Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
mNie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 5 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>Niech <math>\displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to  \mathbb{R} </math> będzie dana wzorem
<quiz>Niech <math>f \colon \mathbb{R}^3 \to  \mathbb{R}</math> będzie dana wzorem


<center><math>\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1x_2 +3x_2x_3 +x_1x_3.</math></center>
<center><math>f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1x_2 +3x_2x_3 +x_1x_3</math>.</center>


Niech ponadto  
Niech ponadto  


<center><math>\displaystyle \Phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = 3x_1y_2 +2
<center><math>\Phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = 3x_1y_2 +2
x_2y_1+3x_2y_3 +y_1x_3</math></center>
x_2y_1+3x_2y_3 +y_1x_3</math></center>


  i niech <center><math>\displaystyle  A = \left [ \begin{array} {ccc}
  i niech <center><math>A = \left [ \begin{array} {ccc}
                     0 & \frac {5}{2} &\frac {1}{2}  \\
                     0 & \frac {5}{2} &\frac {1}{2}  \\
                       \frac {5}{2} & 0 & \frac {3}{2}  \\
                       \frac {5}{2} & 0 & \frac {3}{2}  \\
                     \frac {1}{2} & \frac {3}{2} & 0\end{array}  \right ]. </math></center>
                     \frac {1}{2} & \frac {3}{2} & 0\end{array}  \right ].</math></center>


<rightoption><math>\displaystyle \Phi</math> indukuje <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\Phi</math> indukuje <math>f</math>.</rightoption>


<wrongoption><math>\displaystyle \Phi</math> jest skojarzone z <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\Phi</math> jest skojarzone z <math>f</math>.</wrongoption>


<rightoption> rk <math>\displaystyle  f =3</math>.</rightoption>
<rightoption> rk <math>f =3</math>.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>
<rightoption><math>A</math> jest macierzą <math>f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 25: Linia 25:




<quiz>Niech <math>\displaystyle V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>, niech
<quiz>Niech <math>V</math> będzie przestrzenią wektorową nad ciałem <math>\mathbb{R}</math>, niech
<math>\displaystyle  \Phi, \Psi \colon V \times V \to \mathbb{R}</math> będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech <math>\displaystyle  f: V \ni v \to \Phi (v,v) \in \mathbb{R} </math>.
<math>\Phi, \Psi \colon V \times V \to \mathbb{R}</math> będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech <math>f: V \ni v \to \Phi (v,v) \in \mathbb{R}</math>.


<wrongoption>Jeśli dla każdego <math>\displaystyle v \in V\ \displaystyle \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Jeśli dla każdego <math>v \in V\ \Phi (v,v) = \Psi (v,v)</math>, to <math>\Phi = \Psi</math>.</wrongoption>


<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle \Phi</math> i <math>\displaystyle \Psi</math> są symetryczne oraz dla każdego <math>\displaystyle v \in V\ \Phi (v,v) = \Psi (v,v) </math>, to <math>\displaystyle \Phi = \Psi</math>.</rightoption>
<rightoption>Jeśli <math>\Phi</math> i <math>\Psi</math> są symetryczne oraz dla każdego <math>v \in V\ \Phi (v,v) = \Psi (v,v)</math>, to <math>\Phi = \Psi</math>.</rightoption>


<rightoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  f </math> jest formą kwadratową.</rightoption>
<rightoption>Odwzorowanie <math>f</math> jest formą kwadratową.</rightoption>


<rightoption>Macierz <math>\displaystyle f</math> w dowolnej bazie jest symetryczna.</rightoption>
<rightoption>Macierz <math>f</math> w dowolnej bazie jest symetryczna.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 40: Linia 40:




<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 - x_2^2 -x_3^2 \in \mathbb{R}</math>.
<quiz>Niech <math>f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 - x_2^2 -x_3^2 \in \mathbb{R}</math>.


<rightoption> rk <math>\displaystyle  f = 3</math>.</rightoption>
<rightoption> rk <math>f = 3</math>.</rightoption>


<wrongoption>Para (2,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Para (2,1) jest sygnaturą <math>f</math>.</wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest określona ujemnie.</wrongoption>
<wrongoption><math>f</math> jest określona ujemnie.</wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest półokreślona dodatnio.</wrongoption>
<wrongoption><math>f</math> jest półokreślona dodatnio.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 54: Linia 54:




<quiz>Dana jest forma kwadratowa <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 + 2x_2^2 +4x_3^2
<quiz>Dana jest forma kwadratowa <math>f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 + 2x_2^2 +4x_3^2
+2x_1x_2 -2x_2x_3 \in \mathbb{R}</math>.
+2x_1x_2 -2x_2x_3 \in \mathbb{R}</math>.


<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest zapisana w postaci kanonicznej.</wrongoption>
<wrongoption><math>f</math> jest zapisana w postaci kanonicznej.</wrongoption>


<rightoption><math>\displaystyle f</math> jest określona dodatnio.</rightoption>
<rightoption><math>f</math> jest określona dodatnio.</rightoption>


<rightoption>Para (3,0) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
<rightoption>Para (3,0) jest sygnaturą <math>f</math>.</rightoption>


<wrongoption>Istnieje wektor <math>\displaystyle x \in \mathbb{R}^3 minus \{0\}</math> taki, że <math>\displaystyle f(x) =0</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Istnieje wektor <math>x \in \mathbb{R}^3 minus \{0\}</math> taki, że <math>f(x) =0</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 69: Linia 69:




<quiz>Niech <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 - x_1x_2 \in \mathbb{R}</math>, <math>\displaystyle \Phi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni
<quiz>Niech <math>f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 - x_1x_2 \in \mathbb{R}</math>, <math>\Phi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni
((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to x_1y_1 - \frac {1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}</math>. Niech ponadto
((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to x_1y_1 - \frac {1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}</math>. Niech ponadto


<center><math>\displaystyle A=\left[\begin{array} {rr}1&-\frac {1}{2}\\-\frac {1}{2}&0\end{array} \right],\quad
<center><math>A=\left[\begin{array} {rr}1&-\frac {1}{2}\\-\frac {1}{2}&0\end{array} \right],\quad
B=\left[\begin{array} {rr}1&0\\0&-1\end{array} \right].
B=\left[\begin{array} {rr}1&0\\0&-1\end{array} \right]
</math></center>
</math></center>


<rightoption><math>\displaystyle \Phi</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\Phi</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z <math>f</math>.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle A</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>
<rightoption><math>A</math> jest macierzą <math>f</math> przy bazie kanonicznej.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle B</math> jest macierzą <math>\displaystyle f</math> przy bazie <math>\displaystyle  (1,0), (1,2) </math>.</rightoption>
<rightoption><math>B</math> jest macierzą <math>f</math> przy bazie <math>(1,0), (1,2)</math>.</rightoption>


<rightoption>Para (1,1) jest sygnaturą <math>\displaystyle f</math>.</rightoption>
<rightoption>Para (1,1) jest sygnaturą <math>f</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 93: Linia 93:
<rightoption><math>f</math> jest symetryczne.</rightoption>
<rightoption><math>f</math> jest symetryczne.</rightoption>


<wrongoption>Macierz <math>\displaystyle f</math> w bazie kanonicznej jest diagonalna.</wrongoption>
<wrongoption>Macierz <math>f</math> w bazie kanonicznej jest diagonalna.</wrongoption>


<rightoption>Odzorowanie <math>\mathbb{R}^3 \ni x \to f(x) \cdot x \in \mathbb{R} </math> jest formą kwadratową.</rightoption>
<rightoption>Odzorowanie <math>\mathbb{R}^3 \ni x \to f(x) \cdot x \in \mathbb{R}</math> jest formą kwadratową.</rightoption>


<rightoption>Odzorowanie <math>\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3  \ni (x,y) \to f(x) \cdot y \in \mathbb{R} </math> jest dwuliniowe symetryczne.</rightoption>
<rightoption>Odzorowanie <math>\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3  \ni (x,y) \to f(x) \cdot y \in \mathbb{R}</math> jest dwuliniowe symetryczne.</rightoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 22:18, 11 wrz 2023

Niech f:ℝ3→ℝ będzie dana wzorem

f(x1,x2,x3)=5x1x2+3x2x3+x1x3.

Niech ponadto

Φ((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=3x1y2+2x2y1+3x2y3+y1x3

i niech

A=[052125203212320].

Φ indukuje f.

Φ jest skojarzone z f.

rk f=3.

A jest macierzą f przy bazie kanonicznej.



Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem ℝ, niech Φ,Ψ:V×V→ℝ będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech f:V∋v→Φ(v,v)∈ℝ.

Jeśli dla każdego v∈V Φ(v,v)=Ψ(v,v), to Φ=Ψ.

Jeśli Φ i Ψ są symetryczne oraz dla każdego v∈V Φ(v,v)=Ψ(v,v), to Φ=Ψ.

Odwzorowanie f jest formą kwadratową.

Macierz f w dowolnej bazie jest symetryczna.



Niech f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→x12−x22−x32∈ℝ.

rk f=3.

Para (2,1) jest sygnaturą f.

f jest określona ujemnie.

f jest półokreślona dodatnio.



Dana jest forma kwadratowa f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→x12+2x22+4x32+2x1x2−2x2x3∈ℝ.

f jest zapisana w postaci kanonicznej.

f jest określona dodatnio.

Para (3,0) jest sygnaturą f.

Istnieje wektor x∈ℝ3minus{0} taki, że f(x)=0.



Niech f:ℝ2∋(x1,x2)→x12−x1x2∈ℝ, Φ:ℝ2×ℝ2∋((x1,x2),(y1,y2))→x1y1−12(x1y2+x2y1)∈ℝ. Niech ponadto

A=[1−12−120],B=[100−1]

Φ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z f.

A jest macierzą f przy bazie kanonicznej.

B jest macierzą f przy bazie (1,0),(1,2).

Para (1,1) jest sygnaturą f.



Niech f:ℝ3∋(x1,x2,x3)→(3x1−x3,2x2+x3,−x1+x2+5x3)∈ℝ3 i niech ⋅ oznacza standardowy iloczyn skalarny w ℝ3.

f jest symetryczne.

Macierz f w bazie kanonicznej jest diagonalna.

Odzorowanie ℝ3∋x→f(x)⋅x∈ℝ jest formą kwadratową.

Odzorowanie ℝ3×ℝ3∋(x,y)→f(x)⋅y∈ℝ jest dwuliniowe symetryczne.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometrią_analityczną/Test_11:_Formy_kwadratowe&oldid=82652”