Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
m Zastępowanie tekstu – „,...,” na „,\ldots,”
 
(Nie pokazano 33 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia==
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia==


===Zadania===
{{cwiczenie|8.1.|cw_8_1|
 
{{cwiczenie|||
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu
drugiego funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie
drugiego funkcji <math>f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie
<math>\displaystyle (0,0)</math>.
<math>(0,0)</math>.


b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
<math>\displaystyle f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (\frac {x-y}{x+y})</math> w punkcie <math>\displaystyle (1,1)</math>.
<math>f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (\frac {x-y}{x+y})</math> w punkcie <math>(1,1)</math>.


c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
<math>\displaystyle f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}</math> w punkcie <math>\displaystyle (1,1)</math>.
<math>f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}</math> w punkcie <math>(1,1)</math>.
 
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję <math>\displaystyle f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz</math> w
punkcie <math>\displaystyle (1,1,1)</math>.
 
}}
 
{{cwiczenie|||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
 
a) <math>\displaystyle f(x,y) = x^4 +y^4 -8x^2 -2y^2 +2006</math>,
 
b) <math>\displaystyle g(x,y) = x^2+8y^3-6xy+1,</math>
 
c) <math>\displaystyle \displaystyle h(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}</math>. }}
 
{{cwiczenie|||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
 
a) <math>\displaystyle f(x,y) = e^{2x}(x+y^2+2y)</math>,
 
b) <math>\displaystyle g(x,y) = e^{x^2-y}(5-2x+y)</math>,
 
c) <math>\displaystyle h(x,y) = \ln |x+y| -x^2-y^2</math>,
 
d) <math>\displaystyle \displaystyle \phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\,
\frac{y}{x}</math>.
 
}}
 
{{cwiczenie|||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
 
a) <math>\displaystyle f(x,y)= \sin{x}\sin{y}\sin(x+y)</math>,
 
b) <math>\displaystyle h(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos(x-y)</math>
<br>
w zbiorze <math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>.
 
}}
 
{{cwiczenie|||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
 
a) <math>\displaystyle f(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}</math>,
 
b) <math>\displaystyle g(x,y)= \sqrt[5]{x^4+y^4}</math>,
 
c) <math>\displaystyle h(x,y)= x^5+y^5</math>.
<br>
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
 
}}


{{cwiczenie|||
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję <math>f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz</math> w
a) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=
punkcie <math>(1,1,1)</math>.
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast
nie ma żadnego maksimum.
 
b) Pokazać, że funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2</math> nie ma minimum w
punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>, ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej
przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum
w tym punkcie.


}}
}}


{{cwiczenie|||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych?


a) <math>\displaystyle f(x,y,z)= x^4-y^3+2z^3-2x^2+6y^2-3z^2</math>,
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>f</math>?
 
b) <math>\displaystyle g(x,y,z)=x^3+xy+y^2-2zx+2z^2+3y-1</math>,
 
c) <math>\displaystyle h(x,y,z)=xyz(4-x-y-z)</math>.
 
}}
 
{{cwiczenie|||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>\displaystyle
f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z.
</math></center>
 
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>\displaystyle
\Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z}
</math></center>
w zbiorze
<math>\displaystyle (0,\pi)^2</math>. }}
 
{{cwiczenie|||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby
dodatnie <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> (<math>\displaystyle a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie
<math>\displaystyle x_1,...,x_n</math> tak, aby ułamek
<center><math>\displaystyle f(x_1,...,x_n)=\frac{x_1x_2...x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}
</math></center>
miał największą wartość.
}}
 
===Wskazówki===
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] Jak wyraża się wielomian Taylora za
pomocą pochodnych cząstkowych?
 
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>\displaystyle f</math>?
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.020|Uzupelnic z.am2.07.020|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
a) Jeśli <math>\displaystyle x_1</math>, <math>\displaystyle x_2</math> i <math>\displaystyle x_3</math> są pierwiastkami równania <math>\displaystyle p(x)=0</math> z
jedną niewiadomą i <math>\displaystyle y_1</math>, <math>\displaystyle y_2</math>, <math>\displaystyle y_3</math> są pierwiastkami równania
<math>\displaystyle q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch
równań (z dwoma niewiadomymi) <math>\displaystyle p(x)=0</math> i <math>\displaystyle q(y) = 0</math>?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.030|Uzupelnic z.am2.07.030|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.


a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial^2
a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest
<math>(0,0)</math>. Mamy
równy <math>\displaystyle \displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje
się w punktach krytycznych.


b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich
<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos
pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
 
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\displaystyle  \phi(x,y) = x - 2y+
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x},</math></center>
łatwiej jest ją
wtedy różniczkować. </div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.040|Uzupelnic z.am2.07.040|]] a) Warto pamiętać, że <math>\displaystyle \sin{\alpha}\cos
\beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>.
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.050|Uzupelnic z.am2.07.050|]] Należy poszukać punktów krytycznych.
 
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór
zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których
funkcja ta jest dodatnia lub ujemna?
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.060|Uzupelnic z.am2.07.060|]] a) Należy poszukać punktów krytycznych i
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Warto pamiętać, że <math>\displaystyle F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie.
 
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w
punktach postaci <math>\displaystyle (a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do
prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych?
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.070|Uzupelnic z.am2.07.070|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]] a).
 
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech
płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>, <math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Najpierw należy
pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn
funkcja <math>\displaystyle h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego
takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne.
(Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale
sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym
postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod
założeniem <math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>.
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.080|Uzupelnic z.am2.07.080|]] Należy poszukać punktów krytycznych i
zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość
trygonometryczna -- wzór na różnicę cosinusów.
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.090|Uzupelnic z.am2.07.090|]] Przyrównując pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej
funkcji jest przedział <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań
otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum proszę
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>\displaystyle a, x_1, x_2,..., x_n,
b</math> za pomocą liczby <math>\displaystyle q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to
zależność?
 
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie
krytycznym rozważamy najpierw prosty przypadek <math>\displaystyle n=1</math> (mamy wtedy
funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>\displaystyle n>1</math>
ustalamy dowolne <math>\displaystyle n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej
funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej.
Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę?
 
</div></div>
 
===Rozwiązania i odpowiedzi===
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    [[##z.am2.07.010|Uzupelnic z.am2.07.010|]]
 
a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (0,0)</math>. Mamy
 
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos
y},&&
y},&&
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\
Linia 230: Linia 41:
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\frac {\sin x\sin
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\frac {\sin x\sin
y}{\cos^2 y},&&
y}{\cos^2 y},&&
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0. \\
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0 \\
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (0,0)</math> ma postać
<math>(0,0)</math> ma postać


<center><math>\displaystyle T_{(0,0)} ^2 f(h_1,h_2)=1+\frac 12(-h_1^2+h_2^2).
<center><math>T_{(0,0)} ^2 f(h_1,h_2)=1+\frac 12(-h_1^2+h_2^2)
</math></center>
</math></center>


b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
<math>(1,1)</math>. Mamy


<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, &&
<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, &&
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&&
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&&
Linia 251: Linia 62:
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&&
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&&
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0. \\
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0 \\
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (1,1)</math> ma postać
<math>(1,1)</math> ma postać


<center><math>\displaystyle T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12h_1-\frac 12h_2+\frac 12\left
<center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12h_1-\frac 12h_2+\frac 12\left
(-h_1^2+h_2^2\right ).
(-h_1^2+h_2^2\right )</math></center>
</math></center>


c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
<math>(1,1)</math>. Mamy


<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac
<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&&
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&&
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\
Linia 278: Linia 88:
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&&
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&&
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12. \\
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12 \\
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (1,1)</math> ma postać
<math>(1,1)</math> ma postać


<center><math>\displaystyle T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12+\frac 12\left (-\frac
<center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12+\frac 12\left (-\frac
12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right ).
12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right )</math></center>
</math></center>


d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (1,1,1)</math>. Mamy
<math>(1,1,1)</math>. Mamy


<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&&
<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&&
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&&
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&&
Linia 319: Linia 128:
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6.
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6.
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie
Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie
funkcji <math>\displaystyle f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> ma postać
funkcji <math>f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>(0,0,0)</math> ma postać


<center><math>\displaystyle \aligned &f(x,y,z)= \\
<center><math>\begin{align} &f(x,y,z)= \\
&\frac 12\left
&\frac 12\left
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right)
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right)
\\
\\
&+\frac 16\left
&+\frac 16\left
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ).
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right)
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.020|Uzupelnic z.am2.07.020|]] a) Z warunku koniecznego istnienia
{{cwiczenie|8.2.||
ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math>\displaystyle 4x^3-16x=0</math>
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
i <math>\displaystyle 4y^3-4y=0</math>. Pierwsze z nich ma rozwiązania <math>\displaystyle -2, 0, 2</math>, drugie
 
<math>\displaystyle -1, 0, 1</math>. Punktami krytycznymi są więc pary <math>\displaystyle (0,0), (0, -1),
a) <math>f(x,y) = x^4+y^4-8x^2-2y^2+2006</math>,
 
b) <math>g(x,y) = x^2+8y^3-6xy+1</math>
 
c) <math>h(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}</math>. }}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
a) Jeśli <math>x_1</math>, <math>x_2</math> i <math>x_3</math> są pierwiastkami równania <math>p(x)=0</math> z jedną niewiadomą i <math>y_1</math>, <math>y_2</math>, <math>y_3</math> są pierwiastkami równania <math>q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch równań (z dwoma niewiadomymi) <math>p(x)=0</math> i <math>q(y) = 0</math>?
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math>4x^3-16x=0</math>
i <math>4y^3-4y=0</math>. Pierwsze z nich ma rozwiązania <math>-2, 0, 2</math>, drugie
<math>-1, 0, 1</math>. Punktami krytycznymi są więc pary <math>(0,0), (0, -1),
(0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>.
(0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>.
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz
drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2f</math>
drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math>
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\
\left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\
0& 12y^2-4
0& 12y^2-4
\end{array} \right].
\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


Ponieważ ta macierz w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> ma postać <math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc} -16& 0\\
Ponieważ ta macierz w punkcie <math>(0,0)</math> ma postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\
0& -4
0& -4
\end{array} \right]</math>,
\end{array} \right]</math>,
w <math>\displaystyle (0,\pm 1)</math> postać <math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc} -16& 0\\
w <math>(0,\pm 1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\
0& 8
0& 8
\end{array} \right]</math>,
\end{array} \right]</math>,
w <math>\displaystyle (\pm 2,0)</math> postać <math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc} 32& 0\\
w <math>(\pm 2,0)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\
0& -4
0& -4
\end{array} \right]</math>,
\end{array} \right]</math>,
wreszcie w <math>\displaystyle (\pm 2,1)</math> i <math>\displaystyle (\pm 2, -1)</math> postać <math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc} 32& 0\\
wreszcie w <math>(\pm 2,1)</math> i <math>(\pm 2, -1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\
0& 8
0& 8
\end{array} \right]</math>,
\end{array} \right]</math>,
więc funkcja <math>\displaystyle f</math> nie ma ekstremów w punktach <math>\displaystyle (0, -1), (0,1), (2,
więc funkcja <math>f</math> nie ma ekstremów w punktach <math>(0, -1), (0,1), (2,
0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i ma minima w
0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math>(0,0)</math> i ma minima w
punktach <math>\displaystyle (-2, -1),\displaystyle (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>.
punktach <math>(-2, -1),(-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>.
<br>
<br>


b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math>\displaystyle (0,0)</math> i
b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math>(0,0)</math> i
<math>\displaystyle \left(\frac94,\frac34\right)</math>.
<math>\left(\frac94,\frac34\right)</math>.
Macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2g</math> ma postać <math>\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {cc} 2& -6\\
Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2g</math> ma postać <math>\left[\begin{array} {cc} 2& -6\\
-6& 8y
-6& 48y
\end{array} \right]</math>. Funkcja <math>\displaystyle g</math>
\end{array} \right]</math>. Funkcja <math>g</math>
ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math>\displaystyle
ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math>
\left(\frac94,\frac34\right)</math>.
\left(\frac94,\frac34\right)</math>.
<br>
<br>


c) Dla funkcji <math>\displaystyle h</math> należy zrobić założenie <math>\displaystyle x\neq 0</math> i <math>\displaystyle y\neq 0</math>.
c) Dla funkcji <math>h</math> należy zrobić założenie <math>x\neq 0</math> i <math>y\neq 0</math>.
Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest
Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest
<math>\displaystyle (\frac{\sqrt[3]{2}}2, \sqrt[3]{2})</math> i że w tym punkcie funkcja
<math>(\frac{\sqrt[3]{2}}2, \sqrt[3]{2})</math> i że w tym punkcie funkcja
<math>\displaystyle h</math> ma minimum (macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2h</math> ma postać
<math>h</math> ma minimum (macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać
<math>\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {cc} \frac2{x^3}& 2\\
<math>\left[\begin{array} {cc} \frac2{x^3}& 2\\
2& \frac4{y^3}
2& \frac4{y^3}
\end{array} \right]</math>).
\end{array} \right]</math>).
Linia 385: Linia 209:
</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.030|Uzupelnic z.am2.07.030|]] a) Warunek konieczny istnienia ekstremum
{{cwiczenie|8.3.||
sprowadza się do układu równań
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>\displaystyle
 
a) <math>f(x,y) = e^{2x}(x+y^2+2y)</math>,
 
b) <math>g(x,y) = e^{x^2-y}(5-2x+y)</math>,
 
c) <math>h(x,y) = \ln |x+y| -x^2-y^2</math>,
 
d) <math>\phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\,
\frac{y}{x}</math>.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\frac{\partial^2
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest równy <math>2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje się w punktach krytycznych.
 
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
 
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\phi(x,y) = x - 2y+
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x}</math>,</center>
łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum sprowadza się do układu równań
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0
\left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0
\end{array} \right.,
\end{array} \right.</math>,</center>
</math></center>


którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math>\displaystyle (\frac12,-1)</math>. Macierz
którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math>(\frac12,-1)</math>. Macierz
drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2f</math> ma postać
drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\
\left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\
2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x}
2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x}
\end{array} \right].
\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


W naszym punkcie jest to macierz <math>\displaystyle \displaystyle
W naszym punkcie jest to macierz <math>
\left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\
\left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\
0& 2e
0& 2e
\end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math>\displaystyle f</math> ma w tym punkcie minimum.
\end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math>f</math> ma w tym punkcie minimum.
<br>
<br>


b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego
b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\
\left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\
e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0
e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0
\end{array} \right.,
\end{array} \right.</math>,</center>
</math></center>


zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math>\displaystyle 5-2x+y=1</math>. Stąd z
zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math>5-2x+y=1</math>. Stąd z
pierwszego równania <math>\displaystyle x=1</math>. Otrzymujemy jedyny punkt <math>\displaystyle (1, -2)</math>.
pierwszego równania <math>x=1</math>. Otrzymujemy jedyny punkt <math>(1, -2)</math>.
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\aligned
\begin{align}
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=
2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\
2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\
Linia 423: Linia 270:
\frac{\partial^2 g}{\partial
\frac{\partial^2 g}{\partial
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}.
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}.
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie
Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie
krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej
krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej
różniczki <math>\displaystyle d_{(1,-2)}^2g</math> ma postać
różniczki <math>d_{(1,-2)}^2g</math> ma postać
<math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc} -2e^3& 2e^3\\
<math>\left[\begin{array} {cc} -2e^3& 2e^3\\
2e^3& -e^3
2e^3& -e^3
\end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math>\displaystyle g</math> nie ma ekstremum.
\end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math>g</math> nie ma ekstremum.
<br>
<br>


c) Dziedziną funkcji <math>\displaystyle h</math> jest zbiór <math>\displaystyle \mathbb R^2\setminus \{(x,y):
c) Dziedziną funkcji <math>h</math> jest zbiór <math>\mathbb R^2\setminus \{(x,y):
y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy
y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy
układ równań
układ równań
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\
\left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\
\frac1{x+y}-2y=0
\frac1{x+y}-2y=0
\end{array} \right..
\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


W szczególności <math>\displaystyle x=y</math>, co po podstawieniu do pierwszego równania
W szczególności <math>x=y</math>, co po podstawieniu do pierwszego równania
daje nam punkty <math>\displaystyle (\frac12,\frac12)</math> i <math>\displaystyle (-\frac12,-\frac12)</math>.
daje nam punkty <math>(\frac12,\frac12)</math> i <math>(-\frac12,-\frac12)</math>.
Macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2h</math> ma postać
Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\
\left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\
-\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2
-\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2
\end{array} \right].
\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


Stąd widać, że w obu punktach nasza funkcja ma maksimum.
Stąd widać, że w obu punktach nasza funkcja ma maksimum.
<br>
<br>


d) Funkcja <math>\displaystyle \phi</math> jest zdefiniowana poza prostą <math>\displaystyle x=0</math>. Warunek
d) Funkcja <math>\phi</math> jest zdefiniowana poza prostą <math>x=0</math>. Warunek
konieczny daje nam układ równań
konieczny daje nam układ równań
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\
\left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\
-2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0
-2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0
\end{array} \right..
\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


Redukując wyrażenie <math>\displaystyle x^2+y^2</math> otrzymujemy <math>\displaystyle y+3x=-2(x-3y)</math>, czyli
Redukując wyrażenie <math>x^2+y^2</math>, otrzymujemy <math>y+3x=-2(x-3y)</math>, czyli
<math>\displaystyle y=x</math>. Wracając pierwszego równania otrzymujemy jedno rozwiązanie
<math>y=x</math>. Wracając pierwszego równania otrzymujemy jedno rozwiązanie
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2\phi</math> jest
<math>(1,1)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2\phi</math> jest
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc}
\left[\begin{array} {cc}
\frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}&
\frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}&
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}& \frac{x^2-y^2-6xy}{(x^2+y^2)^2}
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}& \frac{x^2-y^2-6xy}{(x^2+y^2)^2}
\end{array} \right].
\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math>\displaystyle \displaystyle
W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math>
\left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\
\left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}
-\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}
\end{array} \right]</math>, zatem <math>\displaystyle \phi</math> nie ma ekstremum.
\end{array} \right]</math>, zatem <math>\phi</math> nie ma ekstremum.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.040|Uzupelnic z.am2.07.040|]] a) Mamy do rozwiązania układ równań
{{cwiczenie|8.4.||
<center><math>\displaystyle
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
\left\{\begin{array} {l} 0=
 
\sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\
a) <math>f(x,y)= \sin{x}\sin{y}\sin(x+y)</math>,
0= \sin{x}(\cos{y}\sin(x+y)+\sin{y}\cos(x+y))=\sin{x}\sin(2y+x)
 
\end{array} \right..
b) <math>h(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos(x-y)</math>
</math></center>
<br>
w zbiorze <math>(0,\pi)^2</math>.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Warto pamiętać, że <math>\sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>.
 
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Mamy do rozwiązania układ równań
<center><math>
    \left\{\begin{array} {l} 0=
    \sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\
    0= \sin{x}(\cos{y}\sin(x+y)+\sin{y}\cos(x+y))=\sin{x}\sin(2y+x)
    \end{array} \right.</math></center><br>


Ponieważ <math>\displaystyle x,y\in(0,\pi)</math>, zatem <math>\displaystyle \sin{y}\neq 0</math> oraz
Ponieważ <math>x,y\in(0,\pi)</math>, zatem <math>\sin{y}\neq 0</math> oraz
<math>\displaystyle \sin(2x+y)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle 2x+y=\pi</math> lub
<math>\sin(2x+y)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>2x+y=\pi</math> lub
<math>\displaystyle 2x+y=2\pi</math>. Wyliczamy stąd <math>\displaystyle y</math> i wstawiamy do drugiego równania,
<math>2x+y=2\pi</math>. Wyliczamy stąd <math>y</math> i wstawiamy do drugiego równania,
w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli
w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli
<math>\displaystyle y=\pi-2x</math>, to <math>\displaystyle 0=\sin(2\pi-3x)=-\sin{3x}</math>, czyli <math>\displaystyle x=\pi/3</math> lub
<math>y=\pi-2x</math>, to <math>0=\sin(2\pi-3x)=-\sin{3x}</math>, czyli <math>x=\pi/3</math> lub
<math>\displaystyle x=2\pi/3</math>. Jeśli <math>\displaystyle y=2\pi-2x</math>, otrzymujemy te same punkty. Wobec
<math>x=2\pi/3</math>. Jeśli <math>y=2\pi-2x</math>, otrzymujemy te same punkty. Wobec
założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math>\displaystyle
założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math>
\left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math>\displaystyle  \left(\frac{2\pi}3,
\left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math>\left(\frac{2\pi}3,
\frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y)}^2f</math>
\frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math>
jest
jest
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\
    \left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\
\sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y)
    \sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y)
\end{array} \right].
    \end{array} \right]</math></center>
</math></center>


Łatwo sprawdzić, że <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle  \left(\frac{\pi}3,
Łatwo sprawdzić, że <math>f</math> ma w <math>\left(\frac{\pi}3,
\frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math>\displaystyle  \left(\frac{2\pi}3,
\frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math>\left(\frac{2\pi}3,
\frac{2\pi}3\right)</math> minimum.
\frac{2\pi}3\right)</math> minimum.
<br>
<br>


b) Tym razem należy rozwiązać układ
b) Tym razem należy rozwiązać układ
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} 0=
    \left\{\begin{array} {l} 0=
\cos{x}-\sin(x-y)\\
    \cos{x}-\sin(x-y)\\
0= -\sin{y}+\sin(x-y)
    0= -\sin{y}+\sin(x-y)
\end{array} \right..
    \end{array} \right.</math></center>
</math></center>


Wynika stąd, że <math>\displaystyle \sin{y}=\cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Ponieważ
Wynika stąd, że <math>\sin{y}=\cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Ponieważ
<math>\displaystyle x,y\in (0,\pi)</math>, więc <math>\displaystyle y= \frac{\pi}{2}-x</math> lub <math>\displaystyle y= \pi-
<math>x,y\in (0,\pi)</math>, więc <math>y= \frac{\pi}{2}-x</math> lub <math>y= \pi-
(\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt
(\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt
krytyczny <math>\displaystyle  \left(\frac{\pi}3,\frac\pi6\right)</math>, w którym funkcja
krytyczny <math>\left(\frac{\pi}3,\frac\pi6\right)</math>, w którym funkcja
<math>\displaystyle h</math> osiąga maksimum.
<math>h</math> osiąga maksimum.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.050|Uzupelnic z.am2.07.050|]] a) Dla naszej funkcji nie istnieją
{{cwiczenie|8.5.||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
 
a) <math>f(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}</math>,
 
b) <math>g(x,y)= \sqrt[5]{x^4+y^4}</math>,
 
c) <math>h(x,y)= x^5+y^5</math>.
<br>
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych.
 
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których funkcja ta jest dodatnia lub ujemna?
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Dla naszej funkcji nie istnieją
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych,
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych,
a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na
a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na
ekstremum jest punkt <math>\displaystyle (0,0)</math>. Zauważmy, że <math>\displaystyle f(0,0)=1</math> i
ekstremum jest punkt <math>(0,0)</math>. Zauważmy, że <math>f(0,0)=1</math> i
<math>\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}> 0</math> dla dowolnego punktu <math>\displaystyle (x,y)</math> na płaszczyźnie
<math>\sqrt{x^2+y^2}> 0</math> dla dowolnego punktu <math>(x,y)</math> na płaszczyźnie
różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla
różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla
dowolnego <math>\displaystyle (x,y)\neq (0,0)</math> mamy nierówność <math>\displaystyle f(x,y)<1</math>, co
dowolnego <math>(x,y)\neq (0,0)</math> mamy nierówność <math>f(x,y)<1</math>, co
oznacza, że <math>\displaystyle f</math> ma maksimum globalne w <math>\displaystyle (0,0)</math>. Warto także
oznacza, że <math>f</math> ma maksimum globalne w <math>(0,0)</math>. Warto także
zauważyć, że wykres funkcji <math>\displaystyle f</math> -- powierzchnia stożkowa --
zauważyć, że wykres funkcji <math>f</math> -- powierzchnia stożkowa --
powstaje przez obrót wykresu funkcji
powstaje przez obrót wykresu funkcji
<math>\displaystyle z=\phi(x)=1-|x|=1-\sqrt{x^2}</math> dookoła osi <math>\displaystyle 0z</math>.
<math>z=\phi(x)=1-|x|=1-\sqrt{x^2}</math> dookoła osi <math>0z</math>.
<br>
<br>
 
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(a)|wykres]]
{ [[Rysunek am2c07.0010]]}
<br>
<br>


b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math>\displaystyle g</math> ma niezerowe
b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math>g</math> ma niezerowe
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu
współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem
współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem
<math>\displaystyle g(0,0)=0</math>, a dla <math>\displaystyle (x,y)\neq (0,0)</math> wartość <math>\displaystyle g(x,y)</math> jest
<math>g(0,0)=0</math>, a dla <math>(x,y)\neq (0,0)</math> wartość <math>g(x,y)</math> jest
dodatnia. Zatem w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> funkcja <math>\displaystyle g</math> ma globalne minimum.
dodatnia. Zatem w punkcie <math>(0,0)</math> funkcja <math>g</math> ma globalne minimum.
<br>
<br>
 
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(b)|wykres]]
{ [[Rysunek am2c07.0020]]}
<br>
<br>


c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math>\displaystyle h</math> zerują się
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math>h</math> zerują się
tylko w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>, jednakże tym razem funkcja <math>\displaystyle h</math> nie ma
tylko w punkcie <math>(0,0)</math>, jednakże tym razem funkcja <math>h</math> nie ma
ekstremum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>. Mamy bowiem <math>\displaystyle h(0,0)=0</math>,
ekstremum w punkcie <math>(0,0)</math>. Mamy bowiem <math>h(0,0)=0</math>,
<math>\displaystyle h(a,0)=a^5>0</math> dla <math>\displaystyle a>0</math> i <math>\displaystyle h(a,0)=a^5<0</math> dla <math>\displaystyle a<0</math>, zatem
<math>h(a,0)=a^5>0</math> dla <math>a>0</math> i <math>h(a,0)=a^5<0</math> dla <math>a<0</math>, zatem
dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i
dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i
wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości
wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości
w tym punkcie.
w tym punkcie.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(c)|wykres]]
<br>
<br>


{ [[Rysunek am2c07.0030]]}
</div></div>
<br>
 
{{cwiczenie|8.6.||
a) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)=
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast
nie ma żadnego maksimum.
 
b) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2</math> nie ma minimum w
punkcie <math>(0,0)</math>, ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej
przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum
w tym punkcie.
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
Warto pamiętać, że <math>F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie.
 
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>(a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.060|Uzupelnic z.am2.07.060|]] a) Warunek konieczny istnienia ekstremum
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum
sprowadza się do układu
sprowadza się do układu
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0
\left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0
\end{array} \right..
\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


Z drugiego równania wynika, że <math>\displaystyle y=k\pi</math> dla pewnego <math>\displaystyle k\in\mathbb
Z drugiego równania wynika, że <math>y=k\pi</math> dla pewnego <math>k\in\mathbb
Z</math>. Jeśli <math>\displaystyle k</math> jest parzyste, to z pierwszego równania <math>\displaystyle x=-2</math>,
Z</math>. Jeśli <math>k</math> jest parzyste, to z pierwszego równania <math>x=-2</math>,
jeśli nieparzyste, to <math>\displaystyle x=0</math>. Tworzymy macierz drugiej różniczki
jeśli nieparzyste, to <math>x=0</math>. Tworzymy macierz drugiej różniczki
<math>\displaystyle d_{(x,y)}^2f</math>
<math>d_{(x,y)}^2f</math>
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\
\left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\
-e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y}
-e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y}
\end{array} \right].
\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


Niech <math>\displaystyle m</math> będzie dowolną liczbą całkowitą. W punkcie <math>\displaystyle (0,
Niech <math>m</math> będzie dowolną liczbą całkowitą. W punkcie <math>(0,
(2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać
(2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać
<math>\displaystyle
<math>
\left[\begin{array} {cc} 1& 0\\
\left[\begin{array} {cc} 1& 0\\
0& 2
0& 2
\end{array} \right],</math>
\end{array} \right]</math>,
natomiast w punkcie <math>\displaystyle (-2,2m\pi)</math> postać <math>\displaystyle
natomiast w punkcie <math>(-2,2m\pi)</math> postać <math>
\left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\
\left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\
0& -(1+e^{-2})
0& -(1+e^{-2})
\end{array} \right],
\end{array} \right]</math>,
</math>
zatem funkcja <math>f</math> ma minimum w każdym punkcie postaci
zatem funkcja <math>\displaystyle f</math> ma minimum w każdym punkcie postaci
<math>(0,(2m+1)\pi)</math>, a nie ma ekstremum w żadnym z punktów postaci
<math>\displaystyle (0,(2m+1)\pi)</math>, a nie ma ekstremum w żadnym z punktów postaci
<math>(-2,2m\pi)</math>.
<math>\displaystyle (-2,2m\pi)</math>.


b) Zauważmy, że <math>\displaystyle f(0,0)=0</math> oraz <math>\displaystyle f(0,b)=b^2>0</math> dla dowolnej
b) Zauważmy, że <math>f(0,0)=0</math> oraz <math>f(0,b)=b^2>0</math> dla dowolnej
niezerowej liczby <math>\displaystyle b</math>. Z drugiej strony
niezerowej liczby <math>b</math>. Z drugiej strony
<math>\displaystyle f(a,2a^2)=3a^4-8a^4+4a^4=-a^4<0</math> dla dowolnej niezerowej liczby
<math>f(a,2a^2)=3a^4-8a^4+4a^4=-a^4<0</math> dla dowolnej niezerowej liczby
<math>\displaystyle a</math>. Z tych dwóch faktów funkcja nie może mieć minimum w swoim
<math>a</math>. Z tych dwóch faktów funkcja nie może mieć minimum w swoim
miejscu zerowym <math>\displaystyle (0,0)</math>, bo dowolnie blisko tego miejsca przyjmuje
miejscu zerowym <math>(0,0)</math>, bo dowolnie blisko tego miejsca przyjmuje
zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie
zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie
funkcji <math>\displaystyle f</math> do prostej <math>\displaystyle x=0</math>, czyli funkcja <math>\displaystyle g(y)=f(0,y)=y^2</math>, ma
funkcji <math>f</math> do prostej <math>x=0</math>, czyli funkcja <math>g(y)=f(0,y)=y^2</math>, ma
globalne minimum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>. Podobnie dla dowolnego
globalne minimum w punkcie <math>0</math>. Podobnie dla dowolnego
<math>\displaystyle m\in\mathbb R</math> zawężenie funkcji <math>\displaystyle f</math> do prostej <math>\displaystyle y=mx</math>, czyli
<math>m\in\mathbb R</math> zawężenie funkcji <math>f</math> do prostej <math>y=mx</math>, czyli
funkcja <math>\displaystyle h_m(x)=f(x,mx)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2</math>,  ma minimum w
funkcja <math>h_m(x)=f(x,mx)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2</math>,  ma minimum w
punkcie <math>\displaystyle 0</math> (zob. ćwiczenia z analizy matematycznej 1 do modułu
punkcie <math>0</math> (zob. ćwiczenia z Analizy matematycznej I do modułu
10).
10).


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.070|Uzupelnic z.am2.07.070|]] a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu
{{cwiczenie|8.7.||
pierwszego funkcji <math>\displaystyle f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum
 
otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>\displaystyle 4x^3-4x=0</math>,
a) <math>f(x,y,z)= x^4-y^3+2z^3-2x^2+6y^2-3z^2</math>,
<math>\displaystyle -3y^2+12y=0</math> i <math>\displaystyle 6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>\displaystyle (0,0,0),\displaystyle (0,0,1),\displaystyle (1,0,0),\displaystyle (1,0,1),\displaystyle (-1,0,0),\displaystyle  (-1,0,1),\displaystyle  (0,
 
4,0),\displaystyle  (0,4,1),\displaystyle  (1,4,0),\displaystyle  (1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>, <math>\displaystyle (-1,4,1)</math>.
b) <math>g(x,y,z)=x^3+xy+y^2-2zx+2z^2+3y-1</math>,
Macierz drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać
 
<center><math>\displaystyle
c) <math>h(x,y,z)=xyz(4-x-y-z)</math>.
\left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\
 
0&0&12z-6\end{array} \right].
}}
</math></center>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
 
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[#cw_8_1|ćwiczenia 8.1.]] a).
 
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>.
 
</div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji <math>f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>4x^3-4x=0</math>, <math>-3y^2+12y=0</math> i <math>6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(-1,0,0), (-1,0,1), (0,
4,0), (0,4,1), (1,4,0), (1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>.
Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać
<center><math>
        \left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\
    0&0&12z-6\end{array} \right]</math></center>


Wobec tego w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\
Wobec tego w punkcie <math>(0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,0,1)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\
    0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,0,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm1,0,0)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&12&0\\
    0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm1,0,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&12&0\\
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,0)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\
    0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (0,4,1)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\
    0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>\displaystyle (\pm 1,4,0)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\
    0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm 1,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\
0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>\displaystyle (\pm 1,4,1)</math> -- <math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\
    0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>(\pm 1,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\
0&0&6\end{array} \right]</math>.
    0&0&6\end{array} \right]</math>.
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma minima
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>f</math> ma minima
w punktach <math>\displaystyle (1,0,1)</math> i <math>\displaystyle (-1,0,1)</math> i maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,4,0)</math>
w punktach <math>(1,0,1)</math> i <math>(-1,0,1)</math> i maksimum w punkcie <math>(0,4,0)</math>
oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji.
oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji.
<br>
<br>


b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu
b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l}
    \left\{\begin{array} {l}
3x^2+y-2z=0\\
    3x^2+y-2z=0\\
x+2y+3=0\\
    x+2y+3=0\\
-2x+4z=0
    -2x+4z=0
\end{array} \right.,
    \end{array} \right.</math>,</center>
</math></center>


którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math>\displaystyle (-\frac12,
którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math>(-\frac12,
-\frac54,-\frac14)</math> i <math>\displaystyle (1,-2,\frac12)</math>. Macierz drugiej różniczki
-\frac54,-\frac14)</math> i <math>(1,-2,\frac12)</math>. Macierz drugiej różniczki
<math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2g</math> ma postać
<math>d_{(x,y,z)}^2g</math> ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\
        \left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\
-2&0&4\end{array} \right].
    -2&0&4\end{array} \right]</math></center>
</math></center>
Ponieważ
Ponieważ
<center><math>\displaystyle
<center><math>
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\
    {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\
-2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm
    -2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm
det}\left[\begin{array} {cc}-3&1\\1&2\end{array} \right]=-7,
    det}\left[\begin{array} {cc}-3&1\\1&2\end{array} \right]=-7</math>,</center>
</math></center>


funkcja <math>\displaystyle g</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle (-\frac12,
funkcja <math>g</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(-\frac12,
-\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec
-\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec
<center><math>\displaystyle
<center><math>
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\
    {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\
-2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det}
    -2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det}
\left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11
    \left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11
</math></center>
</math></center>
funkcja
funkcja <math>g</math> ma minimum w punkcie <math>(1,-2,\frac12)</math>.
<math>\displaystyle g</math> ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (1,-2,\frac12)</math>.
<br>
<br>


c) Funkcja <math>\displaystyle h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math>,
c) Funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Pokażmy najpierw, że w żadnym punkcie pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt <math>(x_0,y_0,z_0)</math> leżący na płaszczyźnie <math>x=0</math> oraz zdefiniujmy funkcję <math>s(x,y,z)=yz(4-x-y-z)</math>. Mamy <math>x_0=0</math>. Ponieważ częścią wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc
<math>\displaystyle z=0</math> i <math>\displaystyle x+y+z=4</math>. Pokażmy najpierw, że w żadnym punkcie
dowolnie blisko punktu <math>(x_0,y_0,z_0)</math> możemy znaleźć taki punkt <math>(x_1,y_1,z_1)</math>, że <math>x_1=0</math> oraz <math>s(x_1,y_1,z_1)\neq 0</math>. Niech np. <math>s(x_1,y_1,z_1)> 0</math> (drugi przypadek jest symetryczny). Z ciągłości funkcji <math>s</math> dla dostatecznie małej liczby dodatniej <math>\delta</math> zachodzi <math>s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>s(-\delta, y_1,z_1)>0</math> (bo <math>x_1=0</math>). Ale wtedy <math>h(\delta, y_1,z_1)=\delta s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>h(-\delta, y_1,z_1)=-\delta s(-\delta, y_1,z_1)<0</math>, zatem funkcja <math>h</math> nie ma minimum w punkcie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> (bo jest to miejsce zerowe, a dowolnie blisko tego miejsca funkcja <math>h</math> przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn <math>y=0</math> i
pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt
<math>z=0</math>.
<math>\displaystyle (x_0,y_0,z_0)</math> leżący na płaszczyźnie <math>\displaystyle x=0</math> oraz zdefiniujmy
funkcję <math>\displaystyle s(x,y,z)=yz(4-x-y-z)</math>. Mamy <math>\displaystyle x_0=0</math>. Ponieważ częścią
wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc
dowolnie blisko punktu <math>\displaystyle (x_0,y_0,z_0)</math> możemy znaleźć taki punkt
<math>\displaystyle (x_1,y_1,z_1)</math>, że <math>\displaystyle x_1=0</math> oraz <math>\displaystyle s(x_1,y_1,z_1)\neq 0</math>. Niech np.
<math>\displaystyle s(x_1,y_1,z_1)> 0</math> (drugi przypadek jest symetryczny). Z
ciągłości funkcji <math>\displaystyle s</math> dla dostatecznie małej liczby dodatniej
<math>\displaystyle \delta</math> zachodzi <math>\displaystyle s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>\displaystyle s(-\delta,
y_1,z_1)>0</math> (bo <math>\displaystyle x_1=0</math>). Ale wtedy <math>\displaystyle h(\delta, y_1,z_1)=\delta
s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>\displaystyle h(-\delta, y_1,z_1)=-\delta s(-\delta,
y_1,z_1)<0</math>, zatem funkcja <math>\displaystyle h</math> nie ma minimum w punkcie
<math>\displaystyle (x_0,y_0,z_0)</math> (bo jest to miejsce zerowe, a dowolnie blisko tego
miejsca funkcja <math>\displaystyle h</math> przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i
ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn <math>\displaystyle y=0</math> i
<math>\displaystyle z=0</math>.


Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem
Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem
<math>\displaystyle x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. Wtedy warunek konieczny istnienia
<math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. Wtedy warunek konieczny istnienia
ekstremum prowadzi do układu Cramera
ekstremum prowadzi do układu Cramera
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l}
    \left\{\begin{array} {l}
2x+y+z=4\\
    2x+y+z=4\\
x+2y+z=4\\
    x+2y+z=4\\
x+y+2z=4
    x+y+2z=4
\end{array} \right.,
    \end{array} \right.</math>,</center>
</math></center>


którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math>\displaystyle (1,1,1)</math>. Macierz
którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math>(1,1,1)</math>. Macierz
drugiej różniczki <math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2h</math> ma postać
drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2h</math> ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\
    \left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\
y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right].
    y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right]</math></center>
</math></center>


Ponieważ
Ponieważ
<center><math>\displaystyle
<center><math>
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\
    {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\
-1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm
    -1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm
det}\left[\begin{array} {cc}-2&-1\\-1&-2\end{array} \right]=3
    det}\left[\begin{array} {cc}-2&-1\\-1&-2\end{array} \right]=3
</math></center>
</math></center>


funkcja <math>\displaystyle h</math>  ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (1,1,1)</math>. Jest to jedyne
funkcja <math>h</math>  ma maksimum w punkcie <math>(1,1,1)</math>. Jest to jedyne
ekstremum tej funkcji.
ekstremum tej funkcji.
</div></div>
{{cwiczenie|8.8.||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>
f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z</math></center>
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
<center><math>
\Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z}
</math></center>
w zbiorze
<math>(0,\pi)^2</math>. }}
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki.
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość trygonometryczna - wzór na różnicę cosinusów.


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.080|Uzupelnic z.am2.07.080|]] a)  Zakładamy, że <math>\displaystyle x,y,z\neq 0</math>.
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Otrzymany z warunku koniecznego układ równań
a)  Zakładamy, że <math>x,y,z\neq 0</math>. Otrzymany z warunku koniecznego układ równań
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l}
\left\{\begin{array} {l}
-2x+\frac{y}{x^2}=0\\
-2x+\frac{y}{x^2}=0\\
-\frac{1}x+\frac{z^2}{y^2}=0\\
-\frac{1}x+\frac{z^2}{y^2}=0\\
-2\frac{z}y+\frac1{z^2}=0\end{array} \right.
-2\frac{z}y+\frac1{z^2}=0\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


ma jedyne rozwiązanie -- punkt <math>\displaystyle
ma jedyne rozwiązanie - punkt <math>
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
<center><math>\displaystyle \aligned
<center><math>\begin{align}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0
\endaligned</math></center>
\end{align}</math></center>


i budujemy macierz drugiej  różniczki
i budujemy macierz drugiej  różniczki
<math>\displaystyle d_{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,
<math>d_{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,
\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym
\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym
punkcie, która ma postać
punkcie, która ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\
A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\
0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right].</math></center>
0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right]</math>.</center>


Mamy det<math>\displaystyle A=-144\sqrt[3]{4}<0,</math>
Mamy det<math>A=-144\sqrt[3]{4}<0</math>,
det<math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-6&2\sqrt[3]{2}\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}\end{array} \right]=
det<math>\left[\begin{array} {cc}-6&2\sqrt[3]{2}\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}\end{array} \right]=
20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math>\displaystyle  -6<0</math>. Zatem z kryterium Sylvestera
20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math>-6<0</math>. Zatem z kryterium Sylvestera
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w punkcie
funkcja <math>f</math> ma maksimum w punkcie
<math>\displaystyle \left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
<math>\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
<br>
<br>


b) Otrzymujemy układ równań
b) Otrzymujemy układ równań
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l}
\left\{\begin{array} {l}
\cos(x+y+z)=\cos{x}\\
\cos(x+y+z)=\cos{x}\\
\cos(x+y+z)=\cos{y}\\
\cos(x+y+z)=\cos{y}\\
\cos(x+y+z)=\cos{z}
\cos(x+y+z)=\cos{z}
\end{array} \right..
\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


W szczególności <math>\displaystyle \cos{x}=\cos y= \cos z</math>, czyli <math>\displaystyle x=y=z</math> ponieważ
W szczególności <math>\cos{x}=\cos y= \cos z</math>, czyli <math>x=y=z</math>, ponieważ
<math>\displaystyle x,y,z\in (0,\pi)</math>. Zatem <math>\displaystyle 0=\cos{3x}-\cos{x}=-2\sin{2x}\sin{x}</math>,
<math>x,y,z\in (0,\pi)</math>. Zatem <math>0=\cos{3x}-\cos{x}=-2\sin{2x}\sin{x}</math>,
a stąd <math>\displaystyle x=\frac{\pi}{2}</math>. Macierz drugiej różniczki
a stąd <math>x=\frac{\pi}{2}</math>. Macierz drugiej różniczki
<math>\displaystyle d_{(x,y,z)}^2\Phi</math> ma postać
<math>d_{(x,y,z)}^2\Phi</math> ma postać
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\
\left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\
-\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\
-\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\
-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&\sin{z}-\sin(x+y+z)\end{array} \right].</math></center>
-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&\sin{z}-\sin(x+y+z)\end{array} \right]</math>.</center>


Ponieważ
Ponieważ
<center><math>\displaystyle
<center><math>
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\
1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm
1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm
det}\left[\begin{array} {cc}2&1\\1&2\end{array} \right]=3,
det}\left[\begin{array} {cc}2&1\\1&2\end{array} \right]=3</math>,</center>
 
funkcja <math>\Phi</math> ma w punkcie
<math>(\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)</math> minimum.
 
</div></div>
 
{{cwiczenie|8.9.||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby
dodatnie <math>a</math> i <math>b</math> (<math>a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie
<math>x_1,\ldots,x_n</math> tak, aby ułamek
<center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{x_1x_2...x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}
</math></center>
</math></center>
miał największą wartość.
}}


funkcja <math>\displaystyle \Phi</math> ma w punkcie
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
<math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)</math> minimum.
Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>(0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum, proszę
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>a, x_1, x_2,\ldots, x_n, b</math> za pomocą liczby <math>q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność?
 
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym, rozważamy najpierw prosty przypadek <math>n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>n>1</math>
ustalamy dowolne <math>n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę?


</div></div>
</div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   [[##z.am2.07.090|Uzupelnic z.am2.07.090|]] Zauważmy, że <math>\displaystyle f</math> jest dobrze zdefiniowaną
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
funkcją <math>\displaystyle n</math> zmiennych dodatnich. Jeśli przyjmiemy oznaczenia
Zauważmy, że <math>f</math> jest dobrze zdefiniowaną funkcją <math>n</math> zmiennych dodatnich. Jeśli przyjmiemy oznaczenia  
<center><math>\displaystyle
<center><math>
x'=(x_2,...,x_n)\quad  {\rm i} \quad p(x')= (x_2+x_3)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b),
x'=(x_2,\ldots,x_n)\quad  {\rm i} \quad p(x')= (x_2+x_3)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)</math>,</center>
</math></center>
to
to
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>\displaystyle f</math> po <math>\displaystyle x_1</math> wyraża się
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>f</math> po <math>x_1</math> wyraża się
wzorem
wzorem
<center><math>\displaystyle \aligned
<center><math>\begin{align}
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x')
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x')
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\=
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\=
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]=
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]=
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2),
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2),
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle ax_2-x_1^2=0</math>.
zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ax_2-x_1^2=0</math>.
Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych uzyskamy układ
Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych, uzyskamy układ
równań
równań
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\left\{\begin{array} {l}
\left\{\begin{array} {l}
ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\
ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\
x_{n-1}b-x_n^2=0\end{array} \right..
x_{n-1}b-x_n^2=0\end{array} \right.</math></center>
</math></center>


Przekształcając te równania i porównując je otrzymamy zależność
Przekształcając te równania i porównując je, otrzymamy zależność
<center><math>\displaystyle
<center><math>
\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}=
\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}=
\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}},
\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}}</math>,</center>
</math></center>
co oznacza, że ciąg
co oznacza, że ciąg
<math>\displaystyle a,x_1,x_2,...,x_n,b</math> jest geometryczny o ilorazie <math>\displaystyle \displaystyle
<math>a,x_1,x_2,\ldots,x_n,b</math> jest geometryczny o ilorazie <math>
q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math>\displaystyle b=aq^{n+1}</math> i stąd
q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math>b=aq^{n+1}</math> i stąd
<math>\displaystyle q=\sqrt[n+1]{\frac ba}</math>. Punktem krytycznym jest zatem
<math>q=\sqrt[n+1]{\frac ba}</math>. Punktem krytycznym jest zatem
<center><math>\displaystyle
<center><math>
M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2},
M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2},
\sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3},...,\sqrt[n+1]{a^2b^{n-1}},
\sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3},\ldots,\sqrt[n+1]{a^2b^{n-1}},
\sqrt[n+1]{ab^n})
\sqrt[n+1]{ab^n})
</math></center>
</math></center>
oraz
oraz
<center><math>\displaystyle \aligned
<center><math>\begin{align}
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}}
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}}
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\=
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\=
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}.
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}.
\endaligned
\end{align}
</math></center>
</math></center>


Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu
Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu
<math>\displaystyle P(x_1,...,x_n)\in (0,+\infty)^n</math> różnego od punktu <math>\displaystyle M</math> zachodzi
<math>P(x_1,\ldots,x_n)\in (0,+\infty)^n</math> różnego od punktu <math>M</math> zachodzi
<math>\displaystyle f(M)>f(P)</math>. Zanim to udowodnimy zauważmy, że (co wynika jeszcze z
<math>f(M)>f(P)</math>. Zanim to udowodnimy, zauważmy, że (co wynika jeszcze z
układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt
układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt
<math>\displaystyle P(x_1,...,x_k)=M</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <center><math>\displaystyle
<math>P(x_1,\ldots,x_k)=M</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <center><math>
x_1=\sqrt{ax_2},
x_1=\sqrt{ax_2},
x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n},
x_2=\sqrt{x_1x_3},\ldots,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n},
x_n=\sqrt{x_{n-1}b}.
x_n=\sqrt{x_{n-1}b}</math></center>
</math></center>


Rozważmy teraz przypadek <math>\displaystyle n=1</math>. Szukamy wtedy maximum funkcji
Rozważmy teraz przypadek <math>n=1</math>. Szukamy wtedy maximum funkcji
<math>\displaystyle \displaystyle h(x)=\frac{x}{(a+x)(x+b)}</math> jednej zmiennej
<math>h(x)=\frac{x}{(a+x)(x+b)}</math> jednej zmiennej
dodatniej <math>\displaystyle x</math>. Z powyższego rozumowania wiemy, że punktem
dodatniej <math>x</math>. Z powyższego rozumowania wiemy, że punktem
krytycznym jest punkt <math>\displaystyle \sqrt{ab}</math>. Chcemy teraz pokazać, że
krytycznym jest punkt <math>\sqrt{ab}</math>. Chcemy teraz pokazać, że
<math>\displaystyle h(x)<h(\sqrt{ab})</math> dla dowolnego
<math>h(x)<h(\sqrt{ab})</math> dla dowolnego
<math>\displaystyle x\in(0,\sqrt{ab})\cup(\sqrt{ab}, +\infty)</math>. Można to udowodnić
<math>x\in(0,\sqrt{ab})\cup(\sqrt{ab}, +\infty)</math>. Można to udowodnić,
wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej
wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej
(zachęcamy do tego ćwiczenia, jako przypomnienia z analizy
(zachęcamy do tego ćwiczenia jako przypomnienia z Analizy
matematycznej 1), ale można też zrobić to bardziej elementarnie.
matematycznej I), ale można też zrobić to bardziej elementarnie.
Mamy mianowicie <math>\displaystyle (x-\sqrt{ab})^2\geq 0</math> dla dowolnej liczby
Mamy mianowicie <math>(x-\sqrt{ab})^2\geq 0</math> dla dowolnej liczby
rzeczywistej <math>\displaystyle x</math>, a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy
rzeczywistej <math>x</math>, a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy
<math>\displaystyle x=\sqrt{ab}</math>. Przekształcając tę nierówność otrzymujemy kolejno
<math>x=\sqrt{ab}</math>. Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy kolejno
<math>\displaystyle x^2+ab\geq 2\sqrt{ab}x</math>, a stąd <math>\displaystyle ax+x^2+ab +bx\geq
<math>x^2+ab\geq 2\sqrt{ab}x</math>, a stąd <math>ax+x^2+ab +bx\geq
(a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math>\displaystyle (a+x)(x+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2x</math>,
(a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math>(a+x)(x+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2x</math>,
co jest równoważne nierówności <math>\displaystyle h(x)\leq h(\sqrt{ab})</math> i równość
co jest równoważne nierówności <math>h(x)\leq h(\sqrt{ab})</math> i równość
zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math>\displaystyle x=\sqrt{ab}</math>, co dowodzi naszej
zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math>x=\sqrt{ab}</math>, co dowodzi naszej
tezy w tym przypadku.
tezy w tym przypadku.


Teraz, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest dowolną liczbą naturalną większą od 1,
Teraz, jeśli <math>n</math> jest dowolną liczbą naturalną większą od 1,
ustalmy dowolną liczbę <math>\displaystyle k\in\{1,2,...,n\}</math> oraz <math>\displaystyle n-1</math> dowolnie
ustalmy dowolną liczbę <math>k\in\{1,2,\ldots,n\}</math> oraz <math>n-1</math> dowolnie
wybranych liczb dodatnich <math>\displaystyle x_1,...,x_{k-1},x_{k+1},..., x_n</math> i
wybranych liczb dodatnich <math>x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots, x_n</math> i
rozważmy funkcję
rozważmy funkcję
<center><math>\displaystyle g(x)=f(x_1,x_2,...,x_{k-1},x,x_{k+1},...,x_n).</math></center>
<center><math>g(x)=f(x_1,x_2,\ldots,x_{k-1},x,x_{k+1},\ldots,x_n)</math>.</center>
Zauważmy, że
Zauważmy, że
jest to funkcja <math>\displaystyle h</math> z poprzedniego przypadku, dla przedziału
jest to funkcja <math>h</math> z poprzedniego przypadku, dla przedziału
<math>\displaystyle (x_{k-1},x_{k+1})</math> (lub <math>\displaystyle (x_{k+1},x_{k-1})</math>, jeśli liczba
<math>(x_{k-1},x_{k+1})</math> (lub <math>(x_{k+1},x_{k-1})</math>, jeśli liczba
<math>\displaystyle x_{k+1}</math> jest mniejsza od <math>\displaystyle x_{k-1}</math>), pomnożona przez stałą
<math>x_{k+1}</math> jest mniejsza od <math>x_{k-1}</math>), pomnożona przez stałą
dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math>\displaystyle g</math> osiąga
dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math>g</math> osiąga
silne maksimum w punkcie <math>\displaystyle x_k=\sqrt{x_{k-1}x_{k+1}}</math>. Zatem
silne maksimum w punkcie <math>x_k=\sqrt{x_{k-1}x_{k+1}}</math>. Zatem
ogólnie funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga silne maksimum w punkcie
ogólnie funkcja <math>f</math> osiąga silne maksimum w punkcie
<math>\displaystyle P(x_1,...,x_k)</math>, dokładnie wtedy, gdy zachodzą związki
<math>P(x_1,\ldots,x_k)</math>, dokładnie wtedy, gdy zachodzą związki
<center><math>\displaystyle
<center><math>
x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3},...,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n},
x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3},\ldots,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n},
x_n=\sqrt{x_{n-1}b},
x_n=\sqrt{x_{n-1}b}</math>,</center>
</math></center>
czyli dokładnie wtedy, gdy <math>P=M</math>.
czyli dokładnie wtedy, gdy <math>\displaystyle P=M</math>.


</div></div>
</div></div>

Aktualna wersja na dzień 21:56, 15 wrz 2023

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1.

a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=cosxcosy w punkcie (0,0).

b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=arctg(xyx+y) w punkcie (1,1).

c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji f(x,y)=xyx2+y2 w punkcie (1,1).

d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f(x,y,z)=x3+y3+z33xyz w punkcie (1,1,1).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=x4+y48x22y2+2006,

b) g(x,y)=x2+8y36xy+1

c) h(x,y)=2xy+1x+2y.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=e2x(x+y2+2y),

b) g(x,y)=ex2y(52x+y),

c) h(x,y)=ln|x+y|x2y2,

d) ϕ(x,y)=x2y+lnx2+y2+3arctgyx.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=sinxsinysin(x+y),

b) h(x,y)=sinx+cosy+cos(xy)
w zbiorze (0,π)2.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.5.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y)=1x2+y2,

b) g(x,y)=x4+y45,

c) h(x,y)=x5+y5.
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.6.

a) Pokazać, że funkcja f(x,y)=(1+ex)cosy+xex ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.

b) Pokazać, że funkcja f(x,y)=3x44x2y+y2 nie ma minimum w punkcie (0,0), ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.7.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) f(x,y,z)=x4y3+2z32x2+6y23z2,

b) g(x,y,z)=x3+xy+y22zx+2z2+3y1,

c) h(x,y,z)=xyz(4xyz).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.8.

a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

f(x,y,z)=4x2yxz2y1z

b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

Φ(x,y,z)=sin(x+y+z)sinxsinysinz

w zbiorze

(0,π)2.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.9.

(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie a i b (ab) wstawić liczby dodatnie x1,,xn tak, aby ułamek

f(x1,,xn)=x1x2...xn(a+x1)(x1+x2)...(xn1+xn)(xn+b)

miał największą wartość.

Wskazówka
Rozwiązanie