Ćwiczenie 1

Obliczenie energii sygnału $Sa$ w dziedzinie czasu jest bardzo skomplikowane. Bez trudu możemy ją natomiast obliczyć w dziedzinie częstotliwości, korzystając z widma energii tego sygnału. Energię dyskretnego sygnału wykładniczego można obliczyć wprost z definicji. Korzystamy przy tym ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

---

Moc (czynna) sygnału okresowego jest równa energii zawartej w jednym okresie sygnału odniesioną do jego okresu. W obliczeniach korzystamy z elementarnego wzoru trygonometrycznego na kwadrat sinusa, rozbijając całkę na dwie całki. Zauważmy, że druga całka, jako całka za okres z funkcji kosinus, jest równa zeru. Ponieważ rozpatrywany sygnał jest $N$-okresowy o okresie równym $12$, w sumie definicyjnej występuje $12$ składników, z których dwa dla $n=0$ i $n=6$ są równe zeru. Zauważmy, że składniki o numerach $n$ oraz $12-n$ są sobie równe. Dlatego początkową sumę możemy zastąpić podwojoną sumą składników o numerach od $1$ do $5$.

---

Sygnał $x(t)=sgnt$ jest sygnałem o ograniczonej mocy. Jego widmo w sensie zwykłym nie istnieje. Aby wyznaczyć widmo tego sygnału w sensie granicznym, należy skonstruować odpowiedni ciąg aproksymujący ten sygnał. W obliczeniach widma w sensie zwykłym wyrazów tego ciągu rozbijamy całkę definicyjną na dwie całki w granicach $(-\mathrm{\infty },0)$ i $(0,+\mathrm{\infty })$ .

---

Jak widzimy, dyskretny sygnał wykładniczy jest sygnałem dolnopasmowym . Jego widmo jest tym węższe, im większa jest wartość parametru $a$ . Dla $a\to 0$ sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego. Dokonując odpowiedniego przejścia granicznego można stąd wyznaczyć widmo dyskretnego skoku jednostkowego. Należy przy tym wziąć pod uwagę, że dla pulsacji unormowanej $\theta =0$ otrzymujemy składnik dystrybucyjny. Dla $a\to 0$ sygnał dąży do delty Kroneckera. Przejście graniczne w dziedzinie widmowej jest w tym przypadku oczywiste i prowadzi do widma stałego.

---

Transformata Fouriera dystrybucji grzebieniowej ${\delta }_{T_0}(t)$ w dziedzinie czasu, o okresie $T_0$ i jednostkowych wielkościach (polach) tworzących ją impulsów Diraca, jest również dystrybucją grzebieniową (w dziedzinie częstotliwości). Okresem tej dystrybucji jest ${\omega }_0=2\pi /T_0$ , a wielkości tworzących ją dystrybucji Diraca są równe ${\omega }_0$ . Aby wykazać to, należy obliczyć współczynniki rozwinięcia dystrybucji ${\delta }_{T_0}(t)$ w zespolony szereg Fouriera. W obliczeniach uwzględniamy, że całka określająca te współczynniki obejmuje jeden okres (tylko jeden środkowy impuls). Korzystamy przy tym z właściwości próbkowania impulsu Diraca.

---

Uogólnione twierdzenie Rayleigha stanowi, iż iloczyny skalarne w przestrzeni sygnałów i przestrzeni widm są równe (z dokładnością do stałego współczynnika $1/2\pi$ ). Obliczenie iloczynu skalarnego w dziedzinie widmowej nie nastręcza trudności. Wystarczy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu względem pary transformat dla nieprzesuniętego sygnału $Sa$.

---

Jeśli jako miary czasu trwania sygnału i szerokości jego widma przyjmiemy równoważny czas trwania sygnału i równoważną szerokość widma, wówczas zasada nieoznaczoności stanowi, że iloczyn tych miar jest ograniczony i równy $2\pi$ . Równoważny czas trwania rozpatrywanego impulsu jest w tym przypadku równy $\mathrm{\Delta }{t}_x=2/\alpha$ . Można go zmniejszać, zwiększając parametr $\alpha$. Jednak jednocześnie proporcjonalnie wzrasta równoważna szerokość widma, która dla rozpatrywanego sygnału wynosi $\mathrm{\Delta }{\omega }_x=\pi \alpha$ .

---