Matematyka dyskretna 1/Ćwiczenia 7: Funkcje tworzące: Różnice pomiędzy wersjami

← poprzednia edycja

WizualnieWikikod

Aktualna wersja na dzień 21:47, 11 wrz 2023

Funkcje tworzące

Ćwiczenie 1

Policz funkcję tworzącą następujących ciągów:

a. $a_{n} = 2^{n}$ ,
b. $b_{n} = 2 n + 3$ ,
c. $c_{n} = \frac{1}{n}$ dla $n \geq 1$ , oraz $c_{0} = 0$ ,
d. $d_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Wskazówka

Rozwiązanie

W punktach a. i c. będziemy używać wzoru na postać zwartą funkcji tworzącej ciągu stałego równego $1$ :

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots$ (1)

ad a. Dla funkcji tworzącej $A (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots$ , korzystając z (1), otrzymujemy równość

A (x) = 1 + 2 x + 2^{2} x^{2} + 2^{3} x^{3} + \dots = \frac{1}{1 - 2 x}

ad b. Korzystając z Wniosku 7.5 otrzymamy

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + 5 x^{4} + \dots$ (2)

Funkcja $\frac{1}{1 - x}$ jest funkcją tworzącą ciągu stałego równego $1$ , zaś funkcja $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ jest funkcją tworzącą ciągu $n + 1$ . Tak więc, aby otrzymać funkcję tworzącą ciągu $2 n + 3$ wystarczy dodać jedną do podwojonej drugiej:

\sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 3) x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} + 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} = \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{3 - x}{{(1 - x)}^{2}}

ad c. Funkcja tworząca $C (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots$ jest, na mocy [eq][eq wzor z calka], równa całce z funkcji $\frac{1}{1 - x}$ , czyli

C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = \int \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \int \frac{1}{1 - x} = - \ln (1 - x)

ad d. Korzystając z punktu c., na mocy [eq][eq 1 przez 1-x], otrzymujemy

D (x) = \frac{C (x)}{1 - x} = - \frac{\ln (1 - x)}{1 - x} = \frac{\ln (1 - x)}{x - 1}

Ćwiczenie 2

Policz funkcję tworzącą ciągu $a_{n} = \frac{1}{n!}$ .

Wskazówka

Dla funkcji tworzącej $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ zachodzi $A^{'} (x) = A (x)$ . Rozważ jakie funkcje mają tę własność?

Rozwiązanie

Niech

A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Korzystając z obserwacji [obs][obs genfunc tools] zauważmy, że

A^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(x^{n})}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n - 1}}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = A (x)

Po podstawieniu w miejsce $A (x)$ funkcji $e^{B (x)}$ uzyskamy:

e^{B (x)} = (e^{B (x)}) = B^{'} (x) e^{B (x)}

co implikuje, że $B^{'} (x) = 1$ , a więc $B (x) = x + a$ dla pewnego $a \in ℝ$ . Z faktu, że $A (0) = 1$ mamy więc:

A (x) = e^{x}

Ćwiczenie 3

Pokaż, że dla liczby naturalnej $m$ zachodzi

\frac{1}{{(1 - x)}^{m + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{m + n}{n}) x^{n}

Wskazówka

Rozwiązanie

Niech

G (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{m + 1}}

Korzystając z Twierdzenia 7.4 otrzymujemy równość:

G (x) = {(1 + (- x))}^{- (m + 1)} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{- (m + 1)}{n}) {(- x)}^{n}

Po rozpisaniu uogólnionego symbolu dwumianowego $(\binom{y}{n}) = \frac{y^{\underline{n}}}{n!}$ funkcja $G (x)$ przyjmuje więc postać:

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- m - 1) \cdot (- m - 2) \cdot \dots \cdot (- m - n)}{n!} {(- 1)}^{n} x^{n} = & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(m + n) \cdot (m + n - 1) \cdot \dots \cdot (m + 1)}{n!} x^{n} \end{aligned}

Korzystając ponownie z definicji symbolu dwumianowego dostajemy:

G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{m + n}{n}) x^{n}

Ćwiczenie 4

Przedstaw funkcję

G (x) = \frac{1 + 2 x - 6 x^{2}}{1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}}

w postaci szeregu funkcyjnego.

Wskazówka

Wielomian $1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}$ ma miejsce zerowe dla $x = - 1$ .

Rozwiązanie

Wielomian $W (x) = 1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}$ ma miejsce zerowe $x = - 1$ , czyli $W (x) = (1 - 4 x + 2 x^{2}) (1 + x)$ . Z kolei funkcja kwadratowa $1 - 4 x + 2 x^{2}$ ma miejsca zerowe:

x_{1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, x_{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

co implikuje

W (x) = (1 - (2 + \sqrt{2}) x) \cdot (1 - (2 - \sqrt{2}) x) \cdot (1 + x)

Funkcja $W (x)$ ma więc postać

G (x) = \frac{1 + 2 x - 6 x^{2}}{1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}} = \frac{A}{1 - (2 + \sqrt{2}) x} + \frac{B}{1 - (2 - \sqrt{2}) x} + \frac{C}{1 + x}

dla pewnych $A, B, C \in ℝ$ . Po wymnożeniu przez $1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}$ otrzymamy:

\begin{aligned} 1 + 2 x - 6 x^{2} & = A (1 - (2 - \sqrt{2}) x) (1 + x) + B (1 - (2 + \sqrt{2}) x) (1 + x) \\ + C (1 - (2 - \sqrt{2}) x) (1 - (2 + \sqrt{2}) x) \\ = (A + B + C) + ((- 1 - \sqrt{2}) A + (- 1 + \sqrt{2}) B - 4 C) x \\ + ((- 2 - \sqrt{2}) A + (- 2 + \sqrt{2}) B + 2 C) x^{2} \end{aligned}

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy odpowiednich wyrazach $x^{n}$ są sobie równe. Przyrównujemy więc współczynniki stojące przed $x^{0}, x^{1}, x^{2}$ i otrzymujemy układ równań:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} 1&=A+B+C\\ 2&=\left( -1-\sqrt{2} \right)A+\left( -1+\sqrt{2} \right)B-4C\\ -6&=\left( -2-\sqrt{2} \right)A+\left( -2+\sqrt{2} \right)B+2C \end{align} \right}

którego rozwiązaniem są $A = B = 1, C = - 1$ . Funkcja $G (x)$ po podstawieniu za $A, B, C$ odpowiednio liczb $1, 1, - 1$ , jest sumą

G (x) = \frac{1}{1 - (2 + \sqrt{2}) x} + \frac{1}{1 - (2 - \sqrt{2}) x} - \frac{1}{1 + x}

Rozwijając ułamki postaci $\frac{α}{1 - ρ x}$ w szereg funkcyjny $α \sum_{n = 0}^{\infty} ρ^{n} x^{n}$ otrzymujemy:

G (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(2 + \sqrt{2})}^{n} + {(2 - \sqrt{2})}^{n} - {(- 1)}^{n}) x^{n}

czyli jest to funkcja tworząca ciągu

{(2 + \sqrt{2})}^{n} + {(2 - \sqrt{2})}^{n} - {(- 1)}^{n}

Ćwiczenie 5

Rozwiąż równanie rekurencyjne:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} a_0&=0,\\ a_1&=1,\\ a_n&=2a_{n-1}-a_{n-2},\quad\text{dla}\ n\geq2. \end{align} \right}

Wskazówka

Rozłóż funkcje kwadratową $1 - 2 x + x^{2} = (1 - ρ_{1} x) (1 - ρ_{2} x)$ i w zależności od wartości $ρ_{1}, ρ_{2}$ skorzystaj z metody rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego, gdy $k = 2$ podanej w wykładzie.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru z wykładu Funkcje tworzące, dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy $k = 2$ otrzymamy następującą funkcję kwadratową:

1 - 2 x + x^{2} = {(1 - x)}^{2}

Jest to przypadek, gdy pierwiastki są sobie równe, więc rozwiązanie jest postaci

a_{n} = (α n + β) 1^{n}

,

gdzie $α$ oraz $β$ są liczbami rzeczywistymi. Mając podane wyrazy $a_{0}$ oraz $a_{1}$ możemy wyliczyć $α$ oraz $β$ z następującego układu równań:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} 0&=\alpha\cdot0+\beta,\\ 1&=\alpha\cdot1+\beta. \end{align} \right}

Rozwiązaniem są więc $α = 1$ i $β = 0$ , a zatem

a_{n} = n

,

dla $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ .

Ćwiczenie 6

Rozwiąż równanie rekurencyjne postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} a_0&=0,\\ a_1&=1,\\ a_n&=a_{n-1}-a_{n-2}\quad\text{dla}\ n\geq2. \end{align} \right}

i sprawdź, czy ciąg $a_{n}$ jest ograniczony.

Wskazówka

Rozłóż funkcje kwadratową $1 - x + x^{2} = (1 - ρ_{1} x) (1 - ρ_{2} x)$ i w zależności od wartości $ρ_{1}, ρ_{2}$ skorzystaj z metody rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego, gdy $k = 2$ podanej w wykładzie.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru z wykładu Funkcje tworzące, dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy $k = 2$ otrzymamy następującą funkcję kwadratową:

1 - x + x^{2} = (1 - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2} x) (1 - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} x)

W tym przypadku pierwiastki są różnymi liczbami zespolonymi, więc rozwiązanie jest postaci

a_{n} = α {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{n} + β {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{n}

,

gdzie $α$ oraz $β$ są liczbami zespolonymi. Mając podane wyrazy $a_{0}$ oraz $a_{1}$ możemy wyliczyć $α$ oraz $β$ z następującego układu równań:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} 0&=\alpha\cdot1+\beta\cdot1,\\ 1&=\alpha\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+\beta\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{2}. \end{align} \right}

Rozwiązaniem są $α = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$ i $β = \frac{i \sqrt{3}}{3}$ , więc

a_{n} = - \frac{i \sqrt{3}}{3} {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{n} + \frac{i \sqrt{3}}{3} {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{n}

,

dla $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ . Z faktu, że

{(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{6} = 1, {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{6} = 1

,

uzyskujemy

a_{n} = - \frac{i \sqrt{3}}{3} {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{n mod 6} + \frac{i \sqrt{3}}{3} {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{n mod 6}

Widzimy więc, że ciąg o wyrazach $a_{n} = a_{n mod 6}$ przybiera cyklicznie wartości pierwszych $6$ -ciu swoich wyrazów. Początkowe wartości ciągu $a_{n}$ , to

a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 0, a_{4} = - 1, a_{5} = - 1

Ciąg $a_{n}$ przybiera więc cyklicznie wartości ze zbioru ${- 1, 0, 1}$ , co implikuje oszacowanie

| a_{n} | \leq 1

dla

n = 0, 1, 2, 3, \dots

Ćwiczenie 7

Rozwiąż równanie rekurencyjne postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\lbrace \begin{align} a_0&=1,\\ a_1&=5,\\ a_2&=11,\\ a_n&=3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}\quad\text{dla}\ n\geq3. \end{align} \right}

Wskazówka

Używając równania rekurencyjnego, znajdź zależność dla funkcji tworzącej $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ tego ciągu. Następnie przedstaw funkcję $A (x)$ w postaci zwartej i wylicz $a_{n}$ .

Rozwiązanie

Niech $A (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ . Po podstawieniu równości z równania rekurencyjnego otrzymujemy:

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} & = 1 + 5 x + 11 x^{2} + 3 x \sum_{n = 2}^{\infty} a_{n} x^{n} + 2 x^{2} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} - 2 x^{3} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \\ = 1 + 2 x - 6 x^{2} + 3 x \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} + 2 x^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} - 2 x^{3} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} . \end{aligned}

W miejsce $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ wstawiamy $A (x)$ i otrzymujemy:

A (x) = 1 + 2 x - 6 x^{2} + 3 x A (x) + 2 x^{2} A (x) - 2 x^{3} A (x)

Otrzymane równanie przekształcamy do postaci

A (x) = \frac{1 + 2 x - 6 x^{2}}{1 - 3 x - 2 x^{2} + 2 x^{3}}

W ćwiczeniu 4 przedstawiliśmy funkcję $A (x)$ w postaci szeregu funkcyjnego:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(2 + \sqrt{2})}^{n} + {(2 - \sqrt{2})}^{n} - {(- 1)}^{n}) x^{n}

W konsekwencji:

a_{n} = {(2 + \sqrt{2})}^{n} + {(2 - \sqrt{2})}^{n} - {(- 1)}^{n}

dla $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Matematyka dyskretna 1/Ćwiczenia 7: Funkcje tworzące: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:47, 11 wrz 2023

Funkcje tworzące

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 4: / Linia 4: @@
 Policz funkcję tworzącą następujących ciągów:
-; a. <math>\displaystyle a_n=2^n </math> ,
+; a. <math>a_n=2^n</math> ,
-; b. <math>\displaystyle b_n=2n+3 </math> ,
+; b. <math>b_n=2n+3</math> ,
-; c. <math>\displaystyle c_n=\frac{1}{n} </math>  dla  <math>\displaystyle n\geq 1 </math> , oraz  <math>\displaystyle c_0=0 </math> ,
+; c. <math>c_n=\frac{1}{n}</math>  dla  <math>n\geq 1</math> , oraz  <math>c_0=0</math> ,
-; d. <math>\displaystyle d_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} </math> .
+; d. <math>d_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}</math> .
 }}
@@ Linia 17: / Linia 17: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 W punktach a. i c. będziemy używać wzoru na postać zwartą funkcji tworzącej
-ciągu stałego równego  <math>\displaystyle 1 </math> :
+ciągu stałego równego  <math>1</math> :
 {{wzor|1|1|
-<math>\displaystyle
+<math>
-\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots.
+\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots</math>}}
-</math>}}
-; ad a. Dla funkcji tworzącej  <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots </math>, korzystając z ([[#1|1]]), otrzymujemy równość:
+; ad a. Dla funkcji tworzącej  <math>A\!\left( x \right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots</math>, korzystając z ([[#1|1]]), otrzymujemy równość:
-<center><math>\displaystyle A\!\left( x \right)=1+2x+2^2x^2+2^3x^3+\ldots=\frac{1}{1-2x}.
+<center><math>A\!\left( x \right)=1+2x+2^2x^2+2^3x^3+\ldots=\frac{1}{1-2x}</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 35: / Linia 33: @@
 {{wzor|2|2|
-<math>\displaystyle
+<math>
 \frac{1}{\left( 1-x \right)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\ldots
 </math>}}
-Funkcja  <math>\displaystyle \frac{1}{1-x} </math>  jest funkcją tworzącą ciągu stałego równego  <math>\displaystyle 1 </math> ,
+Funkcja  <math>\frac{1}{1-x}</math>  jest funkcją tworzącą ciągu stałego równego  <math>1</math> ,
-zaś funkcja  <math>\displaystyle \frac{1}{\left( 1-x \right)^2} </math>  jest funkcją tworzącą ciągu  <math>\displaystyle n+1 </math> .
+zaś funkcja  <math>\frac{1}{\left( 1-x \right)^2}</math>  jest funkcją tworzącą ciągu  <math>n+1</math> .
-Tak więc, aby otrzymać funkcję tworzącą ciągu  <math>\displaystyle 2n+3 </math>
+Tak więc, aby otrzymać funkcję tworzącą ciągu  <math>2n+3</math>
 wystarczy dodać jedną do podwojonej drugiej:
-<center><math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\left( 2n+3 \right)x^n}
+<center><math>\sum_{n=0}^{\infty}{\left( 2n+3 \right)x^n}
 = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}+ 2\sum_{n=0}^{\infty}{\left( n+1 \right)x^n}
 =\frac{1}{1-x}+\frac{2}{\left( 1-x \right)^2}
@@ Linia 51: / Linia 49: @@
 </math></center>
-; ad c. Funkcja tworząca  <math>\displaystyle C\!\left( x \right)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots </math> jest, na mocy '''[eq][eq wzor z calka]''', równa całce z funkcji  <math>\displaystyle \frac{1}{1-x} </math> , czyli:
+; ad c. Funkcja tworząca  <math>C\!\left( x \right)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots</math> jest, na mocy '''[eq][eq wzor z calka]''', równa całce z funkcji  <math>\frac{1}{1-x}</math> , czyli:
-<center><math>\displaystyle C\!\left( x \right)
+<center><math>C\!\left( x \right)
 =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n}}
 =\int\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}
 = \int \frac{1}{1-x}
-=-\ln{\left( 1-x \right)}.
+=-\ln{\left( 1-x \right)}
 </math></center>
 ; ad d. Korzystając z punktu c., na mocy '''[eq][eq 1 przez 1-x]''', otrzymujemy
-<center><math>\displaystyle D\!\left( x \right)
+<center><math>D\!\left( x \right)
 =\frac{C\!\left( x \right)}{1-x}
 =-\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{1-x}
-=\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{x-1}.
+=\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{x-1}
 </math></center>
@@ Linia 71: / Linia 69: @@
 {{cwiczenie|2|cw 2|
-Policz funkcję tworzącą ciągu  <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{n!} </math> .
+Policz funkcję tworzącą ciągu  <math>a_n=\frac{1}{n!}</math> .
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Dla funkcji tworzącej   <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} </math>  zachodzi
+Dla funkcji tworzącej   <math>A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>  zachodzi
-<math>\displaystyle A'\!\left( x \right)=A\!\left( x \right) </math> .
+<math>A'\!\left( x \right)=A\!\left( x \right)</math> .
 Rozważ jakie funkcje mają tę własność?
 </div></div>
@@ Linia 85: / Linia 83: @@
-<center><math>\displaystyle A\!\left( x \right)
+<center><math>A\!\left( x \right)
-=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
+=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
 </math></center>
@@ Linia 93: / Linia 91: @@
-<center><math>\displaystyle A'\!\left( x \right)
+<center><math>A'\!\left( x \right)
 =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( x^n \right)'}{n!}
 =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n!}
 =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{\left( n-1 \right)!}
-=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=A\!\left( x \right).
+=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=A\!\left( x \right)
 </math></center>
-Po podstawieniu w miejsce  <math>\displaystyle A\!\left( x \right) </math>  funkcji  <math>\displaystyle e^{B\!\left( x \right)} </math>  uzyskamy:
+Po podstawieniu w miejsce  <math>A\!\left( x \right)</math>  funkcji  <math>e^{B\!\left( x \right)}</math>  uzyskamy:
-<center><math>\displaystyle e^{B\!\left( x \right)}=\left( e^{B\!\left( x \right)} \right)'=B'\!\left( x \right)e^{B\!\left( x \right)},
+<center><math>e^{B\!\left( x \right)}=\left( e^{B\!\left( x \right)} \right)'=B'\!\left( x \right)e^{B\!\left( x \right)}
 </math></center>
-co implikuje, że  <math>\displaystyle B'\!\left( x \right)=1 </math> , a więc  <math>\displaystyle B\!\left( x \right)=x+a </math>  dla pewnego  <math>\displaystyle a\in\mathbb{R} </math> .
+co implikuje, że  <math>B'\!\left( x \right)=1</math> , a więc  <math>B\!\left( x \right)=x+a</math>  dla pewnego  <math>a\in\mathbb{R}</math> .
-Z faktu, że  <math>\displaystyle A\!\left( 0 \right)=1 </math>  mamy więc:
+Z faktu, że  <math>A\!\left( 0 \right)=1</math>  mamy więc:
-<center><math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^x.
+<center><math>A\!\left( x \right)=e^x
 </math></center>
@@ Linia 119: / Linia 117: @@
 {{cwiczenie|3|cw 3|
-Pokaż, że dla liczby naturalnej  <math>\displaystyle m </math>  zachodzi
+Pokaż, że dla liczby naturalnej  <math>m</math>  zachodzi
-<center><math>\displaystyle \frac{1}{\left( 1-x \right)^{m+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{ m+n \choose n }x^n.
+<center><math>\frac{1}{\left( 1-x \right)^{m+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{ m+n \choose n }x^n
 </math></center>
@@ Linia 135: / Linia 133: @@
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)
+<center><math>G\!\left( x \right)
-=\frac{1}{\left( 1-x \right)^{m+1}}.
+=\frac{1}{\left( 1-x \right)^{m+1}}
 </math></center>
@@ Linia 143: / Linia 141: @@
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)
+<center><math>G\!\left( x \right)
 =\left( 1+\left( -x \right) \right)^{-\left( m+1 \right)}
-=\sum_{n=0}^{\infty}{ -\left( m+1 \right) \choose n }\left( -x \right)^n.
+=\sum_{n=0}^{\infty}{ -\left( m+1 \right) \choose n }\left( -x \right)^n
 </math></center>
 Po rozpisaniu uogólnionego symbolu dwumianowego
-<math>\displaystyle { y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math>
+<math>{ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!}</math>
-funkcja  <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  przyjmuje więc postać:
+funkcja  <math>G\!\left( x \right)</math>  przyjmuje więc postać:
-<center><math>\displaystyle \aligned &&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( -m-1 \right)\cdot\left( -m-2 \right)\cdot\ldots\cdot\left( -m-n \right)}{n!}\left( -1 \right)^n x^n\ =\\
+<center><math>\begin{align} &&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( -m-1 \right)\cdot\left( -m-2 \right)\cdot\ldots\cdot\left( -m-n \right)}{n!}\left( -1 \right)^n x^n=
-&&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( m+n \right)\cdot\left( m+n-1 \right)\cdot\ldots\cdot\left( m+1 \right)}{n!}x^n.
+&&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( m+n \right)\cdot\left( m+n-1 \right)\cdot\ldots\cdot\left( m+1 \right)}{n!}x^n
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
@@ Linia 162: / Linia 160: @@
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}{ m+n \choose n }x^n.
+<center><math>G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}{ m+n \choose n }x^n
 </math></center>
@@ Linia 172: / Linia 170: @@
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}
+<center><math>G\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}
 </math></center>
@@ Linia 181: / Linia 179: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Wielomian  <math>\displaystyle 1-3x-2x^2+2x^3 </math>  ma miejsce zerowe dla  <math>\displaystyle x=-1 </math> .
+Wielomian  <math>1-3x-2x^2+2x^3</math>  ma miejsce zerowe dla  <math>x=-1</math> .
 </div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Wielomian  <math>\displaystyle W\!\left( x \right)=1-3x-2x^2+2x^3 </math>  ma miejsce zerowe   <math>\displaystyle x=-1 </math> ,
+Wielomian  <math>W\!\left( x \right)=1-3x-2x^2+2x^3</math>  ma miejsce zerowe   <math>x=-1</math> ,
-czyli   <math>\displaystyle W\!\left( x \right)=\left( 1-4x+2x^2 \right)\left( 1+x \right) </math> .
+czyli   <math>W\!\left( x \right)=\left( 1-4x+2x^2 \right)\left( 1+x \right)</math> .
-Z kolei funkcja kwadratowa  <math>\displaystyle 1-4x+2x^2 </math>  ma miejsca zerowe:
+Z kolei funkcja kwadratowa  <math>1-4x+2x^2</math>  ma miejsca zerowe:
-<center><math>\displaystyle x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2},\quad\quad\quad x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2},
+<center><math>x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2},\quad\quad\quad x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}
 </math></center>
@@ Linia 197: / Linia 195: @@
-<center><math>\displaystyle W\!\left( x \right)
+<center><math>W\!\left( x \right)
-=\left( 1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x \right)\cdot\left( 1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x \right)\cdot\left( 1+x \right).
+=\left( 1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x \right)\cdot\left( 1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x \right)\cdot\left( 1+x \right)
 </math></center>
-Funkcja  <math>\displaystyle W\!\left( x \right) </math>  ma więc postać
+Funkcja  <math>W\!\left( x \right)</math>  ma więc postać
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}=
+<center><math>G\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}=
 \frac{A}{1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x}+
 \frac{B}{1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x}+
-\frac{C}{1+x},
+\frac{C}{1+x}
 </math></center>
-dla pewnych  <math>\displaystyle A,B,C \in \mathbb{R} </math> .
+dla pewnych  <math>A,B,C \in \mathbb{R}</math>.
-Po wymnożeniu  przez  <math>\displaystyle 1-3x-2x^2+2x^3 </math>  otrzymamy:
+Po wymnożeniu  przez  <math>1-3x-2x^2+2x^3</math>  otrzymamy:
-<center><math>\displaystyle \aligned 1+2x-6x^2&=
+<center><math>\begin{align} 1+2x-6x^2&=
 A\left( 1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x \right)\left( 1+x \right)
 +B\left( 1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x \right)\left( 1+x \right)\\
 &+C\left( 1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x \right)\left( 1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x \right)\\
 &=\left( A+B+C \right)+\left( \left( -1-\sqrt{2} \right)A+\left( -1+\sqrt{2} \right)B-4C \right)x\\
-&+\left( \left( -2-\sqrt{2} \right)A+\left( -2+\sqrt{2} \right)B+2C \right)x^2.
+&+\left( \left( -2-\sqrt{2} \right)A+\left( -2+\sqrt{2} \right)B+2C \right)x^2
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy,
-gdy współczynniki stojące przy odpowiednich wyrazach  <math>\displaystyle x^n </math>  są sobie równe.
+gdy współczynniki stojące przy odpowiednich wyrazach  <math>x^n</math>  są sobie równe.
-Przyrównujemy więc współczynniki stojące przed  <math>\displaystyle x^0, x^1, x^2 </math>
+Przyrównujemy więc współczynniki stojące przed  <math>x^0, x^1, x^2</math>
 i otrzymujemy układ równań:
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 &=A+B+C\\
 &=\left( -1-\sqrt{2} \right)A+\left( -1+\sqrt{2} \right)B-4C\\
--6&=\left( -2-\sqrt{2} \right)A+\left( -2+\sqrt{2} \right)B+2C,
+-6&=\left( -2-\sqrt{2} \right)A+\left( -2+\sqrt{2} \right)B+2C
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
-którego rozwiązaniem są   <math>\displaystyle A=B=1,\ C=-1 </math> .
+którego rozwiązaniem są   <math>A=B=1,\ C=-1</math> .
-Funkcja  <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  po podstawieniu za  <math>\displaystyle A,B,C </math>  odpowiednio liczb  <math>\displaystyle 1,1,-1 </math> ,
+Funkcja  <math>G\!\left( x \right)</math>  po podstawieniu za  <math>A,B,C</math>  odpowiednio liczb  <math>1,1,-1</math>,
 jest sumą
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)=
+<center><math>G\!\left( x \right)=
 \frac{1}{1-\left( 2+\sqrt{2} \right)x}+
 \frac{1}{1-\left( 2-\sqrt{2} \right)x}-
-\frac{1}{1+x}.
+\frac{1}{1+x}
 </math></center>
-Rozwijając ułamki postaci  <math>\displaystyle \frac{\alpha}{1-\rho x} </math>
+Rozwijając ułamki postaci  <math>\frac{\alpha}{1-\rho x}</math>
-w szereg funkcyjny  <math>\displaystyle \alpha\sum_{n=0}^{\infty}\rho^n x^n </math>  otrzymujemy:
+w szereg funkcyjny  <math>\alpha\sum_{n=0}^{\infty}\rho^n x^n</math>  otrzymujemy:
-<center><math>\displaystyle G\!\left( x \right)
+<center><math>G\!\left( x \right)
-=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n \right)x^n,
+=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n \right)x^n
 </math></center>
@@ Linia 265: / Linia 262: @@
-<center><math>\displaystyle \left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n
+<center><math>\left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n
 </math></center>
@@ Linia 275: / Linia 272: @@
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 a_0&=0,\\
 a_1&=1,\\
-a_n&=2a_{n-1}-a_{n-2},\quad\textrm{dla}\ n\geq2.
+a_n&=2a_{n-1}-a_{n-2},\quad\text{dla}\ n\geq2.
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Rozłóż funkcje kwadratową  <math>\displaystyle 1-2x+x^2=\left( 1-\rho_1x \right)\left( 1-\rho_2x \right) </math>
+Rozłóż funkcje kwadratową  <math>1-2x+x^2=\left( 1-\rho_1x \right)\left( 1-\rho_2x \right)</math>
-i w zależności od wartości  <math>\displaystyle \rho_1,\rho_2 </math>
+i w zależności od wartości  <math>\rho_1,\rho_2</math>
 skorzystaj z metody rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego,
-gdy  <math>\displaystyle k=2 </math>  podanej w wykładzie.
+gdy  <math>k=2</math>  podanej w wykładzie.
 </div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Korzystając ze wzoru z wykładu ''Funkcje tworzące'',
-dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy  <math>\displaystyle k=2 </math>
+dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy  <math>k=2</math>
 otrzymamy następującą funkcję kwadratową:
-<center><math>\displaystyle 1-2x+x^2=\left( 1-x \right)^2.
+<center><math>1-2x+x^2=\left( 1-x \right)^2</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 306: / Linia 301: @@
-<center><math>\displaystyle a_n = \left( \alpha n+\beta \right)1^n,
+<center><math>a_n = \left( \alpha n+\beta \right)1^n</math>,</center>
-</math></center>
-gdzie  <math>\displaystyle \alpha </math>  oraz  <math>\displaystyle \beta </math>  są liczbami rzeczywistymi.
+gdzie  <math>\alpha</math>  oraz  <math>\beta</math>  są liczbami rzeczywistymi.
-Mając podane wyrazy  <math>\displaystyle a_0 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_1 </math>  możemy wyliczyć  <math>\displaystyle \alpha </math>  oraz  <math>\displaystyle \beta </math>
+Mając podane wyrazy  <math>a_0</math>  oraz  <math>a_1</math>  możemy wyliczyć  <math>\alpha</math>  oraz  <math>\beta</math>
 z następującego układu równań:
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 &=\alpha\cdot0+\beta,\\
 &=\alpha\cdot1+\beta.
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
-Rozwiązaniem są  więc  <math>\displaystyle \alpha=1 </math>  i  <math>\displaystyle \beta=0 </math> , a zatem
+Rozwiązaniem są  więc  <math>\alpha=1</math>  i  <math>\beta=0</math> , a zatem
-<center><math>\displaystyle a_n=n,
+<center><math>a_n=n</math>,</center>
-</math></center>
-dla  <math>\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots </math> .
+dla  <math>n=0,1,2,3,\ldots</math> .
 </div></div>
@@ Linia 338: / Linia 330: @@
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 a_0&=0,\\
 a_1&=1,\\
-a_n&=a_{n-1}-a_{n-2}\quad\textrm{dla}\ n\geq2.
+a_n&=a_{n-1}-a_{n-2}\quad\text{dla}\ n\geq2.
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
-i sprawdź, czy ciąg  <math>\displaystyle a_n </math>  jest ograniczony.
+i sprawdź, czy ciąg  <math>a_n</math>  jest ograniczony.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Rozłóż funkcje kwadratową  <math>\displaystyle 1-x+x^2=\left( 1-\rho_1x \right)\left( 1-\rho_2x \right) </math>
+Rozłóż funkcje kwadratową  <math>1-x+x^2=\left( 1-\rho_1x \right)\left( 1-\rho_2x \right)</math>
-i w zależności od wartości  <math>\displaystyle \rho_1,\rho_2 </math>
+i w zależności od wartości  <math>\rho_1,\rho_2</math>
 skorzystaj z metody rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego,
-gdy  <math>\displaystyle k=2 </math>  podanej w wykładzie.
+gdy  <math>k=2</math>  podanej w wykładzie.
 </div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Korzystając ze wzoru z wykładu ''Funkcje tworzące'',
-dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy  <math>\displaystyle k=2 </math>
+dla rozwiązania jednorodnego, liniowego równania rekurencyjnego przy  <math>k=2</math>
 otrzymamy następującą funkcję kwadratową:
-<center><math>\displaystyle 1-x+x^2=\left( 1-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}x \right)\left( 1-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}x \right).
+<center><math>1-x+x^2=\left( 1-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}x \right)\left( 1-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}x \right)</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 372: / Linia 362: @@
-<center><math>\displaystyle a_n = \alpha\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n+
+<center><math>a_n = \alpha\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n+
-\beta\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n,
+\beta\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n</math>,</center>
-</math></center>
-gdzie  <math>\displaystyle \alpha </math>  oraz  <math>\displaystyle \beta </math>  są liczbami zespolonymi.
+gdzie  <math>\alpha</math>  oraz  <math>\beta</math>  są liczbami zespolonymi.
-Mając podane wyrazy  <math>\displaystyle a_0 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_1 </math>  możemy wyliczyć  <math>\displaystyle \alpha </math>  oraz  <math>\displaystyle \beta </math>
+Mając podane wyrazy  <math>a_0</math>  oraz  <math>a_1</math>  możemy wyliczyć  <math>\alpha</math>  oraz  <math>\beta</math>
 z następującego układu równań:
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 &=\alpha\cdot1+\beta\cdot1,\\
 &=\alpha\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+\beta\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{2}.
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
-Rozwiązaniem są  <math>\displaystyle \alpha=-\frac{i\sqrt{3}}{3} </math>  i  <math>\displaystyle \beta=\frac{i\sqrt{3}}{3} </math> , więc
+Rozwiązaniem są  <math>\alpha=-\frac{i\sqrt{3}}{3}</math>  i  <math>\beta=\frac{i\sqrt{3}}{3}</math> , więc
-<center><math>\displaystyle a_n = -\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n+
+<center><math>a_n = -\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n+
-\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n,
+\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n</math>,</center>
-</math></center>
-dla  <math>\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots </math>. Z faktu, że
+dla  <math>n=0,1,2,3,\ldots</math>. Z faktu, że
-<center><math>\displaystyle \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^6=1,\quad\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^6=1,
+<center><math>\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^6=1,\quad\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^6=1</math>,</center>
-</math></center>
@@ Linia 409: / Linia 395: @@
-<center><math>\displaystyle a_n = -\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n \mod 6}+\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^{n \mod 6}.
+<center><math>a_n = -\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{n \mod 6}+\frac{i\sqrt{3}}{3}\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)^{n \mod 6}</math></center>
-</math></center>
-Widzimy więc, że ciąg o wyrazach  <math>\displaystyle a_n = a_{n \mod 6} </math>
+Widzimy więc, że ciąg o wyrazach  <math>a_n = a_{n \mod 6}</math>
-przybiera cyklicznie wartości  pierwszych  <math>\displaystyle 6 </math> -ciu swoich wyrazów.
+przybiera cyklicznie wartości  pierwszych  <math>6</math> -ciu swoich wyrazów.
-Początkowe wartości ciągu  <math>\displaystyle a_n </math> , to
+Początkowe wartości ciągu  <math>a_n</math> , to
-<center><math>\displaystyle a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=0,\quad a_4=-1,\quad a_5=-1.
+<center><math>a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=0,\quad a_4=-1,\quad a_5=-1</math></center>
-</math></center>
-Ciąg  <math>\displaystyle a_n </math>  przybiera więc cyklicznie wartości ze zbioru  <math>\displaystyle \left\lbrace -1,0,1 \right\rbrace </math> ,
+Ciąg  <math>a_n</math>  przybiera więc cyklicznie wartości ze zbioru  <math>\left\lbrace -1,0,1 \right\rbrace</math> ,
 co implikuje oszacowanie
-<center><math>\displaystyle \left\vert a_n \right\vert\leq 1\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ n=0,1,2,3,\ldots.
+<center><math>\left\vert a_n \right\vert\leq 1\quad</math> dla <math>\ n=0,1,2,3,\ldots</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 436: / Linia 419: @@
-<center><math>\displaystyle \left\lbrace
+<center><math>\left\lbrace
-\aligned
+\begin{align}
 a_0&=1,\\
 a_1&=5,\\
 a_2&=11,\\
-a_n&=3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}\quad\textrm{dla}\ n\geq3.
+a_n&=3a_{n-1}+2a_{n-2}-2a_{n-3}\quad\text{dla}\ n\geq3.
-\endaligned
+\end{align}
-\right.
+\right</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 451: / Linia 433: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Używając równania rekurencyjnego,
-znajdź zależność dla funkcji tworzącej  <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math>
+znajdź zależność dla funkcji tworzącej  <math>A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n</math>
-tego ciągu. Następnie przedstaw funkcję  <math>\displaystyle A\!\left( x \right) </math>  w postaci zwartej
+tego ciągu. Następnie przedstaw funkcję  <math>A\!\left( x \right)</math>  w postaci zwartej
-i wylicz  <math>\displaystyle a_n </math> .
+i wylicz  <math>a_n</math> .
 </div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Niech  <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math> .
+Niech  <math>A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n</math> .
 Po podstawieniu równości z równania rekurencyjnego otrzymujemy:
-<center><math>\displaystyle \aligned \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n&=1+5x+11x^2+3x\sum_{n=2}^{\infty}a_n x^n+2x^2\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n-2x^3\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\\
+<center><math>\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n&=1+5x+11x^2+3x\sum_{n=2}^{\infty}a_n x^n+2x^2\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n-2x^3\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\\
 &=1+2x-6x^2 +3x\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n+2x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n-2x^3\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-W miejsce  <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math>  wstawiamy  <math>\displaystyle A\!\left( x \right) </math>  i otrzymujemy:
+W miejsce  <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n</math>  wstawiamy  <math>A\!\left( x \right)</math>  i otrzymujemy:
-<center><math>\displaystyle A\!\left( x \right)= 1+2x-6x^2 +3xA\!\left( x \right)+2x^2A\!\left( x \right)-2x^3A\!\left( x \right).
+<center><math>A\!\left( x \right)= 1+2x-6x^2 +3xA\!\left( x \right)+2x^2A\!\left( x \right)-2x^3A\!\left( x \right)</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 476: / Linia 457: @@
-<center><math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}.
+<center><math>A\!\left( x \right)=\frac{1+2x-6x^2}{1-3x-2x^2+2x^3}</math></center>
-</math></center>
-W [[#cw_4|ćwiczeniu 4]] przedstawiliśmy funkcję  <math>\displaystyle A\!\left( x \right) </math>  w postaci szeregu funkcyjnego:
+W [[#cw_4|ćwiczeniu 4]] przedstawiliśmy funkcję  <math>A\!\left( x \right)</math>  w postaci szeregu funkcyjnego:
-<center><math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n \right)x^n.
+<center><math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n \right)x^n</math></center>
-</math></center>
@@ Linia 490: / Linia 469: @@
-<center><math>\displaystyle a_n=\left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n
+<center><math>a_n=\left( 2+\sqrt{2} \right)^n+\left( 2-\sqrt{2} \right)^n-\left( -1 \right)^n
 </math></center>
-dla  <math>\displaystyle n=0,1,2,\ldots </math> .
+dla  <math>n=0,1,2,\ldots</math> .
 </div></div>