Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 18 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
<quiz>
W zbiorze  <math>\displaystyle  \mathbb{R}^2 </math> okre\'slamy nast\e pujące działania:
W zbiorze  <math>\mathbb{R}^2</math> określamy następujące działania:
<br> <math>\displaystyle  \boxplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni \left( (x_1,x_2),(y_1,y_2)
<br> <math>\boxplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni \left( (x_1,x_2),(y_1,y_2) \right)\to (x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2</math>,
\right)\to
<br> <math>\odot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \ni (\alpha,(x_1,x_2) ) \to (\alpha x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math>.
(x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2 </math>,\
<br> <math>\displaystyle  \odot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \ni (\alpha,(x_1,x_2) ) \to (\alpha
x_1,x_2)
\in \mathbb{R}^2 </math>.


<wrongoption><math>\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) =
<wrongoption><math>\forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) = (x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption>
(x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2)</math>.</wrongoption>


<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \
<rightoption><math>\begin{align} &\forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ &(\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))\end{align}</math>.</rightoption>
(\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot
(x_1,x_2)))</math>.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle \forall  \alpha \in \mathbb{R} \  \forall (x_1,x_2),\  (y_1,y_2)\in
<rightoption><math>\begin{align} &\forall  \alpha \in \mathbb{R} \  \forall (x_1,x_2),\  (y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2 \\ &\alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2) \end{align}</math>.</rightoption>
\mathbb{R}^2 \ \ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot
 
(x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2)</math>.
<wrongoption><math>\begin{align} &\forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}\ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ &(\alpha  +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot  (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot  (x_1,x_2) \end{align}</math>.</wrongoption>
</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \
(\alpha  +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot  (x_1,x_2) \boxplus
\beta \odot  (x_1,x_2) </math>.</wrongoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>


<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} </math> i niech <math>\displaystyle  w= (1,0,1)</math>.
Niech <math>U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \}</math> i niech <math>w= (1,0,1)</math>.


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<rightoption><math>U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle (3,0,-1) \in U</math>.{T}
<rightoption><math>(3,0,-1) \in U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall u \in U \ u+w \notin U</math>. {T}
<rightoption><math>\forall u \in U \ u+w \notin U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>. {T}
<rightoption><math>\forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 )</math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>\displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.
Niech <math>u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1)</math> i niech <math>U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}</math>.


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle (1,1,1) \in U </math>. {F}
<wrongoption><math>(1,1,1) \in U</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle (4,-1,2) \in U </math>. {T}
<rightoption><math>(4,-1,2) \in U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall x,y \in U \ x+y \in U</math>. {T}
<rightoption><math>\forall x,y \in U \ x+y \in U</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>. {T}
<rightoption><math>\forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U</math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \
Niech <math>U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}</math>,<br><math>\ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}</math>.


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>. {T}
<rightoption><math>U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</rightoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle \mathbb{R}^3 = U \oplus W </math>. {T}
<rightoption><math>\mathbb{R}^3 = U \oplus W</math>.</rightoption>


<wrongoption></wrongoption><wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W = \mathbb{R}^3 </math>. {F}
<wrongoption><math>U \cup W = \mathbb{R}^3</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
<rightoption><math>U+ W = \mathbb{R}^3</math>.</rightoption>
\smallskip
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \
Niech <math>U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}</math>,<br><math>\ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}</math>,<br><math>Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.
W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}</math>.


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}</math>. {F}
<wrongoption><math>U \cap W = \{ \Theta \}</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3 </math>. {T}
<rightoption><math>U+ W = \mathbb{R}^3</math>.</rightoption>


<wrongoption></wrongoption><math>\displaystyle  U \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {F}
<wrongoption><math>U \cup W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</wrongoption>


<rightoption></rightoption><math>\displaystyle  Z \cup W </math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle  \mathbb{R}^3</math>. {T}
<rightoption><math>Z \cup W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>




<quiz>
<quiz>
Niech <math>\displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \ U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x) = f(-x)\}, \ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},\ \ Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\</math> jest wielomianem stopnia parzystego <math>\displaystyle \}</math>.
Niech  
<math>V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}</math>,&nbsp; <math>U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x)= f(-x)\}</math>, &nbsp;
<math>\ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\}</math>,<br>
<math>Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\}</math> jest wielomianem stopnia parzystego <math>\}</math>.


<wrongoption><math>\displaystyle Q</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>Q</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>V</math>.</wrongoption>


<rightoption><math>\displaystyle U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</rightoption>
<rightoption><math>U</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>V</math>.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>\displaystyle V</math>.</rightoption>
<rightoption><math>W</math> jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni <math>V</math>.</rightoption>


<rightoption><math>\displaystyle V = U \oplus W </math>.</rightoption>
<rightoption><math>V = U \oplus W</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 10:35, 5 wrz 2023

W zbiorze 2 określamy następujące działania:
:2×2((x1,x2),(y1,y2))(x1+y1,x2+y2)2,
:×2(α,(x1,x2))(αx1,x2)2.

(x1,x2)2  2(x1,x2)=(x1,x2)(x1,x2).

α, β (x1,x2)2(αβ)(x1,x2)=(α(β(x1,x2))).

α (x1,x2), (y1,y2)2α((x1,x2)(y1,y2))=α(x1,x2)α(y1,y2).

α, β (x1,x2)2(α+β)(x1,x2)=α(x1,x2)β(x1,x2).



Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1+2x2+3x3=0} i niech w=(1,0,1).

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.

(3,0,1)U.

uU u+wU.

α (αwUα=0).



Niech u=(2,1,0), v=(1,1,1) i niech U={αu+βv : α,β}.

(1,1,1)U.

(4,1,2)U.

x,yU x+yU.

xU α αxU.



Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1x2+x3=0, x1+2x2=0},
 W={(x1,x2,x3)3 : 2x1+x23x3=0}.

UW={Θ}.

3=UW.

UW=3.

U+W=3.



Niech U={(x1,x2,x3)3 : x1=0},
 W={(x1,x2,x3)3 : x2+x3=0},
Z={(t,t,t) : t}.

UW={Θ}.

U+W=3.

UW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.

ZW jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni 3.



Niech V=U={f : x f(x)=f(x)},    W={f : x f(x)=f(x)},
Q={f : f} jest wielomianem stopnia parzystego }.

Q jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

V=UW.