Analiza matematyczna 1/Test 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,”
 
(Nie pokazano 5 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
Ciąg <math>\{(-1)^nn\}</math> ma podciąg
<rightoption>rosnący</rightoption>
<rightoption>rozbieżny do <math>-\infty</math></rightoption>
<rightoption>który nie ma granicy</rightoption>
</quiz>


\newtheorem*{stre}{Streszczenie}
\newtheorem*{wsk}{Wskazówka}
\newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie}
\newtheorem*{textt}{}
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{stw}[thm]{Stwierdzenie}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{uwa}[thm]{Uwaga}
\newtheorem{exa}[thm]{Example}
\newtheorem{dfn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{wn}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{prz}[thm]{Przykład}
\newtheorem{zadan}[thm]{Zadanie}


\le{\leqslant}
<quiz>
\ge{\geqslant}
Ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rozbieżny do <math>+\infty</math>. Wtedy ciąg <math>\{a_n+(-1)^n\}</math> <br>
<rightoption>jest rozbieżny do <math>+\infty</math></rightoption>
<wrongoption>jest zbieżny</wrongoption>
<wrongoption>posiada podciąg zbieżny</wrongoption>
</quiz>


==Ciągi liczbowe. Test==


\bzad
<quiz>
  Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{(-1)^nn\}</math> ma podciąg<br>
Ciąg <math>\big\{\sqrt[n]{(-1)^n+2^n+3^n}\big\}</math>
  '''(a)''' rosnący<br>
<wrongoption>jest zbieżny do <math>2</math></wrongoption>
  '''(b)''' rozbieżny do <math>\displaystyle -\infty</math><br>
<rightoption>jest zbieżny do <math>3</math></rightoption>
  '''(c)''' który nie ma granicy
<wrongoption>jest rozbieżny</wrongoption>
\ezad
</quiz>


  tak, tak, tak


\bzad
<quiz>
  Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{a_n\}</math> jest rozbieżny do
Ciąg <math>\{a_n\}</math> zmierza do pewnej liczby <math>a\ge 0</math>.
  <math>\displaystyle +\infty.</math> Wtedy ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{a_n+(-1)^n\}</math> <br>
Rozważmy ciąg <math>\{b_n\}</math> dany przez  <math>b_n=na_n</math>. Ten ciąg
  '''(a)''' jest rozbieżny do <math>\displaystyle +\infty</math><br>
<wrongoption>jest zawsze rozbieżny do <math>+\infty</math></wrongoption>
  '''(b)''' jest zbieżny<br>
<rightoption>może zmierzać do <math>a</math></rightoption>
  '''(c)''' posiada podciąg zbieżny
<rightoption>może mieć podciąg rozbieżny do <math>-\infty</math></rightoption>
\ezad
</quiz>


  tak, nie, nie


\bzad
<quiz>
  Ciąg
Granica ciągu <math>\bigg\{\frac{1}{\ln n}\left(\sin\frac{1}{n}+\cos^2\frac{1}{n}-4\right)\bigg\}</math>
  <math>\displaystyle \displaystyle\big\{\sqrt[n]{(-1)^n+2^n+3^n}\big\}</math> <br>
<rightoption>jest równa zero</rightoption>
  '''(a)''' jest zbieżny do <math>\displaystyle 2</math><br>
<wrongoption>jest równa <math>-2</math></wrongoption>
  '''(b)''' jest zbieżny do <math>\displaystyle 3</math><br>
<wrongoption>nie istnieje</wrongoption>
  '''(c)''' jest rozbieżny
</quiz>
\ezad


  nie, tak, nie


\bzad
<quiz>
  Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{a_n\}</math>  zmierza do pewnej liczby <math>\displaystyle a\ge 0.</math>
Jeśli ciąg <math>\{a_n\}</math> zmierza do <math>+\infty</math> oraz <math>\{b_n\}</math> jest ciągiem takim, że <math>b_n\ge na_n</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>, to
  Rozważmy ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{b_n\}</math> dany przez  <math>\displaystyle b_n=na_n.</math> Ten ciąg<br>
<rightoption>ciąg <math>\{b_n\}</math> jest rozbieżny do <math>+\infty</math></rightoption>
  '''(a)''' jest zawsze rozbieżny do <math>\displaystyle +\infty</math><br>
<wrongoption>ciąg <math>\{b_n\}</math> może być zbieżny</wrongoption>
  '''(b)''' może zmierzać do <math>\displaystyle a</math><br>
<wrongoption>dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}</math> zachodzi <math>b_n\ge a_n</math></wrongoption>
  '''(c)''' może mieć podciąg rozbieżny do <math>\displaystyle -\infty</math>
</quiz>
\ezad
 
  nie, tak, tak
 
\bzad
  Granica ciągu
  <math>\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{\ln n}\left(\sin\frac{1}{n}+\cos^2\frac{1}{n}-4\right)\bigg\}</math><br>
  '''(a)''' jest równa zero<br>
  '''(b)''' jest równa <math>\displaystyle -2</math><br>
  '''(c)''' nie istnieje
\ezad
 
  tak, nie, nie
 
\bzad
  Jeśli ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{a_n\}</math> zmierza do <math>\displaystyle +\infty</math> oraz <math>\displaystyle \{b_n\}</math> jest
  ciągiem takim, że <math>\displaystyle b_n\ge na_n</math> dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N},</math> to <br>
  '''(a)''' ciąg <math>\displaystyle \{b_n\}</math> jest rozbieżny do <math>\displaystyle +\infty</math><br>
  '''(b)''' ciąg <math>\displaystyle \{b_n\}</math> może być zbieżny <br>
  '''(c)''' dla dowolnego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> zachodzi <math>\displaystyle b_n\ge a_n</math>
\ezad
 
  tak, nie, nie

Aktualna wersja na dzień 09:33, 5 wrz 2023

Ciąg {(−1)nn} ma podciąg

rosnący

rozbieżny do −∞

który nie ma granicy


Ciąg {an} jest rozbieżny do +∞. Wtedy ciąg {an+(−1)n}

jest rozbieżny do +∞

jest zbieżny

posiada podciąg zbieżny


Ciąg {(−1)n+2n+3nn}

jest zbieżny do 2

jest zbieżny do 3

jest rozbieżny


Ciąg {an} zmierza do pewnej liczby a≥0. Rozważmy ciąg {bn} dany przez bn=nan. Ten ciąg

jest zawsze rozbieżny do +∞

może zmierzać do a

może mieć podciąg rozbieżny do −∞


Granica ciągu {1ln⁡n(sin⁡1n+cos⁡21n−4)}

jest równa zero

jest równa −2

nie istnieje


Jeśli ciąg {an} zmierza do +∞ oraz {bn} jest ciągiem takim, że bn≥nan dla n∈ℕ, to

ciąg {bn} jest rozbieżny do +∞

ciąg {bn} może być zbieżny

dla dowolnego n∈ℕ zachodzi bn≥an

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Test_4:_Ciągi_liczbowe&oldid=80674”