Analiza matematyczna 2/Test 10: Wielowymiarowa całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu - "\textrm{" na "\text{"
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
 
(Nie pokazano 6 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
<quiz>
Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iiint\limits_K\ dxdydz,</math> gdzie <math>\displaystyle K=[-1,1]\times[-2,3]\times[-2,0]</math> wynosi:
Całka <math>\iiint\limits_K\ dxdydz</math>, gdzie <math>K=[-1,1]\times[-2,3]\times[-2,0]</math> wynosi:
<wrongoption><math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle -20</math></wrongoption>
<wrongoption><math>-20</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle 20</math></rightoption>
<rightoption><math>20</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Na zbiorze <math>\displaystyle D=[0,1]\times[0,3]</math> dana jest  funkcja
Na zbiorze <math>D=[0,1]\times[0,3]</math> dana jest  funkcja


<center><math>\displaystyle f(x,y) \ =\
<center><math>f(x,y) =
   \left\{
   \left\{
   \begin{array} {lll}
   \begin{array} {lll}
Linia 17: Linia 17:
   -1 & \text{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\
   -1 & \text{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\
   \end{array}  
   \end{array}  
   \right.
   \right</math></center>
</math></center>


Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy,</math>  
Całka <math>\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy</math>,
<rightoption>jest równa <math>\displaystyle 0</math></rightoption>
<rightoption>jest równa <math>0</math></rightoption>
<wrongoption>jest równa <math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
<wrongoption>jest równa <math>1</math></wrongoption>
<wrongoption>nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.</wrongoption>
<wrongoption>nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>
Linia 28: Linia 27:


<quiz>
<quiz>
W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> dany jest odcinek <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]\times\{c\}=:T</math> oraz funkcja <math>\displaystyle f: T\to \mathbb{R}</math> dana wzorem <math>\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2.</math>
W <math>\mathbb{R}^2</math> dany jest odcinek <math>[a,b]\times\{c\}=:T</math> oraz funkcja <math>f: T\to \mathbb{R}</math> dana wzorem <math>f(x,y)=x^2+y^2</math>.
Wtedy całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Tf(x,y)\ dxdy</math> jest równa
Wtedy całka <math>\iint\limits_Tf(x,y)\ dxdy</math> jest równa
<wrongoption><math>\displaystyle b^2-a^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>b^2-a^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle c^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>c^2</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
<rightoption><math>0</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 38: Linia 37:
<quiz>
<quiz>
Odcinek ma miarę zero w
Odcinek ma miarę zero w
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\mathbb{R}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math></rightoption>
<rightoption><math>\mathbb{R}^2</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math></rightoption>
<rightoption><math>\mathbb{R}^3</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Na zbiorze <math>\displaystyle D=[-1,1]\times[0,2]</math> funkcja <math>\displaystyle f: D\to \mathbb{R}</math> dana jest wzorem  <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y) =\sqrt{1-x^2}.</math>
Na zbiorze <math>D=[-1,1]\times[0,2]</math> funkcja <math>f: D\to \mathbb{R}</math> dana jest wzorem  <math>f(x,y) =\sqrt{1-x^2}</math>.
Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy</math> jest równa
Całka <math>\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy</math> jest równa
<wrongoption><math>\displaystyle 4</math></wrongoption>
<wrongoption><math>4</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle 2\pi</math></wrongoption>
<wrongoption><math>2\pi</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\pi</math></rightoption>
<rightoption><math>\pi</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
<math>\displaystyle P</math> jest punktem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> o współrzędnych <math>\displaystyle \displaystyle (3,-4,4).</math>
<math>P</math> jest punktem w <math>\mathbb{R}^3</math> o współrzędnych <math>(3,-4,4)</math>.
Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iiint\limits_P(x^2+y^2+z^2)\ dxdydz</math> wynosi
Całka <math>\iiint\limits_P(x^2+y^2+z^2)\ dxdydz</math> wynosi
<wrongoption><math>\displaystyle 9</math></wrongoption>
<wrongoption><math>9</math></wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
<rightoption><math>0</math></rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle 41</math></wrongoption>
<wrongoption><math>41</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
<math>\displaystyle D</math> jest kołem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> o promieniu <math>\displaystyle 1</math> o środku w <math>\displaystyle \displaystyle (0,0).</math>
<math>D</math> jest kołem w <math>\mathbb{R}^2</math> o promieniu <math>1</math> o środku w <math>(0,0)</math>.
Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy</math> jest równa
Całka <math>\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy</math> jest równa
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi</math></rightoption>
<rightoption><math>\frac{2}{3}\pi</math></rightoption>
    
    
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{4}{3}\pi</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\frac{4}{3}\pi</math></wrongoption>
    
    
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi^2</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\frac{2}{3}\pi^2</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Brzegiem kwadratu <math>\displaystyle D=[0,1]\times[0,1]</math> w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest
Brzegiem kwadratu <math>D=[0,1]\times[0,1]</math> w <math>\mathbb{R}^2</math> jest
<wrongoption>zbiór punktów <math>\displaystyle \displaystyle\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}</math></wrongoption>
<wrongoption>zbiór punktów <math>\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}</math></wrongoption>
<rightoption>zbiór odcinków <math>\displaystyle \displaystyle\{\{0\}\times[0,1], \{1\}\times[0,1], [0,1]\times\{0\},[0,1]\times\{1\}\}</math></rightoption>
<rightoption>zbiór odcinków <math>\{\{0\}\times[0,1], \{1\}\times[0,1], [0,1]\times\{0\},[0,1]\times\{1\}\}</math></rightoption>
<wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
<wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
</quiz>
</quiz>
Linia 82: Linia 81:


<quiz>
<quiz>
Brzegiem okręgu <math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ x^2+y^2=1\}</math> w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest
Brzegiem okręgu <math>\{(x,y):\ x^2+y^2=1\}</math> w <math>\mathbb{R}^2</math> jest
<wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
<wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
<rightoption>ten okrąg</rightoption>
<rightoption>ten okrąg</rightoption>
<wrongoption>punkt <math>\displaystyle \displaystyle (0,-1)</math></wrongoption>
<wrongoption>punkt <math>(0,-1)</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 21:36, 11 wrz 2023

Całka ∭K dxdydz, gdzie K=[−1,1]×[−2,3]×[−2,0] wynosi:

0

−20

20


Na zbiorze D=[0,1]×[0,3] dana jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x,y) = \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[0,1]\\ 0 & \text{dla} & (x,y)\in [0,1]\times(1,2)\\ -1 & \text{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\ \end{array} \right}

Całka ∬Df(x,y) dxdy,

jest równa 0

jest równa 1

nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.


W ℝ2 dany jest odcinek [a,b]×{c}=:T oraz funkcja f:T→ℝ dana wzorem f(x,y)=x2+y2. Wtedy całka ∬Tf(x,y) dxdy jest równa

b2−a2

c2

0


Odcinek ma miarę zero w

ℝ

ℝ2

ℝ3


Na zbiorze D=[−1,1]×[0,2] funkcja f:D→ℝ dana jest wzorem f(x,y)=1−x2. Całka ∬Df(x,y) dxdy jest równa

4

2π

π


P jest punktem w ℝ3 o współrzędnych (3,−4,4). Całka ∭P(x2+y2+z2) dxdydz wynosi

9

0

41


D jest kołem w ℝ2 o promieniu 1 o środku w (0,0). Całka ∬D1−x2−y2dxdy jest równa

23π

43π

23π2


Brzegiem kwadratu D=[0,1]×[0,1] w ℝ2 jest

zbiór punktów {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

zbiór odcinków {{0}×[0,1],{1}×[0,1],[0,1]×{0},[0,1]×{1}}

zbiór pusty


Brzegiem okręgu {(x,y): x2+y2=1} w ℝ2 jest

zbiór pusty

ten okrąg

punkt (0,−1)

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Test_10:_Wielowymiarowa_całka_Riemanna&oldid=82150”