Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 15 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>Niech <math>\textbf{k}_1,\textbf{k}_2,\textbf{k}_3</math> oznaczają
kolumny macierzy <math>A \in M(3,3; \mathbb{R})</math> i niech <math>B= [\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2,
\textbf{k}_2 +\textbf{k}_1 -3\textbf{k}_3, -2 \textbf{k}_3]</math>.
<wrongoption> det <math>B = </math> det <math>A</math>.</wrongoption>
<wrongoption> det <math>B = -</math> det <math>A</math>.</wrongoption>
<wrongoption> det <math>B = 2\ </math> det <math>A</math>. </wrongoption>
<rightoption> det <math>B = -2\ </math> det <math>A</math>. </rightoption>
</quiz>
<quiz>Niech <math>\mathbb{K}</math> będzie dowolnym ciałem, <math>n\geq 2</math> liczbą naturalną, niech <math>A,B</math> oznaczają macierze należące do
<math>M(n,n; \mathbb{K})</math> i niech <math>\lambda \in \mathbb{K}</math>.
<wrongoption><math>\forall A \ \forall \lambda \ </math> det <math>(\lambda A) = \lambda \ </math> det <math>A</math>. </wrongoption>


{article}
<rightoption><math>\forall A\; \forall \lambda \ </math> det <math>(\lambda A) = \lambda^n \ </math> det <math>A</math>.</rightoption>
\input{plzn.tex}


\setlength{\topmargin}{-30mm}
<wrongoption><math>\forall A,B \ </math> det <math>(A+B) = </math> det <math>A  + </math> det <math>B</math>. </wrongoption>
\setlength{\textheight}{280mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
\setlength{\textwidth}{170mm}
\setlength{\parindent}{0mm}


\newcounter{zestaw}
<rightoption><math>\forall A,B  \ </math> det <math>(AB) = </math> det <math>A \ </math> det <math>B</math>.</rightoption>
</quiz>


\setcounter{zestaw}{124}


TESTY 7


Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu
TAK/NIE.


Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może
<quiz>
być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać <math>\displaystyle 0,5</math>
Niech
punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt
 
(jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub <math>\displaystyle 0</math> punktów
<center>
(w&nbsp;pozostałych przypadkach).
<math>
A =
\left[
\begin{array} {rrr}
- 1 & 1 & 2 \\
3 & 0 & -1 \\
1 &2 &0
\end{array}
\right],
B =
\left[
\begin{array} {rrr}
5 & 1 & 0 \\
9 & 0 & -3 \\
-1 &0 & 0
\end{array}
\right]</math>
</center>


Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.


T7.1. Niech <math>\displaystyle \textbf{k}_1,\textbf{k}_2,\textbf{k}_3</math> oznaczają
kolumny macierzy <math>\displaystyle A \in M(3,3; \mathbb{R}) </math> i niech <math>\displaystyle B= [\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2,
\textbf{k}_2 +\textbf{k}_1 -3\textbf{k}_3, -2 \textbf{k}_3]</math>.


det\, <math>\displaystyle  B = </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {F}
<wrongoption> det <math>AB = 0</math>.</wrongoption>


det\, <math>\displaystyle  B = - </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {F}
<rightoption> det <math>A = 3\ </math> det <math>B</math>.</rightoption>


det\, <math>\displaystyle  B = 2\  </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {F}
<rightoption> rk <math>A = 3</math>.</rightoption>


det\, <math>\displaystyle  B = -2\  </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {T}
<wrongoption> rk <math>A - </math> rk <math>B = 1</math>.</wrongoption>
</quiz>


T7.2. Niech <math>\displaystyle \mathbb{K}</math> będzie dowolnym ciałem, <math>\displaystyle n\geq 2</math> liczbą naturalną, niech <math>\displaystyle  A,B</math> oznaczają macierze należące do
<math>\displaystyle  M(n,n; \mathbb{K})</math> i niech <math>\displaystyle \lambda \in \mathbb{K}</math>.


<math>\displaystyle \forall A \forall \lambda \  </math> det\, <math>\displaystyle  (\lambda A) = \lambda \  </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {F}


<math>\displaystyle \forall A \forall \lambda \  </math> det\, <math>\displaystyle  (\lambda A) = \lambda^n \  </math> det\, <math>\displaystyle  A</math>. {T}


<math>\displaystyle \forall A,B \   </math> det\, <math>\displaystyle  (A+B) =  </math> det\, <math>\displaystyle  A + </math> det\, <math>\displaystyle  B</math>. {F}
<quiz>Niech <math>f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}</math> będzie dane wzorem
<center><math>f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_2 + x_2y_1 - 2x_3y_1 - 2x_1y_3 + 3x_2y_3 +3x_3y_2</math>.</center>


<math>\displaystyle \forall A,B  \  </math> det\, <math>\displaystyle  (AB) =  </math> det\, <math>\displaystyle  A \  </math> det\, <math>\displaystyle  B</math>. {T}
<rightoption><math>f</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym.</rightoption>


T7.3. <center><math>\displaystyle  A = \left [ \matrix{
<rightoption><math>f</math> jest odwzorowaniem symetrycznym.</rightoption>
                    - 1 & 1 & 2 \cr
                    3 & 0 & -1 \cr
                    1 &2 &0  } \right ], \ \ B= \left [ \matrix{
                    5 & 1 & 0 \cr
                    9 & 0 & -3 \cr
                    -1 &0 & 0  } \right ] . </math></center>


det\, <math>\displaystyle  AB = 0 </math>. {F}
<wrongoption><math>f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym.</wrongoption>


det\, <math>\displaystyle  A = 3\ </math> det\, <math>\displaystyle  B</math>. {T}
<wrongoption><math>\forall x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ f(x,x) \geq 0</math>.</wrongoption>
</quiz>


rk\, <math>\displaystyle  A = 3 </math>. {T}


rk\, <math>\displaystyle  A -  </math> rk\, <math>\displaystyle  B = 1 </math>. {F}


T7.4. Niech <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} </math> będzie dane wzorem
<center><math>\displaystyle  f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_2 +  x_2y_1  - 2x_3y_1 - 2x_1y_3 + 3x_2y_3 +3x_3y_2.</math></center>


<math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym. {T}
<quiz>Niech  <math>z_1,z_2,z_3,z_4  \in \mathbb{C}</math> i niech


<math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem symetrycznym.{T}
<center>
<math>
A =
\left[
\begin{array} {rrrr}
1 & z_1 & z_1^2&z_1^3\\
1 &  z_2 &  z_2^2 & z_2^3\\
1  &z_3 &z_3^2 & z_3^3\\
1& z_4 &z_4^2 & z_4^3
\end{array}
\right]</math>
</center>


<math>\displaystyle f</math> jest odwzorowaniem antysymetrycznym. {F}


<math>\displaystyle \forall x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ f(x,x) \geq 0 </math>. {F}
<rightoption>Jeżeli <math>z_k \neq z_j</math> dla <math>k \neq j</math>, to  det <math>A \neq 0</math>.</rightoption>
\smallskip


T7.5.Niech <math>\displaystyle  z_1,z_2,z_3,z_4  \in \mathbb{C} </math> i niech
<rightoption>Jeżeli det <math>A = 0</math>, to istnieją takie wskaźniki <math>j,k</math>, że <math>j \neq k</math> i równocześnie <math>z_j = z_k</math>.</rightoption>


<center><math>\displaystyle  A = \left [ \matrix{
<rightoption>Jeżeli <math>z_j =j, \ j=1,2,3,4</math>, to  det <math>A = 12</math>.</rightoption>
                    1 & z_1 & z_1^2&z_1^3 \cr
                  1 &  z_2 &  z_2^2 & z_2^3 \cr
                    1  &z_3 &z_3^2 & z_3^3 \cr
                  1& z_4 &z_4^2 & z_4^3  } \right ].</math></center>


Jeżeli <math>\displaystyle z_k \neq z_j</math> dla <math>\displaystyle k \neq j</math>, to  det\, <math>\displaystyle  A \neq 0</math>.{T}
<rightoption>Jeżeli rk <math>A =4</math>, to <math>z_k \neq z_j</math> dla <math>k \neq j</math>.</rightoption>
</quiz>


Jeżeli  det\, <math>\displaystyle  A = 0 </math>, to istnieją takie wskaźniki <math>\displaystyle j,k</math>, że <math>\displaystyle j \neq k</math> i równocześnie <math>\displaystyle z_j = z_k</math>. {T}


Jeżeli <math>\displaystyle  z_j =j, \ j=1,2,3,4 </math>, to  det\, <math>\displaystyle  A = 12 </math>. {T}


Jeżeli  rk\, <math>\displaystyle  A =4</math>, to <math>\displaystyle z_k \neq z_j</math> dla <math>\displaystyle k \neq j</math>. {T}


T7.6. Niech <math>\displaystyle n\geq 2</math> będzie liczbą naturalną.
<quiz>Niech <math>n\geq 2</math> będzie liczbą naturalną.


<math>\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \ </math> lub <math>\displaystyle  \ B=0 \right) </math>.{F}
<wrongoption><math>\forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \text{ lub } B=0) \right)</math>.</wrongoption>


<math>\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( </math> det\, <math>\displaystyle  A^2 = </math> det\, <math>\displaystyle  A \Longrightarrow </math> det\, <math>\displaystyle  A \in \{0,1\} \right)</math>.{T}
<rightoption><math>\forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( \text{ det } A^2 = \text{ det }A \Longrightarrow \text{ det } A \in \{0,1\} \right)</math>.</rightoption>


<math>\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \  A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)</math>. {F}
<wrongoption><math>\forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \  A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)</math>.</wrongoption>


<math>\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AA^* =0 \Longrightarrow A =0 \right)</math>. {F}
<wrongoption><math>\forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AA^* =0 \Longrightarrow A =0 \right)</math>.</wrongoption>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 21:32, 15 wrz 2023

Niech k1,k2,k3 oznaczają kolumny macierzy A∈M(3,3;ℝ) i niech B=[k1+2k2,k2+k1−3k3,−2k3].

det B= det A.

det B=− det A.

det B=2  det A.

det B=−2  det A.



Niech 𝕂 będzie dowolnym ciałem, n≥2 liczbą naturalną, niech A,B oznaczają macierze należące do M(n,n;𝕂) i niech λ∈𝕂.

∀A ∀λ  det (λA)=λ  det A.

∀A∀λ  det (λA)=λn  det A.

∀A,B  det (A+B)= det A+ det B.

∀A,B  det (AB)= det A  det B.



Niech

A=[−11230−1120],B=[51090−3−100]


det AB=0.

det A=3  det B.

rk A=3.

rk A− rk B=1.



Niech f:ℝ3×ℝ3→ℝ będzie dane wzorem

f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=x1y2+x2y1−2x3y1−2x1y3+3x2y3+3x3y2.

f jest odwzorowaniem dwuliniowym.

f jest odwzorowaniem symetrycznym.

f jest odwzorowaniem antysymetrycznym.

∀x=(x1,x2,x3)∈ℝ3 f(x,x)≥0.



Niech z1,z2,z3,z4∈ℂ i niech

A=[1z1z12z131z2z22z231z3z32z331z4z42z43]


Jeżeli zk≠zj dla k≠j, to det A≠0.

Jeżeli det A=0, to istnieją takie wskaźniki j,k, że j≠k i równocześnie zj=zk.

Jeżeli zj=j, j=1,2,3,4, to det A=12.

Jeżeli rk A=4, to zk≠zj dla k≠j.



Niech n≥2 będzie liczbą naturalną.

∀A,B∈M(n,n;ℂ) (AB=0⟹A=0 lub B=0)).

∀A∈M(n,n;ℂ) ( det A2= det A⟹ det A∈{0,1}).

∀A,B∈M(n,n;ℂ) A2−B2=(A+B)(A−B).

∀A∈M(n,n;ℂ) (AA*=0⟹A=0).

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Algebra_liniowa_z_geometrią_analityczną/Test_7:_Wyznacznik&oldid=82751”