Test GR: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 28 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 7: Linia 7:
------------------------------
------------------------------


{theor}{TWIERDZENIE}[section]
{rem}{UWAGA}[section]
{corol}{WNIOSEK}[section]
{fact}{FAKT}[section]
{ex}{PRZYKŁAD}[section]
{cw}{PYTANIE}[section]
{defin}{DEFINICJA}[section]
{lem}{LEMAT}[section]


{prf}{DOWÓD}
1111111111111111111111111111111111111111111
{sol}{ROZWIĄZANIE}
{hint}{WSKAZÓWKA}


{Języki kontekstowe i maszyna Turinga - Test}


{Test wielokrotnego wyboru}


{{cwiczenie|Czytanie słowa przez automaty||
1111111111111111111111111111111111111111111


<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  Automat liniowo ograniczony może dopisywać literę na
początku lub na końcu czytanego słowa.


; b.
:  Maszyna Turinga może zmieniać długość czytanego słowa.


; c.
22222222222222222222222222222222222222222
:  Automat ze stosem może w jednym przejściu dowolną literę
słowa zapisanego na stosie zastąpić dowolnym słowem nad alfabetem
stosu.


; d.
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==
:  Automat ze stosem i automat liniowo ograniczony mogą
zmieniać stan bez czytania litery.


; e.
:  Automat liniowo ograniczony może w czytanym słowie
zmieniać dowolną literę z alfabetu taśmy
}}


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
b,d
</div></div>


{{cwiczenie|Gramatyki i automaty||
==Norma. Iloczyn skalarny. Test==


<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  Każda gramatyka bezkontekstowa jest kontekstowa.


; b.
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
:  Język <math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
ze stosem wtw gdy jest akceptowany przez niedeterministyczny automat
ze stosem.
 
; c.
:  Każda gramatyka regularna jest bezkontekstowa.
 
; d.
:  Każdy język bezkontekstowy jest kontekstowy.
 
; e.
:  Język <math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
skończenie stanowy wtw gdy jest akceptowany przez
niedeterministyczny automat skończenie stanowy.
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
c, d, e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Rodziny <math>\displaystyle \mathcal{L}_0</math> i <math>\displaystyle \mathcal{L}_1</math>||
 
<br>
Rodziny <math>\displaystyle \mathcal{L}_0</math> i <math>\displaystyle \mathcal{L}_1</math> mają następujące
własności:
; a.
:  są zamknięte na sumę
 
; b.
:  są zamknięte na uzupełnienie
 
; c.
:  są zamknięte na katenację
 
; d.
:  są zamknięte na iloczyn mnogościowy
 
; e.
:  są równe
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, c,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Gramatyki rozszerzające||
 
<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  każda gramatyka kontekstowa jest rozszerzająca
 
; b.
:  każda gramatyka bezkontekstowa jest rozszerzająca
 
; c.
:  każda gramatyka regularna jest rozszerzająca
 
; d.
:  dla każdej gramatyki rozszerzającej istnieje równoważna jej
gramatyka kontekstowa
 
; e.
:  dla każdej gramatyki bezkontekstowej istnieje równoważna
jej gramatyka rozszerzająca
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, d, e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Gramatyki kontekstowe||
 
<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  Istnieje gramatyka rozszerzająca, dla której nie istnieje
równoważna jej gramatyka kontekstowa.
 
; b.
:  Dla dowolnej gramatyki kontekstowej z markerem końca
istnieje równoważna jej gramatyka kontekstowa.
 
; c.
:  Dla dowolnego języka kontekstowego <math>\displaystyle L</math> istnieje automat
liniowo ograniczony <math>\displaystyle \mathcal{A}_{LO}</math> taki, że
<math>\displaystyle L=L(\mathcal{A}_{LO})</math>.
 
; d.
:  Iloczyn mnogościowy dwóch języków kontekstowych jest
językiem bezkontekstowym.
 
; e.
:  Dla dowolnego języka <math>\displaystyle L</math> rozpoznawanego przez automat
liniowo ograniczony istnieje gramatyka <math>\displaystyle G</math> taka, że <math>\displaystyle L=L(G)</math>.
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Domknięcie na iloczyn mnogościowy||
 
<br>
Wskaż klasy języków domknięte ze względu na iloczyn mnogościowy:
; a.
:  <math>\displaystyle \mathcal{L}_0</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle \mathcal{L}_3</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle \mathcal{L}_2</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle \mathcal{L}_1</math>
 
; e.
:  rodzina języków akceptowanych przez automaty skończenie stanowe
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,d,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Domknięcie klasy <math>\displaystyle \mathcal{L}_0</math>||
 
<br>
Klasa <math>\displaystyle \mathcal{L}_0</math> nie jest zamknięta ze względu na:
; a.
:  sumę
 
; b.
:  uzupełnienie
 
; c.
:  katenację
 
; d.
:  gwiazdkę Kleene'ego
 
; e.
:  przecięcie
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b
</div></div>
 
{{cwiczenie|Własności pewnego języka||
 
<br>
Rozważmy język:
<center><math>\displaystyle
L=\{a^n b^n c^n\: n\geq 5\}
</math></center>
 
Które z poniższych twierdzeń są prawdziwe:
; a.
:  problem, czy dane <math>\displaystyle w\in A^*</math> spełnia <math>\displaystyle w\in L</math> jest nierozstrzygalny
 
; b.
:  <math>\displaystyle L\in \textbf{PSPACE}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle L\in \textbf{NP}</math>
 
; d.
:  maszyna Turinga rozpoznająca język <math>\displaystyle L</math> musi być niedeterministyczna lub posiadać <math>\displaystyle 5</math> taśm
 
; e.
:  <math>\displaystyle L\in \textbf{P}</math>
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Gramatyki typu ''' (0) '''||
 
<br>
Gramatyki typu '''(0)''' generują klasę języków:
; a.
:  rekurencyjnych, ale tylko przy założeniu tezy Churcha
 
; b.
:  zawierającą klasę języków rekurencyjnie przeliczalnych, a przy dodatkowym założeniu tezy Churcha, także klasę języków
rekurencyjnych
 
; c.
:  identyczną z klasą języków rozpoznawalnych przez automat liniowo ograniczony
 
; d.
:  przy założeniu tezy Churcha, identyczną z klasą języków rozpoznawanych przez deterministyczną maszynę Turinga
 
; e.
:  zawierającą wszystkie języki które są rozpoznawane przez deterministyczną maszynę Turinga, ale istotnie
węższą niż klasa języków rozpoznawalnych przez niedeterministyczne maszyny Turinga.
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
d.
</div></div>
 
{{cwiczenie|Złożoności dla języków||
 
<br>
Załóżmy, że <math>\displaystyle L_1 \propto L_2</math> oraz dodatkowo <math>\displaystyle L_1 \in
\textbf{NP}</math>. W tej sytuacji:
 
; a.
:  wprost z definicji transformacji <math>\displaystyle \propto</math> wynika, że <math>\displaystyle L_2 \in  </math> '''NP'''
 
; b.
:  <math>\displaystyle L_1 \in  </math> '''PSPACE'''
 
; c.
:  jeśli dodatkowo <math>\displaystyle L_1 \not\in \textbf{P}</math> to <math>\displaystyle L_2 \not\in \textbf{P}</math>
 
; d.
:  jeśli język <math>\displaystyle L_1</math> jest <math>\displaystyle \textbf{P}</math>-zupełny, to <math>\displaystyle L_2</math> jest <math>\displaystyle \textbf{P}</math>-trudny
 
; e.
:  wykluczony jest warunek <math>\displaystyle L_2 \in \textbf{PSPACE}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,c,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Problemy nierozstrzygalne dla języków i gramatyk||
 
<br>
Które z poniżej wymienionych problemów są nierozstrzygalne:
; a.
:  problem niejednoznaczności dla gramatyk bezkontekstowych
 
; b.
:  problem, czy <math>\displaystyle L_1\cap L_2\neq \emptyset</math> dla języków regularnych
 
; c.
:  problem, czy dana gramatyka typu '''(0)''' generuje język pusty
 
; d.
:  problem Posta nad alfabetem <math>\displaystyle A=\{1,2,\dots,n\}</math> gdzie <math>\displaystyle n\geq 1</math>.
 
; e.
:  problem, czy <math>\displaystyle L_1 \subset L_2</math> dla języków zadanych przez gramatyki kontekstowe
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Równoważne maszyny Turinga||
 
<br>
Które z poniższych maszyn są równoważne maszynie Turinga?
; a.
:  maszyna Turinga z wieloma taśmami
 
; b.
:  maszyna Turinga z wieloma głowicami
 
; c.
:  maszyna Turinga z taśmą jednostronnie nieskończoną
 
; d.
:  maszyna Turinga z wieloma taśmami, z których każda jest
obustronnie ograniczona
 
; e.
:  maszyna Turinga niedeterministyczna
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Algorytmy a maszyna Turinga||
 
<br>
Stwierdzenie mówiące, iż każda efektywna procedura (algorytm) da się
opisać przez pewną maszynę Turinga, znane jest jako:
; a.
:  twierdzenie Kleene'ego
 
; b.
:  twierdzenie Nerode'a
 
; c.
:  teza Churcha
 
; d.
:  twierdzenie Savitcha
 
; e.
:  problem '''P'''<nowiki> =</nowiki>  '''NP'''
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
c
</div></div>
 
 
 
 
 
 
 
 
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
{theor}{TWIERDZENIE}[section]
{rem}{UWAGA}[section]
{corol}{WNIOSEK}[section]
{fact}{FAKT}[section]
{ex}{PRZYKŁAD}[section]
{cw}{PYTANIE}[section]
{defin}{DEFINICJA}[section]
{lem}{LEMAT}[section]
 
{prf}{DOWÓD}
{sol}{ROZWIĄZANIE}
{hint}{WSKAZÓWKA}
 
{Języki i gramatyki bezkontekstowe - Test}
 
{Test wielokrotnego wyboru}
 
{{cwiczenie|Języki bezkontekstowe nie będące regularnymi||
 
<br>
Wskaż języki bezkontekstowe, które nie są regularne:
 
; a.
:  <math>\displaystyle L_1=\{a^kb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle L_2=\{a^kb^k: k \in \mathds{N}\}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle L_3=\{a^kcb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle L_4=\{a^kcb^k: k \in \mathds{N}\}</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle L_5=\{w \in \{a,b\}^*: w = \overleftarrow{w}\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,d,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Języki Dycka i Łukasiewicza||
 
<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
 
; a.
:  Istnieje gramatyka reularna generująca język Dycka.
 
; b.
:  Język Dycka jest bezkontekstowy i nie jest regularny.
 
; c.
:  Istnieje automat skończenie stanowy rozpoznający język
Łukasiewicza.
 
; d.
:  Język Łukasiewicza da się opisać wyrażeniem regularnym.
 
; e.
:  Istnieje gramatyka bezkontekstowa bez symboli
bezużytecznych generująca język Dycka.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b, e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Lemat o pompowaniu||
 
<br>
Wskaż języki, które nie są bezkontekstowe:
; a.
:  <math>\displaystyle L_1=\{a^kb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle L_2=\{a^kb^nc^m: k < n < m\}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle L_3=\{a^nb^n: n \in \mathds{N}\}</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle L_4=\{ca^nb^n: n \in \mathds{N}\}</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle L_5=\{w\overleftarrow{w}a^{|w|}: w \in \{a,b\}^*\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b
</div></div>
 
{{cwiczenie|Przynależnośc słowa do języka bezkontekstowego||
 
<br>
Dana niech będzie gramatyka (<math>\displaystyle v_0</math> jest symbolem początkowym):
 
<center><math>\displaystyle \aligned v_0 &\rightarrow  v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
v_1 &\rightarrow  v_1v_2\ |\ v_2v_3 \\
v_2 &\rightarrow  v_4v_1\ |\ v_3v_3\ |\ a \\
v_3 &\rightarrow  v_1v_2\ |\ v_4v_2\ |\ b \\
v_4 &\rightarrow  v_3v_4\ |\ v_0v_1\ |\ c.
\endaligned</math></center>
 
Wskaż, które z poniższych słów należą do języka generowanego tą
gramatyką:
 
; a.
:  <math>\displaystyle cab^2abab</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle 1</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle b^7</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle bca</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle bcabb</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, c, e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Gramatyki niejednoznaczne||
 
<br>
Wskaż gramatyki <math>\displaystyle G=(V, A, v_0, P)</math> niejednoznaczne:
 
; a.
:  <math>\displaystyle V=\{v_0,v_1,v_2,v_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
v_2v_1\ |\ v_3</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1\ |\ a</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow
v_2b\ |\ b</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_3a\ |\ ba\}</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle V=\{v_0, v_1, v_2, v_3 \}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
v_3v_1</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1b\ |\ b</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow bv_2a\ |\
b</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_2c\}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle V=\{v_0, v_1\}, A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow v_0v_1\
|\ b</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1b\ |\ b\}</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle V=\{v_0, ..., v_5\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
av_1\ |\ av_3</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_1\ |\
1</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow av_4</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow
av_3\ |\ 1\}</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle V=\{v_0,v_1,v_2,v_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
v_2v_1</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1\ |\ a</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow v_2b\ |\
b\ |\ v_3</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_3a\ |\ ba\ |\ b \}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, d, e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Gramatyka bezkontekstowa||
 
<br>
Gramatyka <math>\displaystyle G=(V_N, V_T, v_0, P)</math>, gdzie <math>\displaystyle V_N=\{v_0,..., v_5\}</math>,
<math>\displaystyle V_T=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow av_1\ |\ av_3</math>, <math>\displaystyle v_1
\rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_1\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow
av_4</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow av_3\ |\ 1\}</math>:
 
; a.
:  generuje język <math>\displaystyle (aa)^+(aaa)^+</math>
 
; b.
:  generuje język <math>\displaystyle (aa+aaa)^*</math>
 
; c.
:  jest równoważna gramatyce <math>\displaystyle G'=(V_N', V_T, v_0, P')</math>, gdzie
<math>\displaystyle V_N'=\{v_0, ..., v_6\}</math>, <math>\displaystyle P'=\{v_0 \rightarrow av_1</math>, <math>\displaystyle v_1
\rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_3\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow
av_4\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow av_6</math>,
<math>\displaystyle v_6 \rightarrow av_1\ |\ 1</math>
 
; d.
:  jest jednoznaczna
 
; e.
:  generuje język <math>\displaystyle L(\mathcal{A})</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A,
s_0, f, F)</math> jest automatem skończenie stanowym takim, że <math>\displaystyle S=\{s_0,
..., s_4\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_2, s_3, s_4\}</math>,
<math>\displaystyle f(s_0,a)=f(s_4,a)=s_1</math>, <math>\displaystyle f(s_1, a)=s_2</math>, <math>\displaystyle f(s_2, a)=s_3</math>, <math>\displaystyle f(s_3,
a)=s_4</math>.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, c
</div></div>
 
{{cwiczenie|Jednoznaczność języków||
 
<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
 
; a.
:  każda gramatyka regularna jest jednoznaczna
 
; b.
:  każdy język jednoznaczny jest deterministyczny
 
; c.
:  każdy język regularny jest jednoznaczny
 
; d.
:  każdy język deterministyczny jest jednoznaczny
 
; e.
:  język jest jednoznaczny wtw gdy jest deterministyczny
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
c, d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Postać normalna Greibach i Chomsky'ego||
 
<br>
 
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  Każda gramatyka w postaci normalnej Chomsky'ego jest
bezkontekstowa.
 
; b.
:  Jeśli gramatyka bezkontekstowa <math>\displaystyle G</math> ma <math>\displaystyle n</math> produkcji, to
równoważna jej gramatyka <math>\displaystyle G'</math> w postaci normalnej Greibach ma co
najwyżej <math>\displaystyle 2n</math> produkcji.
 
; c.
:  Każdą gramatykę bezkontekstową można przekształcić do postaci normalnej
Greibach.
 
; d.
:  Żadna gramatyka w postaci normalnej Greibach nie jest
regularna.
 
; e.
:  Każda gramatyka w postaci normalnej Chomsky'ego jest
właściwa.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Automat ze stosem||
 
<br>
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
:  Każdy automat ze stosem akceptujący przez pusty stos
posiada równoważny automat ze stosem akceptujący przez stany
końcowe.
 
; b.
:  Każdy język bezkontekstowy jest akceptowany przez pusty
stos przez jednostanowy automat ze stosem.
 
; c.
:  Każdy automat ze stosem, w którym wielkość stosu jest
ograniczona przez pewną stałą, jest równoważny pewnemu automatowi
skończenie stanowemu.
 
; d.
:  Każdy automat ze stosem posiada równoważny
deterministyczny automat ze stosem.
 
; e.
:  Każdy automat ze stosem akceptujący przez stany końcowe
posiada równoważny automat ze stosem akceptujący przez pusty stos.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Zamkniętość rodziny języków bezkontekstowych||
 
<br>
Rodzina języków bezkontekstowych jest zamknięta ze względu na:
; a.
:  homomorfizm
 
; b.
:  iloczyn mnogościowy
 
; c.
:  uzupełnienie
 
; d.
:  gwiazdkę Kleene'ego
 
; e.
:  katenację
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,d,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Języki generowane gramatykami bezkontekstowymi||
 
<br>
Dane są dwie gramatyki: dla <math>\displaystyle i=1,2\displaystyle G_i=(\{v_0,v_1,v_2\},\{a,b,c\},v_0,P_i)</math>, gdzie <center><math>\displaystyle P_1=\{v_0
\rightarrow v_1v_2,\ v_1 \rightarrow av_1b,\ v_1 \rightarrow 1,\ v_2
\rightarrow cv_2,\ v_2 \rightarrow 1\},</math></center>
<center><math>\displaystyle P_2 = \{v_0 \rightarrow
v_1v_2,\ v_1 \rightarrow av_1,\ v_1 \rightarrow 1,\ v_2 \rightarrow
bv_2c,\ v_2 \rightarrow 1\}.</math></center>
Wówczas:
; a.
:  <math>\displaystyle L(G_1) \cap L(G_2) \not \in \mathcal{L}_2</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle L(G_1) \cap L(G_2)</math> jest językiem skończonym
 
; c.
:  <math>\displaystyle L(G_1)=L(G_2)</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle L(G_1) \subset L(G_2)</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle L(G_1) \cup L(G_2)\in \mathcal{L}_2</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Problemy rozstrzygalne dla języków bezkontekstowych||
 
<br>
Niech <math>\displaystyle L</math> będzie językiem bezkontekstowym. Wskaż problemy rozstrzygalne:
; a.
:  <math>\displaystyle w \in L</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle L = \emptyset</math>
 
; c.
:  nieskończoność <math>\displaystyle L</math>
 
; d.
:  równoważność dwóch gramatyk bezkontekstowych
 
; e.
:  jednoznaczność gramatyki bezkontekstowej
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,c
</div></div>
 
{{cwiczenie|Klasy języków||
 
<br>
Niech <math>\displaystyle L \in \mathcal{L}_2</math>, <math>\displaystyle R \in \mathcal{L}_3</math>. Wówczas:
; a.
:  <math>\displaystyle L \cap R \in \mathcal{L}_2</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle L \backslash R \in \mathcal{L}_2</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle \overline{L} \in \mathcal{L}_2</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle L \cap \overline{R} \in \mathcal{L}_2</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle \overline{L} \cap R \in \mathcal{L}_2</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Języki deterministyczne||
 
<br>
Wskaż języki deterministyczne:
; a.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^n:\ n \geq 1\} \cup \{a^nb^{3n}:\ n \geq 1\}</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle \{a^{2n}:\ n \geq 1\} \cup \{a^{3n}:\ n \geq 1\}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^{n+m}c^m:\ m,n \geq 1\}</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle \{wx\overleftarrow{w}:\ w \in \{a,b\}^*,\ x \in \{a,b\}
\}</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^na^mb^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^ma^pb^p:\
n,m,p \geq 1\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,c,e
</div></div>
 
{{cwiczenie|Języki niejednoznaczne||
 
<br>
Wskaż języki niejednoznaczne:
; a.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^nc^md^m:\ n,m \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^md^n:\ n,m
\geq 1\}</math>
 
; b.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^nd^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^pd^m:\
n,m,p \geq 1\}</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^na^mb^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^ma^pb^p:\
n,m,p \geq 1\}</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^m:\ n,m \geq 1\} \cup \{a^nb^nc^m:\ n,m \geq
1\}</math>
 
; e.
:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^md^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^pd^n:\
n,m,p \geq 1\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,b,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Automat ze stosem -- rozpoznawanie języka||
 
<br>
Automat ze stosem <math>\displaystyle \mathcal{A}_S = (A_S, Q, \{a,b,c\}, z_0, q_0, P,
Q_F)</math>, gdzie <math>\displaystyle A_S=\{z_0,z,a,c\}</math>, <math>\displaystyle Q=\{q_0,q_1,q_2,q_3\}</math>,
<math>\displaystyle Q_F=\{q_2\}</math>, <math>\displaystyle P = \{z_0q_0a \rightarrow z_0zq_0</math>, <math>\displaystyle zq_0a
\rightarrow zaq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0a \rightarrow a^2q_0</math>, <math>\displaystyle aq_0b \rightarrow
a^2q_1</math>, <math>\displaystyle zq_0b \rightarrow zaq_1</math>, <math>\displaystyle aq_1b \rightarrow a^2q_1</math>,
<math>\displaystyle aq_1c \rightarrow 1q_2</math>, <math>\displaystyle aq_2c \rightarrow 1q_2</math>, <math>\displaystyle zq_2c
\rightarrow cq_3</math>, <math>\displaystyle cq_2c \rightarrow cq_2</math>, <math>\displaystyle cq_3c \rightarrow
cq_2\}</math>:
; a.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k \not = n+m\}</math>
 
; b.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k > n+m\}</math>
 
; c.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k < n+m\}</math>
 
; d.
:  jest automatem deterministycznym
 
; e.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k = n+m\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Problemy nierozstrzygalne w klasie <math>\displaystyle \mathcal{L}_2</math>||
 
<br>
Niech <math>\displaystyle L, L_1, L_2 \in \mathcal{L}_2</math>. Wskaż problemy
nierozstrzygalne w klasie <math>\displaystyle \mathcal{L}_2</math>:
; a.
:  <math>\displaystyle w \in L</math>
 
; b.
:  jednoznaczność <math>\displaystyle L</math>
 
; c.
:  <math>\displaystyle L_1=L_2</math>
 
; d.
:  <math>\displaystyle L = \emptyset</math>
 
; e.
:  nieskończoność <math>\displaystyle L</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
b,c
</div></div>
 
{{cwiczenie|Automat ze stosem -- rozpoznawanie języka||
 
<br>
Automat ze stosem <math>\displaystyle \mathcal{A}_S = (A_S, Q, \{a,b\}, z_0, q_0, P,
Q_F)</math>, gdzie <math>\displaystyle A_S=\{z_0,a,b\}</math>, <math>\displaystyle Q=\{q_0,q_1\}</math>, <math>\displaystyle Q_F=\{q_0\}</math>, <math>\displaystyle P =
\{z_0q_0a \rightarrow z_0aq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0a \rightarrow aaq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0b
\rightarrow 1q_0</math>, <math>\displaystyle z_0q_0b \rightarrow z_0bq_1</math>, <math>\displaystyle bq_1b \rightarrow
bbq_1</math>, <math>\displaystyle bq_1a \rightarrow 1q_1</math>, <math>\displaystyle z_0q_1 \rightarrow z_0q_0\}</math>:
; a.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \not = \sharp_bw\}</math>
 
; b.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \leq \sharp_bw\}</math>
 
; c.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \geq \sharp_bw\}</math>
 
; d.
:  jest automatem deterministycznym
 
; e.
:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
c,d
</div></div>
 
{{cwiczenie|Algorytm CYK||
 
<br>
Algorytm Cocke'a-Youngera-Kasamiego:
; a.
:  sprawdza, czy słowo należy do języka bezkontekstowego
 
; b.
:  działa w czasie <math>\displaystyle O(n^2\log n)</math>
 
; c.
:  jest niedeterministyczny
 
; d.
:  może dostać na wejście dowolną gramatykę bezkontekstową
 
; e.
:  działa w oparciu o zasadę programowania dynamicznego
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
a, e
</div></div>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
<quiz>
Wskaż, które z poniższych struktur są monoidami:
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}_{mod\ 2}, \cdot)</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_1, +)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_1=\{1,2,3,...\}</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_p,+)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_p</math> jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{R}, \cdot)</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}, +)</math></rightoption>
</quiz>


==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test==


<quiz>
<quiz>
Wskaż stwierdzenia prawdziwe:
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
 
<math>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa,bb\}^*</math></wrongoption>  
  f_n(x)=
 
  \left\{
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{a,b\}^*</math></rightoption>
  \begin{array} {lll}
 
  1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{abb,a\}^*</math></rightoption>
  0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1]
 
  \end{array}  
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{ba, ab\}^*</math></wrongoption>
  \right</math>
 
dla <math>n\in\mathbb{N}</math>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa, ab, ba\}^*</math></rightoption>
Ciąg ten jest
<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do  <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
<wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)=
  \left\{
  \begin{array} {lll}
    1 & \text{dla} & x\geq 1\\
    0 & \text{dla} & x<0
  \end{array}  
  \right</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>


  tak, nie, nie


<quiz>
<quiz>
Wskaż, które z poniższych odwzorowań są homomorfizmami:
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie


<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
<center><math>f_n(x)=
 
  \left\{
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{R},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></rightoption>
  \begin{array} {lll}
 
\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R}, \cdot) \rightarrow (\mathds{R}, \cdot)</math>,
  \\
<math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
\frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\
 
  \\
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow \{a,b\}^*</math>, <math>\displaystyle h(a)=a^2</math>,
  0 & \text{dla} & x=0\\
<math>\displaystyle h(b)=ab^2</math></rightoption>
  \end{array}  
 
  \right.
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(a)=1</math>, <math>\displaystyle h(b)=1</math></rightoption>
  \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots
</quiz>
</math></center>
 
 
<quiz>
Dany niech będzie system przepisujący <math>\displaystyle RS=(\{a,b,c\},
\{(a,b),(b,c),(b,a),(cc,b))</math> oraz niech <math>\displaystyle I=\{ccb\}</math>. Wskaż
stwierdzenia prawdziwe:
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abc \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ccb \in L_{gen}(RS, I)</math> </rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle bb \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle aab \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle aa \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Wyrażenie regularne
<center><math>\displaystyle ((aa+bb)^*(ab+ba)(aa+bb)^*(ab+ba))^*(aa+bb)^*</math></center>
reprezentuje język:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 2l</math>,
<math>\displaystyle k,l >0\}</math></rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 0 (mod 2)\}</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw = 2k, k \geq
0\}</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 1 (mod 2)\}</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*: \sharp_aw = 4k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 4l</math>, <math>\displaystyle k,
l \geq 0\}</math></wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
 
Niech <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math> oraz <math>\displaystyle L=aA^*a</math>. Wskaż zdania prawdziwe:
 
<wrongoption reply="Źle">minimalny automat akceptujący <math>\displaystyle L</math> ma 5 stanów</wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">ilość klas równoważności prawej kongruencji syntaktycznej
<math>\displaystyle P_L^r</math> wyznaczonej przez <math>\displaystyle L</math> jest równa 4</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*b + b</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*+aA^*b+a+1</math></rightoption>


<rightoption reply="Dobrze">monoid przejśc minimalnego automatu akceptującego <math>\displaystyle L</math> ma 6
Ten ciąg funkcyjny jest
elementów</rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie</wrongoption>
<rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie</rightoption>
<wrongoption>rozbieżny</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


  nie, tak, nie


<quiz>
<quiz>
 
Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg
Niech <math>\displaystyle L</math> będzie dowolnym językiem regularnym. Wskaż zdania prawdziwe:
<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption>
 
<wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez pewien niedeterministyczny automat skończenie stanowy z pustymi przejściami</rightoption>
<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez automat deterministyczny
skończenie stanowy</rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez niedeterministyczny automat z pustymi przejściami o jednoelementowym zbiorze stanów początkowych</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje automat niedeterministyczny z pustymi przejściami rozpoznający <math>\displaystyle L</math> i taki, że zbiór stanów początkowych jest jednoelementowy</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje gramatyka lewoliniowa generująca <math>\displaystyle L</math></wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
 
Niech <math>\displaystyle L_1</math>, <math>\displaystyle L_2</math> będą językami rozpoznawanymi odpowiednio przez
automaty o <math>\displaystyle n_1</math> i <math>\displaystyle n_2</math> stanach. Aby stwierdzić, dla dowolnego
słowa <math>\displaystyle w</math>, czy jest ono rozpoznawane przez oba automaty, wystarczy
skonstruować odpowiedni automat mający
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle n_1 \cdot n_2</math> stanów</rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle O(n_1+n_2)</math> stanów</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_1</math> stanów</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_2</math> stanów</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">3 stany</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


  nie, nie, tak


<quiz>
<quiz>
 
Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest
Język <math>\displaystyle L</math> składa się ze wszystkich słów nad alfabetem <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
nie zawierających podsłowa <math>\displaystyle a^3</math>. Wskaż wyrażenie regularne
<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption>
reprezentujące <math>\displaystyle L</math>:
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)b^*)^*</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)bb^*)^*</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (b+ab+aab)^*+(b+ab+aab)^*a+(b+ab+aab)^*aa</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ((1+a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle b^*(a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
 
Wskaż warunki równoważne temu, by język <math>\displaystyle L</math> był akceptowany przez
automat skończenie stanowy:
<wrongoption reply="Źle">Istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle N \geq 1</math> taka, że każde słowo
<math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| \geq N</math> można przedstawić jako katenację
<math>\displaystyle w = v_1uv_2</math>, gdzie <math>\displaystyle v_1, v_2 \in A^*</math>, <math>\displaystyle u \in A^+</math> oraz <math>\displaystyle v_1u^*v_2
\subset L</math>.</wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">Istnieje skończony monoid <math>\displaystyle M</math> i homomorfizm <math>\displaystyle \phi: A^*
\rightarrow M</math> taki, że <math>\displaystyle \phi^{-1}(\phi(L)) = L</math>.</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej
kongruencji <math>\displaystyle \rho</math> na <math>\displaystyle A^*</math>: <center><math>\displaystyle L = \cup_{w \in L}[w]_\rho.</math></center></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L \in \mathcal{REG}(A^*)</math>.</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
skończenie stanowy z jednym stanem końcowym.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle S=\{s_0, s_1, s_2,
s_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_1\}</math>,
 
<center>
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
|-
|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  || 
<math>\displaystyle s_3</math>
|-
|  <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math> ||  <math>\displaystyle s_1</math> ||  <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
 
|}
 
</center>
 
<rightoption reply="Dobrze">jest automatem minimalnym</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
 
</quiz>
 
 
<quiz>
Które z poniższych równości dla wyrażeń regularnych są prawdziwe?
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle r^*r^*=r^*</math></rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (r+s)^*=r^*+s^*</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (r^*+s^*)^*=(r^*s^*)^*</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle r+r=r</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (rs)^*r=r(sr)^*</math></rightoption>
 
</quiz>
</quiz>


  nie, tak, nie


<quiz>
<quiz>
Wskaż języki regularne:
Funkcja <math>
    f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\ (mod\ 3)\}</math></rightoption>
Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi
 
<rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ |w|=2^n, n > 0\}</math></wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \cdot \sharp_bw = 100\}</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{a^n:\ n=3k  </math>  lub  <math>\displaystyle  n=5k,\ k \geq 0\}</math></rightoption>
 
</quiz>
</quiz>


  tak, nie, nie


<quiz>
<quiz>
Dany jest automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie
Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest
<math>\displaystyle S=\{s_0,s_1,s_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_0,s_1\}</math>,<br>
<wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption>
 
<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption>
 
<rightoption>rozbieżny</rightoption>
<center>
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
|-
|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|  <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|
 
|}
 
</center>
Wskaż zdania prawdziwe:
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A})=(a^2+b)^*(a+1)</math>.</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle">Równoważny automat minimalny ma 2 stany.</wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to dla każdych <math>\displaystyle v,u \in A^*</math> takich, że
<math>\displaystyle w=vbu</math> zachodzi <math>\displaystyle \sharp_av = 2k</math> dla pewnego <math>\displaystyle k \geq 0</math>.</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a^*b^* \subset L(\mathcal{A})</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to <math>\displaystyle a^2b</math> jest podsłowem
słowa <math>\displaystyle w</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
</quiz>


  nie, nie, tak


<quiz>
<quiz>
Dany niech będzie automat niedeterministyczny <math>\displaystyle \mathcal{A}_{ND}=(Q,
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to
A, \{q_0\}, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle Q=\{q_0, q_1, q_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>,
<wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption>
<math>\displaystyle F=\{q_2\}</math>,<br>
 
 
<wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption>
 
 
<center>
<rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption>
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
|-
|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle q_0</math> ||  <math>\displaystyle q_1</math>  ||  <math>\displaystyle q_2</math>
|-
|  <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_1\}</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_0,q_2\}</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_2\}</math>
|-
|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle \emptyset</math>  ||  <math>\displaystyle \emptyset</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_1\}</math>  
|-
|
 
|}
</center>
 
Wskaż zdania prawdziwe:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a+ba)^*</math>.</rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a(aa^*b)^*aa^*</math>.</rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle">Równoważny automat deterministyczny posiada 3 stany.</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a^*b)^*aa^*</math>.</wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">Równoważny minimalny automat deterministyczny posiada 4 stany.</rightoption>
 
</quiz>
</quiz>


  nie, nie, tak


<quiz>
<quiz>
Twierdzenie orzekające o równości zachodzącej pomiędzy rodziną
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi
języków regularnych a rodziną języków rozpoznawanych przez automaty
<wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption>
o skończonej liczbie stanów znane jest jako:
 
<rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle">twierdzenie Nerode'a</wrongoption>
 
 
<wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">teza Churcha</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">lemat Ardena</wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle">lemat o pompowaniu</wrongoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">twierdzenie Kleene'ego</rightoption>
 
</quiz>
</quiz>


  nie, tak, nie


<quiz>
<quiz>
Wskaż monoid przejść automatu o następującej funkcji przejścia: <br>
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi
 
<rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption>
<center>
 
{| border=1
<wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption>
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
 
|-
<wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption>
|  <math>\displaystyle f</math> ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>
|-
|  <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math> ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  
|-
|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
|}
</center>
 
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},
\circ)</math></rightoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a)\},\circ)</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},\circ)</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b)\},\circ)</math></wrongoption>
 
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab),\tau_{\mathcal{A}}(ba)\},
\circ)</math></wrongoption>
 
</quiz>
</quiz>


  tak, nie, nie


<quiz>
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
Niech <math>\displaystyle L_1,L_2</math> będą językami regularnymi. Wskaż problemy
rozstrzygalne.
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1 \cap L_2</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 \cap L_2 = \emptyset</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze">nieskończoność <math>\displaystyle L_1</math></rightoption>
 
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 = \emptyset</math></rightoption>


</quiz>
==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==




<quiz>
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
Algorytm determinizacji automatu:
<rightoption reply="Dobrze">jest deterministyczny</rightoption>


<wrongoption reply="Źle">działa w czasie wielomianowym</wrongoption>
==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test==


<wrongoption reply="Źle">może się zapętlić</wrongoption>


<rightoption reply="Dobrze">działa w czasie eksponencjalnym</rightoption>
1111111111111111111111111111111111111111111111111111


<wrongoption reply="Źle">kończy działanie błędem, jeśli na wejściu podany został
==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test==
automat deterministyczny</wrongoption>
</quiz>




<quiz>
1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
Wskaż zdania prawdziwe:
<rightoption reply="Dobrze">istnieje algorytm minimalizacji automatu działający w
czasie <math>\displaystyle n\log n</math></rightoption>


<wrongoption reply="Źle">żaden algorytm minimalizacji nie może działać szybciej niż
==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test==
w czasie <math>\displaystyle O(n^2)</math></wrongoption>


<wrongoption reply="Źle">algorytm minimalizacji zawsze zwróci automat o mniejszej
liczbie stanów niż automat podany na wejściu</wrongoption>


<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji są algorytmami niedeterministycznymi</wrongoption>
1414141414141414141414141414141414141414141414141414


<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji nie działają dla automatów jednostanowych</wrongoption>
==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test==
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 22:12, 11 wrz 2023




1111111111111111111111111111111111111111111


1111111111111111111111111111111111111111111


22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right} dla n∈ℕ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do f(x)≡0

zbieżny punktowo do funkcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right} 

 tak, nie, nie

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie

fn(x)={1−n−x1+n−xdlax>02−nx2+nxdlax<00dlax=0 dla  n=1,2,…

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie

rozbieżny 

 nie, tak, nie

Dany jest ciąg funkcyjny fn(x)=xn dla x≥0 Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła 

 nie, nie, tak

Dany jest szereg ∑n=1∞sin⁡nx2n(x2+1), x∈ℝ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do funkcji f takiej, że 0<f(x)<3

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)=12(x2+1) 

 nie, tak, nie

Funkcja f(x):=∑n=1∞xnn(n+1)(x2+1) Granica limx→3f(x) wynosi

110

3

0 

 tak, nie, nie

Szereg ∑n=1∞1n(x4+4) jest

zbieżny punktowo

zbieżny jednostajnie

rozbieżny 

 nie, nie, tak

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji f(x)=cos⁡2x to

−266!

266!x6

−445x6 

 nie, nie, tak

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f(x)=12+x o środku w x0=0 wynosi

−164x6

−164x5

12x6 

 nie, tak, nie

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji x ośrodku w x0=1 Współczynnik przy x wynosi

1516

516

116 

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

1414141414141414141414141414141414141414141414141414

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR&oldid=82477”