|
|
| (Nie pokazano 9 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) |
| Linia 15: |
Linia 15: |
|
| |
|
|
| |
|
| <quiz>
| |
| Mamy następujące przestrzenie metryczne:
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2, d_{\infty}),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_1),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_d),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_r),</math>
| |
| gdzie
| |
| <math>\displaystyle d_d</math> oznacza metrykę dyskretną, a <math>\displaystyle d_r</math> metrykę "rzeka" z prostą
| |
| <math>\displaystyle l</math> będącą osią <math>\displaystyle Ox.</math> W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> dane są dwa punkty: <math>\displaystyle A=(-1,2)</math> i
| |
| <math>\displaystyle B=(1,3).</math> Wtedy:
| |
| <rightoption><math>\displaystyle d_2(A,B)^2=d_r(A,B)d_d(A,B)-d_{\infty}(A,B)</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle d_d(A,B)+d_{\infty}(A,B)=d_1(A,B)</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle d_2(A,B)^2+d_{\infty}(A,B)^2=d_1(A,B)^2</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Dla zbioru <math>\displaystyle \displaystyle A:=\bigg\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\bigg\}\cup\{0\}</math> w przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2)</math> zachodzi
| |
| <rightoption><math>\displaystyle A=\overline{A}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\partial A=\{0\}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle A</math> jest zwarty</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Zbiory <math>\displaystyle B</math> i <math>\displaystyle C</math> w przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2)</math> dane są jako <math>\displaystyle \displaystyle B:=\bigg\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ y\leq x^{\frac{2}{3}}\bigg\}</math>
| |
| (gdzie za dziedzinę funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{\frac{2}{3}}</math> przyjmujemy całe <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math>). Zbiór <math>\displaystyle \displaystyle C:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ y\ge x^2\}.</math> Wtedy <math>\displaystyle B\cap C</math> jest
| |
| <wrongoption>zbiorem otwartym</wrongoption>
| |
| <rightoption>zbiorem spójnym</rightoption>
| |
| <wrongoption>zbiorem nieograniczonym</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Jeśli <math>\displaystyle d</math> jest funkcją określoną na
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2</math> jako
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle d\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)= (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| to
| |
| <rightoption><math>\displaystyle d</math> przyjmuje wartości nieujemne</rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle d</math> jest funkcją symetryczną</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle d</math> jest metryką</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Przedział <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]</math> z metryką dyskretną
| |
| <wrongoption>jest zwarty</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest spójny</wrongoption>
| |
| <wrongoption>zawiera się w kuli o środku <math>\displaystyle \displaystyle x_0=\frac{1}{2}</math> i promieniu <math>\displaystyle \displaystyle r=\frac{3}{4}</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Określamy metrykę na <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> wzorem <math>\displaystyle \displaystyle d(x,y):=\mathrm{arctg}\, d_2(x,y).</math> Niech <math>\displaystyle \displaystyle A:=[0,+\infty).</math> W tej przestrzeni metrycznej średnica zbioru <math>\displaystyle A</math> jest równa
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\pi</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{\pi}{2}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\infty</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Niech <math>\displaystyle A_n</math> będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}, d_2),\displaystyle \displaystyle A_n:=\bigg\{\frac{1}{k}, k>n\bigg\}.</math> Niech <math>\displaystyle \displaystyle B_n:=\overline{A_n}.</math> Wtedy
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n</math> jest równe
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\emptyset</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\{0\}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n=1}^{\infty}</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2)</math> dane są dwa zbiory <math>\displaystyle A=\bigg\{(x,y):\ y=\frac{1}{x}\bigg\},\displaystyle B=\big\{(x,y):\ x=y\big\}.</math>
| |
| Wówczas zbiór <math>\displaystyle A\cup B</math>
| |
| <wrongoption>jest zwarty</wrongoption>
| |
| <rightoption>jest spójny</rightoption>
| |
| <wrongoption>ma niepuste wnętrze.</wrongoption>
| |
|
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2)</math> dany jest zbiór <math>\displaystyle A=K((0,0),4)\setminus K((0,0),2).</math>
| |
| Brzegiem zbioru <math>\displaystyle A</math> jest
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=2\big\}</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=4\big\}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=2\ </math> lub <math>\displaystyle \ x^2+y^2=4\big\}</math></rightoption>
| |
|
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
|
| 22222222222222222222222222222222222222222 | | 22222222222222222222222222222222222222222 |
| Linia 117: |
Linia 20: |
| ==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test== | | ==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| <wrongoption>jest stały</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest od pewnego miejsca stały</wrongoption>
| |
| <rightoption>zawsze</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n \in\mathbb{N}}</math> w przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle \displaystyle\big(\mathbb{R}\setminus \{0\}, d_2\big)</math> jest
| |
| ciągiem
| |
| <wrongoption>zbieżnym w tej przestrzeni</wrongoption>
| |
| <rightoption>spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni</rightoption>
| |
| <rightoption>ograniczonym w tej przestrzeni</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>\displaystyle O=(0,0)</math>
| |
| dany jest ciąg <math>\displaystyle x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}.</math>
| |
| Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>\displaystyle d(x_n,x_{n+1})</math>
| |
| <wrongoption>maleje do zera, gdy <math>\displaystyle n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest zawsze w przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [1,2]</math></wrongoption>
| |
| <rightoption>jest zawsze w przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [2,4]</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Punktami stałymi odwzorowania <math>\displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\displaystyle f(x)=x^2+x-1</math> są
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle -1</math> i <math>\displaystyle 1</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption>odwzorowanie nie ma punktów stałych</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Obrazem odcinka <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]</math> przez funkcję <math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{x-2}</math> jest
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg[\frac{1}{2},1\bigg]</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg[-1,-\frac{1}{2}\bigg]</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg(-\infty,-\frac{1}{2}\bigg]</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>\displaystyle A=\{5,25\}.</math> Zbiór <math>\displaystyle A</math>
| |
| <wrongoption>jest spójny</wrongoption>
| |
| <rightoption>jest zwarty</rightoption>
| |
| <rightoption>zawiera się w pewnej kuli o promieniu <math>\displaystyle 2</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Niech <math>\displaystyle A</math> będzie kulą w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>\displaystyle d_1</math> o środku <math>\displaystyle \displaystyle (0,0)</math> i promieniu <math>\displaystyle 1.</math>
| |
| Promień największej kuli w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>\displaystyle d_2</math>
| |
| o środku <math>\displaystyle \displaystyle (0,0)</math> zawartej w kuli <math>\displaystyle A</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty <math>\displaystyle A.</math> Wówczas zbiór <math>\displaystyle A</math> jest
| |
| <rightoption>zwarty</rightoption>
| |
| <rightoption>skończony</rightoption>
| |
| <rightoption>ograniczony</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>\displaystyle A=\{-1\}\cup [2,3].</math> Wówczas
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
|
| 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 | | 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 |
| Linia 211: |
Linia 25: |
| ==Norma. Iloczyn skalarny. Test== | | ==Norma. Iloczyn skalarny. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle\|x\|_1=17</math> dla
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-4,5,-8)</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-1,1,17)</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle x=(-4,0,1)</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(3,5)</math> i <math>\displaystyle y=(-1,a)</math> są prostopadłe dla
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-\frac{3}{5}</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=\frac{3}{5}</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=\frac{5}{3}</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> ze standardowym iloczynem skalarnym wektory <math>\displaystyle x=(-1,2,3)</math> i <math>\displaystyle y=(1,a,b)</math> są prostopadłe dla
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=2,\ b=-1</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=5,\ b=-3</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-1,\ b=1</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> definiujemy <math>\displaystyle \displaystyle ((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=ax_1y_1+x_2y_2.</math>
| |
| Jest to iloczyn skalarny dla
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=0</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle a=5</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle a=-5</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> odległość wektorów <math>\displaystyle x=(-1,2)</math> i <math>\displaystyle y=(3,1)</math> wynosi
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{17}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{10}</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{15}</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni unitarnej <math>\displaystyle X</math> dane są dwa wektory <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y.</math>
| |
| Jeśli <math>\displaystyle x\perp y,</math> to
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|=\|x\|^2-\|y\|^2</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^3=\|x+y\|^3</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\{y_n\}</math> są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej <math>\displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big),</math> to
| |
| <rightoption>Ciągi <math>\displaystyle \displaystyle\{\|x_n\|\}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\{\|y_n\|\}</math> są zbieżne w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math></rightoption>
| |
| <rightoption>Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{(x_n|y_n)\}</math> jest zbieżny w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math></rightoption>
| |
| <rightoption>Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{\|x_n-y_n\|\}</math> jest zbieżny w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|)</math> prawdziwe są nierówności
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|x\|-\|y\|</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|y\|-\|x\|</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge -\|x\|-\|y\|</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Dla funkcji <math>\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow\mathbb{R}</math> danej wzorem <math>\displaystyle f(x)=\sqrt{\pi}(x^2-x)</math> norma supremowa <math>\displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty}</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{\pi}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{4}\sqrt{\pi}</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
|
| 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 | | 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 |
| Linia 301: |
Linia 31: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Dany jest ciąg funkcyjny <math>\displaystyle \displaystyle\{f_n\},</math> gdzie | | Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie |
| <math>\displaystyle \displaystyle | | <math> |
| f_n(x)= | | f_n(x)= |
| \left\{ | | \left\{ |
| \begin{array} {lll} | | \begin{array} {lll} |
| 1 & \textrm{dla} & x\in[n,n+1]\\ | | 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ |
| 0 & \textrm{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] | | 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right.</math> | | \right</math> |
| dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}.</math> | | dla <math>n\in\mathbb{N}</math> |
| Ciąg ten jest | | Ciąg ten jest |
| <rightoption>zbieżny punktowo do <math>\displaystyle f(x)\equiv 0</math></rightoption> | | <rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption> |
| <wrongoption>zbieżny jednostajnie do <math>\displaystyle f(x)\equiv 0</math></wrongoption> | | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption> |
| <wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x)= | | <wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)= |
| \left\{ | | \left\{ |
| \begin{array} {lll} | | \begin{array} {lll} |
| 1 & \textrm{dla} & x\geq 1\\ | | 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ |
| 0 & \textrm{dla} & x<0 | | 0 & \text{dla} & x<0 |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right.</math></wrongoption> | | \right</math></wrongoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 326: |
Linia 56: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Dany jest ciąg funkcyjny <math>\displaystyle \displaystyle\{f_n\},</math> gdzie | | Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie |
|
| |
|
| <center><math>\displaystyle f_n(x)= | | <center><math>f_n(x)= |
| \left\{ | | \left\{ |
| \begin{array} {lll} | | \begin{array} {lll} |
| \displaystyle \frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \textrm{dla} & x>0\\
| | \frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\ |
| \\ | | \\ |
| \displaystyle \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \textrm{dla} & x<0\\
| | \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\ |
| \\ | | \\ |
| 0 & \textrm{dla} & x=0\\ | | 0 & \text{dla} & x=0\\ |
| \end{array} | | \end{array} |
| \right. | | \right. |
| \quad </math> dla <math>\displaystyle \ n=1,2,\ldots | | \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots |
| </math></center> | | </math></center> |
|
| |
|
| Linia 350: |
Linia 80: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Dany jest ciąg funkcyjny <math>\displaystyle \displaystyle f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>\displaystyle x\ge 0.</math> Ten ciąg | | Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg |
| <wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption> | | <wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption> |
| <wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption> | | <wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption> |
| Linia 359: |
Linia 89: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Dany jest szereg <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}.</math> Ten szereg jest | | Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest |
| <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>\displaystyle f(x)\equiv 0.</math></wrongoption> | | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption> |
| <rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>\displaystyle f</math> takiej, że <math>\displaystyle 0<f(x)<3</math></rightoption> | | <rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption> |
| <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption> | | <wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 368: |
Linia 98: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle | | Funkcja <math> |
| f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}.</math> | | f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math> |
| Granica <math>\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi | | Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{10}</math></rightoption> | | <rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption> |
| <wrongoption><math>\displaystyle \sqrt{3}</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption> |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>0</math></wrongoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 379: |
Linia 109: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Szereg <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest | | Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest |
| <wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption> | | <wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption> |
| <wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption> | | <wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption> |
| Linia 388: |
Linia 118: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\cos 2x</math> to | | Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption> |
| | | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption> |
| | | |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption> | | <rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 399: |
Linia 129: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>\displaystyle x_0=0</math> wynosi | | Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption> |
| | | |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption> | | <rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption> |
| | | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 410: |
Linia 140: |
|
| |
|
| <quiz> | | <quiz> |
| Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\displaystyle \displaystyle\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>\displaystyle x_0=1.</math> Współczynnik przy <math>\displaystyle x</math> wynosi | | Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{15}{16}</math></rightoption> | | <rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption> |
| | | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{5}{16}</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption> |
| | | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{16}</math></wrongoption> | | <wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption> |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| Linia 424: |
Linia 154: |
| ==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test== | | ==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| Promień zbieżności szeregu <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+(-1)^{n+1}}(x-2)^n</math> wynosi
| |
| <wrongoption>2</wrongoption>
| |
| <wrongoption>-1</wrongoption>
| |
| <rightoption>1</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Przedział zbieżności szeregu potęgowego <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^3}(x+1)^n</math> jest równy
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle [-1,1]</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle [-2,0]</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle (-2,0)</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n</math> ma promień zbieżności <math>\displaystyle R.</math> Szereg <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n^2+3n+2)c_{n+2}x^n</math> ma promień zbieżności
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle R+2</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle R^2</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle R</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Promień zbieżności szeregu potęgowego <math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=01}^{\infty}n^nx^n</math> jest równy
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\infty</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle n</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest dana jako suma szeregu <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(x-2)^n.</math> Wówczas:
| |
| <rightoption><math>\displaystyle f</math> jest określona i ciągła na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [2,3)</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle f</math> jest określona i ciągła na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [2,3]</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle f</math> jest określona i ciągła na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle (2,3)</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\displaystyle f(x)=x^2-1+x-1.</math>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle x^2-1+x-1</math> jest rozwinięciem <math>\displaystyle f</math> w szereg Taylora o środku w <math>\displaystyle x_0=1</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle x^2+x-1</math> jest rozwinięciem <math>\displaystyle f+1</math> w szereg Taylora o środku w <math>\displaystyle x_0=0</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle x^2-1+x-1</math> jest rozwinięciem <math>\displaystyle f</math> w szereg Taylora o środku w <math>\displaystyle x_0=-1</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Szereg Fouriera funkcji <math>\displaystyle f(x)=\sin x\cos x</math> na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi]</math> to
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\sin x\cos x</math> </wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\sin x+\cos x</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi]</math> dana jest funkcja
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle f(x)
| |
| \ =\
| |
| \left\{
| |
| \begin{array} {lll}
| |
| 0 & \textrm{dla} & x=-\pi \\
| |
| x^3 & \textrm{dla} & x\in (-\pi, \pi)\\
| |
| 0 & \textrm{dla} & x=\pi
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Jej szereg Fouriera jest do niej zbieżny
| |
| <rightoption>na całym przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi]</math></rightoption>
| |
| <wrongoption>tylko na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi)</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption>tylko na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi)</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Szereg Fouriera funkcji <math>\displaystyle x^2+\cos x</math> to
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}-3\cos x+4\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^m\frac{\cos mx}{m^2}</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\cos x+4\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m\frac{\cos mx}{m^2}</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\cos x+4\sum_{m=1}^{\infty}\cos(m\pi)\frac{\cos mx}{m^2}</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
|
| 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 | | 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 |
| Linia 522: |
Linia 159: |
| ==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test== | | ==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iiint\limits_K\ dxdydz,</math> gdzie <math>\displaystyle K=[-1,1]\times[-2,3]\times[-2,0]</math> wynosi:
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle -20</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 20</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Na zbiorze <math>\displaystyle D=[0,1]\times[0,3]</math> dana jest funkcja
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle f(x,y) \ =\
| |
| \left\{
| |
| \begin{array} {lll}
| |
| 1 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[0,1]\\
| |
| 0 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times(1,2)\\
| |
| -1 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy,</math>
| |
| <rightoption>jest równa <math>\displaystyle 0</math></rightoption>
| |
| <wrongoption>jest równa <math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption>nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> dany jest odcinek <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]\times\{c\}=:T</math> oraz funkcja <math>\displaystyle f: T\to \mathbb{R}</math> dana wzorem <math>\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2.</math>
| |
| Wtedy całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Tf(x,y)\ dxdy</math> jest równa
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle b^2-a^2</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle c^2</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Odcinek ma miarę zero w
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math></rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Na zbiorze <math>\displaystyle D=[-1,1]\times[0,2]</math> funkcja <math>\displaystyle f: D\to \mathbb{R}</math> dana jest wzorem <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y) =\sqrt{1-x^2}.</math>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy</math> jest równa
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 4</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 2\pi</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\pi</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| <math>\displaystyle P</math> jest punktem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> o współrzędnych <math>\displaystyle \displaystyle (3,-4,4).</math>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iiint\limits_P(x^2+y^2+z^2)\ dxdydz</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 9</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 41</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| <math>\displaystyle D</math> jest kołem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> o promieniu <math>\displaystyle 1</math> o środku w <math>\displaystyle \displaystyle (0,0).</math>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy</math> jest równa
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{4}{3}\pi</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi^2</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Brzegiem kwadratu <math>\displaystyle D=[0,1]\times[0,1]</math> w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest
| |
| <wrongoption>zbiór punktów <math>\displaystyle \displaystyle\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption>zbiór odcinków <math>\displaystyle \displaystyle\{\{0\}\times[0,1], \{1\}\times[0,1], [0,1]\times\{0\},[0,1]\times\{1\}\}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Brzegiem okręgu <math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ x^2+y^2=1\}</math> w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest
| |
| <wrongoption>zbiór pusty</wrongoption>
| |
| <rightoption>ten okrąg</rightoption>
| |
| <wrongoption>punkt <math>\displaystyle \displaystyle (0,-1)</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
|
| 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 | | 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 |
| Linia 625: |
Linia 164: |
| ==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test== | | ==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| W całce <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{x^2-2x}}f(x,y)\,dy\,dx</math> całkujemy po zbiorze danym we współrzędnych biegunowych jako
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg],\displaystyle \displaystyle0\le r\le \cos \alpha</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg],\displaystyle \displaystyle 0\le r\le 2\cos\alpha</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\pi\bigg],\displaystyle \displaystyle 0\le r\le 2\sin\alpha</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1dy\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{1-y^2}}dx\displaystyle\int\limits_0^{xy}f(x,y,z)\,dz</math>
| |
| jest równa całce
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}dy\displaystyle\int\limits_{xy}^0(-f(x,y,z))dz</math></rightoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^0dx\displaystyle\int\limits_{\sqrt{1-x^2}}^0dy\displaystyle\int\limits_0^{xy}f(x,y,z)dz</math></rightoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^0dy\displaystyle\int\limits_{\sqrt{1-y^2}}^0dx\displaystyle\int\limits_{xy}^0(-f(x,y,z))dz</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_K 2dxdy,</math> gdzie <math>\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+y^2\leq 4\}</math> wynosi
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 8\pi</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 4\pi</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 16\pi</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_D (x^2+y^2)dxdy,</math> gdzie <math>\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \ x^2+y^2\leq 4\}</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{3}{4}\pi</math></wrongoption>
| |
|
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle 8\pi</math></rightoption>
| |
|
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{4}{3}\pi</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_W dxdydz,</math> gdzie <math>\displaystyle W=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ z^2+y^2\leq 4, \ 0\leq x\leq H \}</math> (gdzie <math>\displaystyle H</math> jest dane i większe od zera) jest równa
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 4\pi H^2</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\pi H^2</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 2\pi H^2</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| We współrzędnych biegunowych zbiór <math>\displaystyle D\subset \mathbb{R}^2</math> jest zadany jako
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \bigg\{(r,\alpha):\ 2<r\leq 4, \
| |
| \alpha\in\bigg[\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\bigg]\bigg\}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| We współrzędnych kartezjańskich zbiór <math>\displaystyle D</math> można zapisać jako
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ \sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\leq 2, \ |x|\leq y\}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ \sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\leq 2, \ |y|\leq x\}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ 2<x^2+y^2\leq 4, \ |x|\leq y\}</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka po kuli o promieniu <math>\displaystyle R</math> z funkcji
| |
| <math>\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2</math> jest równa
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{4}{5}\pi R^5</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{2}{5}\pi R^5</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle K=\underbrace{[-1,1]\times\ldots\times [-1,1]}_{ \displaystyle n</math> razy <math>\displaystyle },</math> to całka <math>\displaystyle \displaystyle\idotsint\limits_Kdx_1\ldots dx_n</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle n</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 2^n</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Powierzchnia <math>\displaystyle D</math> ograniczona jest prostymi <math>\displaystyle y=0,\displaystyle y=\sqrt{3}x,\displaystyle y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}.</math> Na <math>\displaystyle D</math> określona jest gęstość <math>\displaystyle \displaystyle\rho(x,y)\equiv 1.</math> Środek ciężkości powierzchni <math>\displaystyle D</math> leży w punkcie:
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\bigg)</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\bigg)</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
|
| 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212 | | 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212 |
| Linia 724: |
Linia 169: |
| ==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test== | | ==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test== |
|
| |
|
| <quiz>
| |
| Krzywa zadana przez parametryzację <math>\displaystyle \displaystyle\gamma(t)=(t^3,t^3),\displaystyle \displaystyle t\in\bigg[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg]</math> jest
| |
| <wrongoption>łukiem gładkim</wrongoption>
| |
| <rightoption>krzywą zwyczajną</rightoption>
| |
| <wrongoption>krzywą mającą punkty podwójne</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Krzywa zadana przez parametryzację <math>\displaystyle x=\sin^3 t, y=\cos^3 t, \ t\in [0,\pi]</math> jest
| |
| <rightoption>krzywą regularną</rightoption>
| |
| <wrongoption>krzywą zamkniętą</wrongoption>
| |
| <rightoption>krzywą zwyczajną</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Mamy trzy parametryzacje odcinka w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> łączącego punkt <math>\displaystyle \displaystyle (-1,-1)</math> z punktem <math>\displaystyle \displaystyle (0,0)</math>:
| |
|
| |
| <math>\displaystyle \gamma_I(t)=(t,t),\ t\in[-1,0]\ \ \gamma_{II}(t)=(-t,-t),\ t\in[0,1]\ \ \gamma_{III}(t)=</math><math>\displaystyle (-1-t,-1-t),\ t\in[-1,0].
| |
| </math>
| |
|
| |
| <rightoption>Parametryzacje <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_I</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}</math> zadają przeciwne orientacje</rightoption>
| |
| <rightoption>Parametryzacje <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_{II}</math> zadają tę samą orientację</rightoption>
| |
| <wrongoption>Parametryzacje <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_{III}</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\gamma_{I}</math> zadają tę samą orientację</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Pole wektorowe na <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> dane jako <math>\displaystyle F(x,y)=(x^2+ay,y^2+x)</math>
| |
| jest polem potencjalnym dla
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle a=-1</math> </wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle a=1</math> </rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle a=0</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K xdx+ydy </math> po odcinku <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]\times \{0\}</math> w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest równa
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K xdx-ydy </math> po brzegu trójkąta o wierzchołkach <math>\displaystyle \displaystyle (0,0), (1,0), (0,1)</math> jest równa
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 0</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K \big(-y\cos^2x\big) dx+ \bigg(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x\bigg)dy</math> po brzegu koła jednostkowego o środku w <math>\displaystyle \displaystyle (0,0)</math> wynosi
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0</math></wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle\pi</math></rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 2\pi</math></wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Ky^2dx+2xydy</math> po krzywej
| |
| zadanej przez parametryzację <math>\displaystyle \displaystyle\gamma(t)=(t,t^2),\ t\in[0,1]</math> jest
| |
| <wrongoption>równa zero</wrongoption>
| |
| <rightoption>równa <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1 3s^2ds</math></rightoption>
| |
| <rightoption>równa <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1 5s^4 ds</math></rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Zbiór <math>\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ 2<x^2+y^2<4\}</math>
| |
| <rightoption>jest spójny</rightoption>
| |
| <wrongoption>jest jednospójny</wrongoption>
| |
| <rightoption>jest ograniczony</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
|
| 1414141414141414141414141414141414141414141414141414 | | 1414141414141414141414141414141414141414141414141414 |
|
| |
|
| ==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test== | | ==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test== |
|
| |
| <quiz>
| |
| Równanie
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle\dot{x}-\sqrt{x}t=0</math> jest równaniem
| |
| '''(a)''' o zmiennych rozdzielonych
| |
| '''(b)''' Bernoullego
| |
| '''(c)''' liniowym
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Równanie <math>\displaystyle \displaystyle (\dot{x})^2+x=t</math>
| |
| jest równaniem różniczkowym
| |
| '''(a)''' rzędu pierwszego
| |
| '''(b)''' rzędu drugiego
| |
| '''(c)''' liniowym niejednorodnym
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Funkcja <math>\displaystyle x(t)=\cos t</math>
| |
| jest rozwiązaniem równania różniczkowego
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle \displaystyle\ddot{x}+x=0</math>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle \displaystyle \dot{x}+x=\sqrt{2}\sin\bigg(\frac{\pi}{4}-t\bigg)</math>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle \displaystyle (\dot{x})^2+x^2=1</math>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Zadanie 4. Równanie charakterystyczne
| |
| dla równania <math>\displaystyle x^{(4)}+2x=-t</math>
| |
| '''(a)''' ma pierwiastek podwójny równy <math>\displaystyle -1</math>
| |
| '''(b)''' ma cztery pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych równych <math>\displaystyle 0</math>
| |
| '''(c)''' ma cztery pierwiastki zespolone o niezerowych częściach
| |
| rzeczywistych
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Rozwiązaniem ogólnym
| |
| równania <math>\displaystyle \displaystyle\dot{x}-x=\cos t</math>
| |
| '''(a)''' jest <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{-t}-\cos t,</math> gdzie <math>\displaystyle C</math> jest stałą dowolną
| |
| '''(b)''' jest <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t},</math> gdzie <math>\displaystyle C</math> jest stałą dowolną
| |
| '''(c)''' jest <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t}-0.5\cos t,</math> gdzie <math>\displaystyle C</math> jest stałą
| |
| dowolną </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Rozwiązaniem równania
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle\sqrt{1-t^2}\dot{x}+\sqrt{1+x^2}=0</math>
| |
| jest funkcja <math>\displaystyle x(t)</math> zadana
| |
| równaniem
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle \displaystyle{\rm arsinh\, }{x}-\arcsin{t}=0</math>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle \displaystyle\ln|x+\sqrt{1+x^2}|=\arcsin{t}</math>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle \displaystyle\ln|x+\sqrt{1+x^2}|=\ln\bigg|\frac{1+t}{1-t}\bigg|</math>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Dane jest równanie
| |
| różniczkowe <math>\displaystyle \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x=t^4</math> mające <math>\displaystyle n</math>
| |
| różnych pierwiastków równania charakterystycznego. Rozwiązania
| |
| szczególnego (metodą przewidywań)
| |
| szukamy w postaci
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=a_1t^4+a_2t^3+a_3t^2+a_4t+a_5</math>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=e^t(a_1t^4+a_2t^3+a_3t^2+a_4t+a_5)</math>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle \displaystyle x(t)=a_1t^5+a_2t^4+a_3t^3+a_4t^2+a_5t</math>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| W rozwiązaniu ogólnym równania <math>\displaystyle \displaystyle \dot{x}-x=0</math>
| |
| bierzemy stałą <math>\displaystyle C</math> tak, by rozwiązanie równania przechodziło
| |
| przez punkt <math>\displaystyle \displaystyle (\ln 2, 1).</math> Ta stała jest równa
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle -2</math>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle 2</math>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}</math>
| |
|
| |
| nie tak nie
| |
|
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| <quiz>
| |
| Weźmy rozwiązanie ogólne równania
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \ddot{x}+x=1</math> ze stałymi dowolnymi <math>\displaystyle C_1</math> i <math>\displaystyle C_2.</math>
| |
| Jeśli to rozwiązanie oraz jego pochodna przechodzą
| |
| przez punkt <math>\displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{\pi}{2},\pi\bigg),</math> to stałe
| |
| <math>\displaystyle C_1</math> i <math>\displaystyle C_2</math> należą do zbioru
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle \displaystyle\big\{\pi,1\big\}</math>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle \displaystyle\big\{-\pi,\pi-1\big\}</math>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle \displaystyle\bigg\{1-\pi,\frac{\pi}{2}\bigg\}</math>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| nie tak nie
| |
