(Nie pokazano 35 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) Linia 8:
Linia 8: <quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111
Wskaż, które z poniższych struktur są monoidami:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}_{mod\ 2}, \cdot)</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_1, +)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_1=\{1,2,3,...\}</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_p,+)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_p</math> jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{R}, \cdot)</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}, +)</math></rightoption>
</quiz>
<quiz>
Wskaż stwierdzenia prawdziwe:
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa,bb\}^*</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{a,b\}^*</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{abb,a\}^*</math></rightoption>
1111111111111111111111111111111111111111111
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{ba, ab\}^*</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa, ab, ba\}^*</math></rightoption>
</quiz>
22222222222222222222222222222222222222222
<quiz>
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==
Wskaż, które z poniższych odwzorowań są homomorfizmami:
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{R},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math></rightoption>
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle h: (\mathds{R}, \cdot) \rightarrow (\mathds{R}, \cdot)</math>,
==Norma. Iloczyn skalarny. Test==
<math>\displaystyle h(x)=3x</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow \{a,b\}^*</math>, <math>\displaystyle h(a)=a^2</math>,
<math>\displaystyle h(b)=ab^2</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(a)=1</math>, <math>\displaystyle h(b)=1</math></rightoption>
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
</quiz>
==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test==
<quiz>
<quiz>
Dany niech będzie system przepisujący <math>\displaystyle RS=(\{a,b,c\},
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n \}</math> gdzie
\{(a,b),(b,c),(b,a),(cc,b))</math> oraz niech <math>\displaystyle I=\{ccb\}</math>. Wskaż
<math>
stwierdzenia prawdziwe:
f_n(x)=
\left \{
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abc \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
\begin{array} {lll }
1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ccb \in L_{gen}(RS, I)</math> </rightoption>
0 & \text{dla} & x \in \mathbb {R }\setminus[n ,n+1]
\end{array}
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle bb \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
\right </math>
dla <math>n \in \mathbb {N }</math>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle aab \in L_{gen}(RS, I)</math></wrongoption>
Ciąg ten jest
<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f (x )\equiv 0 </math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle aa \in L_{gen}(RS, I)</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do <math>f (x )\equiv 0 </math></wrongoption>
<wrongoption >zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)=
\left\{
\begin{array} {lll}
1 & \text{dla} & x\geq 1 \\
0 & \text{dla} & x<0
\end {array }
\right </math></wrongoption >
</quiz>
</quiz>
tak, nie, nie
<quiz>
<quiz>
Wyrażenie regularne
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n \}</math> gdzie
<center><math>\displaystyle ((aa+bb)^*(ab+ba)(aa+bb)^*(ab+ba))^*(aa+bb)^*</math></center>
reprezentuje język:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 2l</math>,
<math>\displaystyle k,l >0\}</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 0 (mod 2)\}</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw = 2k, k \geq
0\}</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 1 (mod 2)\}</math></wrongoption>
<center ><math>f_n(x)=
\left \{
\begin{array} {lll}
\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text {dla} & x>0\\
\\
\frac{2-n^{x} }{2+n ^{x}} & \text{dla} & x<0\\
\\
0 & \text{dla} & x=0\ \
\end{array}
\right.
\quad</math> dla <math> \ n =1, 2, \ldots
</math></center >
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*: \sharp_aw = 4k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 4l</math>, <math>\displaystyle k,
Ten ciąg funkcyjny jest
l \geq 0\}</math></wrongoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption >
<rightoption >zbieżny punktowo ale nie jednostajnie </rightoption >
<wrongoption >rozbieżny </wrongoption>
</quiz>
</quiz>
nie, tak, nie
<quiz>
<quiz>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x) =\sqrt[n] {x }</math> dla <math>x \ge 0 </math> Ten ciąg
Niech <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math> oraz <math>\displaystyle L=aA^*a</math>. Wskaż zdania prawdziwe:
<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła </wrongoption>
<wrongoption >jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła </wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">minimalny automat akceptujący <math>\displaystyle L</math> ma 5 stanów</wrongoption>
<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła </rightoption>
<rightoption reply="Dobrze">ilość klas równoważności prawej kongruencji syntaktycznej
<math>\displaystyle P_L^r</math> wyznaczonej przez <math>\displaystyle L</math> jest równa 4</rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*b + b</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*+aA^*b+a+1</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze">monoid przejśc minimalnego automatu akceptującego <math>\displaystyle L</math> ma 6
elementów</rightoption>
</quiz>
</quiz>
nie, nie, tak
<quiz>
<quiz>
Dany jest szereg <math>\sum_{n =1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R} </math> Ten szereg jest
Niech <math>\displaystyle L</math> będzie dowolnym językiem regularnym. Wskaż zdania
<wrongoption >zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x) \equiv 0 </math></wrongoption >
prawdziwe:
<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f </math> takiej, że <math >0 <f(x) <3 </math></rightoption >
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)= \frac{1}{2(x^2+1)} </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez pewien niedeterministyczny
automat skończenie stanowy z pustymi przejściami</rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez automat deterministyczny
skończenie stanowy</rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez niedeterministyczny automat
z pustymi przejściami o jednoelementowym zbiorze stanów początkowych</rightoption>
<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje automat niedeterministyczny z pustymi
przejściami rozpoznający <math>\displaystyle L</math> i taki, że zbiór stanów początkowych
jest jednoelementowy</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">Nie istnieje gramatyka lewoliniowa generująca <math>\displaystyle L</math></wrongoption>
</quiz>
</quiz>
nie, tak, nie
<quiz>
<quiz>
Funkcja <math>
Niech <math>\displaystyle L_1</math>, <math>\displaystyle L_2</math> będą językami rozpoznawanymi odpowiednio przez
f(x):= \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{ \sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)} </math>
automaty o <math>\displaystyle n_1</math> i <math>\displaystyle n_2</math> stanach. Aby stwierdzić, dla dowolnego
Granica <math>\lim_{x \to 3}f(x) </math> wynosi
słowa <math>\displaystyle w</math>, czy jest ono rozpoznawane przez oba automaty, wystarczy
<rightoption><math>\frac{1}{10} </math></rightoption>
skonstruować odpowiedni automat mający
<wrongoption><math>\sqrt{3} </math></wrongoption>
<wrongoption><math>0 </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle n_1 \cdot n_2</math> stanów</rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle O(n_1+n_2)</math> stanów</rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_1</math> stanów</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle n_2</math> stanów</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">3 stany</wrongoption>
</quiz>
</quiz>
tak, nie, nie
<quiz>
<quiz>
Szereg <math>\sum_{n =1}^ {\infty }\frac{1}{n (x ^4 +4 )} </math> jest
Język <math>\displaystyle L</math> składa się ze wszystkich słów nad alfabetem <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>
<wrongoption>zbieżny punktowo </wrongoption>
nie zawierających podsłowa <math>\displaystyle a^3</math>. Wskaż wyrażenie regularne
<wrongoption >zbieżny jednostajnie </wrongoption >
reprezentujące <math>\displaystyle L</math>:
<rightoption>rozbieżny </rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)b^*)^*</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)bb^*)^*</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (b+ab+aab)^*+(b+ab+aab)^*a+(b+ab+aab)^*aa</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle ((1+a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle b^*(a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math></rightoption>
</quiz>
</quiz>
nie, nie, tak
<quiz>
<quiz>
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x) =\cos 2x </math> to
Wskaż warunki równoważne temu, by język <math>\displaystyle L</math> był akceptowany przez
<wrongoption><math>- \frac{2 ^6} {6! }</math></wrongoption >
automat skończenie stanowy:
<wrongoption><math>\frac{2 ^6} {6! }x^6 </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">Istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle N \geq 1</math> taka, że każde słowo
<math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| \geq N</math> można przedstawić jako katenację
<rightoption><math>\frac{-4} {45 }x ^6 </math></rightoption>
<math>\displaystyle w = v_1uv_2</math>, gdzie <math>\displaystyle v_1, v_2 \in A^*</math>, <math>\displaystyle u \in A^+</math> oraz <math>\displaystyle v_1u^*v_2
\subset L</math>.</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">Istnieje skończony monoid <math>\displaystyle M</math> i homomorfizm <math>\displaystyle \phi: A^*
\rightarrow M</math> taki, że <math>\displaystyle \phi^{-1}(\phi(L)) = L</math>.</rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej
kongruencji <math>\displaystyle \rho</math> na <math>\displaystyle A^*</math>: <center><math>\displaystyle L = \cup_{w \in L}[w]_\rho.</math></center></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L \in \mathcal{REG}(A^*)</math>.</rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
skończenie stanowy z jednym stanem końcowym.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>
nie, nie, tak
<quiz>
<quiz>
Automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle S=\{s_0, s_1, s_2,
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f (x )=\frac {1 }{2+x }</math> o środku w <math>x_0 =0 </math> wynosi
s_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_1\}</math>, {
<wrongoption ><math>\frac{-1}{64}x^6 </math></wrongoption >
{| border=1
<rightoption ><math>\frac{ -1 }{64 }x ^5 </math></rightoption >
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
<wrongoption ><math>\frac {1}{2 }x ^6 </math></wrongoption >
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math> ||
<math>\displaystyle s_3</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
|}
}
; a.
: jest automatem minimalnym
; b.
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; c.
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; d.
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; e.
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
</quiz>
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,d
</div></div>
<quiz>
Które z poniższych równości dla wyrażeń regularnych są prawdziwe?
; a.
: <math>\displaystyle r^*r^*=r^*</math>
; b.
nie , tak , nie
: <math>\displaystyle (r+s)^*=r^*+s^*</math>
; c.
: <math>\displaystyle (r^*+s^*)^*=(r^*s^*)^*</math>
; d.
: <math>\displaystyle r+r=r</math>
; e.
: <math>\displaystyle (rs)^*r=r(sr)^*</math>
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,c,d,e
</div></div>
<quiz>
<quiz>
Wskaż języki regularne:
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt {x }</math> ośrodku w <math>x_0 =1 </math> Współczynnik przy <math>x </math> wynosi
<rightoption ><math>\frac {15 }{16 }</math></rightoption >
; a.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\ (mod\ 3)\}</math>
<wrongoption ><math>\frac {5 }{16 }</math></wrongoption >
; b.
<wrongoption ><math>\frac {1}{16 }</math></wrongoption >
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math>
; c.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ |w|=2^n, n > 0\}</math>
; d.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \cdot \sharp_bw = 100\}</math>
; e.
: <math>\displaystyle \{a^n:\ n=3k </math> lub <math>\displaystyle n=5k,\ k \geq 0\}</math>
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,d,e
</div></div>
<quiz>
Dany jest automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie
<math>\displaystyle S=\{s_0,s_1,s_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_0,s_1\}</math>,<br>
{
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|
|}
}
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A})=(a^2+b)^*(a+1)</math>.
; b.
: Równoważny automat minimalny ma 2 stany.
; c.
: Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to dla każdych <math>\displaystyle v,u \in A^*</math> takich, że
<math>\displaystyle w=vbu</math> zachodzi <math>\displaystyle \sharp_av = 2k</math> dla pewnego <math>\displaystyle k \geq 0</math>.
; d.
: <math>\displaystyle a^*b^* \subset L(\mathcal{A})</math>.
; e.
: Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to <math>\displaystyle a^2b</math> jest podsłowem
słowa <math>\displaystyle w</math>.
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,c
</div></div>
<quiz>
Dany niech będzie automat niedeterministyczny <math>\displaystyle \mathcal{A}_{ND}=(Q,
A, \{q_0\}, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle Q=\{q_0, q_1, q_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>,
<math>\displaystyle F=\{q_2\}</math>,<br>
{
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle q_0</math> || <math>\displaystyle q_1</math> || <math>\displaystyle q_2</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle \{q_1\}</math> || <math>\displaystyle \{q_0,q_2\}</math> || <math>\displaystyle \{q_2\}</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle \emptyset</math> || <math>\displaystyle \emptyset</math> || <math>\displaystyle \{q_1\}</math>
|-
|
|}
}
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a+ba)^*</math>.
; b.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a(aa^*b)^*aa^*</math>.
; c.
: Równoważny automat deterministyczny posiada 3 stany.
; d.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a^*b)^*aa^*</math>.
; e.
: Równoważny minimalny automat deterministyczny posiada 4 stany.
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,b,e
</div></div>
<quiz>
Twierdzenie orzekające o równości zachodzącej pomiędzy rodziną
języków regularnych a rodziną języków rozpoznawanych przez automaty
o skończonej liczbie stanów znane jest jako:
; a.
: twierdzenie Nerode'a
; b.
: teza Churcha
; c.
: lemat Ardena
; d.
: lemat o pompowaniu
; e.
: twierdzenie Kleene'ego
</quiz>
</quiz>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
tak, nie, nie
e
</div></div>
<quiz>
Wskaż monoid przejść automatu o następującej funkcji przejścia: <br>
<center>
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_3</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
|}
</center>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
\circ)</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a)\},\circ)</math></wrongoption>
==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},\circ)</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b)\},\circ)</math></wrongoption>
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab),\tau_{\mathcal{A}}(ba)\},
==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test==
\circ)</math></wrongoption>
</quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111111111111
<quiz>
==Twierdzenie Fubiniego . Twierdzenie o zmianie zmiennych . Test= =
Niech <math>\displaystyle L_1,L_2</math> będą językami regularnymi. Wskaż problemy
rozstrzygalne.
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle w \in L_1 \cap L_2</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 \cap L_2 = \emptyset</math></rightoption>
1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
<rightoption reply="Dobrze">nieskończoność <math>\displaystyle L_1</math></rightoption>
==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test==
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle L_1 = \emptyset</math></rightoption>
</quiz>
1414141414141414141414141414141414141414141414141414
==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test ==
<quiz>
Algorytm determinizacji automatu:
<rightoption reply="Dobrze">jest deterministyczny</rightoption>
<wrongoption reply="Źle">działa w czasie wielomianowym</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">może się zapętlić</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">działa w czasie eksponencjalnym</rightoption>
<wrongoption reply="Źle">kończy działanie błędem, jeśli na wejściu podany został
automat deterministyczny</wrongoption>
</quiz>
<quiz>
Wskaż zdania prawdziwe:
<rightoption reply="Dobrze">istnieje algorytm minimalizacji automatu działający w
czasie <math>\displaystyle n\log n</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle">żaden algorytm minimalizacji nie może działać szybciej niż
w czasie <math>\displaystyle O(n^2)</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytm minimalizacji zawsze zwróci automat o mniejszej
liczbie stanów niż automat podany na wejściu</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji są algorytmami niedeterministycznymi</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji nie działają dla automatów jednostanowych</wrongoption>
</quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111
22222222222222222222222222222222222222222
Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
Norma. Iloczyn skalarny. Test 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test
Dany jest ciąg funkcyjny { f n } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right}
dla n ∈ ℕ
f ( x ) ≡ 0 Dobrze
f ( x ) ≡ 0 Źle
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right}
Źle
tak, nie, nie
Dany jest ciąg funkcyjny { f n }
f n ( x ) = { 1 − n − x 1 + n − x dla x > 0 2 − n x 2 + n x dla x < 0 0 dla x = 0 n = 1 , 2 , … Ten ciąg funkcyjny jest
Źle
Dobrze
Źle
nie, tak, nie
Dany jest ciąg funkcyjny f n ( x ) = x n x ≥ 0
Źle
Źle
Dobrze
nie, nie, tak
Dany jest szereg ∑ n = 1 ∞ sin n x 2 n ( x 2 + 1 ) , x ∈ ℝ
f ( x ) ≡ 0 Źle
f 0 < f ( x ) < 3 Dobrze
f ( x ) = 1 2 ( x 2 + 1 ) Źle
nie, tak, nie
Funkcja f ( x ) : = ∑ n = 1 ∞ x n n ( n + 1 ) ( x 2 + 1 ) lim x → 3 f ( x )
1 1 0 Dobrze
3 Źle
0 Źle
tak, nie, nie
Szereg ∑ n = 1 ∞ 1 n ( x 4 + 4 )
Źle
Źle
Dobrze
nie, nie, tak
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji f ( x ) = cos 2 x
− 2 6 6 ! Źle
2 6 6 ! x 6 Źle
− 4 4 5 x 6 Dobrze
nie, nie, tak
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f ( x ) = 1 2 + x x 0 = 0
− 1 6 4 x 6 Źle
− 1 6 4 x 5 Dobrze
1 2 x 6 Źle
nie, tak, nie
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji x x 0 = 1 x
1 5 1 6 Dobrze
5 1 6 Źle
1 1 6 Źle
tak, nie, nie
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
Wielowymiarowa całka Riemanna. Test 1111111111111111111111111111111111111111111111111111
Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test 1414141414141414141414141414141414141414141414141414
Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test 