Aktualna wersja na dzień 21:43, 11 wrz 2023

Splajny

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie

Niech $h > 0$ i $c \in R$ . Wyznacz współczynniki kubicznej funkcji sklejanej $s$ opartej na pięciu węzłach $- 2 h, - h, 0, h, 2 h$ i spełniającej dodatkowo następujące warunki interpolacyjne:

s (0) = c, s^{(k)} (\pm 2 h) = 0, k = 0, 1, 2

,

Ćwiczenie

Porównaj ze sobą interpolację wielomianową i splajnową opartą na $N$ węzłach.

Rozpatrz funkcję $f (x) = \sin (x)$ i następujące przypadki:

węzły równoodległe lub nie;
odcinek krótki lub długi;
węzłów mało lub dużo.

Rozwiązanie

Możesz korzystać z następującego szablonu w Octave:

a = 0; b = 10; # długość przedziału
N = 7; # liczba węzłów;

x = linspace(a,b,N); 	# węzły równoodległe
y = sin(x);		# wartości w węzłach

s = spline(x,y);
w = polyfit(x,y,N+1);

X = linspace(a,b,256); # punkty do wykresu
plot(X,[sin(X);ppval(s,X);polyval(w,X)]);

Polecam przeanalizowanie przypadku, gdy $N = 30$ .

Ćwiczenie

Zaimplementuj w C funkcje analogiczne do Octave'owskich spline i ppval. Pamiętaj, by skorzystać z efektywnego narzędzia do rozwiązywania układów równań!

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Kubiczne splajny okresowe są dobrze określone

Pokaż jednoznaczność rozwiązania zadania interpolacyjnego w przypadku kubicznych okresowych funkcji sklejanych, tzn. takich, w których warunki interpolacji uzupełnione są warunkiem

\begin{aligned} s^{'} (x_{0}) & = s^{'} (x_{N}) \\ s^{″} (x_{0}) & = s^{″} (x_{N}) . \end{aligned}

Wskazówka

Ćwiczenie

Sprawdź eksperymentalnie, jaka aproksymacja funkcji $f (x) = x \sin (\frac{1}{x})$ (pamiętaj, $f (0) = 0$ ) jest "wizualnie" lepsza na odcinku $[0, 5]$ :

wielomianem interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach równoodległych
wielomianem interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach Czebyszewa
splajnem interpolacyjnym stopnia 1, opartym na $N$ węzłach równoodległych
naturalnym splajnem kubicznym interpolacyjnym, opartym na $N$ węzłach równoodległych

Eksperymentuj z różnymi wartościami $N$ .

Wskazówka

@@ Linia 20: / Linia 20: @@
 <div class="exercise">
-Niech <math>\displaystyle h>0</math> i <math>\displaystyle c\inR</math>.
+Niech <math>h>0</math> i <math>c\in R</math>.
-Wyznacz współczynniki kubicznej funkcji sklejanej <math>\displaystyle s</math>
+Wyznacz współczynniki kubicznej funkcji sklejanej <math>s</math>
-opartej na pięciu węzłach <math>\displaystyle -2h,-h,0,h,2h</math> i spełniającej
+opartej na pięciu węzłach <math>-2h,-h,0,h,2h</math> i spełniającej
 dodatkowo następujące warunki interpolacyjne:
-<center><math>\displaystyle s(0)\,=\,c,\qquad\quad
+<center><math>s(0)=c, \qquad \quad s^{(k)}(\pm 2h)=0,\qquad k=0,1,2</math>,</center>
-  s^{(k)}(\pm 2h)\,=\,0,\qquad k=0,1,2, \\
-</math></center>
 </div></div>
@@ Linia 35: / Linia 33: @@
 <div class="exercise">
-Porównaj ze sobą interpolację wielomianową i splajnową opartą na <math>\displaystyle N</math> węzłach.
+Porównaj ze sobą interpolację wielomianową i splajnową opartą na <math>N</math> węzłach.
-Rozpatrz funkcję <math>\displaystyle f(x) = \sin(x)</math> i następujące przypadki:
+Rozpatrz funkcję <math>f(x) = \sin(x)</math> i następujące przypadki:
 * węzły równoodległe lub nie;
 * odcinek krótki lub długi;
@@ Linia 60: / Linia 58: @@
 </pre></div>
-Polecam przeanalizowanie przypadku, gdy <math>\displaystyle N=30</math>.
+Polecam przeanalizowanie przypadku, gdy <math>N=30</math>.
 </div></div></div>
@@ Linia 83: / Linia 81: @@
 sklejanych, tzn. takich, w których warunki interpolacji uzupełnione są warunkiem
-<center><math>\displaystyle \aligned s'(x_0) &= s'(x_N)\\
+<center><math>\begin{align} s'(x_0) &= s'(x_N)\\
 s''(x_0) &= s''(x_N).
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
@@ Linia 98: / Linia 96: @@
 <div class="exercise">
-Sprawdź eksperymentalnie, jaka aproksymacja funkcji <math>\displaystyle f(x) = x\sin(\frac{1}{x})</math> (pamiętaj, <math>\displaystyle f(0)=0</math>) jest "wizualnie" lepsza na odcinku <math>\displaystyle [0,5]</math>:
+Sprawdź eksperymentalnie, jaka aproksymacja funkcji <math>f(x) = x\sin(\frac{1}{x})</math> (pamiętaj, <math>f(0)=0</math>) jest "wizualnie" lepsza na odcinku <math>[0,5]</math>:
-* wielomianem interpolacyjnym, opartym na <math>\displaystyle N</math> węzłach równoodległych
+* wielomianem interpolacyjnym, opartym na <math>N</math> węzłach równoodległych
-* wielomianem interpolacyjnym, opartym na <math>\displaystyle N</math> węzłach Czebyszewa
+* wielomianem interpolacyjnym, opartym na <math>N</math> węzłach Czebyszewa
-* splajnem interpolacyjnym stopnia 1, opartym na <math>\displaystyle N</math> węzłach równoodległych
+* splajnem interpolacyjnym stopnia 1, opartym na <math>N</math> węzłach równoodległych
-* naturalnym splajnem kubicznym interpolacyjnym, opartym na <math>\displaystyle N</math> węzłach równoodległych
+* naturalnym splajnem kubicznym interpolacyjnym, opartym na <math>N</math> węzłach równoodległych
-Eksperymentuj z różnymi wartościami <math>\displaystyle N</math>.
+Eksperymentuj z różnymi wartościami <math>N</math>.
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">

MN11LAB: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:43, 11 wrz 2023

Splajny

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia