MN05

Układy równań liniowych

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Czasem zadania obliczeniowe wymagają wykonania naprawdę wielkiej liczby obliczeń zmiennoprzecinkowych, przy czym wiele znanych, matematycznie równoważnych metod rozwiązywania takich zadań, ma diametralnie różne własności numeryczne. Bardzo ważną klasą takich intensywnych obliczeniowo zadań jest rozwiązywanie układów równań liniowych

$Ax=b$,

gdzie $A$ jest nieosobliwą macierzą $N\times N$, a dany wektor prawej strony $b\in R^N$.

W praktyce spotyka się zadania z $N=2,3,\dots 1000$. Zdarzają się także czasem szczególne macierze o wymiarach nawet rzędu $10^8$! Rozwiązywanie układów równań liniowych jest sercem wielu innych algorytmów numerycznych --- podobno szacuje się, że około 75 procent czasu obliczeniowego superkomputerów jest wykorzystywanych właśnie na rozwiązywanie takich zadań. O tym, jak skutecznie rozwiązywać takie zadania, jakie mogą czekać nas niespodzianki, traktują: ten i następne trzy wykłady.

Okazuje się, że kilka znanych w matematyce sposobów rozwiązywania układów równań liniowych, takich jak:

• metoda wyznacznikowa (wzory Cramera)
• obliczenie macierzy $A^{-1}$ i następnie $x=A^{-1}b$

nie nadaje się do numerycznego rozwiązywania takich zadań. Wkrótce dowiesz się, że jedną z dobrych metod jest metoda eliminacji Gaussa.

Proste układy równań

Niektóre układy równań można bardzo łatwo rozwiązać. Zgodnie z zasadą, że

trudne zadania rozwiązujemy sprowadzając je do sekwencji łatwych zadań,

w dalszej kolejności pokażemy, jak dowolny układ równań sprowadzić do sekwencji dwóch (czasem trzech) łatwych do rozwiązania układów równań. Ale... jakie układy równań są "łatwe"?

Układy z macierzą trójkątną

Rozważmy układ z macierzą trójkątną $A$. Będą nas szczególnie interesować macierze trójkątne górne, dla których $a_{i,j}=0$ gdy $i>j$, oraz macierze trójkątne dolne z jedynkami na przekątnej, tzn. $a_{i,j}=0$, $i<j$, oraz $a_{i,i}=1$. Macierze pierwszego rodzaju będziemy oznaczać przez $U$, a drugiego rodzaju przez $L$.

$L=\left(\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ *& 1& & & & \\ *& *& 1& & & \\ *& *& *& 1& & \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \\ *& *& *& \cdots & *& 1\end{array}\right),U=\left(\begin{array}{cccccc}*& *& *& *& \cdots & *\\ & *& *& *& \cdots & *\\ & & *& *& \cdots & *\\ & & & *& \ddots & ⋮\\ & & & & \ddots & *\\ & & & & & *\end{array}\right)$

Układ z nieosobliwą macierzą trójkątną górną

$Ux=c$,

$U=(u_{i,j})$, $c=(c_j)$, można rozwiązać stosując algorytm:

Algorytm Podstawienie w tył

---

<math>x_N^*\, =\, c_N / u_{N,N}</math>;
for (i = N-1; i >= 1; i--)
	<math>x_i^*\,:=\,\left( c_i\,-\, \sum_{j=i+1}^N
	u_{i,j}x_j^*\right)/u_{i,i}</math>;

Algorytm ten jest wykonalny, ponieważ nieosobliwość macierzy implikuje, że $u_{i,i}\ne 0$, $\mathrm{\forall }i$. Podobnie, układ $Lx=c$ rozwiązujemy algorytmem:

Algorytm Podstawienie w przód

---

<math>x_1 = c_1</math>;
for (i=2; i <= N; i++)
	<math>x_i = c_i\,-\,\sum_{j=1}^{i-1} l_{i,j} x_j^*</math>;

Oba algorytmy wymagają rzędu $N^2/2$ mnożeń lub dzieleń i $N^2/2$ dodawań lub odejmowań, a więc łącznie $O(N^2)$ działań arytmetycznych.

Układy z macierzą ortogonalną

Równie tanio można rozwiązać układ równań

$Qx=b$

gdy $Q$ jest macierzą ortogonalną, to znaczy $Q^{T}Q=I$. Rzeczywiście, z ortogonalności wynika wprost, że

$x=Q^{T}b$

i w konsekwencji $x$ można wyznaczyć kosztem takim, jak koszt mnożenia macierzy przez wektor, czyli $O(N^2)$ operacji.

Podobnie, gdy $Q\in C^{N\times N}$ jest unitarna, to znaczy $Q^{*}Q=I$ (przypomnijmy: $Q^{*}$ oznacza macierz sprzężoną do $Q$, tzn. taką, że $Q_{ij}^{*}={\overline{Q}}_{ji}$), rozwiązaniem układu równań jest

$x=Q^{*}b$

Metoda eliminacji Gaussa

Carl Friedrich Gauss
Zobacz biografię

W ogólnym przypadku, bardzo dobrym algorytmem numerycznego rozwiązywania układu równań

$Ax=b$

okazuje się popularna eliminacja Gaussa. Jednak z powodów, które okażą się dla nas później jasne, algorytm ten wyrazimy w terminach tzw. rozkładu LU macierzy, to znaczy sprowadzającego zadanie do znalezienia macierzy trójkątnej dolnej $L$ (z jedynkami na diagonali) oraz trójkątnej górnej $U$ takich, że

$A=LU$,

a następnie rozwiązania sekwencji dwóch układów równań z macierzami trójkątnymi:

Algorytm Rozwiązanie układu równań z wykorzystaniem rozkładu LU

---

Znajdź rozkład <math>A=LU</math>;
Rozwiąż <math>Ly = b</math> przez podstawienie w przód;
Rozwiąż <math>Ux = y</math> przez podstawienie w tył;

Przypuśćmy, że taki rozkład $A=LU$ istnieje (nie musi!). Wówczas, zapisując macierze w postaci blokowej, eksponując pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę zaangażowanych macierzy, mamy

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}^T\\ a_{21}& A_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0^T\\ l_{21}& L_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}^T\\ 0& U_{22},\end{array}\right)$

skąd (mnożąc blokowo macierz $L$ przez $U$) wynika, że

• $u_{11}=a_{11}$ oraz $u_{12}=a_{12}$, więc pierwszy wiersz $U$ jest kopią pierwszego wiersza $A$,
• $l_{21}=a_{21}/u_{11}$, więc pierwsza kolumna $L$ powstaje przez podzielenie wszystkich elementów wektora $a_{21}$ przez element na diagonali $a_{11}$,
• $A_{22}-l_{21}{u}_{12}^T=L_{22}{U}_{22}$, a więc znalezienie podmacierzy $L_{22}$ oraz $U_{22}$ sprowadza się do znalezienia rozkładu LU zmodyfikowanego bloku $A_{22}$ macierzy $A$, wymiaru $(N-1)\times (N-1)$. Macierz $A_{22}-l_{21}{u}_{12}^T$ nazywamy uzupełnieniem Schura.

Dostajemy więc algorytm rekurencyjny, jednak ze względu na to, że wywołanie rekurencyjne następuje na końcu, można je zastąpić pętlą. Jest to ważne w praktyce numerycznej, gdyż rekurencja kosztuje: zarówno pamięć, jak i czas.

Ponadto zauważmy, że opisany algorytm możemy wykonać in situ (w miejscu), nadpisując elementy $A$ elementami macierzy $U$ i $L$ (jedynek z diagonali $L$ nie musimy pamiętać, bo wiemy a priori, że tam są). Dzięki temu dodatkowo zaoszczędzimy pamięć.

Algorytm Rozkład LU metodą eliminacji Gaussa - wersja prymitywna

---

for k=1:N-1
	if <math>a_{kk}</math> == 0 
		STOP;
	end
	for i=k+1:N /* wyznaczenie <math>k</math>-tej kolumny <math>L</math> */
		<math>a_{ik}</math> = <math>a_{ik}/a_{ii}</math>;
	end
	for j=k+1:N /* modyfikacja podmacierzy <math>A_{22} = A_{22} - l_{21}u_{12}^T</math> */
		for i=k+1:N 
			<math>a_{ij}</math> -= <math>a_{ik}a_{kj}</math>;
		end
	end
end

Łatwo przekonać się, że $k$-ty obrót zewnętrznej pętli (tzn. $k$-ty krok algorytmu rozkładu LU) kosztuje rzędu $2(N-k{)}^2$ operacji arytmetycznych, skąd łączny koszt tego algorytmu rozkładu LU wynosi około $\frac{4}{3}{N}^3$.

Jeśli więc do rozwiązywania układu równań $Ax=b$ wykorzystamy rozkład LU, to mamy następujące zestawienie kosztów:

• Koszt znalezienia rozkładu $A=LU$: $O(N^3)$;
• Koszt rozwiązania układu $Ly=b$: $O(N^2)$;
• Koszt rozwiązania układu $Ux=y$: $O(N^2)$.

Tak więc, gdy znany już jest rozkład LU macierzy, koszt rozwiązania równania wynosi już tylko $O(N^2)$.

Wybór elementu głównego

Opisany powyżej algorytm rozkładu LU czasem może się niestety załamać: mianowicie wtedy, gdy napotka w czasie działania zerowy element w lewym górnym rogu zmodyfikowanej podmacierzy. Na przykład, macierz

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

jest ewidentnie nieosobliwa, ale nasz algorytm nawet nie ruszy z miejsca, bo od razu zetknie się z dzieleniem przez $a_{11}=0$... Ale wystarczy zamienić ze sobą wiersze macierzy $A$ (to znaczy, w układzie równań, zamienić kolejność równań), a dostaniemy macierz, z którą nasz algorytm poradzi sobie bez problemu! Musimy więc --- aby stosować eliminację Gaussa do dowolnych macierzy nieosobliwych --- dokonywać takich permutacji równań, by elementem, przez który dzielimy, była zawsze liczba niezerowa (jest to możliwe, na mocy założenia nieosobliwości macierzy).

W praktyce obliczeniowej, aby uzyskać algorytm o możliwie dobrych własnościach numerycznych, wykorzystujemy tzw. strategię wyboru elementu głównego w kolumnie. Polega to na tym, że zanim wykonamy $k$-ty krok algorytmu rozkładu LU,

• w pierwszej kolumnie podmacierzy $A(k:N,k:N)$ szukamy elementu o największym module (taki element, na mocy założenia nieosobliwości macierzy, jest niezerowy) --- to jest właśnie element główny
• zamieniamy ze sobą wiersz $A(k,1:N)$ z wierszem, w którym znajduje się element główny
• zapamiętujemy dokonaną permutację, bo potem --- gdy już przyjdzie do rozwiązywania układu równań --- będziemy musieli dokonać analogicznej permutacji wektora prawej strony

Wynikiem takiego algorytmu jest więc rozkład

$PA=LU$,

gdzie $P$ jest pewną (zerojedynkową) macierzą permutacji (tzn. macierzą identyczności z przepermutowanymi wierszami).

Oprócz wyboru elementu głównego w kolumnie, stosuje się czasem inne strategie, m.in. wybór w wierszu (analogicznie) oraz tzw. wybór pełny, gdy elementu głównego szukamy w całej podmacierzy $A(k:N,k:N)$, co znacznie zwiększa liczbę porównań niezbędnych do wskazania elementu głównego, ale też trochę poprawia własności numeryczne takiego algorytmu.

W praktyce, do przechowywania całej informacji o wykonanych permutacjach wystarcza pojedynczy wektor.

Algorytm Rozkład LU z wyborem elementu głównego w kolumnie

---

P = 1:N; /* tu zapamiętujemy wykonane permutacje */
for k=1:N-1
	
	w wektorze A(k:N,k) znajdź element główny <math>a_{pk}</math>;
	zamień ze sobą wiersze A(k,1:N) i A(p,1:N);
	P(k) = p; P(p) = k;
	if <math>a_{kk} == 0</math>
		STOP: macierz osobliwa!
	end
	
	/* kontunuuj tak jak w algorytmie bez wyboru */
	
	for i=k+1:N /* wyznaczenie <math>k</math>-tej kolumny <math>L</math> */
		<math>a_{ik}</math> = <math>a_{ik}/a_{ii}</math>;
	end
	for j=k+1:N /* modyfikacja podmacierzy <math>A_{22} = A_{22} - l_{21}u_{12}^T</math> */
		for i=k+1:N 
			<math>a_{ij}</math> -= <math>a_{ik}a_{kj}</math>;
		end
	end
end

Przykład

Plik:Macierz.svg

Przebieg eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego

Poniżej zapisujemy algorytm rozwiązania układu równań, gdy znany jest już rozkład LU wykonany z wyborem w kolumnie.

Algorytm Rozwiązywanie układu równań metodą eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego w kolumnie

---

znajdź rozkład <math>PA = LU</math>;
rozwiąż względem <math>y</math> układ z macierzą górną trójkątną <math>Ly = Pb</math>;
rozwiąż względem <math>x</math> układ z macierzą dolną trójkątną <math>Ux = y</math>;

Dla niektórych ważnych klas macierzy wiadomo, że rozkład LU jest wykonalny bez wyznaczania elementu głównego, co istotnie może zmniejszyć całkowity czas działania algorytmu. Jest tak m.in. dla macierzy

• symetrycznych, dodatnio określonych: $A=A^T$ oraz jednocześnie $x^{T}Ax>0$, $\mathrm{\forall }x\ne 0$,
• silnie diagonalnie dominujących: macierz $A$ (lub $A^T$) spełnia

$|a_{ii}|>\sum _{j\ne i}|a_{ij}|,\mathrm{\forall }i$

Złożoność obliczeniowa zadania rozwiązania układu równań liniowych

Z powyższego wynika, że łączny koszt rozwiązania równania liniowego poprzez rozkład LU wynosi $O(N^3)$. Można zastanawiać się, jaka jest najmniejsza możliwa liczba operacji zmiennoprzecinkowych potrzebnych do rozwiązania układu równań liniowych.

Można pokazać, że minimalny koszt rozwiązania układu $N$ równań liniowych nie może być wyższego rzędu niż minimalny koszt mnożenia dwóch macierzy $N\times N$. Tymczasem znany jest całkiem prosty algorytm rekurencyjny, wyznaczający iloczyn dwóch macierzy kosztem $4.7\cdot N^{lo{g}_{2}7}\approx 4.7\cdot N^{2.807}$ (algorytm Strassena). Bardziej skomplikowany (i praktycznie nieimplementowalny) algorytm Coppersmitha i Winograda daje nawet koszt $O(N^{2.376})$. Równania liniowe daje się więc (teoretycznie) rozwiązać kosztem $O(N^{2.376})$.

Jednak w praktyce nawet prosty algorytm Strassena zazwyczaj nie jest stosowany. Wynika to stąd, że ma trochę gorsze własności numeryczne oraz, co istotniejsze, wymaga dużo dodatkowej pamięci na przechowywanie pośrednich wyników. Są jednak podejmowane wysiłki, by zmniejszyć te ograniczenia algorytmu Strassena.

Literatura

W celu dogłębnego zapoznania się z omawianym na wykładzie materiałem, przeczytaj rozdział 4 w

• D. Kincaid, W. Cheney Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006, ISBN 83-204-3078-X.

Rozdziały 4.4--4.7 można pominąć przy tym wykładzie, choć będą wykorzystane w następnych.

Bardzo dużo informacji na temat omawianych zagadnień znajduje się w monografiach

• A.Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1992,
• N. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, 2002.