Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:54, 15 wrz 2023

Niech $V$ będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i niech $v_{0} \in V m i n u s {Θ}$ . Dane są odwzorowania liniowe $f, g : V \to V$ , przy czym $f \neq 0$ .

Odwzorowanie $φ : V ∋ v \to f (v) + v_{0} \in V$ jest liniowe. Źle

Odwzorowanie $f - g : V ∋ v \to f (v) - g (v) \in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $g \circ f : V ∋ v \to g (f (v)) \in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $ψ : V ∋ v \to f (v + v_{0}) \in V$ jest liniowe. Źle

Niech $V, W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $𝕂$ i niech $f : V \to W$ będzie monomorfizmem. Zakładamy, że wektory $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ .

ker $f = {Θ}$ . Dobrze

im $f = W$ . Źle

Jeśli ciąg wektorów $v_{1}, \dots, v_{n}$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ jest liniowo niezależny. Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $v_{1}, \dots, v_{n}$ tworzy bazę przestrzeni $V$ , to ciąg $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ tworzy bazę przestrzeni $W$ . Źle

Niech $V, W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $𝕂$ i niech $f : V \to W$ będzie odwzorowaniem liniowym. Zakładamy, że wektory $v_{1}, \dots, v_{n}, u \in V$ .

Jeśli $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ są liniowo niezależne, to $v_{1}, \dots, v_{n}$ liniowo niezależne. Dobrze

Jeśli $u$ jest kombinacją liniową wektorów $v_{1}, \dots, v_{n}$ , to $f (u)$ jest kombinacją liniową wektorów $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ . Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $v_{1}, \dots, v_{n}$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ jest liniowo niezależny. Źle

Jeśli $f (u)$ jest kombinacją liniową wektorów $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ , to $u$ jest kombinacją liniową wektorów $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Źle

Niech $f : ℝ^{3} ∋ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \to (x_{1} - x_{2} + x_{3}, x_{1} + x_{2}) \in ℝ^{2}$ .

ker $f = {(t, - t, - 2 t) : t \in ℝ}$ . Dobrze

rk $f = 1$ . Źle

Wektory $f (1, 0, 1)$ i $f (1, 1, 4)$ są liniowo zależne. Dobrze

$(2, 3) \in$ im $f$ . Dobrze

Niech $f : ℝ^{3} ∋ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \to (x_{1} - x_{3}, x_{3} - x_{2}, x_{1} - x_{2}) \in ℝ^{3}$ .

Jeśli $(y_{1}, y_{2}, y_{3}) \in$ im $f$ , to $y_{3} = y_{1} + y_{2}$ . Dobrze

rk $f = 2$ . Dobrze

$\dim$ ker $f = 1$ . Dobrze

$ℝ^{3} =$ ker $f \oplus$ im $f$ . Dobrze

Niech $f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}$ będzie odwzorowaniem liniowym i niech $u = (1, 0, 2), v = (2, - 1, 3), w = (0, 1, 1), z = (3, - 1, 0)$ .

Jeśli $f (u) = (1, - 1), f (v) = (3, 0)$ , to może być $f (w) = (0, 4)$ . Źle

Jeśli $f (u) = (1, - 1), f (v) = (3, 0)$ , to musi być $f (z) = (0, 4)$ . Źle

Jeśli $g : ℝ^{3} ∋ \to ℝ^{2}$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $g (u) = f (u), g (v) = f (v)$ , to musi być $g = f$ . Źle

Jeśli $g : ℝ^{3} ∋ \to ℝ^{2}$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $g (u) = f (u), g (v) = f (v), g (z) = f (z)$ , to musi być $g = f$ . Dobrze

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<quiz>Niech <math>\displaystyle V</math> będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i
+<quiz>Niech <math>V</math> będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i
-niech <math>\displaystyle v_0 \in V </math>. Dane są odwzorowania liniowe <math>\displaystyle f,g : V \to V</math>,
+niech <math>v_0 \in V minus \{\Theta\}</math>. Dane są odwzorowania liniowe <math>f,g : V \to V</math>,
-przy czym <math>\displaystyle f \neq 0</math>.
+przy czym <math>f \neq 0</math>.
-<wrongoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  \varphi : V \ni v \to f(v) +v_0 \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>
+<wrongoption>Odwzorowanie <math>\varphi : V \ni v \to f(v) +v_0 \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>
-<rightoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  f-g : V \ni v \to f(v) - g(v) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>
+<rightoption>Odwzorowanie <math>f-g : V \ni v \to f(v) - g(v) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>
-<rightoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  g\circ f : V \ni v \to g(f(v)) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>
+<rightoption>Odwzorowanie <math>g\circ f : V \ni v \to g(f(v)) \in V</math> jest liniowe.</rightoption>
-<wrongoption>Odwzorowanie <math>\displaystyle  \psi : V \ni v \to f(v +v_0 ) \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>
+<wrongoption>Odwzorowanie <math>\psi : V \ni v \to f(v +v_0 ) \in V</math> jest liniowe.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
-<math>\displaystyle \mathbb{K}</math> i niech <math>\displaystyle f : V \to W </math> będzie monomorfizmem.
-Zakładamy, że wektory <math>\displaystyle v_1,...,v_n \in V</math>.
-<rightoption> ker <math>\displaystyle   f = \{ \Theta\}</math>.</rightoption>
-<wrongoption> im <math>\displaystyle   f = W </math>.</wrongoption>
+<quiz>Niech <math>V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
+<math>\mathbb{K}</math> i niech <math>f : V \to W</math> będzie monomorfizmem.
+Zakładamy, że wektory <math>v_1,\ldots,v_n \in V</math>.
-<rightoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math> jest liniowo niezależny, to ciąg
+<rightoption> ker <math>f = \{ \Theta\}</math>.</rightoption>
-wektorów <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</rightoption>
-<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math> tworzy bazę przestrzeni <math>\displaystyle V</math>, to
+<wrongoption> im <math>f = W</math>.</wrongoption>
-ciąg  <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math> tworzy bazę przestrzeni <math>\displaystyle W</math>.</wrongoption>
+<rightoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math> jest liniowo niezależny, to ciąg
+wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</rightoption>
+<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math> tworzy bazę przestrzeni <math>V</math>, to
+ciąg  <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> tworzy bazę przestrzeni <math>W</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
-<math>\displaystyle \mathbb{K}</math> i niech <math>\displaystyle f : V \to W </math> będzie odwzorowaniem liniowym.
-Zakładamy, że wektory <math>\displaystyle v_1,...,v_n,w \in V</math>.
-<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math> są liniowo niezależne, to <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math>  liniowo niezależne.</rightoption>
-<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle w</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math>, to <math>\displaystyle f(w)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math>.</rightoption>
+<quiz>Niech <math>V,W</math> będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
+<math>\mathbb{K}</math> i niech <math>f : V \to W</math> będzie odwzorowaniem liniowym.
+Zakładamy, że wektory <math>v_1,\ldots,v_n,u \in V</math>.
-<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math>  jest liniowo niezależny, to ciąg
+<rightoption>Jeśli <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> są liniowo niezależne, to <math>v_1,\ldots,v_n</math>  liniowo niezależne.</rightoption>
-wektorów <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</wrongoption>
-<wrongoption>Jeśli <math>\displaystyle f(w)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>\displaystyle f(v_1),...,f(v_n)</math>, to <math>\displaystyle w</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>\displaystyle v_1,...,v_n</math>.</wrongoption>
+<rightoption>Jeśli <math>u</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>v_1,\ldots,v_n</math>, to <math>f(u)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math>.</rightoption>
+<wrongoption>Jeśli ciąg wektorów  <math>v_1,\ldots,v_n</math>  jest liniowo niezależny, to ciąg
+wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math> jest liniowo niezależny.</wrongoption>
+<wrongoption>Jeśli <math>f(u)</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>f(v_1),\ldots,f(v_n)</math>, to <math>u</math> jest kombinacją liniową wektorów <math>v_1,\ldots,v_n</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle  f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 -x_2 + x_3,
- x_1 + x_2  ) \in \mathbb{R} ^2 </math>.
-<rightoption> ker <math>\displaystyle   f = \{ ( t,-t, -2t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.</rightoption>
-<wrongoption> rk <math>\displaystyle   f = 1</math>.</wrongoption>
+<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 -x_2 + x_3,
+ x_1 + x_2  ) \in \mathbb{R} ^2</math>.
+<rightoption> ker <math>f = \{ ( t,-t, -2t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.</rightoption>
+<wrongoption> rk <math>f = 1</math>.</wrongoption>
-<rightoption>Wektory <math>\displaystyle f( 1,0,1)</math> i <math>\displaystyle  f( 1,1,4)</math> są liniowo zależne.</rightoption>
+<rightoption>Wektory <math>f( 1,0,1)</math> i <math>f( 1,1,4)</math> są liniowo zależne.</rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle  (2,3) \in  </math> im\, <math>\displaystyle   f </math>.</rightoption>
+<rightoption><math>(2,3) \in</math> im <math>f</math>.</rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle  f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 - x_3,
- x_3 -x_2,  x_1 -x_2  ) \in \mathbb{R} ^3 </math>.
-<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle (y_1,y_2,y_3) \in  </math> im\, <math>\displaystyle   f </math>, to <math>\displaystyle  y_3 = y_1+ y_2</math>.</rightoption>
-<rightoption> rk <math>\displaystyle   f =2</math>.</rightoption>
+<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 - x_3,
+ x_3 -x_2,  x_1 -x_2  ) \in \mathbb{R} ^3</math>.
-<rightoption><math>\displaystyle  \dim  </math> ker <math>\displaystyle   f = 1 </math>.</rightoption>
+<rightoption>Jeśli <math>(y_1,y_2,y_3) \in</math> im <math>f</math>, to <math>y_3 = y_1+ y_2</math>.</rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle  \mathbb{R}^3 =  </math> ker <math>\displaystyle   f \oplus  </math> im\, <math>\displaystyle   f</math>.</rightoption>
+<rightoption> rk <math>f =2</math>.</rightoption>
+<rightoption><math>\dim</math> ker <math>f = 1</math>.</rightoption>
+<rightoption><math>\mathbb{R}^3 =</math> ker <math>f \oplus</math> im <math>f</math>.</rightoption>
 </quiz>
-<quiz>Niech <math>\displaystyle  f : \mathbb{R}^3  \to \mathbb{R}^2 </math> będzie odwzorowaniem liniowym i niech
-<math>\displaystyle  u= (1,0,2), \ v= ( 2, -1, 3), \ w = (0, 1, 1), \ z= ( 3,-1 ,0)</math>.
-<wrongoption>Jeśli <math>\displaystyle  f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0) </math>, to może być <math>\displaystyle f(w) =  (0,4) </math>.</wrongoption>
-<wrongoption>Jeśli <math>\displaystyle  f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0) </math>, to musi być <math>\displaystyle f(z) = (0,4) </math>.</wrongoption>
+<quiz>Niech <math>f : \mathbb{R}^3  \to \mathbb{R}^2</math> będzie odwzorowaniem liniowym i niech
+<math>u= (1,0,2), \ v= ( 2, -1, 3), \ w = (0, 1, 1), \ z= ( 3,-1 ,0)</math>.
+<wrongoption>Jeśli <math>f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0)</math>, to może być <math>f(w) =  (0,4)</math>.</wrongoption>
+<wrongoption>Jeśli <math>f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0)</math>, to musi być <math>f(z) = (0,4)</math>.</wrongoption>
-<wrongoption>Jeśli <math>\displaystyle g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2 </math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
+<wrongoption>Jeśli <math>g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2</math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
-<math>\displaystyle  g(u) = f(u),\  g(v)= f(v) </math>, to musi być <math>\displaystyle g=f</math>.</wrongoption>
+<math>g(u) = f(u),\  g(v)= f(v)</math>, to musi być <math>g=f</math>.</wrongoption>
-<rightoption>Jeśli <math>\displaystyle g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2 </math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
+<rightoption>Jeśli <math>g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2</math> jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki
-<math>\displaystyle  g(u) = f(u),\  g(v)= f(v), \ g(z)  = f(z)  </math>, to musi być <math>\displaystyle g=f</math>.</rightoption>
+<math>g(u) = f(u),\  g(v)= f(v), \ g(z)  = f(z)</math>, to musi być <math>g=f</math>.</rightoption>
 </quiz>

Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:54, 15 wrz 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia