z_{ss}m_{st}=m_{st} | <center><math>a_{st}=z_{ss}m_{st}=m_{st}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 770: | Linia 756: | ||
<center><math>a_{it}=\sum_{k=1}^n z_{ik}m_{kt} | <center><math>a_{it}=\sum_{k=1}^n z_{ik}m_{kt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 779: | Linia 764: | ||
<center><math>a_{it}= z_{ij}m_{jt}=m_{jt} | <center><math>a_{it}= z_{ij}m_{jt}=m_{jt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 791: | Linia 775: | ||
<center><math>b_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt} | <center><math>b_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math>s</math>-tym wierszu macierzy | Wiedząc, że jedynym niezerowym wyrazem w <math>s</math>-tym wierszu macierzy | ||
<math>D_{ij}^\lambda </math> jest stojący na przekątnej wyraz <math>d_{ss}=1</math> | <math>D_{ij}^\lambda</math> jest stojący na przekątnej wyraz <math>d_{ss}=1</math> | ||
widzimy, że | widzimy, że | ||
<center><math>b_{st}= d_{ss}m_{st}=m_{st} | <center><math>b_{st}= d_{ss}m_{st}=m_{st}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 811: | Linia 793: | ||
<center><math>b_{it}=\sum_{k=1}^n d_{ik}m_{kt} | <center><math>b_{it}=\sum_{k=1}^n d_{ik}m_{kt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 819: | Linia 800: | ||
<center><math>b_{it}=d_{ii}m_{it}+d_{ij}m_{jt}=m_{it}+\lambda m_{jt} | <center><math>b_{it}=d_{ii}m_{it}+d_{ij}m_{jt}=m_{it}+\lambda m_{jt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 829: | Linia 809: | ||
<center><math>c_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt} | <center><math>c_{st}=\sum_{k=1}^n d_{sk}m_{kt}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w macierzy | Ponieważ jedynymi niezerowymi wyrazami stojącymi w macierzy | ||
<math>P_{i}^\lambda </math> są te stojace na przekątnej, widzimy, że | <math>P_{i}^\lambda</math> są te stojace na przekątnej, widzimy, że | ||
Linia 873: | Linia 852: | ||
\vdots&\vdots &\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots& & &\vdots&\vdots\\ | \vdots&\vdots &\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots& & &\vdots&\vdots\\ | ||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots&\ldots& 0 & 0 | 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots&\ldots& 0 & 0 | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 979: | Linia 957: | ||
<center><math>k\le\min\{m,n\} | <center><math>k\le\min\{m,n\}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 1025: | Linia 1002: | ||
<center><math>\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0 | <center><math>\alpha_1=\ldots=\alpha_k=0</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
Linia 1033: | Linia 1009: | ||
<center><math>1\le s \le k | <center><math>1\le s \le k</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 1063: | Linia 1038: | ||
<center><math>A=[a_{ij}]_{n\times m} | <center><math>A=[a_{ij}]_{n\times m}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Linia 1092: | Linia 1066: | ||
<center><math>a'_{ib}=a_{ib}- \frac{a_{ib}}{a_{1b}}\cdot {a_{1b}} =0 | <center><math>a'_{ib}=a_{ib}- \frac{a_{ib}}{a_{1b}}\cdot {a_{1b}} =0</math></center> | ||
</math></center> | |||
Aktualna wersja na dzień 21:45, 11 wrz 2023
Zadanie 5.1
Niech
Wyznaczyć .
Zadanie 5.2
Dane są macierze
Obliczyć oraz .
Zadanie 5.3
Niech
gdzie oraz . Wykazać, że macierz
jest odwrotna do .
Zadanie 5.4
Dane są macierze
Wyznaczyć , , oraz . Zbadać, czy .
Zadanie 5.5
Niech
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy .
Zadanie 5.6
Niech będą macierzami postaci
Wyznaczyć i dla .
Zadanie 5.7
Niech będzie zbiorem tych wszystkich macierzy kwadratowych , które komutują z macierzą , gdzie
Innymi słowy
- i) Sprawdzić, że jest podprzestrzenią przestrzeni .
- ii) Wyznaczyć bazę podprzestrzeni oraz podać jej wymiar.
Zadanie 5.8
Ustalmy liczbę . Niech będzie macierzą, której jedyny niezerowy wyraz jest równy i stoi na przecięciu -tego wiersza oraz -tej kolumny, gdzie . Dla danych liczb naturalnych , oraz liczby rzeczywistej definiujemy macierze kwadratowe , gdzie
innymi słowy macierz , to macierz jednostkowa, w której
zamieniono miejscami wiersze o numerach oraz , macierz
, to macierz jednostkowa, w której do wiersza
-tego dodano wiersz -ty przemnożony przez liczbę rzeczywistą
, natomiast macierz , to macierz jednostkowa,
w której -ty przemnożono przez liczbę rzeczywistą
, czyli
Niech będzie dowolną macierzą o wierszach. Udowodnić, że
- a) Macierz powstająca z macierzy poprzez zamianę -tego i -tego wiersza miejscami jest równa .
- b) Macierz powstająca z macierzy poprzez dodanie do -tego wiersza -tego pomnożonego przez liczbę rzeczywistą jest równa .
- c) Macierz powstająca z macierzy poprzez pomnożenie -tego wiersza przez liczbę rzeczywistą jest równa .
Definicja 1
Mówimy, że macierz jest w postaci schodkowej, jeżeli spełnione są następujące dwa warunki:
- Jeżeli pewien wiersz macierzy składa się z samych zer, to wszystkie następne wiersze także składają się z samych zer (innymi słowy, wiersz zawierający niezerowe elementy nie może być poprzedzony przez wiersz zerowy).
- W każdym niezerowym wierszu macierzy pierwszy niezerowy element występuje w kolumnie o numerze większym niż numer kolumny zawierający pierwszy niezerowy element poprzedniego wiersza.
Przykład 1
- 1. Podane poniżej macierze są macierzami w postaci schodkowej
- 2. Podane poniżej macierze nie są macierzami w postaci schodkowej
Definicja 2
Operacją elementarną na wierszach macierzy nazywamy każdą z poniższych czynności:
- Przemnożenie dowolnego wiersza macierzy przez różną od zera liczbę rzeczywistą.
- Zamiana dwóch wierszy miejscami.
- Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę rzeczywistą.
Definicja 3
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to każdą kolumnę, w której stoi pierwszy niezerowy wyraz jakiegoś wiersza nazywamy kolumną bazową.
Przykład 2
Kolumnami bazowymi dla następującej macierzy
są kolumny: pierwsza, trzecia i szósta.
Twierdzenie 5.1
Jeżeli jest macierzą w postaci schodkowej, to rząd macierzy jest równy liczbie kolumn bazowych.
Zadanie 5.9
Udowodnić twierdzenie 5.1.
Twierdzenie 5.2
Każdą macierz można przy pomocy operacji elementarnych sprowadzić do postaci schodkowej.
Dowód
Przeprowadzony przez nas dowód będzie konstruktywny, tzn. nie tylko uzasadnimy, że każda macierz może być przy pomocy operacji elementarnych przekształcona do postaci schodkowej, ale równocześnie podamy efektywny algorytm, opisujący krok po kroku jakich operacji elementarnych należy użyć.
Niech będzie macierzą, którą będziemy przekształcać do postaci schodkowej. Oznaczmy wyraz stojący w macierzy w -tym wierszu oraz -tej kolumnie przez , czyli
Jeżeli jest macierzą zerową (dowolnego wymiaru) lub ma tylko
jeden wiersz to jest macierzą w postaci schodkowej i teza jest
w tych przypadkach spełniona.
Załóżmy zatem, że jest niezerową macierzą o co najmniej dwóch wierszach i nie jest jeszcze w postaci schodkowej. Rozpatrzmy pierwszą niezerową kolumnę występującą w naszej macierzy. Załóżmy, że jest to kolumna o numerze . Kolumna ta będzie pierwszą kolumną bazową. Jeżeli w tej kolumnie w pierwszym wierszu stoi , to zamieniamy pierwszy wiersz z jakimkolwiek wierszem, w którym w rozważanej kolumnie bazowej występuje niezerowy wyraz. Ponieważ założyliśmy, że kolumna bazowa o numerze zawiera wyrazy różne od zera taka operacja jest zawsze wykonalna. Po ewentualnej zamianie wierszy mamy zatem do czynienia z macierzą, której pierwsza niezerowa kolumna ma numer oraz wyraz stojący w pierwszym wierszu oraz kolumnie , oznaczony tu , jest różny od zera. Dzięki temu możemy teraz używając operacji elementarnych wyzerować wyrazy macierzy leżące w kolumnie bazowej poniżej pierwszego wiersza. Uczynimy to odejmując od -tego wiersza, gdzie wiersz pierwszy pomnożony przez . Zauważmy, że współczynnik stojący w -tym wierszu i kolumnie w macierzy powstającej po zastosowaniu tej operacji elementarnej jest równy
Oznacza to, że po zastosowaniu naszej operacji elementarnej do
wszystkich wierszy macierzy od drugiego do -tego włącznie
otrzymujemy macierz, w której jedynym niezerowym wyrazem stojącym
w kolumnie jest współczynnik stojący w pierwszym wierszu.
Otrzymaliśmy macierz , którą schematycznie możemy zapisać tak:
Oznacza to, że pierwszy krok naszego algorytmu został zakończony.
Rozpatrzmy teraz macierz powstajacą z macierzy poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszych kolumn. Oznaczmy ją przez .
Jeżeli macierz będzie macierzą w postaci schodkowej, to widać,
że macierz będzie także w postaci schodkowej i nasz algorytm
jest zakończony. Aby dokończyć dowód wystarczy zatem uzasadnić, że
macierz może być przy pomocy operacji elementarnych na
wierszach sprowadzona do postaci schodkowej (operacje na wierszach
mogą uważana za operacje na wierszach , ponieważ wyrazy
stojące w pierwszych kolumnach w macierzy w wierszach od
do -tego są równe ). Jeżeli jest niezerową macierzą
o co najmniej dwóch wierszach nie bedącą w postaci schodkowej, to
powtarzając opisaną wyżej procedurę do macierzy sprowadzimy
nasz problem do macierzy liczącej od dwa wiersza mniej niż
macierz . Ponieważ liczba wierszy naszej macierzy jest skończona
jasne jest, że najdalej po krokach otrzymamy macierz w postaci
schodkowej.

Twierdzenie 5.3
Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniają rzędu macierzy.
Dowód
Wniosek 5.4
Aby obliczyć rząd macierzy wystarczy sprowadzić ją przy pomocy operacji elementarnych do postaci schodkowej i obliczyć liczbę kolumn bazowych.