Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 10:02, 5 wrz 2023

Jeśli funkcja $h$ jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą Dobrze

różniczkowalną Dobrze

klasy $C^{\infty}$ . Źle

Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji. Dobrze

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu. Źle

Jeśli w chwili $t_{0}$ mamy $4$ g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie $1$ g. Dobrze

Funkcja $g (t) = - \ln (1 - e^{t})$ jest rozwiązaniem

równania różniczkowego $x^{'} = e^{t + x}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego ${\begin{cases} x^{'} (t) = \exp (x (t)) - 1 \\ x (- \ln 2) = \ln 2 \end{cases}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego ${\begin{cases} \exp (1 - x (t)) \frac{d x}{d t} = \exp (t + 1) \\ x (1) = 0 \end{cases}$ . Źle

Problem początkowy Cauchy'ego

{\begin{cases} x^{'} (t) = \sqrt[3]{x (t) - 3} \\ x (t_{0}) = x_{0} \end{cases}

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

$t_{0} = 3, x_{0} = 2$ Dobrze

$t_{0} = 2, x_{0} = 3$ Źle

$t_{0} = 3, x_{0} = 3$ . Źle

Jednym z rozwiązań równania $t^{2} x^{'} = - x$ jest funkcja

$f (t) = - \exp (\frac{1}{t}) + 2$ Źle

$g (t) = {\begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ 3 \exp (\frac{1}{t}), & t > 0 \end{cases}$ Źle

$h (t) = \exp (\frac{1}{t})$ . Źle

Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

{\begin{cases} x^{'} (t) = t - x (t), \\ x (0) = 0 \end{cases}

otrzymujemy

$x_{2} (t) = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{6} t^{3}$ Dobrze

$x_{4} (t) = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{6} t^{3} + \frac{1}{24} t^{4} - \frac{1}{120} t^{5}$ Dobrze

$x (t) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- t)^{n}}{n!}$ . Dobrze

Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

{\begin{cases} x^{'} (t) = t^{2} + x (t) \\ x (0) = 0 \end{cases}

w przedziale $[0; 2]$ i biorąc $h = 0, 5$ otrzymujemy

łamaną o węzłach $(0, 0), (\frac{1}{2}, 0), (1, \frac{1}{8}), (\frac{3}{2}, \frac{11}{16}), (2, \frac{69}{32})$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $\frac{3}{2}$ równą $\tilde{x} (\frac{3}{2}) = \frac{11}{16}$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $2$ równą $\tilde{x} (2) = \frac{47}{32}$ . Źle

Jeśli funkcja $x$ jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego ${\begin{cases} x^{'} (t) = x (t) t \\ x (0) = 1 \end{cases}$ , to

$x^{'} (0) = 1$ Źle

$x^{″} (0) = 1$ Dobrze

$x^{‴} (0) = 2$ . Dobrze

Rozważamy równanie $x^{'} = \frac{x}{t}$ .

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych. Źle

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x = 3 t$ są do niej równoległe. Dobrze

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x = 0$ są do niej prostopadłe. Źle

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle h</math> jest rozwiązaniem
+<quiz> Jeśli funkcja <math>h</math> jest rozwiązaniem
 pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją
@@ Linia 6: / Linia 6: @@
 <rightoption>różniczkowalną</rightoption>
-<wrongoption>klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>.</wrongoption>
+<wrongoption>klasy <math>C^{\infty}</math>.</wrongoption>
 </quiz>
@@ Linia 19: / Linia 19: @@
 <wrongoption>Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.</wrongoption>
-<rightoption>Jeśli w chwili <math>\displaystyle t_0</math> mamy <math>\displaystyle 4</math> g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie <math>\displaystyle 1</math> g.</rightoption>
+<rightoption>Jeśli w chwili <math>t_0</math> mamy <math>4</math> g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie <math>1</math> g.</rightoption>
 </quiz>
-<quiz> Funkcja <math>\displaystyle g(t)=-\ln(1-e^t)</math> jest
+<quiz> Funkcja <math>g(t)=-\ln(1-e^t)</math> jest
 rozwiązaniem
-<rightoption>równania różniczkowego <math>\displaystyle x'=e^{t+x}</math></rightoption>
+<rightoption>równania różniczkowego <math>x'=e^{t+x}</math></rightoption>
 <rightoption>problemu początkowego Cauchy'ego
-<math>\displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases </math></rightoption>
+<math>\begin{cases}x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\end{cases}</math></rightoption>
 <wrongoption>problemu początkowego Cauchy'ego
-<math>\displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases </math>.</wrongoption>
+<math>\begin{cases}\exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\end{cases}</math>.</wrongoption>
 </quiz>
 <quiz> Problem początkowy Cauchy'ego
-<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases </math></center>
+<center><math>\begin{cases}x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\end{cases}</math></center>
 ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
-<rightoption><math>\displaystyle t_0=3, x_0=2</math></rightoption>
+<rightoption><math>t_0=3, x_0=2</math></rightoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle t_0=2,x_0=3</math></wrongoption>
+<wrongoption><math>t_0=2,x_0=3</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle t_0=3, x_0=3</math>.</wrongoption>
+<wrongoption><math>t_0=3, x_0=3</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz> Jednym z rozwiązań równania <math>\displaystyle t^2x'=
+<quiz> Jednym z rozwiązań równania <math>t^2x'=
 -x</math> jest funkcja
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f(t)=-\exp\left(\frac1t\right)+2</math></wrongoption>
+<wrongoption><math>f(t)=-\exp\left(\frac1t\right)+2</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\
+<wrongoption><math>g(t)=\begin{cases} 0, &t\leq 0\\
-\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases </math></wrongoption>
+\exp\left(\frac1t\right), & t>0\end{cases}</math></wrongoption>
-<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle h(t)=\exp\left(\frac1t\right)</math>.</wrongoption>
+<wrongoption><math>h(t)=\exp\left(\frac1t\right)</math>.</wrongoption>
 </quiz>
@@ Linia 62: / Linia 62: @@
 <quiz> Wyznaczając metodą kolejnych
 przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
-<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases </math></center>
+<center><math>\begin{cases}x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\end{cases}</math></center>
 otrzymujemy
-<rightoption><math>\displaystyle x_2(t)=\frac12t^2-\frac16t^3</math></rightoption>
+<rightoption><math>x_2(t)=\frac12t^2-\frac16t^3</math></rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle x_4(t)=\frac12t^2-\frac16t^3+\frac1{24}t^4-\frac1{120}t^5</math></rightoption>
+<rightoption><math>x_4(t)=\frac12t^2-\frac16t^3+\frac1{24}t^4-\frac1{120}t^5</math></rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-t)^n}{n!}</math>.</rightoption>
+<rightoption><math>x(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-t)^n}{n!}</math>.</rightoption>
 </quiz>
@@ Linia 75: / Linia 75: @@
 <quiz> Stosując metodę łamanych Eulera dla
 problemu początkowego
-<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases </math></center>
+<center><math>\begin{cases}x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\end{cases}</math></center>
 w przedziale
-<math>\displaystyle [0;\ 2]</math> i biorąc <math>\displaystyle h=0,5</math> otrzymujemy
+<math>[0;\ 2]</math> i biorąc <math>h=0,5</math> otrzymujemy
-<rightoption>łamaną o węzłach <math>\displaystyle \displaystyle (0,0), \left(\frac12,0\right),
+<rightoption>łamaną o węzłach <math>(0,0), \left(\frac12,0\right),
 \left(1, \frac18\right), \left(\frac32, \frac{11}{16}\right),
 \left(2, \frac{69}{32}\right)</math></rightoption>
-<rightoption>wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle \dfrac 32</math> równą
+<rightoption>wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\dfrac 32</math> równą
-<math>\displaystyle \tilde{x}\left(\dfrac 32\right) =\dfrac{11}{16}</math></rightoption>
+<math>\tilde{x}\left(\dfrac 32\right) =\dfrac{11}{16}</math></rightoption>
-<wrongoption>wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle 2</math> równą <math>\displaystyle \tilde{x}\left(2\right) = \dfrac{47}{32}</math>.</wrongoption>
+<wrongoption>wartość łamanej Eulera w punkcie <math>2</math> równą <math>\tilde{x}\left(2\right) = \dfrac{47}{32}</math>.</wrongoption>
 </quiz>
-<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle x</math> jest rozwiązaniem
+<quiz> Jeśli funkcja <math>x</math> jest rozwiązaniem
 problemu początkowego Cauchy'ego
-<math>\displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases </math>, to
+<math>\begin{cases}x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\end{cases}</math>, to
-<wrongoption><math>\displaystyle x'(0)=1</math></wrongoption>
+<wrongoption><math>x'(0)=1</math></wrongoption>
-<rightoption><math>\displaystyle x''(0)=1</math></rightoption>
+<rightoption><math>x''(0)=1</math></rightoption>
-<rightoption><math>\displaystyle x'''(0)=2</math>.</rightoption>
+<rightoption><math>x'''(0)=2</math>.</rightoption>
 </quiz>
-<quiz> Rozważamy równanie <math>\displaystyle x'=\dfrac xt</math>.
+<quiz> Rozważamy równanie <math>x'=\dfrac xt</math>.
 <wrongoption>Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.</wrongoption>
-<rightoption>Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=3t</math> są do
+<rightoption>Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>x=3t</math> są do
 niej równoległe.</rightoption>
-<wrongoption>Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=0</math> są do
+<wrongoption>Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>x=0</math> są do
 niej prostopadłe.</wrongoption>
 </quiz>

Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 10:02, 5 wrz 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia