|
|
| (Nie pokazano 31 wersji utworzonych przez 3 użytkowników) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| | --- przykładowo jak zrobić pierwsze pytanie z pierwszego modułu --- |
|
| |
|
| Poniższe zdania twierdzące mogą być albo prawdziwe (oznaczone jako
| | <quiz type="exclusive"> |
| "+"), albo fałszywe (oznaczane "-"). Zbiór wszystkich pytań | | Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które |
| podzielono na 15 części, odpowiadających kolejnym modułom.
| |
| | |
| ; Pyt.1
| |
| :
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które
| |
| spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, | | spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, |
| dziedzin i kodziedzin morfizmów. | | dziedzin i kodziedzin morfizmów. |
| | <wrongoption>Prawda</wrongoption> |
| | <rightoption>Fałsz</rightoption> |
| | </quiz> |
| | --------------------------------------------------------------------- |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Dowolna kategoria może być interpretowana jako pewnien specjalny graf
| |
| skierowany.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Dowolna kategoria może być interpretowana jako pewna
| |
| algebra.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria może być jednocześnie mała i lokalnie mała.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria może być jednocześnie mała i duża.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria może być jednocześnie lokalnie mała i duża.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>, w której dla każdego obiektu <math>\displaystyle A\in
| |
| \mathbf{C}_0</math> istnieje dokładnie jeden morfizm typu <math>\displaystyle A\to A</math>
| |
| nazywamy konkretną.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>, w której dla każdego obiektu <math>\displaystyle A\in
| |
| \mathbf{C}_0</math> istnieje dokładnie jeden morfizm typu <math>\displaystyle A\to A</math>
| |
| nazywamy dyskretną.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>, w której dla każdego obiektu <math>\displaystyle A\in
| |
| \mathbf{C}_0</math> istnieje dokładnie jeden morfizm typu <math>\displaystyle A\to A</math>
| |
| nazywamy monoidem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>, w której dla każdego obiektu <math>\displaystyle A\in
| |
| \mathbf{C}_0</math> istnieje dokładnie jeden morfizm typu <math>\displaystyle A\to A</math>
| |
| nazywamy posetem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Nie istnieje kategoria, w której jest <math>\displaystyle 5</math> obiektów i <math>\displaystyle 6</math>
| |
| morfizmów.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Nie istnieje kategoria, w której jest <math>\displaystyle 6</math> obiektów i <math>\displaystyle 5</math>
| |
| morfizmów.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Nie istnieje kategoria, w której wszystkie obiekty są
| |
| izomorficzne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Nie istnieje kategoria, w której wszystkie morfizmy mają tę samą kodziedzinę.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{Rel}</math> jest lokalnie mała i duża.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Liczby naturalne <math>\displaystyle (\mathbb{N},\leq)</math> są kategorią
| |
| dyskretną.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math> jest lokalnie mała.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategorie dyskretne są lokalnie małe.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategorie konkretne są lokalnie małe.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Grupa <math>\displaystyle (G,\circ,e)</math> to kategoria z jednym obiektem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Grp}</math> to kategoria, w której wszystkie obiekty
| |
| są izomorficzne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Dowolne dwa izomorficzne obiekty w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> są równoliczne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Preporządek jest z definicji taką kategorią, w której między
| |
| dowolnymi dwoma obiektami istnieje co najwyżej jeden morfizm.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Preporządek jest kategorią lokalnie małą.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Preporządek to taka kategoria, w której nie istnieją dwa różne
| |
| obiekty izomorficzne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Preporządek jest częściowym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy każde
| |
| dwa obiekty izomorficzne są sobie równe.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Rachunek lambda jako kategoria jest lokalnie mała.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> jest obiektem <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W każdej kategorii niepustej istnieją izomorfizmy.
| |
|
| |
| ; Pyt.2
| |
| :
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Monomorfizmem w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> jest każda funkcja injektywna.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Monomorfizmem w <math>\displaystyle \mathbf{Mon}</math> jest każda funkcja injektywna.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Monomorfizmem w posecie <math>\displaystyle (P,\leq)</math> jest każda ze strzałek.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Monomorfizmem w dowolnej kategorii <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> jest każdy epimorfizm w
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{C}^{op}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W kategoriach dyskretnych monomorfizmy są izomorfizmami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W kategoriach dyskretnych monomorfizmy są epimorfizmami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Istnieją kategrie konkretne, w których każdy epimorfizm
| |
| jest surjekcją.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Istnieją kategrie konkretne, w których żaden epimorfizm
| |
| nie jest surjekcją.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Istnieją kategorie konkretne, w których pewne epimorfizmy
| |
| nie są surjekcjami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Epimorfizm to pojęcie dualne do monomorfizmu.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Izomorfizm to pojęcie samodualne (tj. dualne do samego
| |
| siebie).
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Monomorfizm to pojęcie samodualne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Top}</math> epimorfizmami są ciągłe surjekcje.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: W kategorii przestrzeni topologicznych Hausdorffa i
| |
| funkcji ciągłych epimorfizmy to dokładnie ciągłe surjekcje.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W preporządku sekcje są izomorfizmami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W preporządku pojęcia: sekcji, izomorfizmu, retrakcji,
| |
| monomorfizmu, epimorfizmu pokrywają się.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Funktory wierne zachowują sekcje.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Retrakcje w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> to dokładnie epimorfizmy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Jeśli funktor nie jest wierny, to nie musi zachowywać
| |
| retrakcji.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda sekcja jest monomorfizmem i epimorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda sekcja jest monomorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W kategorii dyskretnej każda sekcja jest epimorfizmem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy wierny funktor odzwierciedla sekcje i retrakcje.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math> istnieją epimorfizmy, które nie są
| |
| surjekcjami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math> istnieją epimorfizmy, które nie są
| |
| retrakcjami.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy funktor zachowuje monomorfizmy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy funktor pełny zachowuje izomorfizmy.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Homfunktory kowariantne zachowują i odzwierciedlają monomorfizmy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Mono retrakcja jest identycznością.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Mono retrakcja jest izomorfizmem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Retrakt dziedziny ciągłej jest algebraiczny.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Retrakt dziedziny algebraicznej jest algebraiczny.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W parze e-p zanurzenie <math>\displaystyle e</math> jest injekcją.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: W parze e-p projekcja jest injekcją.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Rel}</math> obiektem początkowym jest relacja
| |
| pusta.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Grp}</math> obiektem początkowym jest każdy obiekt
| |
| końcowy
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Pos}</math> nie istnieje obiekt, który jest
| |
| jednocześnie początkowy i końcowy.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każde dwa obiekty początkowe w dowolnej kategorii są
| |
| izomorficzne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math> nie ma obiektu początkowego.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda kategoria dyskretna jest obiektem końcowym w
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{Cat}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Istnieją małe kategorie, w których nie ma obiektów
| |
| początkowych, ani końcowych.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli w danej kategorii pewien obiekt początkowy i pewien obiekt końcowy
| |
| są izomorficzne, to kategoria ta posiada tylko jeden morfizm.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Funkcja następnik <math>\displaystyle \mathrm{succ}\colon \mathbb{N}\to
| |
| \mathbb{N}</math> jest uogólnionym elementem <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy element jest uogólnonym elementem, ale nie
| |
| odwrotnie.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W odcinku <math>\displaystyle ((0,1),\leq)</math> (jako kategorii) istnieje kontinuum elementów.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W odcinku <math>\displaystyle ([0,1],\leq)</math> istnieje kontinuum elementów.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: W odcinku <math>\displaystyle ((0,1),\leq)</math> istnieje kontinuum elementów
| |
| uogólnionych.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy element, którego kodziedziną jest obiekt końcowy
| |
| jest identycznością.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy element, którego kodziedziną jest obiekt początkowy
| |
| jest identycznością obiektu początkowego.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy element jest monomorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy element jest sekcją.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy element jest retrakcją.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy element jest izomorfizmem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Złożenie elementów jest elementem.
| |
|
| |
| ; Pyt.3
| |
| :
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Aksjomaty kategorii są samodualne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Pojęcie retrakcji jest samodualne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Pojęcie obiektu końcowego jest samodualne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Pojęcie izomorfizmu jest samodualne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Niech <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> będzie kategorią z produktami. Niech
| |
| <math>\displaystyle A,B,C,D\in \mathbf{C}_0</math> i <math>\displaystyle f,g\in \mathbf{C}_1</math>. Jeśli <math>\displaystyle A\times
| |
| B\cong C\times D</math>, to <math>\displaystyle A\cong C</math> i <math>\displaystyle B\cong D</math>.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Niech <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> będzie kategorią z produktami. Niech
| |
| <math>\displaystyle A,B,C,D\in \mathbf{C}_0</math> i <math>\displaystyle f,g\in \mathbf{C}_1</math>. Jeśli <math>\displaystyle A\times
| |
| B\cong B\times A</math>, to <math>\displaystyle A\cong B</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Niech <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> będzie kategorią z produktami. Niech
| |
| <math>\displaystyle A,B,C,D\in \mathbf{C}_0</math> i <math>\displaystyle f,g\in \mathbf{C}_1</math>. Jeśli <math>\displaystyle A\times
| |
| \mathbf{1}\cong \mathbf{1}</math>, to <math>\displaystyle A\cong \mathbf{1}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle f,g</math> są sekcjami, to <math>\displaystyle f\times g</math> też.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle f,g</math> są retrakcjami, to <math>\displaystyle f\times g</math> też.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle f,g</math> są izomorfizmami, to <math>\displaystyle f\times g</math> też.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle f,g</math> są monomorfizmami, to <math>\displaystyle f\times g</math> też.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Lambda rachunek jest kategorią z produktami.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy zbiór jest koproduktem pewnych dwóch innych zbiorów
| |
| w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W posecie <math>\displaystyle (P,\leq)</math> każdy produkt <math>\displaystyle a\times b</math> dla <math>\displaystyle a,b\in P</math>
| |
| (o ile istnieje) jest ekwalizatorem wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| <math>\displaystyle a=b</math>.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy ekwalizator jest epimorfizmem.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: W kategorii z pulbakami zawsze istnieją obiekty początkowe.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W kategorii z pulbakami i obiektem końcowym zawsze istnieją ekwalizatory.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda sekcja jest ekwalizatorem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Pulbak epimorfizmu jest epimorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Pulbak izomorfizmu jest izomorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda kategoria z koproduktami i koekwalizatorami posiada
| |
| pushouty.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda kategoria z obiektem początkowym i koekwalizatorami
| |
| posiada obiekt końcowy.
| |
|
| |
| ; Pyt.4
| |
| :
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Zbiory skończone i funkcje tworzą kategorię kartezjańsko
| |
| zamkniętą.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Przestrzenie topologiczne i funkcje ciągłe tworzą
| |
| kategorię kartezjańsko zamkniętą.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Lambda rachunek (z dodanym elementem końcowym) jest kategorią kartezjańsko zamkniętą.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Algebry Boole'a jako kategorie są kozupełne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Algebry Boole'a są dystrybutywne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Algebry Heytinga jako kategorie są kartezjańsko zamknięte.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Grupy abelowe i homomorfizmy grup są kartezjańsko
| |
| zamknięte.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategorie dyskretne są kartezjańsko zamknięte.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Algebra Heytinga jest algebrą Boole'a wtedy i tylko
| |
| wtedy, gdy każdy element posiada element przeciwny.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie
| |
| Scotta jest kartezjańsko zamknięta.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest
| |
| algebrą Heytinga.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest
| |
| algebrą Boole'a.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Zbiory otwarte, regularne w dowolnej topologii tworzą
| |
| algebrę Boole'a.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem
| |
| podzbiorów pewnego zbioru.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Monomorfizmy o wspólnej kodziedzinie uporządkujmy
| |
| relacją "faktoryzacji", tj. <math>\displaystyle f\leq g</math> wtw, gdy istnieje <math>\displaystyle h</math> tak,
| |
| że <math>\displaystyle g\circ h =f</math>. Zdefiniujmy relację równoważności <math>\displaystyle R</math> między
| |
| monomorfizmami o wspólnej kodziedzinie jako: <math>\displaystyle f\equiv g</math> wtw, gdy
| |
| <math>\displaystyle f\leq g</math> i <math>\displaystyle g\leq f</math>. Uporządkujmy zbiór klas abstrakcji tej
| |
| relacji jako: <math>\displaystyle [f]\sqsubseteq [g]</math> wtw, gdy <math>\displaystyle f\leq g</math>. Czy ten
| |
| częściowy porządek jest algebrą Heytinga?
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria funkcji między zbiorami <math>\displaystyle \mathbf{Set}^{\to}</math> jest kartezjańsko zamknięta.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria porządków liniowych i funkcji monotonicznych
| |
| jest kartezjańsko zamknięta.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: W kategorii kartezjańsko zamkniętej <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> funktor podnoszenia do potęgi <math>\displaystyle [A,-]</math> zachowuje
| |
| koprodukty (tutaj <math>\displaystyle A\in \mathbf{C}_0</math>).
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W kategorii kartezjańsko zamkniętej <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> funktor podnoszenia do potęgi <math>\displaystyle [A,-]</math> zachowuje
| |
| obiekt końcowy (tutaj <math>\displaystyle A\in \mathbf{C}_0</math>).
| |
|
| |
| ; Pyt.5
| |
| :
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Funktory tego samego typu wraz z ich transformacjami
| |
| naturalnymi tworzą kategorię.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Top}</math> jest konkretna.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Rel}</math> jest konkretna.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Funktor <math>\displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}</math>
| |
| zachowuje koprodukty.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Funktor <math>\displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}</math>
| |
| zachowuje obiekt końcowy.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Funktor <math>\displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}</math> zachowuje obiekt początkowy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Funktor zapominania <math>\displaystyle \mathbf{Top}\to\mathbf{Set}</math> jest
| |
| pełny.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kontrawariantny funktor potęgowy jest pełny.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda rama jest algebrą Heytinga.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Operacja przypisująca danej przestrzeni topologicznej jej
| |
| zbiory otwarte może być rozszerzona do funktora kontrawariantnego.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kontrawariantny funktor potęgowy jest zawsze wierny.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Transformacja naturalna dwóch funktorów, której komponentami są
| |
| izomorfizmy jest izomorfizmem w pewnej kategorii funktorów.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Istnieją dwa funktory, których złożenie jest
| |
| transformacją identycznościową w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>, ale które nie są
| |
| izomorficzne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Operacja, która przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle V</math> przypisuje
| |
| jej przestrzeń podwójnie dualną <math>\displaystyle V^{**}</math> jest naturalnym
| |
| izomorfizmem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Operacja, która przestrzeni wektorowej <math>\displaystyle V</math> przypisuje
| |
| jej przestrzeń podwójnie dualną <math>\displaystyle V^{**}</math> jest naturalnym
| |
| izomorfizmem, o ile <math>\displaystyle V</math> jest skończenie wymiarowa.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kowariantny homfunktor zachowuje produkty dowolnej mocy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Dla dowolonych zbiorów <math>\displaystyle X,Y</math> istnieje następująca
| |
| bijekcja:<br>
| |
| <math>\displaystyle \mathcal{P}(X\times Y)\cong \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y)</math>.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Operacja <math>\displaystyle F\colon \mathbf{C}\times \mathbf{D}\to
| |
| \mathbf{E}</math> jest bifunktorem wtedy i tylko wtedy, gdy dla
| |
| dowolnych obiektów <math>\displaystyle C\in \mathbf{C}_0</math>, <math>\displaystyle D\in \mathbf{D}_0</math>
| |
| operacje <math>\displaystyle F(C,-)\colon \mathbf{D}\to \mathbf{E}</math> oraz
| |
| <math>\displaystyle F(-,D)\colon \mathbf{C}\to\mathbf{E}</math> są funktorami.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Inkluzja <math>\displaystyle \mathbf{Grp}\to\mathbf{Cat}</math> zachowuje
| |
| eksponenty.
| |
|
| |
| ; Pyt.6
| |
| :
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każde dwie równoważne kategorie są izomorficzne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każde dwie izomorficzne kategorie są równoważne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każde dwie dualne kategorie są izomorficzne.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Funktor jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy jest
| |
| pełny i wierny.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli preporządek jest równoważny porządkowi, to jest
| |
| porządkiem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Istnieją dwa preporządki równoważne, które nie są
| |
| izomorficzne.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Kategoria zbiorów i funkcji jest dualna do kategorii
| |
| zupełnych algebr Boole'a i homomorfizmów.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest dualna do kategorii
| |
| algebr Boole'a.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda atomowa algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem
| |
| podzbiorów pewnego zbioru.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda zupełna algebra Boole'a jest izomorficzna ze
| |
| zbiorem podzbiorów pewnego zbioru.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem
| |
| podzbiorów pewnego zbioru, to jest zupełna.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda zupełna algebra Boole'a jest atomowa.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda skończona algebra Boole'a jest zupełna.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każda atomowa algebra Boole'a jest skończona.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda skończona algebra Boole'a jest atomowa.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każda rama jest kratą dystrybutywną.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle L</math> jest kratą dystrybutywną, to <math>\displaystyle L^{op}</math> też.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: W dowolnej kracie <math>\displaystyle L</math> dopełnienie filtra pierwszego jest
| |
| ideałem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każdy ultrafiltr w algebrze Boole'a jest pierwszy.
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: Każdy filtr pierwszy w kracie dystrybutywnej jest
| |
| ultrafiltrem.
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni
| |
| topologicznej jest filtrem właściwym.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <quiz> |
| :: Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni
| | Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu: |
| topologicznej jest filtrem zupełnie pierwszym.
| | |
| | |
| :; +
| |
| :: Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni
| |
| topologicznej jest filtrem pierwszym.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: W dowolnej kracie <math>\displaystyle L</math>, jeśli <math>\displaystyle F</math> jest filtrem, zaś <math>\displaystyle I</math>
| |
| ideałem, oraz <math>\displaystyle F\cap I=\emptyset</math>, wtedy istnieje filtr pierwszy
| |
| <math>\displaystyle F'</math> taki, że <math>\displaystyle F'\supseteq F</math> i <math>\displaystyle F'\cap I=\emptyset</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: W kratach dystrybutywnych ultrafiltry są pierwsze.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: W kratach dystrybutywnych filtry pierwsze są maksymalne.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda przestrzeń realna jest <math>\displaystyle T_0</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda przestrzeń <math>\displaystyle T_0</math> jest realna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda przestrzeń <math>\displaystyle T_1</math> jest realna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Przestrzenie realne są przestrzeniami Hausdorffa.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Dziedziny ciągłe w topologii Scotta są realne.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: W porządku specjalizacji przestrzeni realnej istnieją
| |
| suprema wszystkich zbiorów skierowanych.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktor <math>\displaystyle \Omega\colon \mathbf{Top}\to\mathbf{Frm}^{op}</math>
| |
| jest prawym sprzężeniem do funktora
| |
| <math>\displaystyle \mathrm{pt}\colon\mathbf{Frm}^{op}\to\mathbf{Top}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Dla dowolnej topologii <math>\displaystyle X</math> przestrzeń
| |
| <math>\displaystyle \mathrm{pt}(\Omega(X))</math> jest przestrzenią <math>\displaystyle T_0</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Dla dowolnej topologii realnej <math>\displaystyle X</math> przestrzeń
| |
| <math>\displaystyle \mathrm{pt}(\Omega(X))</math> jest homeomorficzna z <math>\displaystyle X</math>.
| |
| | |
| :; - | |
| :: Dla dowolnej topologii <math>\displaystyle X</math> przestrzeń
| |
| <math>\displaystyle \mathrm{pt}(\Omega(X))</math> jest przestrzenią Hausdorffa.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli krata <math>\displaystyle L</math> jest przestrzenną ramą, to topologia
| |
| <math>\displaystyle \mathrm{pt}(L)</math> jest realna.
| |
| | | |
| ; Pyt.7
| | <option><math>n\geq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil}</math>,</option> |
| :
| |
| | | |
| :; +
| | <option><math>n\leq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil}</math>,</option> |
| :: Dla dowolnej kategorii <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> kategoria
| |
| <math>\displaystyle [\mathbf{C}^{op},\mathbf{Set}]</math> jest kartezjańsko zamknięta, | |
| zupełna i kozupełna.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funktor Yonedy zachowuje izomorfizmy.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funktor Yonedy odzwierciedla retrakcje.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funktor Yonedy jest reprezentowalny.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każde dwa funktory reprezentowalne są izomorficzne.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Kontrawariantny funktor potęgowy jest reprezentowalny.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Para <math>\displaystyle (\mathbb{N},+),0)</math> jest reprezentacją funktora
| |
| zapominania <math>\displaystyle U\colon\mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każde dwie reprezentacje funktora <math>\displaystyle F\colon
| |
| \mathbf{C}^{op}</math> (gdzie <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> jest dowolną lokalnie małą
| |
| kategorią) są izomorficzne.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każdy funktor typu <math>\displaystyle \mathbf{C}^{op}\to \mathbf{Set}</math> dla
| |
| lokalnie małej kategorii <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> jest reprezentowalny.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle \mathcal{Y}(A)(X)\cong\mathcal{Y}(A)(Y)</math>, to
| |
| <math>\displaystyle X\cong Y</math> dla dowolnych obiektów <math>\displaystyle X,Y</math> lokalnie małej kategorii
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle \mathcal{Y}(X)(A)\cong\mathcal{Y}(Y)(A)</math>, to
| |
| <math>\displaystyle X\cong Y</math> dla dowolnych obiektów <math>\displaystyle X,Y</math> lokalnie małej kategorii
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>.
| |
| | | |
| ; Pyt.8
| | <option><math>\left\lceil \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rceil=\left\lceil \log_2 \left( n/2 \right) \right\rceil</math>,</option> |
| :
| |
| | | |
| :; +
| | <option><math>\left\lfloor \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rfloor=\left\lfloor \log_2 \left( n/2 \right) \right\rfloor</math>.</option> |
| :: Obiekt końcowy jest stożkiem nad pustym diagramem.
| | </quiz> |
| | |
| :; +
| |
| :: Obiekt końcowy jest granicą pustego diagramu.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Obiekt początkowy jest granicą pustego diagramu.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Dowolny diagram w kategorii zupełniej <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>
| |
| posiada granicę.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieje kategoria kozupełna <math>\displaystyle \mathbf{C}</math>, w której nie ma
| |
| obiektu końcowego.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Produkt jest granicą diagramu nad kategorią dyskretną
| |
| (tzn. produkt w <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> jest granicą funktora
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{J}\to\mathbf{C}</math>, gdzie <math>\displaystyle \mathbf{J}</math> jest kategorią
| |
| dyskretną.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieje kategoria, w której koprodukt w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> jest
| |
| produktem.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest
| |
| kategoria, w której są dokładnie <math>\displaystyle 2</math> strzałki.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest
| |
| kategoria, w której są dokładnie <math>\displaystyle 4</math> strzałki.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest
| |
| kategoria, w której są dokładnie <math>\displaystyle 2</math> strzałki równoległe.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co
| |
| najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją
| |
| wszystkie granice.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co
| |
| najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją
| |
| wszystkie granice skończone.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli w posecie <math>\displaystyle (P,\leq)</math> istnieją wszystkie granice, to
| |
| poset dualny <math>\displaystyle (P,\geq)</math> jest kratą zupełną.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Jeśli w posecie <math>\displaystyle (P,\leq)</math> istnieją wszystkie granice, to
| |
| poset dualny <math>\displaystyle (P,\geq)</math> jest algebrą Heytinga.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda mała zupełna kategoria jest preporządkiem.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda lokalnie mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda lokalnie mała zupełna kategoria jest preporządkiem.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest zupełna.
| |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Kategoria <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math> jest zupełna.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <quiz> |
| :: Jeśli kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> posiada pulbaki i obiekt
| | Dowolny niepusty podzbiór <math>S\subseteq \mathbb{N}</math> zbioru liczb naturalnych |
| końcowy, to posiada też produkty.
| | |
| | |
| :; -
| |
| :: Jeśli kategoria <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> posiada pulbaki i obiekt
| |
| końcowy, to posiada też koprodukty.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funktor Yonedy jest ciągły.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktor Yonedy zachowuje dowolne kogranice.
| |
| | | |
| ; Pyt.9
| | ma w sobie liczbę największą |
| :
| |
| | | |
| :; +
| | ma w sobie liczbę najmniejszą |
| :: Funktor podnoszenia do potęgi <math>\displaystyle [X,-]\colon
| |
| \mathbf{C}\to\mathbf{C}</math>, <math>\displaystyle X\in\mathbf{C}_0</math> w kartezjańsko
| |
| zamkniętej kategorii <math>\displaystyle \mathbf{C}</math> jest prawym sprzężeniem.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieją funktory posiadające zarówno lewe, jak i prawe
| |
| sprzężenia.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktor, który posiada lewe sprzężenie nie może posiadać
| |
| prawego sprzężenia.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktory zapominania zawsze posiadają lewe sprzężenie.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktory wolne są prawym sprzężeniem do funktorów
| |
| zapominania.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funktor <math>\displaystyle \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}</math>
| |
| jest funktorem wolnym.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Nie istnieje lewe sprzężenie funktora zapominania
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{Top}\to\mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Operacja przeciwobrazu funkcji jest lewym sprzężeniem operacji
| |
| obrazu funkcji.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Koprodukt jest lewym sprzężeniem lewego sprzężenia
| |
| produktu.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każdy funktor będący lewym sprzężeniem jest wierny.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Operacja brania wnętrza zbioru w przestrzeni
| |
| topologicznej <math>\displaystyle X</math> jest lewym sprzężeniem inkluzji zbiorów
| |
| otwartych w podzbiory <math>\displaystyle X</math>.
| |
| | | |
| ; Pyt.10
| | ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą |
| :
| |
| | | |
| :; +
| | ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej |
| :: Jeśli funktor jest równoważnością kategorii, to posiada
| | </quiz> |
| lewe i prawe sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest
| |
| retrakcją, to prawe sprzężenie jest funktorem wiernym.
| |
|
| |
|
| :; -
| | <quiz> |
| :: Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest
| | Zbiór <math>S\subseteq\mathbb{N}</math> jest taki, że jeśli <math>s\in S</math> to <math>s+1\in S</math> . |
| epimorfizmem, to prawe sprzężenie jest funktorem pełnym.
| | Jeśli <math>9\in S</math> , to: |
|
| |
|
| :; +
| | <math>S=\mathbb{N}</math> |
| :: Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to
| |
| kojedność sprzężenia jest izomorfizmem.
| |
|
| |
|
| :; -
| | <math>S=\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace</math> |
| :: Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to
| |
| jedność sprzężenia jest izomorfizmem.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <math>S\subseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace</math> |
| :: Prawe sprzężenia zachowują granice, zaś lewe - kogranice.
| |
|
| |
|
| :; -
| | <math>S\supseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace</math> |
| :: Lewe sprzężenia zachowują granice, zaś prawe - kogranice.
| | </quiz> |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Istnieją prawe sprzężenia, które zachowują kogranice oraz
| |
| lewe sprzężenia, które zachowują granice.
| |
|
| |
|
| :; -
| | <quiz> |
| :: Jeśli funktor zachowuje granice, to ma lewe sprzężenie.
| | Zbiór <math>S\subseteq\mathbb{N}</math> jest taki, że jeśli <math>a,b\in S</math> , |
| | to <math>a+b\in S</math> oraz <math>a+b+1\not\in S</math> . |
| | Jeśli <math>0,2 \in S</math> , to: |
|
| |
|
| :; +
| | <math>S=\mathbb{N}</math> |
| :: Jeśli funktor między posetami zachowuje granice, to ma
| |
| lewe sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; +
| | zbiór <math>S</math> zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste |
| :: Każda funkcja monotoniczna między kratami zupełnymi, posiadająca lewe
| |
| sprzężenie, zachowuje dowolne infima.
| |
|
| |
|
| :; +
| | zbiór <math>S</math> jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste |
| :: Prawe sprzężenie między posetami jest surjekcją wtedy i
| |
| tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest injekcją.
| |
|
| |
|
| :; -
| | zbiór <math>S</math> jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste |
| :: Prawe sprzężenie między posetami jest injekcją wtedy i
| | </quiz> |
| tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest surjekcją.
| |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Każde dwa prawe sprzężenia danego funktora są
| |
| izomorficzne.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <quiz> |
| :: Każdy homomorfizm krat zupełnych posiada lewe i prawe | | Ostatnią cyfrą liczby <math>3^{3^n}</math> jest: |
| sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; -
| | zawsze <math>3</math> |
| :: Każdy homomorfizm ram posiada lewe i prawe sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; -
| | zawsze <math>3</math> lub <math>7</math> |
| :: Każdy homomorfizm algebr Boole'a posiada lewe i prawe
| |
| sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; +
| | zawsze <math>7</math> |
| :: Każdy homomorfizm zupełnych algebr Boole'a posiada prawe
| |
| i lewe sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; -
| | jakakolwiek z cyfr <math>0,1,2,3,4,5,6,7,8,9</math> |
| :: W parze e-p między posetami, projekcja jest lewym
| | </quiz> |
| sprzężeniem zanurzenia.
| |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: W parze e-p między posetami, zanurzenie zachowuje dowolne
| |
| suprema.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <quiz> |
| :: W parze e-p między posetami, zanurzenie i projekcja
| | Jeśli <math>Z \subseteq \mathbb{N}</math> jest jakimś zbiorem liczb naturalnych, |
| wzajemnie się wyznaczają.
| | który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru <math>\mathbb{N}</math> |
| | | postaci <math>\left\lbrace 0,\ldots,k-1 \right\rbrace</math> zawiera również kolejną liczbę <math>k</math>, to wtedy |
| ; Pyt.11
| |
| :
| |
|
| |
| :; +
| |
| :: Każde sprzężenie <math>\displaystyle F\dashv G</math> indukuje monadę
| |
| <math>\displaystyle (GF,\eta,G\eta_F)</math>. | |
|
| |
|
| :; +
| | zbiór <math>Z</math> zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem |
| :: Każde sprzężenie <math>\displaystyle F\dashv G</math> indukuje komonadę
| |
| <math>\displaystyle (FG,\varepsilon,F\eta_G)</math>.
| |
|
| |
|
| :; -
| | zbiór <math>Z</math> zawiera wszystkie liczby naturalne |
| :: Dowolna monada jest monadą indukowaną przez dokładnie
| |
| jedno sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; +
| | zbiór <math>Z</math> zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych |
| :: Dowolna monada jest monadą indukowaną przez sprzężenie.
| |
|
| |
|
| :; +
| | zbiór <math>Z</math> jest pusty |
| :: Każda monada na preporządku jest operacją idempotentną.
| | </quiz> |
|
| |
|
| :; -
| |
| :: Funktor zapominania <math>\displaystyle \mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}</math> jest
| |
| częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą
| |
| kategorię równoważną z <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
|
| |
|
| :; +
| | <quiz> |
| :: Funktor zapominania <math>\displaystyle \mathbf{Mon}\to\mathbf{Set}</math> jest
| | Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia, że nikt z nikim się nie lubił. Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił, że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni, to nie powinno być problemu, aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi, będącymi w klasie. Drugi z nich zauważył jednak, że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma. Czy klasa jest w stanie się pogodzić? |
| częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą
| |
| kategorię równoważną z <math>\displaystyle \mathbf{Mon}</math>.
| |
|
| |
|
| :; +
| | klasa na pewno się nie pogodzi |
| :: Zwarte przestrzenie Hausdorffa i funkcje ciągłę tworzą kategorię algebraiczną.
| |
|
| |
|
| :; -
| | klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia |
| :: Zupełne algebry Boole'a i homomorfizmy tych algebr tworzą
| |
| kategorię algebraiczną.
| |
|
| |
|
| :; +
| | jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić |
| :: Kategoria grup jest równoważna kategorii algebr dla
| |
| pewnej monady.
| |
|
| |
|
| :; +
| | jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby, |
| :: Suma mnogościowa <math>\displaystyle \bigcup</math> jest mnożeniem pewnej monady.
| | przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone, |
| | to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić |
| | </quiz> |
|
| |
|
| :; +
| |
| :: Operacja dodawania nowego elementu najmniejszego do
| |
| częściowego porządku indukuje monadę nad <math>\displaystyle \mathbf{Pos}</math>.
| |
| | | |
| ; Pyt.12
| | <quiz> |
| : | | Jeśli <math>S\subseteq\mathbb{N}</math> , to: |
| | | |
| :; -
| | zbiór <math>S</math> ma element największy |
| :: Każda dziedzina ciągła posiada bazę przeliczalną.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każdy element bazy dziedziny ciągłej jest zwarty.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda baza posetu algebraicznego zawiera wszystkie
| |
| elementy zwarte.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każdy poset skończony jest algebraiczny.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każdy poset skończony jest dcpo.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda krata skończona jest dcpo.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Relacja aproksymacji na dowolnym posecie jest
| |
| interpolatywna.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Relacja aproksymacji na dowolnej dziedzinie Scotta jest
| |
| interpolatywna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Liczby naturalne są dcpo.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Liczby naturalne są posetem algebraicznym i bc-zupełnym.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda rama jest dcpo.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda krata dystrybutywna jest dcpo.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieje poset nieskończony, którego każdy element, który
| |
| nie jest maksymalny, jest zwarty.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie są domknięte ze względu
| |
| na dowolne suprema.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie skończonym są domknięte ze względu
| |
| na dowolne suprema.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Stożki górne w posecie <math>\displaystyle P</math> (tj. zbiory typu <math>\displaystyle \uparrow x</math> dla <math>\displaystyle x\in
| |
| P</math>) są zwarte w topologii Scotta.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każdy stożek dolny <math>\displaystyle \downarrow x</math> w dziedzinie ciągłej <math>\displaystyle P</math> wraz z
| |
| porządkiem z <math>\displaystyle P</math> obciętym do <math>\displaystyle \downarrow x</math> jest dziedziną ciągłą.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Topologia Scotta na dowolnym porządku jest <math>\displaystyle T_0</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieją częściowe porządki dowolnej mocy, dla których
| |
| topologia Scotta jest <math>\displaystyle T_1</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Topologia Scotta na porządku jest <math>\displaystyle T_1</math> wtedy i tylko
| |
| wtedy, gdy częściowy porządek redukuje się do równości.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Topologia Scotta na posecie posiadającym element
| |
| najmniejszy jest zwarta.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Topologia Scotta na dowolnej dziedzinie ciągłej jest
| |
| realna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Topologia Scotta na dowolnym dcpo jest realna.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funkcja ciągła w sensie Scotta jest monotoniczna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dowolnym posecie posiada punkt stały.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na posecie
| |
| posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dcpo
| |
| posiadającym element najmniejszy posiada najmniejszy punkt stały.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda funkcja monotoniczna na dcpo
| |
| posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Porządek specjalizacji topologii Scotta na dziedzinie
| |
| ciągłej pokrywa się z porządkiem tejże dziedziny.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Funkcje ciągłe w sensie Scotta zachowują suprema zbiorów
| |
| skierowanych.
| |
|
| |
| ; Pyt.13
| |
| :
| |
|
| |
| :; -
| |
| :: LISP jest językiem imperatywnym.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: FORTRAN jest językiem imperatywnym.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math> jest kategorią zupełną i kartezjańsko
| |
| zamkniętą.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie
| |
| Scotta jest zupełna.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie
| |
| Scotta jest kartezjańsko zamknięta.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Kategoria dziedzin algebraicznych i funkcji ciągłych w sensie
| |
| Scotta jest kartezjańsko zamknięta.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle D</math> jest dziedziną ciągłą i <math>\displaystyle E</math> jest dziedziną
| |
| bc-zupełną, to <math>\displaystyle [D,E]</math> jest dziedziną bc-zupełną.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Jeśli <math>\displaystyle D</math> jest dziedziną ciągłą i <math>\displaystyle E</math> jest dziedziną
| |
| bc-zupełną, to <math>\displaystyle [D,E]</math> jest dcpo.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Operator <math>\displaystyle \mathrm{fix}\colon [P,P]\to P</math> przypisujący
| |
| funkcji ciągłej w sensie Scotta na dcpo posiadającym element
| |
| najmniejszy jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Operator <math>\displaystyle \mathrm{fix}\colon [P,P]\to P</math> przypisujący
| |
| funkcji ciągłej w sensie Scotta na dowolnej kracie zupełnej jej
| |
| punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Pętle <math>\displaystyle \mathtt{while}</math> w semantyce denotacyjnej
| |
| modelujemy używając operatora punktu stałego.
| |
|
| |
| ; Pyt.14
| |
| :
| |
| | | |
| :; +
| | zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}^{EP}_{\bot}</math> jest <math>\displaystyle \omega</math>-kategorią.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math> jest <math>\displaystyle \omega</math>-kategorią.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> jest <math>\displaystyle \omega</math>-kategorią.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Funktor między kategoriami dziedzin jest ciągły, jeśli
| |
| jest funkcją ciągłą w sensie Scotta.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> równanie <math>\displaystyle D\cong [D,D]</math> dla <math>\displaystyle D\in \mathbf{Set}_0</math> nie ma żadnego
| |
| rozwiązania.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathrm{Dcpo}</math> istnieje nieskończenie wiele rozwiązań
| |
| równania <math>\displaystyle D\cong [D,D]</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu <math>\displaystyle D\cong [D,D]</math>
| |
| mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce operacyjnej
| |
| nietypowanego rachunku lambda.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu <math>\displaystyle D\cong [D,D]</math>
| |
| mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce denotacyjnej
| |
| nietypowanego rachunku lambda.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Przekątna <math>\displaystyle \Delta\colon
| |
| \mathbf{Dcpo}\to\mathbf{Dcpo}\times\mathbf{Dcpo}</math> jest funktorem
| |
| ciągłym i lokalnie ciągłym.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math> jest kategorią zupełną i kozupełną.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każdy endomorfizm w <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math> posiada najmniejszy
| |
| punkt stały.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Dowolny endofunktor na <math>\displaystyle \omega</math>-kategorii posiada punkt
| |
| stały.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każdy ciągłe endofunktor na <math>\displaystyle \omega</math>-kategorii posiada
| |
| punkt stały.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: W <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> istnieją nietrywialne rozwiązania
| |
| rówania <math>\displaystyle X\cong X+X</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Liczby naturalne <math>\displaystyle \omega</math> są rozwiązaniem równania
| |
| <math>\displaystyle X\cong\mathbf{1}\oplus X</math> w kategorii <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Liczby naturalne <math>\displaystyle \omega</math> są rozwiązaniem równania
| |
| <math>\displaystyle X\cong X_{\bot}</math> w katetgorii <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Leniwe liczby naturalne są rozwiązaniem równania <math>\displaystyle X\cong
| |
| X\oplus X</math> w kategorii <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Podzbiory liczb naturanych <math>\displaystyle \mathcal{P}\omega</math>
| |
| uporządkowane względem inkluzji spełniają rówanie
| |
| <math>\displaystyle \mathcal{P}\omega\cong [\mathcal{P}\omega,\mathcal{P}\omega]</math> w
| |
| kategorii <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Model zbioru Cantora <math>\displaystyle \Sigma^{\infty}</math> jest rozwiązaniem
| |
| pewnego rekursywnego równania w kategorii <math>\displaystyle \mathbf{Dcpo}</math>.
| |
| | | |
| ; Pyt.15
| | zbiór <math>S</math> ma element największy, o ile <math>S</math> jest niepusty |
| :
| |
| | | |
| :; -
| | zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy, o ile <math>S</math> jest niepusty |
| :: Koalgebrą funktora <math>\displaystyle T\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set}</math>
| | </quiz> |
| jest każda para <math>\displaystyle (X,a\colon TX\to X)</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Algebry początkowe endofunktorów w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> są
| |
| jedyne z dokładnością do izomrfizmu.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieje kategoria, w której para
| |
| <math>\displaystyle (\mathbb{N},[0,s]\colon \mathbf{1}+\mathbb{N}\to\mathbb{N})</math> jest
| |
| obiektem końcowym.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Nieskończone listy nad alfabetem <math>\displaystyle A</math> są koalgebrą końcową
| |
| pewnego endofunktora na <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Nieskończone listy nad alfabetem <math>\displaystyle A</math> są koalgebrą
| |
| początkową pewnego endofunktora na <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie
| |
| odwrotnie.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji
| |
| muszą być sobie równe.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list
| |
| nieskończonych.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na
| |
| własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: <math>\displaystyle T</math>-koalgebry dla ustalonego funktora <math>\displaystyle T\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set}</math> wraz z homomorfizmami
| |
| tworzą kategorię małą.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest
| |
| bipodobieństwem.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest
| |
| bisymulacją.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Istnieją endofunktory w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>, dla których
| |
| kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.
| |
| | |
| :; -
| |
| :: Dla każdego endofunktora <math>\displaystyle T</math> w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math> kategoria
| |
| <math>\displaystyle T</math>-koalgebr posiada obiekt końcowy.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych
| |
| jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero
| |
| i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{1}+(-)</math> w <math>\displaystyle \mathbf{Set}</math>.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda <math>\displaystyle T</math>-algebra początkowa jest izomorfizmem.
| |
| | |
| :; +
| |
| :: Każda <math>\displaystyle T</math>-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.
| |
