Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
m Zastępowanie tekstu – „,...,” na „,\ldots,” |
|||
(Nie pokazano 33 wersji utworzonych przez 4 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia== | ==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia== | ||
{{cwiczenie|8.1.|cw_8_1| | |||
{{cwiczenie||| | |||
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu | ||
drugiego funkcji <math> | drugiego funkcji <math>f(x,y)=\frac {\cos x}{\cos y}</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(0,0)</math>. | ||
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | ||
<math> | <math>f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (\frac {x-y}{x+y})</math> w punkcie <math>(1,1)</math>. | ||
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji | ||
<math> | <math>f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}</math> w punkcie <math>(1,1)</math>. | ||
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję <math>f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz</math> w | |||
punkcie <math>(1,1,1)</math>. | |||
punkcie <math> | |||
}} | }} | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Jak wyraża się wielomian Taylora za pomocą pochodnych cząstkowych? | |||
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math>f</math>? | |||
d) Ile pochodnych cząstkowych niezerowych ma funkcja <math> | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) | a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
f | <math>(0,0)</math>. Mamy | ||
<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos | |||
y},&& | y},&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\ | ||
Linia 230: | Linia 41: | ||
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\frac {\sin x\sin | &\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\frac {\sin x\sin | ||
y}{\cos^2 y},&& | y}{\cos^2 y},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0 | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0 \\ | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(0,0)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(0,0)} ^2 f(h_1,h_2)=1+\frac 12(-h_1^2+h_2^2) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, && | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\ | ||
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&& | &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&& | ||
Linia 251: | Linia 62: | ||
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac | &\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac | ||
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&& | {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0 | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0 \\ | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12h_1-\frac 12h_2+\frac 12\left | ||
(-h_1^2+h_2^2\right ) | (-h_1^2+h_2^2\right )</math></center> | ||
</math></center> | |||
c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac | ||
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&& | {y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\ | ||
Linia 278: | Linia 88: | ||
&\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac | &\frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac | ||
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&& | {-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12 | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12 \\ | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math> | Tak więc wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1)</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math>T_{(1,1)} ^2 f(h_1,h_2)=\frac 12+\frac 12\left (-\frac | ||
12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right ) | 12h_1^2-\frac 12h_2^2+h_1h_2\right )</math></center> | ||
</math></center> | |||
d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math> | d) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie | ||
<math> | <math>(1,1,1)</math>. Mamy | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&& | ||
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\ | \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\ | ||
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&& | &\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&& | ||
Linia 319: | Linia 128: | ||
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3 | &\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3 | ||
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6. | f}{\partial z^3}(1,1,1)=6. | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie | Pozostałe pochodne cząstkowe są równe zero. Tak więc rozwinięcie | ||
funkcji <math> | funkcji <math>f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>(0,0,0)</math> ma postać | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} &f(x,y,z)= \\ | ||
&\frac 12\left | &\frac 12\left | ||
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right) | (6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right) | ||
\\ | \\ | ||
&+\frac 16\left | &+\frac 16\left | ||
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ) | (6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right) | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps"> | {{cwiczenie|8.2.|| | ||
ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math> | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
i <math> | |||
<math> | a) <math>f(x,y) = x^4+y^4-8x^2-2y^2+2006</math>, | ||
b) <math>g(x,y) = x^2+8y^3-6xy+1</math> | |||
c) <math>h(x,y) = 2xy+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}</math>. }} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
a) Jeśli <math>x_1</math>, <math>x_2</math> i <math>x_3</math> są pierwiastkami równania <math>p(x)=0</math> z jedną niewiadomą i <math>y_1</math>, <math>y_2</math>, <math>y_3</math> są pierwiastkami równania <math>q(y)=0</math> z jedną niewiadomą, to jakie rozwiązania ma układ dwóch równań (z dwoma niewiadomymi) <math>p(x)=0</math> i <math>q(y) = 0</math>? | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ dwóch niezależnych równań <math>4x^3-16x=0</math> | |||
i <math>4y^3-4y=0</math>. Pierwsze z nich ma rozwiązania <math>-2, 0, 2</math>, drugie | |||
<math>-1, 0, 1</math>. Punktami krytycznymi są więc pary <math>(0,0), (0, -1), | |||
(0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | (0,1), (2, 0), (-2, 0), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i budujemy macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 12x^2-16& 0\\ | ||
0& 12y^2-4 | 0& 12y^2-4 | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Ponieważ ta macierz w punkcie <math> | Ponieważ ta macierz w punkcie <math>(0,0)</math> ma postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\ | ||
0& -4 | 0& -4 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
w <math> | w <math>(0,\pm 1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} -16& 0\\ | ||
0& 8 | 0& 8 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
w <math> | w <math>(\pm 2,0)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\ | ||
0& -4 | 0& -4 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
wreszcie w <math> | wreszcie w <math>(\pm 2,1)</math> i <math>(\pm 2, -1)</math> postać <math>\left[\begin{array} {cc} 32& 0\\ | ||
0& 8 | 0& 8 | ||
\end{array} \right]</math>, | \end{array} \right]</math>, | ||
więc funkcja <math> | więc funkcja <math>f</math> nie ma ekstremów w punktach <math>(0, -1), (0,1), (2, | ||
0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math> | 0), (-2, 0)</math>, ale ma maksimum w punkcie <math>(0,0)</math> i ma minima w | ||
punktach <math> | punktach <math>(-2, -1),(-2, 1), (2, -1), (2, 1)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math> | b) Łatwo wyliczamy punkty krytyczne <math>(0,0)</math> i | ||
<math> | <math>\left(\frac94,\frac34\right)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2g</math> ma postać <math>\left[\begin{array} {cc} 2& -6\\ | ||
-6& | -6& 48y | ||
\end{array} \right]</math>. Funkcja <math> | \end{array} \right]</math>. Funkcja <math>g</math> | ||
ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math> | ma tylko jedno ekstremum -- minimum w punkcie <math> | ||
\left(\frac94,\frac34\right)</math>. | \left(\frac94,\frac34\right)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
c) Dla funkcji <math> | c) Dla funkcji <math>h</math> należy zrobić założenie <math>x\neq 0</math> i <math>y\neq 0</math>. | ||
Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest | Łatwo wyliczyć, że jedynym punkt krytycznym jest | ||
<math> | <math>(\frac{\sqrt[3]{2}}2, \sqrt[3]{2})</math> i że w tym punkcie funkcja | ||
<math> | <math>h</math> ma minimum (macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać | ||
<math> | <math>\left[\begin{array} {cc} \frac2{x^3}& 2\\ | ||
2& \frac4{y^3} | 2& \frac4{y^3} | ||
\end{array} \right]</math>). | \end{array} \right]</math>). | ||
Linia 385: | Linia 209: | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps"> | {{cwiczenie|8.3.|| | ||
sprowadza się do układu równań | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
<center><math> | |||
a) <math>f(x,y) = e^{2x}(x+y^2+2y)</math>, | |||
b) <math>g(x,y) = e^{x^2-y}(5-2x+y)</math>, | |||
c) <math>h(x,y) = \ln |x+y| -x^2-y^2</math>, | |||
d) <math>\phi(x,y) = x - 2y+ \ln \sqrt{x^2+y^2} + 3\mathrm{arctg}\, | |||
\frac{y}{x}</math>. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
a) Przy pochodnej cząstkowej <math>\frac{\partial^2 | |||
f}{\partial x^2}</math> warto zauważyć, że jeden z jej składników jest równy <math>2\frac{\partial f}{\partial x}</math>, zatem zeruje się w punktach krytycznych. | |||
b) Skorzystać ze wskazówki do podpunktu a) przy wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. | |||
d) Warto zapisać naszą funkcję w postaci <center><math>\phi(x,y) = x - 2y+ | |||
\frac12\ln (x^2+y^2) + 3\mathrm{arctg}\, \frac{y}{x}</math>,</center> | |||
łatwiej jest ją wtedy różniczkować. </div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum sprowadza się do układu równań | |||
<center><math> | |||
\left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0 | \left\{\begin{array} {l} e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)=0\\e^{2x}(2y+2)=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math> | którego rozwiązaniem jest tylko punkt <math>(\frac12,-1)</math>. Macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\ | \left[\begin{array} {cc} 2e^{2x}(2(x+y^2+2y)+1)+2e^{2x}& 2e^{2x}(2y+2)\\ | ||
2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x} | 2e^{2x}(2y+2)& 2e^{2x} | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
W naszym punkcie jest to macierz <math> | W naszym punkcie jest to macierz <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 2e& 0\\ | ||
0& 2e | 0& 2e | ||
\end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math> | \end{array} \right]</math>, zatem funkcja <math>f</math> ma w tym punkcie minimum. | ||
<br> | <br> | ||
b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego | b) Przekształcamy układ równań otrzymany z warunku koniecznego | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\ | \left\{\begin{array} {l} e^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]=0\\ | ||
e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0 | e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math> | zauważając, że z drugiego równania wynika, że <math>5-2x+y=1</math>. Stąd z | ||
pierwszego równania <math> | pierwszego równania <math>x=1</math>. Otrzymujemy jedyny punkt <math>(1, -2)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\ | \begin{align} | ||
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}= | \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}= | ||
2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\ | 2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\ | ||
Linia 423: | Linia 270: | ||
\frac{\partial^2 g}{\partial | \frac{\partial^2 g}{\partial | ||
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}. | ^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}. | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie | Pierwsze składniki każdej z nich zerują się w naszym punkcie | ||
krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej | krytycznym, zatem łatwo jest policzyć, że macierz drugiej | ||
różniczki <math> | różniczki <math>d_{(1,-2)}^2g</math> ma postać | ||
<math> | <math>\left[\begin{array} {cc} -2e^3& 2e^3\\ | ||
2e^3& -e^3 | 2e^3& -e^3 | ||
\end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math> | \end{array} \right]</math>. Stąd wnioskujemy, że <math>g</math> nie ma ekstremum. | ||
<br> | <br> | ||
c) Dziedziną funkcji <math> | c) Dziedziną funkcji <math>h</math> jest zbiór <math>\mathbb R^2\setminus \{(x,y): | ||
y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy | y=-x\}</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy | ||
układ równań | układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\ | \left\{\begin{array} {l} \frac1{x+y}-2x=0\\ | ||
\frac1{x+y}-2y=0 | \frac1{x+y}-2y=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
W szczególności <math> | W szczególności <math>x=y</math>, co po podstawieniu do pierwszego równania | ||
daje nam punkty <math> | daje nam punkty <math>(\frac12,\frac12)</math> i <math>(-\frac12,-\frac12)</math>. | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2h</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\ | \left[\begin{array} {cc} -\frac1{(x+y)^2}-2& -\frac1{(x+y)^2}\\ | ||
-\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2 | -\frac1{(x+y)^2}& -\frac1{(x+y)^2}-2 | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Stąd widać, że w obu punktach nasza funkcja ma maksimum. | Stąd widać, że w obu punktach nasza funkcja ma maksimum. | ||
<br> | <br> | ||
d) Funkcja <math> | d) Funkcja <math>\phi</math> jest zdefiniowana poza prostą <math>x=0</math>. Warunek | ||
konieczny daje nam układ równań | konieczny daje nam układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\ | \left\{\begin{array} {l} 1+\frac{x-3y}{x^2+y^2}=0\\ | ||
-2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0 | -2+\frac{y+3x}{x^2+y^2}=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Redukując wyrażenie <math> | Redukując wyrażenie <math>x^2+y^2</math>, otrzymujemy <math>y+3x=-2(x-3y)</math>, czyli | ||
<math> | <math>y=x</math>. Wracając pierwszego równania otrzymujemy jedno rozwiązanie | ||
<math> | <math>(1,1)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2\phi</math> jest | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} | \left[\begin{array} {cc} | ||
\frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}& | \frac{y^2-x^2+6xy}{(x^2+y^2)^2}& | ||
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\ | \frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\ | ||
\frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}& \frac{x^2-y^2-6xy}{(x^2+y^2)^2} | \frac{3y^2-3x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}& \frac{x^2-y^2-6xy}{(x^2+y^2)^2} | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math> | W naszym punkcie macierz ta przyjmuje postać <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ | \left[\begin{array} {cc} \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ | ||
-\frac{1}{2}& -\frac{3}{2} | -\frac{1}{2}& -\frac{3}{2} | ||
\end{array} \right]</math>, zatem <math> | \end{array} \right]</math>, zatem <math>\phi</math> nie ma ekstremum. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | {{cwiczenie|8.4.|| | ||
<center><math> | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
\left\{\begin{array} {l} 0= | |||
\sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\ | a) <math>f(x,y)= \sin{x}\sin{y}\sin(x+y)</math>, | ||
0= \sin{x}(\cos{y}\sin(x+y)+\sin{y}\cos(x+y))=\sin{x}\sin(2y+x) | |||
\end{array} \right. | b) <math>h(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos(x-y)</math> | ||
</math></center> | <br> | ||
w zbiorze <math>(0,\pi)^2</math>. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Warto pamiętać, że <math>\sin{\alpha}\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta =\sin(\alpha+\beta)</math>. | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Mamy do rozwiązania układ równań | |||
<center><math> | |||
\left\{\begin{array} {l} 0= | |||
\sin{y}(\cos{x}\sin(x+y)+\sin{x}\cos(x+y))=\sin{y}\sin(2x+y)\\ | |||
0= \sin{x}(\cos{y}\sin(x+y)+\sin{y}\cos(x+y))=\sin{x}\sin(2y+x) | |||
\end{array} \right.</math></center><br> | |||
Ponieważ <math> | Ponieważ <math>x,y\in(0,\pi)</math>, zatem <math>\sin{y}\neq 0</math> oraz | ||
<math> | <math>\sin(2x+y)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>2x+y=\pi</math> lub | ||
<math> | <math>2x+y=2\pi</math>. Wyliczamy stąd <math>y</math> i wstawiamy do drugiego równania, | ||
w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli | w którym również zerować może się tylko drugi czynnik. Jeśli | ||
<math> | <math>y=\pi-2x</math>, to <math>0=\sin(2\pi-3x)=-\sin{3x}</math>, czyli <math>x=\pi/3</math> lub | ||
<math> | <math>x=2\pi/3</math>. Jeśli <math>y=2\pi-2x</math>, otrzymujemy te same punkty. Wobec | ||
założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math> | założenia o dziedzinie punktami krytycznymi są <math> | ||
\left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math> | \left(\frac{\pi}3, \frac{\pi}3\right)</math> i <math>\left(\frac{2\pi}3, | ||
\frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math> | \frac{2\pi}3\right)</math>. Macierzą drugiej różniczki <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
jest | jest | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\ | \left[\begin{array} {cc} 2\sin{y}\cos(2x+y)& \sin(2x+2y)\\ | ||
\sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y) | \sin(2x+2y)& 2\sin{x}\cos(x+2y) | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Łatwo sprawdzić, że <math> | Łatwo sprawdzić, że <math>f</math> ma w <math>\left(\frac{\pi}3, | ||
\frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math> | \frac{\pi}3\right)</math> maksimum i w <math>\left(\frac{2\pi}3, | ||
\frac{2\pi}3\right)</math> minimum. | \frac{2\pi}3\right)</math> minimum. | ||
<br> | <br> | ||
b) Tym razem należy rozwiązać układ | b) Tym razem należy rozwiązać układ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} 0= | \left\{\begin{array} {l} 0= | ||
\cos{x}-\sin(x-y)\\ | \cos{x}-\sin(x-y)\\ | ||
0= -\sin{y}+\sin(x-y) | 0= -\sin{y}+\sin(x-y) | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Wynika stąd, że <math> | Wynika stąd, że <math>\sin{y}=\cos{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-x)</math>. Ponieważ | ||
<math> | <math>x,y\in (0,\pi)</math>, więc <math>y= \frac{\pi}{2}-x</math> lub <math>y= \pi- | ||
(\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt | (\frac{\pi}{2}-x)=\frac\pi2+x</math>. Otrzymujemy stąd jeden punkt | ||
krytyczny <math> | krytyczny <math>\left(\frac{\pi}3,\frac\pi6\right)</math>, w którym funkcja | ||
<math> | <math>h</math> osiąga maksimum. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | {{cwiczenie|8.5.|| | ||
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
a) <math>f(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}</math>, | |||
b) <math>g(x,y)= \sqrt[5]{x^4+y^4}</math>, | |||
c) <math>h(x,y)= x^5+y^5</math>. | |||
<br> | |||
Czy otrzymane ekstrema są też globalne? | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych. | |||
a) b) Jak wyglądają poziomice danych funkcji? c) Jak wygląda zbiór zer danej funkcji i jak dzieli on dziedzinę na obszary, na których funkcja ta jest dodatnia lub ujemna? | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Dla naszej funkcji nie istnieją | |||
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych, | pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w środku układu współrzędnych, | ||
a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na | a tam gdzie istnieją, nie zerują się. Zatem jedynym kandydatem na | ||
ekstremum jest punkt <math> | ekstremum jest punkt <math>(0,0)</math>. Zauważmy, że <math>f(0,0)=1</math> i | ||
<math> | <math>\sqrt{x^2+y^2}> 0</math> dla dowolnego punktu <math>(x,y)</math> na płaszczyźnie | ||
różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla | różnego od środka układu współrzędnych. W szczególności dla | ||
dowolnego <math> | dowolnego <math>(x,y)\neq (0,0)</math> mamy nierówność <math>f(x,y)<1</math>, co | ||
oznacza, że <math> | oznacza, że <math>f</math> ma maksimum globalne w <math>(0,0)</math>. Warto także | ||
zauważyć, że wykres funkcji <math> | zauważyć, że wykres funkcji <math>f</math> -- powierzchnia stożkowa -- | ||
powstaje przez obrót wykresu funkcji | powstaje przez obrót wykresu funkcji | ||
<math> | <math>z=\phi(x)=1-|x|=1-\sqrt{x^2}</math> dookoła osi <math>0z</math>. | ||
<br> | <br> | ||
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(a)|wykres]] | |||
<br> | <br> | ||
b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math> | b) Podobnie jak w poprzednim punkcie funkcja <math>g</math> ma niezerowe | ||
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu | pochodne cząstkowe pierwszego rzędu poza środkiem układu | ||
współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem | współrzędnych, gdzie te pochodne w ogóle nie istnieją. Tym razem | ||
<math> | <math>g(0,0)=0</math>, a dla <math>(x,y)\neq (0,0)</math> wartość <math>g(x,y)</math> jest | ||
dodatnia. Zatem w punkcie <math> | dodatnia. Zatem w punkcie <math>(0,0)</math> funkcja <math>g</math> ma globalne minimum. | ||
<br> | <br> | ||
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(b)|wykres]] | |||
<br> | <br> | ||
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math> | c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji <math>h</math> zerują się | ||
tylko w punkcie <math> | tylko w punkcie <math>(0,0)</math>, jednakże tym razem funkcja <math>h</math> nie ma | ||
ekstremum w punkcie <math> | ekstremum w punkcie <math>(0,0)</math>. Mamy bowiem <math>h(0,0)=0</math>, | ||
<math> | <math>h(a,0)=a^5>0</math> dla <math>a>0</math> i <math>h(a,0)=a^5<0</math> dla <math>a<0</math>, zatem | ||
dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i | dowolnie blisko środka układu współrzędnych funkcja przyjmuje i | ||
wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości | wartości dodatnie i ujemne, zatem i mniejsze i większe od wartości | ||
w tym punkcie. | w tym punkcie. | ||
<br> | |||
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych/Ćwiczenie 8.5.(c)|wykres]] | |||
<br> | <br> | ||
{ | </div></div> | ||
< | |||
{{cwiczenie|8.6.|| | |||
a) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)= | |||
(1+e^{x})\cos{y}+xe^x</math> ma nieskończenie wiele minimów, natomiast | |||
nie ma żadnego maksimum. | |||
b) Pokazać, że funkcja <math>f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2</math> nie ma minimum w | |||
punkcie <math>(0,0)</math>, ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej | |||
przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum | |||
w tym punkcie. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
Warto pamiętać, że <math>F(x)=e^x</math> przyjmuje tylko wartości dodatnie. | |||
b) Należy zbadać znak funkcji na osiach układu współrzędnych i w punktach postaci <math>(a,2a^2)</math>. Jak wygląda zacieśnienie funkcji do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum | |||
sprowadza się do układu | sprowadza się do układu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0 | \left\{\begin{array} {l} e^x(\cos{y}+1+x)=0\\-(1+e^x)\sin{y}=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Z drugiego równania wynika, że <math> | Z drugiego równania wynika, że <math>y=k\pi</math> dla pewnego <math>k\in\mathbb | ||
Z</math>. Jeśli <math> | Z</math>. Jeśli <math>k</math> jest parzyste, to z pierwszego równania <math>x=-2</math>, | ||
jeśli nieparzyste, to <math> | jeśli nieparzyste, to <math>x=0</math>. Tworzymy macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y)}^2f</math> | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\ | \left[\begin{array} {cc} e^x(\cos{y}+2+x)& -e^x\sin{y}\\ | ||
-e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y} | -e^x\sin{y}& -(1+e^x)\cos{y} | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Niech <math> | Niech <math>m</math> będzie dowolną liczbą całkowitą. W punkcie <math>(0, | ||
(2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać | (2m+1)\pi)</math> rozważana powyżej macierz ma postać | ||
<math> | <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} 1& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} 1& 0\\ | ||
0& 2 | 0& 2 | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math>, | ||
natomiast w punkcie <math> | natomiast w punkcie <math>(-2,2m\pi)</math> postać <math> | ||
\left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\ | \left[\begin{array} {cc} e^{-2}& 0\\ | ||
0& -(1+e^{-2}) | 0& -(1+e^{-2}) | ||
\end{array} \right] | \end{array} \right]</math>, | ||
</math> | zatem funkcja <math>f</math> ma minimum w każdym punkcie postaci | ||
zatem funkcja <math> | <math>(0,(2m+1)\pi)</math>, a nie ma ekstremum w żadnym z punktów postaci | ||
<math> | <math>(-2,2m\pi)</math>. | ||
<math> | |||
b) Zauważmy, że <math> | b) Zauważmy, że <math>f(0,0)=0</math> oraz <math>f(0,b)=b^2>0</math> dla dowolnej | ||
niezerowej liczby <math> | niezerowej liczby <math>b</math>. Z drugiej strony | ||
<math> | <math>f(a,2a^2)=3a^4-8a^4+4a^4=-a^4<0</math> dla dowolnej niezerowej liczby | ||
<math> | <math>a</math>. Z tych dwóch faktów funkcja nie może mieć minimum w swoim | ||
miejscu zerowym <math> | miejscu zerowym <math>(0,0)</math>, bo dowolnie blisko tego miejsca przyjmuje | ||
zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie | zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Widzimy, że zawężenie | ||
funkcji <math> | funkcji <math>f</math> do prostej <math>x=0</math>, czyli funkcja <math>g(y)=f(0,y)=y^2</math>, ma | ||
globalne minimum w punkcie <math> | globalne minimum w punkcie <math>0</math>. Podobnie dla dowolnego | ||
<math> | <math>m\in\mathbb R</math> zawężenie funkcji <math>f</math> do prostej <math>y=mx</math>, czyli | ||
funkcja <math> | funkcja <math>h_m(x)=f(x,mx)= 3x^4 -4mx^3+m^2x^2</math>, ma minimum w | ||
punkcie <math> | punkcie <math>0</math> (zob. ćwiczenia z Analizy matematycznej I do modułu | ||
10). | 10). | ||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps"> | {{cwiczenie|8.7.|| | ||
pierwszego funkcji <math> | Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | ||
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum | |||
otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math> | a) <math>f(x,y,z)= x^4-y^3+2z^3-2x^2+6y^2-3z^2</math>, | ||
<math> | |||
4,0), | b) <math>g(x,y,z)=x^3+xy+y^2-2zx+2z^2+3y-1</math>, | ||
Macierz drugiej różniczki <math> | |||
<center><math> | c) <math>h(x,y,z)=xyz(4-x-y-z)</math>. | ||
\left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\ | |||
0&0&12z-6\end{array} \right] | }} | ||
</math></center> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
a) Warto skorzystać ze wskazówki [[#cw_8_1|ćwiczenia 8.1.]] a). | |||
c) Zwróćmy uwagę, że funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Najpierw należy pokazać, że w żadnym z punktów trzech pierwszych płaszczyzn funkcja <math>h</math> nie osiąga ekstremum, bo dowolnie blisko każdego takiego punktu przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. (Ten fakt jest też prawdziwy dla ostatniej płaszczyzny, ale sprawdzenie tego nie jest konieczne, co będzie widoczne w dalszym postępowaniu). Następnie szukamy punktów krytycznych pod założeniem <math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. | |||
</div></div> | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji <math>f</math> zależy tylko od tej zmiennej, względem | |||
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań <math>4x^3-4x=0</math>, <math>-3y^2+12y=0</math> i <math>6z^2-6z=0</math>. Punkty krytyczne zatem to <math>(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(-1,0,0), (-1,0,1), (0, | |||
4,0), (0,4,1), (1,4,0), (1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>, <math>(-1,4,1)</math>. | |||
Macierz drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2f</math> ma postać | |||
<center><math> | |||
\left[\begin{array} {ccc}12x^2-4&0&0\\0&-6y+12&0\\ | |||
0&0&12z-6\end{array} \right]</math></center> | |||
Wobec tego w punkcie <math> | Wobec tego w punkcie <math>(0,0,0)</math> macierzą tą jest <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,0,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm1,0,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, w <math>(0,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}-4&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math> | 0&0&6\end{array} \right]</math>, w <math>(\pm 1,4,0)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math> | 0&0&-6\end{array} \right]</math>, wreszcie w <math>(\pm 1,4,1)</math> - <math>\left[\begin{array} {ccc}8&0&0\\0&-12&0\\ | ||
0&0&6\end{array} \right]</math>. | 0&0&6\end{array} \right]</math>. | ||
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math> | Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja <math>f</math> ma minima | ||
w punktach <math> | w punktach <math>(1,0,1)</math> i <math>(-1,0,1)</math> i maksimum w punkcie <math>(0,4,0)</math> | ||
oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji. | oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji. | ||
<br> | <br> | ||
b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu | b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
3x^2+y-2z=0\\ | 3x^2+y-2z=0\\ | ||
x+2y+3=0\\ | x+2y+3=0\\ | ||
-2x+4z=0 | -2x+4z=0 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math> | którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb <math>(-\frac12, | ||
-\frac54,-\frac14)</math> i <math> | -\frac54,-\frac14)</math> i <math>(1,-2,\frac12)</math>. Macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y,z)}^2g</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\ | \left[\begin{array} {ccc}6x&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right] | -2&0&4\end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-3&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm | -2&0&4\end{array} \right]= -36\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
det}\left[\begin{array} {cc}-3&1\\1&2\end{array} \right]=-7 | det}\left[\begin{array} {cc}-3&1\\1&2\end{array} \right]=-7</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
funkcja <math> | funkcja <math>g</math> nie ma ekstremum w punkcie <math>(-\frac12, | ||
-\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec | -\frac54,-\frac14)</math>, natomiast wobec | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}6&1&-2\\1&2&0\\ | ||
-2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det} | -2&0&4\end{array} \right]= 36\quad {\rm i}\quad {\rm det} | ||
\left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11 | \left[\begin{array} {cc}6&1\\1&2\end{array} \right]=11 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja | funkcja <math>g</math> ma minimum w punkcie <math>(1,-2,\frac12)</math>. | ||
<math> | |||
<br> | <br> | ||
c) Funkcja <math> | c) Funkcja <math>h</math> zeruje się na czterech płaszczyznach: <math>x=0</math>, <math>y=0</math>, <math>z=0</math> i <math>x+y+z=4</math>. Pokażmy najpierw, że w żadnym punkcie pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt <math>(x_0,y_0,z_0)</math> leżący na płaszczyźnie <math>x=0</math> oraz zdefiniujmy funkcję <math>s(x,y,z)=yz(4-x-y-z)</math>. Mamy <math>x_0=0</math>. Ponieważ częścią wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc | ||
<math> | dowolnie blisko punktu <math>(x_0,y_0,z_0)</math> możemy znaleźć taki punkt <math>(x_1,y_1,z_1)</math>, że <math>x_1=0</math> oraz <math>s(x_1,y_1,z_1)\neq 0</math>. Niech np. <math>s(x_1,y_1,z_1)> 0</math> (drugi przypadek jest symetryczny). Z ciągłości funkcji <math>s</math> dla dostatecznie małej liczby dodatniej <math>\delta</math> zachodzi <math>s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>s(-\delta, y_1,z_1)>0</math> (bo <math>x_1=0</math>). Ale wtedy <math>h(\delta, y_1,z_1)=\delta s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math>h(-\delta, y_1,z_1)=-\delta s(-\delta, y_1,z_1)<0</math>, zatem funkcja <math>h</math> nie ma minimum w punkcie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> (bo jest to miejsce zerowe, a dowolnie blisko tego miejsca funkcja <math>h</math> przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn <math>y=0</math> i | ||
pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt | <math>z=0</math>. | ||
<math> | |||
funkcję <math> | |||
wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc | |||
dowolnie blisko punktu <math> | |||
<math> | |||
<math> | |||
ciągłości funkcji <math> | |||
<math> | |||
y_1,z_1)>0</math> (bo <math> | |||
s(\delta, y_1,z_1)>0</math> oraz <math> | |||
y_1,z_1)<0</math>, zatem funkcja <math> | |||
<math> | |||
miejsca funkcja <math> | |||
ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn <math> | |||
<math> | |||
Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem | Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem | ||
<math> | <math>x\neq 0, y\neq 0, z\neq 0</math>. Wtedy warunek konieczny istnienia | ||
ekstremum prowadzi do układu Cramera | ekstremum prowadzi do układu Cramera | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
2x+y+z=4\\ | 2x+y+z=4\\ | ||
x+2y+z=4\\ | x+2y+z=4\\ | ||
x+y+2z=4 | x+y+2z=4 | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math> | którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb <math>(1,1,1)</math>. Macierz | ||
drugiej różniczki <math> | drugiej różniczki <math>d_{(x,y,z)}^2h</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\ | \left[\begin{array} {ccc}-2yz&z(4-2x-2y-z)&y(4-2x-y-2z)\\z(4-2x-2y-z)&-2xz&x(4-x-2y-2z)\\ | ||
y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right] | y(4-2x-y-2z)&x(4-x-2y-2z)&-2xy\end{array} \right]</math></center> | ||
</math></center> | |||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}-2&-1&-1\\-1&-2&-1\\ | ||
-1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm | -1&-1&-2\end{array} \right]= -4\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
det}\left[\begin{array} {cc}-2&-1\\-1&-2\end{array} \right]=3 | det}\left[\begin{array} {cc}-2&-1\\-1&-2\end{array} \right]=3 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
funkcja <math> | funkcja <math>h</math> ma maksimum w punkcie <math>(1,1,1)</math>. Jest to jedyne | ||
ekstremum tej funkcji. | ekstremum tej funkcji. | ||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.8.|| | |||
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
<center><math> | |||
f(x,y,z)= 4-x^2-\frac{y}x-\frac{z^2}y-\frac1z</math></center> | |||
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji | |||
<center><math> | |||
\Phi(x,y,z)=\sin(x+y+z)-\sin{x}-\sin{y}-\sin{z} | |||
</math></center> | |||
w zbiorze | |||
<math>(0,\pi)^2</math>. }} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
Należy poszukać punktów krytycznych i zastosować kryterium Sylvestera do macierzy drugiej różniczki. | |||
b) W wyliczaniu punktów krytycznych przyda się tożsamość trygonometryczna - wzór na różnicę cosinusów. | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
Otrzymany z warunku koniecznego układ równań | a) Zakładamy, że <math>x,y,z\neq 0</math>. Otrzymany z warunku koniecznego układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
-2x+\frac{y}{x^2}=0\\ | -2x+\frac{y}{x^2}=0\\ | ||
-\frac{1}x+\frac{z^2}{y^2}=0\\ | -\frac{1}x+\frac{z^2}{y^2}=0\\ | ||
-2\frac{z}y+\frac1{z^2}=0\end{array} \right. | -2\frac{z}y+\frac1{z^2}=0\end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
ma jedyne rozwiązanie | ma jedyne rozwiązanie - punkt <math> | ||
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | \left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | ||
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} | ||
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= | \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= | ||
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= | -2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= | ||
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\ | -2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\ | ||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0 | \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0 | ||
\ | \end{align}</math></center> | ||
i budujemy macierz drugiej różniczki | i budujemy macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2, | ||
\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym | \frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)}^2f</math> w tym | ||
punkcie, która ma postać | punkcie, która ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\ | A=\left[\begin{array} {ccc}-6&2\sqrt[3]{2}&0\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}&4\sqrt[3]{2}\\ | ||
0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right] | 0&4\sqrt[3]{2}&-12\end{array} \right]</math>.</center> | ||
Mamy det<math> | Mamy det<math>A=-144\sqrt[3]{4}<0</math>, | ||
det<math> | det<math>\left[\begin{array} {cc}-6&2\sqrt[3]{2}\\2\sqrt[3]{2}&-4\sqrt[3]{4}\end{array} \right]= | ||
20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math> | 20\sqrt[3]{4}>0</math> oraz <math>-6<0</math>. Zatem z kryterium Sylvestera | ||
funkcja <math> | funkcja <math>f</math> ma maksimum w punkcie | ||
<math> | <math>\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>. | ||
<br> | <br> | ||
b) Otrzymujemy układ równań | b) Otrzymujemy układ równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
\cos(x+y+z)=\cos{x}\\ | \cos(x+y+z)=\cos{x}\\ | ||
\cos(x+y+z)=\cos{y}\\ | \cos(x+y+z)=\cos{y}\\ | ||
\cos(x+y+z)=\cos{z} | \cos(x+y+z)=\cos{z} | ||
\end{array} \right. | \end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
W szczególności <math> | W szczególności <math>\cos{x}=\cos y= \cos z</math>, czyli <math>x=y=z</math>, ponieważ | ||
<math> | <math>x,y,z\in (0,\pi)</math>. Zatem <math>0=\cos{3x}-\cos{x}=-2\sin{2x}\sin{x}</math>, | ||
a stąd <math> | a stąd <math>x=\frac{\pi}{2}</math>. Macierz drugiej różniczki | ||
<math> | <math>d_{(x,y,z)}^2\Phi</math> ma postać | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | \left[\begin{array} {ccc}\sin{x}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | ||
-\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | -\sin(x+y+z)&\sin{y}-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\ | ||
-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&\sin{z}-\sin(x+y+z)\end{array} \right] | -\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&\sin{z}-\sin(x+y+z)\end{array} \right]</math>.</center> | ||
Ponieważ | Ponieważ | ||
<center><math> | <center><math> | ||
{\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\ | {\rm det}\left[\begin{array} {ccc}2&1&1\\1&2&1\\ | ||
1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm | 1&1&2\end{array} \right]= 4\quad {\rm i}\quad {\rm | ||
det}\left[\begin{array} {cc}2&1\\1&2\end{array} \right]=3, | det}\left[\begin{array} {cc}2&1\\1&2\end{array} \right]=3</math>,</center> | ||
funkcja <math>\Phi</math> ma w punkcie | |||
<math>(\frac{\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)</math> minimum. | |||
</div></div> | |||
{{cwiczenie|8.9.|| | |||
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby | |||
dodatnie <math>a</math> i <math>b</math> (<math>a\leq b</math>) wstawić liczby dodatnie | |||
<math>x_1,\ldots,x_n</math> tak, aby ułamek | |||
<center><math>f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{x_1x_2...x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)} | |||
</math></center> | </math></center> | ||
miał największą wartość. | |||
}} | |||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | |||
<math>\ | Przyrównując pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera należy pamiętać, że dziedziną naszej funkcji jest przedział <math>(0,+\infty)</math>. Wychodząc z układu równań otrzymanego z warunku koniecznego istnienia ekstremum, proszę | ||
wyrazić zależność między kolejnymi punktami <math>a, x_1, x_2,\ldots, x_n, b</math> za pomocą liczby <math>q=\frac{x_1}{a}</math>. Jakiego rodzaju jest to zależność? | |||
By pokazać, że funkcja osiąga maksimum globalne w punkcie krytycznym, rozważamy najpierw prosty przypadek <math>n=1</math> (mamy wtedy funkcję jednej zmiennej rzeczywistej). Następnie, jeśli <math>n>1</math> | |||
ustalamy dowolne <math>n-1</math> zmiennych i rozważamy zacieśnienie naszej funkcji do półprostej -- mamy wtedy znowu funkcję jednej zmiennej. Co o niej możemy powiedzieć? Jak z tego wywnioskować naszą tezę? | |||
</div></div> | </div></div> | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
funkcją <math> | Zauważmy, że <math>f</math> jest dobrze zdefiniowaną funkcją <math>n</math> zmiennych dodatnich. Jeśli przyjmiemy oznaczenia | ||
<center><math> | <center><math> | ||
x'=(x_2, | x'=(x_2,\ldots,x_n)\quad {\rm i} \quad p(x')= (x_2+x_3)...(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
to | to | ||
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math> | licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>f</math> po <math>x_1</math> wyraża się | ||
wzorem | wzorem | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} | ||
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x') | x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x') | ||
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\= | -x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\= | ||
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]= | x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]= | ||
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2), | x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2), | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math> | zatem zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ax_2-x_1^2=0</math>. | ||
Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych uzyskamy układ | Postępując analogicznie dla pozostałych zmiennych, uzyskamy układ | ||
równań | równań | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\left\{\begin{array} {l} | \left\{\begin{array} {l} | ||
ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\ | ax_2-x_1^2=0\\x_1x_3-x_2^2=0\\\vdots\\x_{n-2}x_n-x_{n-1}^2=0\\ | ||
x_{n-1}b-x_n^2=0\end{array} \right. | x_{n-1}b-x_n^2=0\end{array} \right.</math></center> | ||
</math></center> | |||
Przekształcając te równania i porównując je otrzymamy zależność | Przekształcając te równania i porównując je, otrzymamy zależność | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}= | \frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=...=\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}}= | ||
\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}} | \frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{b}{x_{n}}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
co oznacza, że ciąg | co oznacza, że ciąg | ||
<math> | <math>a,x_1,x_2,\ldots,x_n,b</math> jest geometryczny o ilorazie <math> | ||
q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math> | q=\frac{x_1}{a}</math>. W konsekwencji <math>b=aq^{n+1}</math> i stąd | ||
<math> | <math>q=\sqrt[n+1]{\frac ba}</math>. Punktem krytycznym jest zatem | ||
<center><math> | <center><math> | ||
M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2}, | M(\sqrt[n+1]{a^nb}, \sqrt[n+1]{a^{n-1}b^2}, | ||
\sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3}, | \sqrt[n+1]{a^{n-2}b^3},\ldots,\sqrt[n+1]{a^2b^{n-1}}, | ||
\sqrt[n+1]{ab^n}) | \sqrt[n+1]{ab^n}) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
oraz | oraz | ||
<center><math>\ | <center><math>\begin{align} | ||
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}} | f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}} | ||
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+ | {\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+ | ||
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\= | \sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\= | ||
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}. | \frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}. | ||
\ | \end{align} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu | Wystarczy jeszcze pokazać, że dla dowolnego punktu | ||
<math> | <math>P(x_1,\ldots,x_n)\in (0,+\infty)^n</math> różnego od punktu <math>M</math> zachodzi | ||
<math> | <math>f(M)>f(P)</math>. Zanim to udowodnimy, zauważmy, że (co wynika jeszcze z | ||
układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt | układu równań uzyskanego z warunku koniecznego ekstremum) punkt | ||
<math> | <math>P(x_1,\ldots,x_k)=M</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <center><math> | ||
x_1=\sqrt{ax_2}, | x_1=\sqrt{ax_2}, | ||
x_2=\sqrt{x_1x_3}, | x_2=\sqrt{x_1x_3},\ldots,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | ||
x_n=\sqrt{x_{n-1}b} | x_n=\sqrt{x_{n-1}b}</math></center> | ||
</math></center> | |||
Rozważmy teraz przypadek <math> | Rozważmy teraz przypadek <math>n=1</math>. Szukamy wtedy maximum funkcji | ||
<math> | <math>h(x)=\frac{x}{(a+x)(x+b)}</math> jednej zmiennej | ||
dodatniej <math> | dodatniej <math>x</math>. Z powyższego rozumowania wiemy, że punktem | ||
krytycznym jest punkt <math> | krytycznym jest punkt <math>\sqrt{ab}</math>. Chcemy teraz pokazać, że | ||
<math> | <math>h(x)<h(\sqrt{ab})</math> dla dowolnego | ||
<math> | <math>x\in(0,\sqrt{ab})\cup(\sqrt{ab}, +\infty)</math>. Można to udowodnić, | ||
wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej | wykorzystując rachunek różniczkowy jednej zmiennej rzeczywistej | ||
(zachęcamy do tego ćwiczenia | (zachęcamy do tego ćwiczenia jako przypomnienia z Analizy | ||
matematycznej | matematycznej I), ale można też zrobić to bardziej elementarnie. | ||
Mamy mianowicie <math> | Mamy mianowicie <math>(x-\sqrt{ab})^2\geq 0</math> dla dowolnej liczby | ||
rzeczywistej <math> | rzeczywistej <math>x</math>, a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy | ||
<math> | <math>x=\sqrt{ab}</math>. Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy kolejno | ||
<math> | <math>x^2+ab\geq 2\sqrt{ab}x</math>, a stąd <math>ax+x^2+ab +bx\geq | ||
(a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math> | (a+2\sqrt{ab}+b)x</math>, czyli <math>(a+x)(x+b)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2x</math>, | ||
co jest równoważne nierówności <math> | co jest równoważne nierówności <math>h(x)\leq h(\sqrt{ab})</math> i równość | ||
zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math> | zachodzi dokładnie wtedy, gdy <math>x=\sqrt{ab}</math>, co dowodzi naszej | ||
tezy w tym przypadku. | tezy w tym przypadku. | ||
Teraz, jeśli <math> | Teraz, jeśli <math>n</math> jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, | ||
ustalmy dowolną liczbę <math> | ustalmy dowolną liczbę <math>k\in\{1,2,\ldots,n\}</math> oraz <math>n-1</math> dowolnie | ||
wybranych liczb dodatnich <math> | wybranych liczb dodatnich <math>x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots, x_n</math> i | ||
rozważmy funkcję | rozważmy funkcję | ||
<center><math> | <center><math>g(x)=f(x_1,x_2,\ldots,x_{k-1},x,x_{k+1},\ldots,x_n)</math>.</center> | ||
Zauważmy, że | Zauważmy, że | ||
jest to funkcja <math> | jest to funkcja <math>h</math> z poprzedniego przypadku, dla przedziału | ||
<math> | <math>(x_{k-1},x_{k+1})</math> (lub <math>(x_{k+1},x_{k-1})</math>, jeśli liczba | ||
<math> | <math>x_{k+1}</math> jest mniejsza od <math>x_{k-1}</math>), pomnożona przez stałą | ||
dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math> | dodatnią. Zatem z poprzedniego rozumowania funkcja <math>g</math> osiąga | ||
silne maksimum w punkcie <math> | silne maksimum w punkcie <math>x_k=\sqrt{x_{k-1}x_{k+1}}</math>. Zatem | ||
ogólnie funkcja <math> | ogólnie funkcja <math>f</math> osiąga silne maksimum w punkcie | ||
<math> | <math>P(x_1,\ldots,x_k)</math>, dokładnie wtedy, gdy zachodzą związki | ||
<center><math> | <center><math> | ||
x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3}, | x_1=\sqrt{ax_2}, x_2=\sqrt{x_1x_3},\ldots,x_{n-1}=\sqrt{x_{n-2}x_n}, | ||
x_n=\sqrt{x_{n-1}b} | x_n=\sqrt{x_{n-1}b}</math>,</center> | ||
</math></center> | czyli dokładnie wtedy, gdy <math>P=M</math>. | ||
czyli dokładnie wtedy, gdy <math> | |||
</div></div> | </div></div> |
Aktualna wersja na dzień 21:56, 15 wrz 2023
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .
d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .
Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
c) .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.
b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.
Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a) ,
b) ,
c) .
Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek
miał największą wartość.