Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 11: Wnioskowanie statystyczne

Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie dwupunktowym

$(0,1,p)$

:

$S(X_1,\dots ,X_n)=\frac{n+1}{n}\overline{X}$ oraz $T(X_1,\dots ,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}$.

Wówczas:

$S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- asymptotycznie nieobciążonym. Dobrze

$S$ nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. Źle

$S$ jest estymatorem zgodnym, zaś $T$-- obciążonym. Źle

$T$ jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. Źle

Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru $\alpha$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $(0,\alpha )$:

$T(X_1,\dots ,X_n)=(n+1)\min \{X_1,\dots ,X_n\}$.

$T$ jest obciążony. Źle

$T$ jest asymptotycznie nieobciążony. Dobrze

$T$ jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. Źle

$T$ jest nieobciążony. Dobrze

Przeprowadzono $n$ prób Bernoulliego $X_1,\dots ,X_n$ , z jednakowym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ każda. Co jest dobrym przybliżeniem parametru $p$?

Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". Źle

$\frac{k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. Dobrze

$\frac{n-k}{n}$, gdzie $k$ oznacza liczbę sukcesów. Źle

$\sum \frac{X_i}{n}$. Źle

Jeżeli estymator $S(X_1,\dots ,X_n)$ jest estymatorem zgodnym parametru $\theta$, to:

$S(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{s}{⟶}\theta$ (symbol $\stackrel{s}{⟶}$ został wprowadzony w uwadze 7.25). Dobrze

$P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S(X_1,\dots ,X_n)}{n}=\theta \}\right)=1$. Źle

$P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=\theta \}\right)=1$. Dobrze

$P\left(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\underset{n⟶\mathrm{\infty }}{\lim }S(X_1,\dots ,X_n)=0\}\right)=1$. Źle

Próbka prosta:

$0,2,1,2,5,0,3,4,4,2$

pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem $\lambda >0$. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia parametru $\lambda$?

$3.0$. Źle

$2.3$. Dobrze

$3.1$. Źle

$2.4$. Źle

Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):

$2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14$.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. Źle

Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". Dobrze

Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. Źle

Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to prawdopodobieństwo otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1%. Dobrze