Test GR: Różnice pomiędzy wersjami

← poprzednia edycja

WizualnieWikikod

Aktualna wersja na dzień 22:12, 11 wrz 2023

1111111111111111111111111111111111111111111

22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Dany jest ciąg funkcyjny ${f_{n}}$ gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right} dla $n \in ℕ$ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do $f (x) \equiv 0$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do $f (x) \equiv 0$ Źle

zbieżny punktowo do funkcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right} Źle

 tak, nie, nie

Dany jest ciąg funkcyjny ${f_{n}}$ gdzie

f_{n} (x) = {\begin{cases} \frac{1 - n^{- x}}{1 + n^{- x}} & dla & x > 0 \\ \frac{2 - n^{x}}{2 + n^{x}} & dla & x < 0 \\ 0 & dla & x = 0 \end{cases}

dla

n = 1, 2, \dots

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie Źle

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie Dobrze

rozbieżny Źle

 nie, tak, nie

Dany jest ciąg funkcyjny $f_{n} (x) = \sqrt[n]{x}$ dla $x \geq 0$ Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła Dobrze

 nie, nie, tak

Dany jest szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n} (x^{2} + 1)}, x \in ℝ$ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji $f (x) \equiv 0$ Źle

zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ takiej, że $0 < f (x) < 3$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do funkcji $f (x) = \frac{1}{2 (x^{2} + 1)}$ Źle

 nie, tak, nie

Funkcja $f (x) : = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{x}}{n (n + 1) (x^{2} + 1)}$ Granica $\lim_{x \to 3} f (x)$ wynosi

$\frac{1}{10}$ Dobrze

$\sqrt{3}$ Źle

$0$ Źle

 tak, nie, nie

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (x^{4} + 4)}$ jest

zbieżny punktowo Źle

zbieżny jednostajnie Źle

rozbieżny Dobrze

 nie, nie, tak

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji $f (x) = \cos 2 x$ to

$- \frac{2^{6}}{6!}$ Źle

$\frac{2^{6}}{6!} x^{6}$ Źle

$\frac{- 4}{45} x^{6}$ Dobrze

 nie, nie, tak

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $f (x) = \frac{1}{2 + x}$ o środku w $x_{0} = 0$ wynosi

$\frac{- 1}{64} x^{6}$ Źle

$\frac{- 1}{64} x^{5}$ Dobrze

$\frac{1}{2} x^{6}$ Źle

 nie, tak, nie

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\sqrt{x}$ ośrodku w $x_{0} = 1$ Współczynnik przy $x$ wynosi

$\frac{15}{16}$ Dobrze

$\frac{5}{16}$ Źle

$\frac{1}{16}$ Źle

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

1414141414141414141414141414141414141414141414141414

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

Test GR: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 22:12, 11 wrz 2023

Spis treści

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

Norma. Iloczyn skalarny. Test

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 ------------------------------
-{theor}{TWIERDZENIE}[section]
-{rem}{UWAGA}[section]
-{corol}{WNIOSEK}[section]
-{fact}{FAKT}[section]
-{ex}{PRZYKŁAD}[section]
-{cw}{PYTANIE}[section]
-{defin}{DEFINICJA}[section]
-{lem}{LEMAT}[section]
-{prf}{DOWÓD}
+1111111111111111111111111111111111111111111
-{sol}{ROZWIĄZANIE}
-{hint}{WSKAZÓWKA}
-{Języki i gramatyki bezkontekstowe - Test}
-{Test wielokrotnego wyboru}
-{{cwiczenie|Języki bezkontekstowe nie będące regularnymi||
+1111111111111111111111111111111111111111111
-<br>
-Wskaż języki bezkontekstowe, które nie są regularne:
-; a.
-:  <math>\displaystyle L_1=\{a^kb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
-; b.
+22222222222222222222222222222222222222222
-:  <math>\displaystyle L_2=\{a^kb^k: k \in \mathds{N}\}</math>
-; c.
+==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==
-:  <math>\displaystyle L_3=\{a^kcb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle L_4=\{a^kcb^k: k \in \mathds{N}\}</math>
-; e.
+3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
-:  <math>\displaystyle L_5=\{w \in \{a,b\}^*: w = \overleftarrow{w}\}</math>
-}}
+==Norma. Iloczyn skalarny. Test==
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-b,d,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Języki Dycka i Łukasiewicza||
+444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
-<br>
+==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test==
-Wskaż zdania prawdziwe:
-; a.
-:  Istnieje gramatyka reularna generująca język Dycka.
-; b.
-:  Język Dycka jest bezkontekstowy i nie jest regularny.
-; c.
-:  Istnieje automat skończenie stanowy rozpoznający język
-Łukasiewicza.
-; d.
-:  Język Łukasiewicza da się opisać wyrażeniem regularnym.
-; e.
-:  Istnieje gramatyka bezkontekstowa bez symboli
-bezużytecznych generująca język Dycka.
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-b, e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Lemat o pompowaniu||
-<br>
-Wskaż języki, które nie są bezkontekstowe:
-; a.
-:  <math>\displaystyle L_1=\{a^kb^l: k, l \in \mathds{N}\}</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle L_2=\{a^kb^nc^m: k < n < m\}</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle L_3=\{a^nb^n: n \in \mathds{N}\}</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle L_4=\{ca^nb^n: n \in \mathds{N}\}</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle L_5=\{w\overleftarrow{w}a^{|w|}: w \in \{a,b\}^*\}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-b
-</div></div>
-{{cwiczenie|Przynależnośc słowa do języka bezkontekstowego||
-<br>
-Dana niech będzie gramatyka (<math>\displaystyle v_0</math> jest symbolem początkowym):
-<center><math>\displaystyle \aligned v_0 &\rightarrow  v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
-v_1 &\rightarrow  v_1v_2\ |\ v_2v_3 \\
-v_2 &\rightarrow  v_4v_1\ |\ v_3v_3\ |\ a \\
-v_3 &\rightarrow  v_1v_2\ |\ v_4v_2\ |\ b \\
-v_4 &\rightarrow  v_3v_4\ |\ v_0v_1\ |\ c.
-\endaligned</math></center>
-Wskaż, które z poniższych słów należą do języka generowanego tą
-gramatyką:
-; a.
-:  <math>\displaystyle cab^2abab</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle 1</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle b^7</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle bca</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle bcabb</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a, c, e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Gramatyki niejednoznaczne||
-<br>
-Wskaż gramatyki <math>\displaystyle G=(V, A, v_0, P)</math> niejednoznaczne:
-; a.
-:  <math>\displaystyle V=\{v_0,v_1,v_2,v_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
-v_2v_1\ |\ v_3</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1\ |\ a</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow
-v_2b\ |\ b</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_3a\ |\ ba\}</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle V=\{v_0, v_1, v_2, v_3 \}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
-v_3v_1</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1b\ |\ b</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow bv_2a\ |\
-b</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_2c\}</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle V=\{v_0, v_1\}, A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow v_0v_1\
-|\ b</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1b\ |\ b\}</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle V=\{v_0, ..., v_5\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
-av_1\ |\ av_3</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_1\ |\
-</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow av_4</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow
-av_3\ |\ 1\}</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle V=\{v_0,v_1,v_2,v_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow
-v_2v_1</math>, <math>\displaystyle v_1 \rightarrow av_1\ |\ a</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow v_2b\ |\
-b\ |\ v_3</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow bv_3a\ |\ ba\ |\ b \}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a, d, e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Gramatyka bezkontekstowa||
-<br>
-Gramatyka <math>\displaystyle G=(V_N, V_T, v_0, P)</math>, gdzie <math>\displaystyle V_N=\{v_0,..., v_5\}</math>,
-<math>\displaystyle V_T=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle P=\{v_0 \rightarrow av_1\ |\ av_3</math>, <math>\displaystyle v_1
-\rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_1\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow
-av_4</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow av_3\ |\ 1\}</math>:
-; a.
-:  generuje język <math>\displaystyle (aa)^+(aaa)^+</math>
-; b.
-:  generuje język <math>\displaystyle (aa+aaa)^*</math>
-; c.
-:  jest równoważna gramatyce <math>\displaystyle G'=(V_N', V_T, v_0, P')</math>, gdzie
- <math>\displaystyle V_N'=\{v_0, ..., v_6\}</math>, <math>\displaystyle P'=\{v_0 \rightarrow av_1</math>, <math>\displaystyle v_1
-\rightarrow av_2</math>, <math>\displaystyle v_2 \rightarrow av_3\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_3 \rightarrow
-av_4\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_4 \rightarrow av_5\ |\ 1</math>, <math>\displaystyle v_5 \rightarrow av_6</math>,
-<math>\displaystyle v_6 \rightarrow av_1\ |\ 1</math>
-; d.
-:  jest jednoznaczna
-; e.
-:  generuje język <math>\displaystyle L(\mathcal{A})</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A,
-s_0, f, F)</math> jest automatem skończenie stanowym takim, że <math>\displaystyle S=\{s_0,
-..., s_4\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_2, s_3, s_4\}</math>,
-<math>\displaystyle f(s_0,a)=f(s_4,a)=s_1</math>, <math>\displaystyle f(s_1, a)=s_2</math>, <math>\displaystyle f(s_2, a)=s_3</math>, <math>\displaystyle f(s_3,
-a)=s_4</math>.
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a, c
-</div></div>
-{{cwiczenie|Jednoznaczność języków||
-<br>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-; a.
-:  każda gramatyka regularna jest jednoznaczna
-; b.
-:  każdy język jednoznaczny jest deterministyczny
-; c.
-:  każdy język regularny jest jednoznaczny
-; d.
-:  każdy język deterministyczny jest jednoznaczny
-; e.
-:  język jest jednoznaczny wtw gdy jest deterministyczny
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-c, d
-</div></div>
-{{cwiczenie|Postać normalna Greibach i Chomsky'ego||
-<br>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-; a.
-:  Każda gramatyka w postaci normalnej Chomsky'ego jest
-bezkontekstowa.
-; b.
-:  Jeśli gramatyka bezkontekstowa <math>\displaystyle G</math> ma <math>\displaystyle n</math> produkcji, to
-równoważna jej gramatyka <math>\displaystyle G'</math> w postaci normalnej Greibach ma co
-najwyżej <math>\displaystyle 2n</math> produkcji.
-; c.
-:  Każdą gramatykę bezkontekstową można przekształcić do postaci normalnej
-Greibach.
-; d.
-:  Żadna gramatyka w postaci normalnej Greibach nie jest
-regularna.
-; e.
-:  Każda gramatyka w postaci normalnej Chomsky'ego jest
-właściwa.
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Automat ze stosem||
-<br>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-; a.
-:  Każdy automat ze stosem akceptujący przez pusty stos
-posiada równoważny automat ze stosem akceptujący przez stany
-końcowe.
-; b.
-:  Każdy język bezkontekstowy jest akceptowany przez pusty
-stos przez jednostanowy automat ze stosem.
-; c.
-:  Każdy automat ze stosem, w którym wielkość stosu jest
-ograniczona przez pewną stałą, jest równoważny pewnemu automatowi
-skończenie stanowemu.
-; d.
-:  Każdy automat ze stosem posiada równoważny
-deterministyczny automat ze stosem.
-; e.
-:  Każdy automat ze stosem akceptujący przez stany końcowe
-posiada równoważny automat ze stosem akceptujący przez pusty stos.
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,b,c,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Zamkniętość rodziny języków bezkontekstowych||
-<br>
-Rodzina języków bezkontekstowych jest zamknięta ze względu na:
-; a.
-:  homomorfizm
-; b.
-:  iloczyn mnogościowy
-; c.
-:  uzupełnienie
-; d.
-:  gwiazdkę Kleene'ego
-; e.
-:  katenację
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,d,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Języki generowane gramatykami bezkontekstowymi||
-<br>
-Dane są dwie gramatyki: dla <math>\displaystyle i=1,2\displaystyle G_i=(\{v_0,v_1,v_2\},\{a,b,c\},v_0,P_i)</math>, gdzie <center><math>\displaystyle P_1=\{v_0
-\rightarrow v_1v_2,\ v_1 \rightarrow av_1b,\ v_1 \rightarrow 1,\ v_2
-\rightarrow cv_2,\ v_2 \rightarrow 1\},</math></center>
- <center><math>\displaystyle P_2 = \{v_0 \rightarrow
-v_1v_2,\ v_1 \rightarrow av_1,\ v_1 \rightarrow 1,\ v_2 \rightarrow
-bv_2c,\ v_2 \rightarrow 1\}.</math></center>
- Wówczas:
-; a.
-:  <math>\displaystyle L(G_1) \cap L(G_2) \not \in \mathcal{L}_2</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle L(G_1) \cap L(G_2)</math> jest językiem skończonym
-; c.
-:  <math>\displaystyle L(G_1)=L(G_2)</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle L(G_1) \subset L(G_2)</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle L(G_1) \cup L(G_2)\in \mathcal{L}_2</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Problemy rozstrzygalne dla języków bezkontekstowych||
-<br>
-Niech <math>\displaystyle L</math> będzie językiem bezkontekstowym. Wskaż problemy rozstrzygalne:
-; a.
-:  <math>\displaystyle w \in L</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle L = \emptyset</math>
-; c.
-:  nieskończoność <math>\displaystyle L</math>
-; d.
-:  równoważność dwóch gramatyk bezkontekstowych
-; e.
-:  jednoznaczność gramatyki bezkontekstowej
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,b,c
-</div></div>
-{{cwiczenie|Klasy języków||
-<br>
-Niech <math>\displaystyle L \in \mathcal{L}_2</math>, <math>\displaystyle R \in \mathcal{L}_3</math>. Wówczas:
-; a.
-:  <math>\displaystyle L \cap R \in \mathcal{L}_2</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle L \backslash R \in \mathcal{L}_2</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle \overline{L} \in \mathcal{L}_2</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle L \cap \overline{R} \in \mathcal{L}_2</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle \overline{L} \cap R \in \mathcal{L}_2</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,b,d
-</div></div>
-{{cwiczenie|Języki deterministyczne||
-<br>
-Wskaż języki deterministyczne:
-; a.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^n:\ n \geq 1\} \cup \{a^nb^{3n}:\ n \geq 1\}</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle \{a^{2n}:\ n \geq 1\} \cup \{a^{3n}:\ n \geq 1\}</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^{n+m}c^m:\ m,n \geq 1\}</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle \{wx\overleftarrow{w}:\ w \in \{a,b\}^*,\ x \in \{a,b\}
-\}</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^na^mb^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^ma^pb^p:\
-n,m,p \geq 1\}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-b,c,e
-</div></div>
-{{cwiczenie|Języki niejednoznaczne||
-<br>
-Wskaż języki niejednoznaczne:
-; a.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^nc^md^m:\ n,m \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^md^n:\ n,m
-\geq 1\}</math>
-; b.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^nd^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^pd^m:\
-n,m,p \geq 1\}</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^na^mb^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^ma^pb^p:\
-n,m,p \geq 1\}</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^m:\ n,m \geq 1\} \cup \{a^nb^nc^m:\ n,m \geq
-\}</math>
-; e.
-:  <math>\displaystyle \{a^nb^mc^md^p:\ n,m,p \geq 1\} \cup \{a^nb^mc^pd^n:\
-n,m,p \geq 1\}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,b,d
-</div></div>
-{{cwiczenie|Automat ze stosem -- rozpoznawanie języka||
-<br>
-Automat ze stosem <math>\displaystyle \mathcal{A}_S = (A_S, Q, \{a,b,c\}, z_0, q_0, P,
-Q_F)</math>, gdzie <math>\displaystyle A_S=\{z_0,z,a,c\}</math>, <math>\displaystyle Q=\{q_0,q_1,q_2,q_3\}</math>,
-<math>\displaystyle Q_F=\{q_2\}</math>, <math>\displaystyle P = \{z_0q_0a \rightarrow z_0zq_0</math>, <math>\displaystyle zq_0a
-\rightarrow zaq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0a \rightarrow a^2q_0</math>, <math>\displaystyle aq_0b \rightarrow
-a^2q_1</math>, <math>\displaystyle zq_0b \rightarrow zaq_1</math>, <math>\displaystyle aq_1b \rightarrow a^2q_1</math>,
-<math>\displaystyle aq_1c \rightarrow 1q_2</math>, <math>\displaystyle aq_2c \rightarrow 1q_2</math>, <math>\displaystyle zq_2c
-\rightarrow cq_3</math>, <math>\displaystyle cq_2c \rightarrow cq_2</math>, <math>\displaystyle cq_3c \rightarrow
-cq_2\}</math>:
-; a.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k \not = n+m\}</math>
-; b.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k > n+m\}</math>
-; c.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k < n+m\}</math>
-; d.
-:  jest automatem deterministycznym
-; e.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{a^nb^mc^k:\ k,n,m > 0,\ k = n+m\}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a,d
-</div></div>
-{{cwiczenie|Problemy nierozstrzygalne w klasie <math>\displaystyle \mathcal{L}_2</math>||
-<br>
-Niech <math>\displaystyle L, L_1, L_2 \in \mathcal{L}_2</math>. Wskaż problemy
-nierozstrzygalne w klasie <math>\displaystyle \mathcal{L}_2</math>:
-; a.
-:  <math>\displaystyle w \in L</math>
-; b.
-:  jednoznaczność <math>\displaystyle L</math>
-; c.
-:  <math>\displaystyle L_1=L_2</math>
-; d.
-:  <math>\displaystyle L = \emptyset</math>
-; e.
-:   nieskończoność <math>\displaystyle L</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-b,c
-</div></div>
-{{cwiczenie|Automat ze stosem -- rozpoznawanie języka||
-<br>
-Automat ze stosem <math>\displaystyle \mathcal{A}_S = (A_S, Q, \{a,b\}, z_0, q_0, P,
-Q_F)</math>, gdzie <math>\displaystyle A_S=\{z_0,a,b\}</math>, <math>\displaystyle Q=\{q_0,q_1\}</math>, <math>\displaystyle Q_F=\{q_0\}</math>, <math>\displaystyle P =
-\{z_0q_0a \rightarrow z_0aq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0a \rightarrow aaq_0</math>, <math>\displaystyle aq_0b
-\rightarrow 1q_0</math>, <math>\displaystyle z_0q_0b \rightarrow z_0bq_1</math>, <math>\displaystyle bq_1b \rightarrow
-bbq_1</math>, <math>\displaystyle bq_1a \rightarrow 1q_1</math>, <math>\displaystyle z_0q_1 \rightarrow z_0q_0\}</math>:
-; a.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \not = \sharp_bw\}</math>
-; b.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \leq \sharp_bw\}</math>
-; c.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \geq \sharp_bw\}</math>
-; d.
-:  jest automatem deterministycznym
-; e.
-:  rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math>
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-c,d
-</div></div>
-{{cwiczenie|Algorytm CYK||
-<br>
-Algorytm Cocke'a-Youngera-Kasamiego:
-; a.
-:  sprawdza, czy słowo należy do języka bezkontekstowego
-; b.
-:  działa w czasie <math>\displaystyle O(n^2\log n)</math>
-; c.
-:  jest niedeterministyczny
-; d.
-:  może dostać na wejście dowolną gramatykę bezkontekstową
-; e.
-:  działa w oparciu o zasadę programowania dynamicznego
-}}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-a, e
-</div></div>
-8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
 <quiz>
-Wskaż, które z poniższych struktur są monoidami:
+Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
+<math>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}_{mod\ 2}, \cdot)</math></rightoption>
+  f_n(x)=
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_1, +)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_1=\{1,2,3,...\}</math></wrongoption>
+  \left\{
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_p,+)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_p</math> jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych</wrongoption>
+  \begin{array} {lll}
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{R}, \cdot)</math></rightoption>
+& \text{dla} & x\in[n,n+1]\\
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}, +)</math></rightoption>
+& \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1]
+  \end{array}
+  \right</math>
+dla <math>n\in\mathbb{N}</math>
+Ciąg ten jest
+<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption>
+<wrongoption>zbieżny jednostajnie do  <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
+<wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)=
+  \left\{
+  \begin{array} {lll}
+& \text{dla} & x\geq 1\\
+& \text{dla} & x<0
+  \end{array}
+  \right</math></wrongoption>
 </quiz>
+  tak, nie, nie
 <quiz>
-Wskaż stwierdzenia prawdziwe:
+Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa,bb\}^*</math></wrongoption>
+<center><math>f_n(x)=
+  \left\{
+  \begin{array} {lll}
+ \frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\
+  \\
+ \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\
+  \\
+& \text{dla} & x=0\\
+  \end{array}
+  \right.
+  \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots
+</math></center>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{a,b\}^*</math></rightoption>
+Ten ciąg funkcyjny jest
+<wrongoption>zbieżny jednostajnie</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{abb,a\}^*</math></rightoption>
+<rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie</rightoption>
+<wrongoption>rozbieżny</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{ba, ab\}^*</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa, ab, ba\}^*</math></rightoption>
 </quiz>
+  nie, tak, nie
 <quiz>
-Wskaż, które z poniższych odwzorowań są homomorfizmami:
+Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg
+<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
+<wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption>
+<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{R},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R}, \cdot) \rightarrow (\mathds{R}, \cdot)</math>,
-<math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow \{a,b\}^*</math>, <math>\displaystyle h(a)=a^2</math>,
-<math>\displaystyle h(b)=ab^2</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(a)=1</math>, <math>\displaystyle h(b)=1</math></rightoption>
 </quiz>
+  nie, nie, tak
 <quiz>
-Dany niech będzie system przepisujący <math>\displaystyle RS=(\{a,b,c\},
+Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest
-\{(a,b),(b,c),(b,a),(cc,b))</math> oraz niech <math>\displaystyle I=\{ccb\}</math>. Wskaż
+<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
-stwierdzenia prawdziwe:
+<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption>
+<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abc \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ccb \in L_{gen}(RS, I)</math> </rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle bb \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle aab \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle aa \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
 </quiz>
+  nie, tak, nie
 <quiz>
-Wyrażenie regularne
+Funkcja <math>
-<center><math>\displaystyle ((aa+bb)^*(ab+ba)(aa+bb)^*(ab+ba))^*(aa+bb)^*</math></center>
+    f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math>
-reprezentuje język:
+Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi
+<rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 2l</math>,
+<wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption>
-<math>\displaystyle k,l >0\}</math></rightoption>
+<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 0 (mod 2)\}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw = 2k, k \geq
-\}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 1 (mod 2)\}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*: \sharp_aw = 4k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 4l</math>, <math>\displaystyle k,
-l \geq 0\}</math></wrongoption>
 </quiz>
+  tak, nie, nie
 <quiz>
+Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest
-Niech <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math> oraz <math>\displaystyle L=aA^*a</math>. Wskaż zdania prawdziwe:
+<wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption>
+<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">minimalny automat akceptujący <math>\displaystyle L</math> ma 5 stanów</wrongoption>
+<rightoption>rozbieżny</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze">ilość klas równoważności prawej kongruencji syntaktycznej
-<math>\displaystyle P_L^r</math> wyznaczonej przez <math>\displaystyle L</math> jest równa 4</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*b + b</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*+aA^*b+a+1</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze">monoid przejśc minimalnego automatu akceptującego <math>\displaystyle L</math> ma 6
-elementów</rightoption>
 </quiz>
+  nie, nie, tak
 <quiz>
+Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to
-Niech <math>\displaystyle L</math> będzie dowolnym językiem regularnym. Wskaż zdania prawdziwe:
+<wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez pewien niedeterministyczny automat skończenie stanowy z pustymi przejściami</rightoption>
+<wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez automat deterministyczny
+<rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption>
-skończenie stanowy</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez niedeterministyczny automat z pustymi przejściami o jednoelementowym zbiorze stanów początkowych</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje automat niedeterministyczny z pustymi przejściami rozpoznający <math>\displaystyle L</math> i taki, że zbiór stanów początkowych jest jednoelementowy</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje gramatyka lewoliniowa generująca <math>\displaystyle L</math></wrongoption>
 </quiz>
+  nie, nie, tak
 <quiz>
+Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi
-Niech <math>\displaystyle L_1</math>, <math>\displaystyle L_2</math> będą językami rozpoznawanymi odpowiednio przez
+<wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption>
-automaty o <math>\displaystyle n_1</math> i <math>\displaystyle n_2</math> stanach. Aby stwierdzić, dla dowolnego
-słowa <math>\displaystyle w</math>, czy jest ono rozpoznawane przez oba automaty, wystarczy
+<rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption>
-skonstruować odpowiedni automat mający
+<wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle n_1 \cdot n_2</math> stanów</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle O(n_1+n_2)</math> stanów</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_1</math> stanów</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_2</math> stanów</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">3 stany</wrongoption>
 </quiz>
+  nie, tak, nie
 <quiz>
+Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi
-Język <math>\displaystyle L</math> składa się ze wszystkich słów nad alfabetem <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>
+<rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption>
-nie zawierających podsłowa <math>\displaystyle a^3</math>. Wskaż wyrażenie regularne
-reprezentujące <math>\displaystyle L</math>:
+<wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)b^*)^*</math></wrongoption>
+<wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)bb^*)^*</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (b+ab+aab)^*+(b+ab+aab)^*a+(b+ab+aab)^*aa</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ((1+a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle b^*(a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
 </quiz>
+  tak, nie, nie
-<quiz>
+5555555555555555555555555555555555555555555555555555
-Wskaż warunki równoważne temu, by język <math>\displaystyle L</math> był akceptowany przez
+==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==
-automat skończenie stanowy:
-<wrongoption reply="Źle">Istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle N \geq 1</math> taka, że każde słowo
-<math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| \geq N</math> można przedstawić jako katenację
-<math>\displaystyle w = v_1uv_2</math>, gdzie <math>\displaystyle v_1, v_2 \in A^*</math>, <math>\displaystyle u \in A^+</math> oraz <math>\displaystyle v_1u^*v_2
-\subset L</math>.</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">Istnieje skończony monoid <math>\displaystyle M</math> i homomorfizm <math>\displaystyle \phi: A^*
-\rightarrow M</math> taki, że <math>\displaystyle \phi^{-1}(\phi(L)) = L</math>.</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej
+101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
-kongruencji <math>\displaystyle \rho</math> na <math>\displaystyle A^*</math>: <center><math>\displaystyle L = \cup_{w \in L}[w]_\rho.</math></center></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L \in \mathcal{REG}(A^*)</math>.</rightoption>
+==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test==
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
-skończenie stanowy z jednym stanem końcowym.</wrongoption>
-</quiz>
+1111111111111111111111111111111111111111111111111111
-<quiz>
+==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test==
-Automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle S=\{s_0, s_1, s_2,
-s_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_1\}</math>,
-<center>
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
-|-
-|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||
-<math>\displaystyle s_3</math>
-|-
-|   <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
-|-
-|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math> ||  <math>\displaystyle s_0</math>
-|-
-|
-|}
-</center>
-<rightoption reply="Dobrze">jest automatem minimalnym</rightoption>
+1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
-<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
+==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test==
-\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
-\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
+1414141414141414141414141414141414141414141414141414
-\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
+==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test==
-\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math></wrongoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Które z poniższych równości dla wyrażeń regularnych są prawdziwe?
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle r^*r^*=r^*</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (r+s)^*=r^*+s^*</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (r^*+s^*)^*=(r^*s^*)^*</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle r+r=r</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (rs)^*r=r(sr)^*</math></rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Wskaż języki regularne:
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\ (mod\ 3)\}</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ |w|=2^n, n > 0\}</math></wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \cdot \sharp_bw = 100\}</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{a^n:\ n=3k  </math>  lub  <math>\displaystyle   n=5k,\ k \geq 0\}</math></rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Dany jest automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie
-<math>\displaystyle S=\{s_0,s_1,s_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_0,s_1\}</math>,<br>
-<center>
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
-|-
-|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
-|-
-|   <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
-|-
-|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
-|-
-|
-|}
-</center>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A})=(a^2+b)^*(a+1)</math>.</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">Równoważny automat minimalny ma 2 stany.</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to dla każdych <math>\displaystyle v,u \in A^*</math> takich, że
-<math>\displaystyle w=vbu</math> zachodzi <math>\displaystyle \sharp_av = 2k</math> dla pewnego <math>\displaystyle k \geq 0</math>.</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a^*b^* \subset L(\mathcal{A})</math>.</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to <math>\displaystyle a^2b</math> jest podsłowem
-słowa <math>\displaystyle w</math>.</wrongoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Dany niech będzie automat niedeterministyczny <math>\displaystyle \mathcal{A}_{ND}=(Q,
-A, \{q_0\}, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle Q=\{q_0, q_1, q_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>,
-<math>\displaystyle F=\{q_2\}</math>,<br>
-<center>
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
-|-
-|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle q_0</math>  ||  <math>\displaystyle q_1</math>  ||  <math>\displaystyle q_2</math>
-|-
-|   <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_1\}</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_0,q_2\}</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_2\}</math>
-|-
-|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle \emptyset</math>  ||  <math>\displaystyle \emptyset</math>  ||  <math>\displaystyle \{q_1\}</math>
-|-
-|
-|}
-</center>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a+ba)^*</math>.</rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a(aa^*b)^*aa^*</math>.</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">Równoważny automat deterministyczny posiada 3 stany.</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a^*b)^*aa^*</math>.</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">Równoważny minimalny automat deterministyczny posiada 4 stany.</rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Twierdzenie orzekające o równości zachodzącej pomiędzy rodziną
-języków regularnych a rodziną języków rozpoznawanych przez automaty
-o skończonej liczbie stanów znane jest jako:
-<wrongoption reply="Źle">twierdzenie Nerode'a</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">teza Churcha</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">lemat Ardena</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">lemat o pompowaniu</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">twierdzenie Kleene'ego</rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Wskaż monoid przejść automatu o następującej funkcji przejścia: <br>
-<center>
-{| border=1
-|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
-|-
-|  <math>\displaystyle f</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>
-|-
-|   <math>\displaystyle a</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>
-|-
-|  <math>\displaystyle b</math>  ||  <math>\displaystyle s_3</math>  ||  <math>\displaystyle s_2</math>  ||  <math>\displaystyle s_1</math>  ||  <math>\displaystyle s_0</math>
-|-
-|
-|}
-</center>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},
-\circ)</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a)\},\circ)</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},\circ)</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b)\},\circ)</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab),\tau_{\mathcal{A}}(ba)\},
-\circ)</math></wrongoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Niech <math>\displaystyle L_1,L_2</math> będą językami regularnymi. Wskaż problemy
-rozstrzygalne.
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1 \cap L_2</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 \cap L_2 = \emptyset</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze">nieskończoność <math>\displaystyle L_1</math></rightoption>
-<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 = \emptyset</math></rightoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Algorytm determinizacji automatu:
-<rightoption reply="Dobrze">jest deterministyczny</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">działa w czasie wielomianowym</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">może się zapętlić</wrongoption>
-<rightoption reply="Dobrze">działa w czasie eksponencjalnym</rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">kończy działanie błędem, jeśli na wejściu podany został
-automat deterministyczny</wrongoption>
-</quiz>
-<quiz>
-Wskaż zdania prawdziwe:
-<rightoption reply="Dobrze">istnieje algorytm minimalizacji automatu działający w
-czasie <math>\displaystyle n\log n</math></rightoption>
-<wrongoption reply="Źle">żaden algorytm minimalizacji nie może działać szybciej niż
-w czasie <math>\displaystyle O(n^2)</math></wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">algorytm minimalizacji zawsze zwróci automat o mniejszej
-liczbie stanów niż automat podany na wejściu</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji są algorytmami niedeterministycznymi</wrongoption>
-<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji nie działają dla automatów jednostanowych</wrongoption>
-</quiz>