(Nie pokazano 43 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) Linia 8:
Linia 8: <quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111
Wskaż, które z poniższych struktur są monoidami:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}_{mod\ 2}, \cdot)</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_1, +)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_1=\{1,2,3,...\}</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle (\mathds{N}_p,+)</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathds{N}_p</math> jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{R}, \cdot)</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle (\mathds{Z}, +)</math></rightoption>
</quiz>
<quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111
Wskaż stwierdzenia prawdziwe:
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa,bb\}^*</math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{a,b\}^*</math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{abb,a\}^*</math></rightoption>
22222222222222222222222222222222222222222
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle abbaaa \in \{ba, ab\}^*</math></wrongoption>
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle abbaaa \in \{aa, ab, ba\}^*</math></rightoption>
</quiz>
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
==Norma. Iloczyn skalarny. Test==
{{cwiczenie|Homomorfizmy||
<br>
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Wskaż, które z poniższych odwzorowań są homomorfizmami:
; a.
==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora . Test= =
: <math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math>
; b.
<quiz>
: <math>\displaystyle h: (\mathds{R},+) \rightarrow (\mathds{R},+)</math>, <math>\displaystyle h(x)=3x</math>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
<math>
f_n (x)=
\left \{
\begin{array} {lll}
1 & \text{dla } & x\in[n ,n +1]\\
0 & \text{dla} & x \in \mathbb {R}\setminus[n ,n +1]
\end{array}
\right</math>
dla <math>n\in\mathbb{N}</math>
Ciąg ten jest
<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x )\equiv 0 </math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do <math>f(x) \equiv 0</math></wrongoption>
<wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f (x)=
\left\{
\begin{array} {lll}
1 & \text{dla} & x\geq 1\\
0 & \text{dla} & x<0
\end{array}
\right </math></wrongoption>
</quiz >
; c.
tak , nie , nie
: <math>\displaystyle h: (\mathds{R}, \cdot) \rightarrow (\mathds{R}, \cdot)</math>,
<math>\displaystyle h(x)=3x</math>
; d.
<quiz>
: <math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow \{a,b\}^*</math>, <math>\displaystyle h(a)=a^2</math>,
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n \}</math> gdzie
<math>\displaystyle h(b)=ab^2</math>
; e.
<center> <math>f_n(x)=
: <math>\displaystyle h: \{a,b\}^* \rightarrow (\mathds{Z},+)</math>, <math>\displaystyle h(a)=1</math>,
\left \{
<math>\displaystyle h(b)=1</math>
\begin{array} {lll}
\frac{1-n^{-x }}{1+n ^{-x}} & \text{dla} & x>0\\
}}
\ \
\frac{2-n^ {x} }{2 +n^{x}} & \text{dla} & x<0\\
\\
0 & \text{dla} & x=0\\
\end{array}
\right.
\quad </math> dla <math>\ n =1,2,\ldots
</ math></center >
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Ten ciąg funkcyjny jest
b, d, e
<wrongoption >zbieżny jednostajnie </wrongoption >
</div></div>
<rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie </rightoption >
<wrongoption >rozbieżny </wrongoption >
</quiz >
{{cwiczenie|System przepisujący||
nie, tak, nie
<br>
<quiz >
Dany niech będzie system przepisujący <math>\displaystyle RS=(\{a,b,c\},
Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x) =\sqrt[n] {x }</math> dla <math>x \ge 0 </math> Ten ciąg
\{(a,b),(b,c),(b,a),(cc,b))</math> oraz niech <math>\displaystyle I=\{ccb\}</math>. Wskaż
<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption>
stwierdzenia prawdziwe:
<wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption>
<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption>
</quiz>
; a.
nie , nie, tak
: <math>\displaystyle abc \in L_{gen}(RS, I)</math>
; b.
<quiz>
: <math>\displaystyle ccb \in L_{gen}(RS, I)</math>
Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x \in \mathbb {R }</math> Ten szereg jest
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f (x)\equiv 0</math></wrongoption>
<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej , że <math>0<f(x )<3</math> </rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji < math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption>
</quiz >
; c.
nie , tak, nie
: <math>\displaystyle bb \in L_{gen}(RS, I)</math>
; d.
<quiz>
: <math>\displaystyle aab \in L_{gen}(RS, I)</math>
Funkcja <math>
f(x) :=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math>
Granica <math>\lim_{x \to 3 }f (x )</math> wynosi
<rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
</quiz >
; e.
tak , nie, nie
: <math>\displaystyle aa \in L_{gen}(RS, I)</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
<quiz>
b, c, e
Szereg <math>\sum_{n =1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math > jest
</div></div>
<wrongoption >zbieżny punktowo </wrongoption >
<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption >
<rightoption>rozbieżny </rightoption >
</quiz >
{{cwiczenie|Wyrażenie regularne||
nie, nie, tak
<br>
<quiz >
Wyrażenie regularne
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to
<center><math>\displaystyle ((aa+bb)^*(ab+ba)(aa+bb)^*(ab+ba))^*(aa+bb)^*</math></center>
<wrongoption ><math>- \frac{2 ^6}{6!} </math></wrongoption >
reprezentuje
język:
<wrongoption> <math>\frac {2^6} {6! }x ^6 </math></wrongoption>
; a.
<rightoption> <math>\frac{-4}{45}x^6 </math></rightoption >
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 2l</math>,
</quiz >
<math>\displaystyle k,l >0\}</math>
; b.
nie , nie, tak
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 0 (mod 2)\}</math>
; c.
<quiz>
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw = 2k, k \geq
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)= \frac{1} {2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi
0\}</math>
<wrongoption><math> \frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption>
<rightoption><math> \frac {-1}{64 }x ^5</math></rightoption>
<wrongoption><math> \frac{1}{2 }x^6 </math></wrongoption>
</quiz >
; d.
nie , tak, nie
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw - \sharp_bw = 1 (mod 2)\}</math>
; e.
<quiz >
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*: \sharp_aw = 4k</math>, <math>\displaystyle \sharp_bw = 4l</math>, <math>\displaystyle k,
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt {x }</math> ośrodku w <math>x_0 =1</math> Współczynnik przy <math>x </math> wynosi
l \geq 0\}</math>
<rightoption ><math>\frac {15 }{16 }</math></rightoption >
}}
<wrongoption ><math>\frac{5 }{16 }</math></wrongoption >
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
<wrongoption ><math>\frac {1}{16 }</math></wrongoption >
a
</quiz >
</div></div>
{{cwiczenie|Język regularny||
<br>
Niech <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math> oraz <math>\displaystyle L=aA^*a</math>. Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
: minimalny automat akceptujący <math>\displaystyle L</math> ma 5 stanów
; b.
: ilość klas równoważności prawej kongruencji syntaktycznej
<math>\displaystyle P_L^r</math> wyznaczonej przez <math>\displaystyle L</math> jest równa 4
; c.
: <math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*b + b</math>
; d.
: <math>\displaystyle A^* \backslash L = bA^*+aA^*b+a+1</math>
; e.
: monoid przejśc minimalnego automatu akceptującego <math>\displaystyle L</math> ma 6
elementów
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
b, d, e
</div></div>
{{cwiczenie|Język regularny a automat||
<br>
Niech <math>\displaystyle L</math> będzie dowolnym językiem regularnym. Wskaż zdania
prawdziwe:
; a.
: <math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez pewien niedeterministyczny
automat skończenie stanowy z pustymi przejściami
; b.
: <math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez automat deterministyczny
skończenie stanowy
; c.
: <math>\displaystyle L</math> jest rozpoznawany przez niedeterministyczny automat
z pustymi przejściami o jednoelementowym zbiorze stanów początkowych
; d.
: Nie istnieje automat niedeterministyczny z pustymi
przejściami rozpoznający <math>\displaystyle L</math> i taki, że zbiór stanów początkowych
jest jednoelementowy
; e.
: Nie istnieje gramatyka lewoliniowa generująca <math>\displaystyle L</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a, b, c
</div></div>
{{cwiczenie|Język regularny a automat||
<br>
Niech <math>\displaystyle L_1</math>, <math>\displaystyle L_2</math> będą językami rozpoznawanymi odpowiednio przez
automaty o <math>\displaystyle n_1</math> i <math>\displaystyle n_2</math> stanach. Aby stwierdzić, dla dowolnego
słowa <math>\displaystyle w</math>, czy jest ono rozpoznawane przez oba automaty, wystarczy
skonstruować odpowiedni automat mający
; a.
: <math>\displaystyle n_1 \cdot n_2</math> stanów
; b.
: <math>\displaystyle O(n_1+n_2)</math> stanów
; c.
: <math>\displaystyle n_1</math> stanów
; d.
: <math>\displaystyle n_2</math> stanów
; e.
: 3 stany
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a, b
</div></div>
{{cwiczenie|Wyrażenia regularne||
<br>
Język <math>\displaystyle L</math> składa się ze wszystkich słów nad alfabetem <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>
nie zawierających podsłowa <math>\displaystyle a^3</math>. Wskaż wyrażenie regularne
reprezentujące <math>\displaystyle L</math>:
; a.
: <math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)b^*)^*</math>
; b.
: <math>\displaystyle (b^*(1+a+aa)bb^*)^*</math>
; c.
: <math>\displaystyle (b+ab+aab)^*+(b+ab+aab)^*a+(b+ab+aab)^*aa</math>
; d.
: <math>\displaystyle ((1+a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math>
; e.
: <math>\displaystyle b^*(a+aa)bb^*)^*(1+a+aa)</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
c, d, e
</div></div>
{{cwiczenie|Języki regularne - warunki równoważne||
<br>
Wskaż warunki równoważne temu, by język <math>\displaystyle L</math> był akceptowany przez
automat skończenie stanowy:
; a.
: Istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle N \geq 1</math> taka, że każde słowo
<math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| \geq N</math> można przedstawić jako katenację
<math>\displaystyle w = v_1uv_2</math>, gdzie <math>\displaystyle v_1, v_2 \in A^*</math>, <math>\displaystyle u \in A^+</math> oraz <math>\displaystyle v_1u^*v_2
\subset L</math>.
; b.
: Istnieje skończony monoid <math>\displaystyle M</math> i homomorfizm <math>\displaystyle \phi: A^*
\rightarrow M</math> taki, że <math>\displaystyle \phi^{-1}(\phi(L)) = L</math>.
; c.
: <math>\displaystyle L</math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej
kongruencji <math>\displaystyle \rho</math> na <math>\displaystyle A^*</math>: <center><math>\displaystyle L = \cup_{w \in L}[w]_\rho.</math></center>
; d.
: <math>\displaystyle L \in \mathcal{REG}(A^*)</math>.
; e.
: <math>\displaystyle L</math> jest akceptowany przez deterministyczny automat
skończenie stanowy z jednym stanem końcowym.
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
b,d
</div></div>
{{cwiczenie|Automat skończenie stanowy||
<br>
Automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle S=\{s_0, s_1, s_2,
s_3\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_1\}</math>, {
{| border=1
tak, nie, nie
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math> ||
<math>\displaystyle s_3</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
|}
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
}
==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==
; a.
: jest automatem minimalnym
; b.
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; c.
==Wielowymiarowa całka Riemanna . Test ==
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; d.
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
; e.
1111111111111111111111111111111111111111111111111111
: rozpoznaje język <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = 2k+1,
\sharp_bw = 2l+1</math>, <math>\displaystyle k,l \geq 0\}</math>
}}
==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test==
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,d
</div></div>
{{cwiczenie|Równość wyrażeń regularnych||
1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
<br>
==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena . Test= =
Które z poniższych równości dla wyrażeń regularnych są prawdziwe?
; a.
: <math>\displaystyle r^*r^*=r^*</math>
; b.
: <math>\displaystyle (r+s)^*=r^*+s^*</math>
; c.
1414141414141414141414141414141414141414141414141414
: <math>\displaystyle (r^*+s^*)^*=(r^*s^*)^*</math>
; d.
==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania . Test ==
: <math>\displaystyle r+r=r</math>
; e.
: <math>\displaystyle (rs)^*r=r(sr)^*</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,c,d,e
</div></div>
{{cwiczenie|Języki regularne||
<br>
Wskaż języki regularne:
; a.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\ (mod\ 3)\}</math>
; b.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw = \sharp_bw\}</math>
; c.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ |w|=2^n, n > 0\}</math>
; d.
: <math>\displaystyle \{w \in \{a,b\}^*:\ \sharp_aw \cdot \sharp_bw = 100\}</math>
; e.
: <math>\displaystyle \{a^n:\ n=3k </math> lub <math>\displaystyle n=5k,\ k \geq 0\}</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,d,e
</div></div>
{{cwiczenie|Automat skończenie stanowy||
<br>
Dany jest automat <math>\displaystyle \mathcal{A}=(S, A, s_0, f, F)</math>, gdzie
<math>\displaystyle S=\{s_0,s_1,s_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>, <math>\displaystyle F=\{s_0,s_1\}</math>,<br>
{
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
|
|}
}
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A})=(a^2+b)^*(a+1)</math>.
; b.
: Równoważny automat minimalny ma 2 stany.
; c.
: Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to dla każdych <math>\displaystyle v,u \in A^*</math> takich, że
<math>\displaystyle w=vbu</math> zachodzi <math>\displaystyle \sharp_av = 2k</math> dla pewnego <math>\displaystyle k \geq 0</math>.
; d.
: <math>\displaystyle a^*b^* \subset L(\mathcal{A})</math>.
; e.
: Jeśli <math>\displaystyle w \in L(\mathcal{A})</math>, to <math>\displaystyle a^2b</math> jest podsłowem
słowa <math>\displaystyle w</math>.
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,c
</div></div>
{{cwiczenie|Automat niedeterministyczny||
<br>
Dany niech będzie automat niedeterministyczny <math>\displaystyle \mathcal{A}_{ND}=(Q,
A, \{q_0\}, f, F)</math>, gdzie <math>\displaystyle Q=\{q_0, q_1, q_2\}</math>, <math>\displaystyle A=\{a,b\}</math>,
<math>\displaystyle F=\{q_2\}</math>,<br>
{
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle q_0</math> || <math>\displaystyle q_1</math> || <math>\displaystyle q_2</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle \{q_1\}</math> || <math>\displaystyle \{q_0,q_2\}</math> || <math>\displaystyle \{q_2\}</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle \emptyset</math> || <math>\displaystyle \emptyset</math> || <math>\displaystyle \{q_1\}</math>
|-
|
|}
}
Wskaż zdania prawdziwe:
; a.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a+ba)^*</math>.
; b.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a(aa^*b)^*aa^*</math>.
; c.
: Równoważny automat deterministyczny posiada 3 stany.
; d.
: <math>\displaystyle L(\mathcal{A}_{ND})=a^2(a^*b)^*aa^*</math>.
; e.
: Równoważny minimalny automat deterministyczny posiada 4 stany.
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,b,e
</div></div>
{{cwiczenie|Równość <math>\displaystyle \mathcal{REC}(A^*)=\mathcal{REG}(A^*)</math>||
<br>
Twierdzenie orzekające o równości zachodzącej pomiędzy rodziną
języków regularnych a rodziną języków rozpoznawanych przez automaty
o skończonej liczbie stanów znane jest jako:
; a.
: twierdzenie Nerode'a
; b.
: teza Churcha
; c.
: lemat Ardena
; d.
: lemat o pompowaniu
; e.
: twierdzenie Kleene'ego
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
e
</div></div>
{{cwiczenie|Monoid przejść||
<br>
Wskaż monoid przejść automatu o następującej funkcji przejścia: <br>
{
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| <math>\displaystyle f</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_3</math>
|-
| <math>\displaystyle a</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math>
|-
| <math>\displaystyle b</math> || <math>\displaystyle s_3</math> || <math>\displaystyle s_2</math> || <math>\displaystyle s_1</math> || <math>\displaystyle s_0</math>
|-
|
|}
}
; a.
: <math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},
\circ)</math>
; b.
: <math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a)\},\circ)</math>
; c.
: <math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(ab)\},\circ)</math>
; d.
: <math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(1),\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b)\},\circ)</math>
; e.
: <math>\displaystyle (\{\tau_{\mathcal{A}}(a),\tau_{\mathcal{A}}(b),\tau_{\mathcal{A}}(ab),\tau_{\mathcal{A}}(ba)\},
\circ)</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a
</div></div>
{{cwiczenie|Problemy rozstrzygalne||
<br>
Niech <math>\displaystyle L_1,L_2</math> będą językami regularnymi. Wskaż problemy
rozstrzygalne.
; a.
: <math>\displaystyle w \in L_1</math>
; b.
: <math>\displaystyle w \in L_1 \cap L_2</math>
; c.
: <math>\displaystyle L_1 \cap L_2 = \emptyset</math>
; d.
: nieskończoność <math>\displaystyle L_1</math>
; e.
: <math>\displaystyle L_1 = \emptyset</math>
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a,b,c,d,e
</div></div>
{{cwiczenie|Algorytm determinizacji automatu||
<br>
Algorytm determinizacji automatu:
; a.
: jest deterministyczny
; b.
: działa w czasie wielomianowym
; c.
: może się zapętlić
; d.
: działa w czasie eksponencjalnym
; e.
: kończy działanie błędem, jeśli na wejściu podany został
automat deterministyczny
}}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a, d
</div></div>
<quiz>
Wskaż zdania prawdziwe:
<rightoption reply="Dobrze">istnieje algorytm minimalizacji automatu działający w
czasie <math>\displaystyle n\log n</math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle">żaden algorytm minimalizacji nie może działać szybciej niż
w czasie <math>\displaystyle O(n^2)</math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytm minimalizacji zawsze zwróci automat o mniejszej
liczbie stanów niż automat podany na wejściu</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji są algorytmami niedeterministycznymi</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">algorytmy minimalizacji nie działają dla automatów jednostanowych</wrongoption>
</quiz>
1111111111111111111111111111111111111111111
22222222222222222222222222222222222222222
Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
Norma. Iloczyn skalarny. Test 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test
Dany jest ciąg funkcyjny { f n } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right}
dla n ∈ ℕ
f ( x ) ≡ 0 Dobrze
f ( x ) ≡ 0 Źle
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right}
Źle
tak, nie, nie
Dany jest ciąg funkcyjny { f n }
f n ( x ) = { 1 − n − x 1 + n − x dla x > 0 2 − n x 2 + n x dla x < 0 0 dla x = 0 n = 1 , 2 , … Ten ciąg funkcyjny jest
Źle
Dobrze
Źle
nie, tak, nie
Dany jest ciąg funkcyjny f n ( x ) = x n x ≥ 0
Źle
Źle
Dobrze
nie, nie, tak
Dany jest szereg ∑ n = 1 ∞ sin n x 2 n ( x 2 + 1 ) , x ∈ ℝ
f ( x ) ≡ 0 Źle
f 0 < f ( x ) < 3 Dobrze
f ( x ) = 1 2 ( x 2 + 1 ) Źle
nie, tak, nie
Funkcja f ( x ) : = ∑ n = 1 ∞ x n n ( n + 1 ) ( x 2 + 1 ) lim x → 3 f ( x )
1 1 0 Dobrze
3 Źle
0 Źle
tak, nie, nie
Szereg ∑ n = 1 ∞ 1 n ( x 4 + 4 )
Źle
Źle
Dobrze
nie, nie, tak
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji f ( x ) = cos 2 x
− 2 6 6 ! Źle
2 6 6 ! x 6 Źle
− 4 4 5 x 6 Dobrze
nie, nie, tak
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f ( x ) = 1 2 + x x 0 = 0
− 1 6 4 x 6 Źle
− 1 6 4 x 5 Dobrze
1 2 x 6 Źle
nie, tak, nie
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji x x 0 = 1 x
1 5 1 6 Dobrze
5 1 6 Źle
1 1 6 Źle
tak, nie, nie
5555555555555555555555555555555555555555555555555555
Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test 101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
Wielowymiarowa całka Riemanna. Test 1111111111111111111111111111111111111111111111111111
Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test 1414141414141414141414141414141414141414141414141414
Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test 