Logika dla informatyków/Ćwiczenia 4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Aneczka (dyskusja | edycje)
700 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,”
 
(Nie pokazano 9 wersji utworzonych przez 5 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
Linek z wykładu 8 do cwiczenia 4. Nazwa linku: "c"
Link z wykładu 8 do cwiczenia 4. Nazwa linku: "c"




Linia 6: Linia 6:
{{cwiczenie|1|c|
{{cwiczenie|1|c|
Wykazać, że dla dostatecznie dużych <math>q</math> istnieje zdanie o randze  
Wykazać, że dla dostatecznie dużych <math>q</math> istnieje zdanie o randze  
kwantyfikatorowej <math>q</math> definiujące porządek liniowy o mocy <math>2^q.</math>  
kwantyfikatorowej <math>q</math>, definiujące porządek liniowy o mocy <math>2^q</math>.
}}
}}


Linia 17: Linia 17:
Niech <math>R</math> będzie jednoargumentowym symbolem relacyjnym. Udowodnić, że klasa wszystkich takich struktur <math>\mathfrak A=\langle A,R\rangle</math>, że <math>|R|=|A- R|</math>, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.}}  
Niech <math>R</math> będzie jednoargumentowym symbolem relacyjnym. Udowodnić, że klasa wszystkich takich struktur <math>\mathfrak A=\langle A,R\rangle</math>, że <math>|R|=|A- R|</math>, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.}}  


{{cwiczenie|4||
{{cwiczenie|4|f|
Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych ) grafów <math>\mathfrak A=\langle A,E\rangle,</math> w których istnieją dwa wierzchołki o równych sobie, skończonych stopniach, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.}}  
Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych) grafów <math>\mathfrak A=\langle A,E\rangle</math>, w których istnieją dwa wierzchołki o równych sobie, skończonych stopniach, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.}}  


{{cwiczenie|5||
{{cwiczenie|5||
Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych ) grafów  
Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych) grafów <math>\mathfrak A=\langle A,E\rangle</math>, których każdy skończony podgraf jest planarny, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu. }}
<math>\mathfrak A=\langle A,E\rangle,</math> których każdy skończony podgraf jest planarny, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu. }}


{{cwiczenie|6||
{{cwiczenie|6||
Linia 30: Linia 29:
Dane są dwie struktury relacyjne <math>\mathfrak A=\langle  
Dane są dwie struktury relacyjne <math>\mathfrak A=\langle  
U,R^\mathfrak A\rangle</math> i <math>\mathfrak B=\langle U,R^\mathfrak B\rangle</math> nad sygnaturą złożoną z&nbsp;jednego dwuargumentowego symbolu  
U,R^\mathfrak A\rangle</math> i <math>\mathfrak B=\langle U,R^\mathfrak B\rangle</math> nad sygnaturą złożoną z&nbsp;jednego dwuargumentowego symbolu  
relacyjnego. Ich nośnikiem jest <math>U=\{1,2,\dots,15\}</math>, relacja <math>R^\mathfrak A(x,y )</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x|y</math>, a relacja <math>R^\mathfrak B(x,y )</math> \wtw, gdy <math>x\equiv y\pmod 2.</math>  
relacyjnego. Ich nośnikiem jest <math>U=\{1,2,\dots,15\}</math>, relacja <math>R^\mathfrak A(x,y )</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x|y</math>, a relacja <math>R^\mathfrak B(x,y )</math> \wtw, gdy <math>x\equiv y\pmod 2</math>.


Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie <math>\var\varphi</math> takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i <math>\mathfrak B\not\models\var\varphi.</math> }}
Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie <math>\var\varphi</math> takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i <math>\mathfrak B\not\models\var\varphi</math>. }}


{{cwiczenie|8||
{{cwiczenie|8||
Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne <math>\mathfrak A</math> i <math>\mathfrak B</math> nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:  
Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne <math>\mathfrak A</math> i <math>\mathfrak B</math> nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:
[[Grafika:ldi_cw8.gif]]


<span id=""/> <math> \begi\prooftree array \justifies c|c \using \textrm{(W )}\endprooftree
Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie <math>\var\varphi</math> takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i <math>\mathfrak B\not\models\var\varphi</math>.}}
 
\xymatrix
{
*{\ast}
\ar@{<->}[r]
\ar@{<->}[d]
\ar@{<->}[dr]
&
*{\ast}
\ar@{<->}[d]
\ar@{<->}[l]
\ar@{<->}[dl]
&
*{\ast}
&
\\
*{\ast}
\ar@{<->}[r]
&
*{\ast}
&
*{\ast}
&
*{\relax}
}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
\xymatrix
{
*{\ast}
\ar@{<->}[d]
\ar@{<->}[dr]
&
*{\ast}
&
*{\ast}
&
\\
*{\ast}
\ar@{<->}[r]
&
*{\ast}
&
*{\ast}
&
*{\relax}
}
\end{array}
</math>
 
Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie math>\var\varphi</math>  
takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i&nbsp;<math>\mathfrak B\not\models\var\varphi.</math>}}
 
 
\end{small}

Aktualna wersja na dzień 09:35, 5 wrz 2023

Link z wykładu 8 do cwiczenia 4. Nazwa linku: "c"



Ćwiczenie 1

Wykazać, że dla dostatecznie dużych q istnieje zdanie o randze kwantyfikatorowej q, definiujące porządek liniowy o mocy 2q.

Ćwiczenie 2

Adaptując dowód Faktu #qqudowodnić, że struktury Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \<\{1-1/n | n=1,2,\dots\},\leq\>} oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \<\bigcup_{n=1}^\infty\{1-1/n,1+1/n,3-1/n\},\leq\>} , gdzie ≤ jest w obu wypadkach standardowym porządkiem liczb wymiernych, są elementarnie równoważne.

Wywnioskować stąd, że pojęcie dobrego porządku nie jest wyrażalne w logice pierwszego rzędu. (Zupełnie inny dowód tego faktu poznamy w Rozdziale 8.

Ćwiczenie 3

Niech R będzie jednoargumentowym symbolem relacyjnym. Udowodnić, że klasa wszystkich takich struktur 𝔄=⟨A,R⟩, że |R|=|A−R|, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 4

Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych) grafów 𝔄=⟨A,E⟩, w których istnieją dwa wierzchołki o równych sobie, skończonych stopniach, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 5

Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych) grafów 𝔄=⟨A,E⟩, których każdy skończony podgraf jest planarny, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 6

Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, których wszystkie skończone klasy abstrakcji mają parzystą moc, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 7

Dane są dwie struktury relacyjne 𝔄=⟨U,R𝔄⟩ i 𝔅=⟨U,R𝔅⟩ nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Ich nośnikiem jest U={1,2,…,15}, relacja R𝔄(x,y) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x|y, a relacja R𝔅(x,y) \wtw, gdy x≡y(mod2).

Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} takie, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A\models\var\varphi} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak B\not\models\var\varphi} .

Ćwiczenie 8

Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne 𝔄 i 𝔅 nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:

Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} takie, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A\models\var\varphi} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak B\not\models\var\varphi} .
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_dla_informatyków/Ćwiczenia_4&oldid=80723”