Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:32, 15 wrz 2023

Niech $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ oznaczają kolumny macierzy $A \in M (3, 3; ℝ)$ i niech $B = [k_{1} + 2 k_{2}, k_{2} + k_{1} - 3 k_{3}, - 2 k_{3}]$ .

det $B =$ det $A$ . Źle

det $B = -$ det $A$ . Źle

det $B = 2$ det $A$ . Źle

det $B = - 2$ det $A$ . Dobrze

Niech $𝕂$ będzie dowolnym ciałem, $n \geq 2$ liczbą naturalną, niech $A, B$ oznaczają macierze należące do $M (n, n; 𝕂)$ i niech $λ \in 𝕂$ .

$\forall A \forall λ$ det $(λ A) = λ$ det $A$ . Źle

$\forall A \forall λ$ det $(λ A) = λ^{n}$ det $A$ . Dobrze

$\forall A, B$ det $(A + B) =$ det $A +$ det $B$ . Źle

$\forall A, B$ det $(A B) =$ det $A$ det $B$ . Dobrze

Niech

$A = [\begin{array}{rrr} - 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}], B = [\begin{array}{rrr} 5 & 1 & 0 \\ 9 & 0 & - 3 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

det $A B = 0$ . Źle

det $A = 3$ det $B$ . Dobrze

rk $A = 3$ . Dobrze

rk $A -$ rk $B = 1$ . Źle

Niech $f : ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ$ będzie dane wzorem

f ((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} - 2 x_{3} y_{1} - 2 x_{1} y_{3} + 3 x_{2} y_{3} + 3 x_{3} y_{2}

.

$f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem symetrycznym. Dobrze

$f$ jest odwzorowaniem antysymetrycznym. Źle

$\forall x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in ℝ^{3} f (x, x) \geq 0$ . Źle

Niech $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in ℂ$ i niech

$A = [\begin{array}{rrrr} 1 & z_{1} & z_{1}^{2} & z_{1}^{3} \\ 1 & z_{2} & z_{2}^{2} & z_{2}^{3} \\ 1 & z_{3} & z_{3}^{2} & z_{3}^{3} \\ 1 & z_{4} & z_{4}^{2} & z_{4}^{3} \end{array}]$

Jeżeli $z_{k} \neq z_{j}$ dla $k \neq j$ , to det $A \neq 0$ . Dobrze

Jeżeli det $A = 0$ , to istnieją takie wskaźniki $j, k$ , że $j \neq k$ i równocześnie $z_{j} = z_{k}$ . Dobrze

Jeżeli $z_{j} = j, j = 1, 2, 3, 4$ , to det $A = 12$ . Dobrze

Jeżeli rk $A = 4$ , to $z_{k} \neq z_{j}$ dla $k \neq j$ . Dobrze

Niech $n \geq 2$ będzie liczbą naturalną.

$\forall A, B \in M (n, n; ℂ) (A B = 0 ⟹ A = 0 lub B = 0))$ . Źle

$\forall A \in M (n, n; ℂ) (det A^{2} = det A ⟹ det A \in {0, 1})$ . Dobrze

$\forall A, B \in M (n, n; ℂ) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ . Źle

$\forall A \in M (n, n; ℂ) (A A^{*} = 0 ⟹ A = 0)$ . Źle

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<quiz>Niech <math>\displaystyle \textbf{k}_1,\textbf{k}_2,\textbf{k}_3</math> oznaczają
+<quiz>Niech <math>\textbf{k}_1,\textbf{k}_2,\textbf{k}_3</math> oznaczają
-kolumny macierzy <math>\displaystyle A \in M(3,3; \mathbb{R}) </math> i niech <math>\displaystyle B= [\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2,
+kolumny macierzy <math>A \in M(3,3; \mathbb{R})</math> i niech <math>B= [\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2,
 \textbf{k}_2 +\textbf{k}_1 -3\textbf{k}_3, -2 \textbf{k}_3]</math>.
-<wrongoption> det <math>\displaystyle   B =  </math> det <math>\displaystyle   A</math>.</wrongoption>
+<wrongoption> det <math>B = </math> det <math>A</math>.</wrongoption>
-<wrongoption> det <math>\displaystyle   B = - </math> det <math>\displaystyle   A</math>.</wrongoption>
+<wrongoption> det <math>B = -</math> det <math>A</math>.</wrongoption>
-<wrongoption> det <math>\displaystyle   B = 2\  </math> det <math>\displaystyle   A</math>. </wrongoption>
+<wrongoption> det <math>B = 2\ </math> det <math>A</math>. </wrongoption>
-<rightoption> det <math>\displaystyle   B = -2\  </math> det <math>\displaystyle   A</math>. </rightoption>
+<rightoption> det <math>B = -2\ </math> det <math>A</math>. </rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle \mathbb{K}</math> będzie dowolnym ciałem, <math>\displaystyle n\geq 2</math> liczbą naturalną, niech <math>\displaystyle  A,B</math> oznaczają macierze należące do
-<math>\displaystyle   M(n,n; \mathbb{K})</math> i niech <math>\displaystyle \lambda \in \mathbb{K}</math>.
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall A \forall \lambda \  </math> det <math>\displaystyle   (\lambda A) = \lambda \  </math> det <math>\displaystyle   A</math>. </wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \forall A \forall \lambda \  </math> det <math>\displaystyle   (\lambda A) = \lambda^n \  </math> det <math>\displaystyle   A</math>.</rightoption>
+<quiz>Niech <math>\mathbb{K}</math> będzie dowolnym ciałem, <math>n\geq 2</math> liczbą naturalną, niech <math>A,B</math> oznaczają macierze należące do
+<math>M(n,n; \mathbb{K})</math> i niech <math>\lambda \in \mathbb{K}</math>.
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall A,B \   </math> det <math>\displaystyle   (A+B) =  </math> det <math>\displaystyle   A  +  </math> det <math>\displaystyle   B</math>. </wrongoption>
+<wrongoption><math>\forall A \ \forall \lambda \ </math> det <math>(\lambda A) = \lambda \ </math> det <math>A</math>. </wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \forall A,B  \  </math> det <math>\displaystyle   (AB) =  </math> det <math>\displaystyle   A \  </math> det <math>\displaystyle   B</math>.</rightoption>
+<rightoption><math>\forall A\; \forall \lambda \ </math> det <math>(\lambda A) = \lambda^n \ </math> det <math>A</math>.</rightoption>
+<wrongoption><math>\forall A,B \  </math> det <math>(A+B) = </math> det <math>A  + </math> det <math>B</math>. </wrongoption>
+<rightoption><math>\forall A,B  \ </math> det <math>(AB) = </math> det <math>A \ </math> det <math>B</math>.</rightoption>
 </quiz>
 <quiz>
+Niech
 <center>
 <math>
-\displaystyle A =
+A =
 \left[
 \begin{array} {rrr}
@@ Linia 38: / Linia 43: @@
 \end{array}
 \right],
-\displaystyle B =
+B =
 \left[
 \begin{array} {rrr}
@@ Linia 45: / Linia 50: @@
 -1 &0 & 0
 \end{array}
-\right].
+\right]</math>
-</math>
 </center>
-<wrongoption> det <math>\displaystyle   AB = 0 </math>.</wrongoption>
+<wrongoption> det <math>AB = 0</math>.</wrongoption>
-<rightoption> det <math>\displaystyle   A = 3\  </math> det <math>\displaystyle   B</math>.</rightoption>
+<rightoption> det <math>A = 3\ </math> det <math>B</math>.</rightoption>
-<rightoption> rk <math>\displaystyle   A = 3 </math>.</rightoption>
+<rightoption> rk <math>A = 3</math>.</rightoption>
-<wrongoption> rk <math>\displaystyle   A -  </math> rk <math>\displaystyle   B = 1 </math>.</wrongoption>
+<wrongoption> rk <math>A - </math> rk <math>B = 1</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} </math> będzie dane wzorem
-<center><math>\displaystyle  f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_2 +  x_2y_1  - 2x_3y_1 - 2x_1y_3 + 3x_2y_3 +3x_3y_2.</math></center>
-<rightoption><math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym.</rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem symetrycznym.</rightoption>
+<quiz>Niech <math>f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}</math> będzie dane wzorem
+<center><math>f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_2 +  x_2y_1  - 2x_3y_1 - 2x_1y_3 + 3x_2y_3 +3x_3y_2</math>.</center>
+<rightoption><math>f</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym.</rightoption>
+<rightoption><math>f</math> jest odwzorowaniem symetrycznym.</rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.</wrongoption>
+<wrongoption><math>f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.</wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ f(x,x) \geq 0 </math>.</wrongoption>
+<wrongoption><math>\forall x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ f(x,x) \geq 0</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech  <math>\displaystyle  z_1,z_2,z_3,z_4  \in \mathbb{C} </math> i niech
+<quiz>Niech  <math>z_1,z_2,z_3,z_4  \in \mathbb{C}</math> i niech
 <center>
 <math>
-\displaystyle A =
+A =
 \left[
 \begin{array} {rrrr}
@@ Linia 86: / Linia 94: @@
 & z_4 &z_4^2 & z_4^3
 \end{array}
-\right].
+\right]</math>
-</math>
 </center>
-<rightoption>Jeżeli <math>\displaystyle z_k \neq z_j</math> dla <math>\displaystyle k \neq j</math>, to  det <math>\displaystyle   A \neq 0</math>.</rightoption>
+<rightoption>Jeżeli <math>z_k \neq z_j</math> dla <math>k \neq j</math>, to  det <math>A \neq 0</math>.</rightoption>
-<rightoption>Jeżeli  det <math>\displaystyle   A = 0 </math>, to istnieją takie wskaźniki <math>\displaystyle j,k</math>, że <math>\displaystyle j \neq k</math> i równocześnie <math>\displaystyle z_j = z_k</math>.</rightoption>
+<rightoption>Jeżeli  det <math>A = 0</math>, to istnieją takie wskaźniki <math>j,k</math>, że <math>j \neq k</math> i równocześnie <math>z_j = z_k</math>.</rightoption>
-<rightoption>Jeżeli <math>\displaystyle  z_j =j, \ j=1,2,3,4 </math>, to   det <math>\displaystyle   A = 12 </math>.</rightoption>
+<rightoption>Jeżeli <math>z_j =j, \ j=1,2,3,4</math>, to   det <math>A = 12</math>.</rightoption>
-<rightoption>Jeżeli  rk <math>\displaystyle   A =4</math>, to <math>\displaystyle z_k \neq z_j</math> dla <math>\displaystyle k \neq j</math>.</rightoption>
+<rightoption>Jeżeli  rk <math>A =4</math>, to <math>z_k \neq z_j</math> dla <math>k \neq j</math>.</rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle n\geq 2</math> będzie liczbą naturalną.
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \  </math> lub <math>\displaystyle   \ B=0 \right) </math>.</wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( </math> det <math>\displaystyle   A^2 =  </math> det <math>\displaystyle   A \Longrightarrow  </math> det <math>\displaystyle   A \in \{0,1\} \right)</math>.</rightoption>
+<quiz>Niech <math>n\geq 2</math> będzie liczbą naturalną.
+<wrongoption><math>\forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \text{ lub } B=0) \right)</math>.</wrongoption>
+<rightoption><math>\forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( \text{ det } A^2 = \text{ det }A \Longrightarrow \text{ det } A \in \{0,1\} \right)</math>.</rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \  A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)</math>.</wrongoption>
+<wrongoption><math>\forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \  A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)</math>.</wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AA^* =0 \Longrightarrow A =0 \right)</math>.</wrongoption>
+<wrongoption><math>\forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AA^* =0 \Longrightarrow A =0 \right)</math>.</wrongoption>
 </quiz>

Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:32, 15 wrz 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia