Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Wykład 9: Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:46, 11 wrz 2023

Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne

Centralną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce pełni tak zwany rozkład normalny. Związane jest z nim słynne twierdzenie nazywane centralnym twierdzeniem granicznym. Na jego podstawie można w wielu sytuacjach zakładać, że zmienna losowa, którą jesteśmy właśnie zainteresowani, ma rozkład normalny.

Rozkład normalny

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Zobacz biografię

Chyba najważniejszym ze znanych rozkładów jest tak zwany rozkład normalny, określany niekiedy jako rozkład Gaussa.

Rozkład $P$ nazywamy rozkładem normalnym, jeżeli istnieją takie liczby rzeczywiste $m$ oraz $σ > 0$ , że funkcja $f : ℝ ⟶ ℝ$ , określona wzorem:

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x - m}{σ})^{2}} dla x \in ℝ$ ,

jest gęstością tego rozkładu.

Stosowana w tym przypadku notacja jest następująca: $N (m, σ)$ oznacza rozkład normalny o parametrach $m$ oraz $σ$ - jego dystrybuantę oznaczamy przez $Φ_{m, σ}$ . Wykres gęstości rozkładu normalnego nosi nazwę krzywej Gaussa.

Poniższy wykres przedstawia gęstości rozkładów $N (20, 1)$ , $N (20, 2)$ i $N (20, 3)$ , przy czym mniejszym wartościom $σ$ odpowiada bardziej stromy wykres.

<flash>file=Rp.1.91.swf|width=350|height=350</flash>

Znaczenie parametru $σ$ ilustruje też następująca animacja (tutaj $m = 20$ ):

Kolejny wykres przedstawia gęstości rozkładów $N (15, 3)$ , $N (20, 3)$ i $N (25, 3)$ .

<flash>file=Rp.1.92.swf|width=350|height=350</flash>

Aby jeszcze lepiej uzmysłowić sobie znaczenie parametru $m$ , proponujemy uruchomić następującą animację ( $σ = 2$ ):

Dystrybuantę $Φ_{0, 1}$ oznaczamy krótko przez $Φ$ . Wyraża się więc ona następującym wzorem:

$Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{1}{2} t^{2}} d t$ (9.1)

Poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu $N (0, 1)$ , który nazywamy standardowym rozkładem normalnym. Zauważmy, że zakreskowany obszar posiada pole równe $Φ (1)$ .

<flash>file=Rp.1.93.swf|width=350|height=350</flash>

Wartości dystrybuanty $Φ$ zostały stablicowane oraz są dostępne w wielu komputerowych programach matematycznych lub statystycznych. Oczywiście, pakiety statystyczne programu Maple zawierają odpowiednie procedury (jakie?).

Zwróćmy uwagę na dwie własności funkcji $Φ$ ,posiadające (przede wszystkim) rachunkowe znaczenie. Wynikają one bezpośrednio ze wzoru na 9.1 $Φ_{0, 1}$ i mają oczywistą interpretację geometryczną (ćwiczenie). Mianowicie:

Φ (0) = \frac{1}{2} oraz Φ (x) = 1 - Φ (- x) dla każdego x \in ℝ

oraz

Φ^{- 1} (α) = - Φ^{- 1} (1 - α) dla każdego α \in [0, 1]

Użyteczność powyższych wzorów można zaobserwować zwłaszcza wtedy, gdy nie dysponujemy odpowiednim pakietem komputerowym czy kalkulatorem, ale są one także ważne przy pewnych przekształceniach. Podobnie następna równość, którą można otrzymać stosując prostą zmianę zmiennych (patrz wykład z Analizy matematycznej), pozwala za pomocą $Φ$ obliczać dystrybuanty $Φ_{m, σ}$ dla pozostałych parametrów $m$ i $σ$ . Mianowicie:

$Φ_{m, σ} (x) = Φ (\frac{x - m}{σ})$ (9.2)

Parametry $m$ i $σ$ mają bardzo wyraźną interpretację probabilistyczną. Okazuje się bowiem, iż nadzieja matematyczna oraz wariancja w rozkładzie $N (m, σ)$ wyrażają się wzorami:

𝔼 (X) = m, 𝔻^{2} (X) = σ^{2}

Zauważmy też, że $m$ jest punktem, w którym gęstość rozkładu $N (m, σ)$ osiąga wartość największą, prosta $x = m$ jest osią symetrii jej wykresu, zaś punkty $m - σ$ i $m + σ$ - punktami przegięcia (patrz wykład z Analizy matematycznej).

Przykład 9.1

r_{k} = P (m - k σ, m + k σ) dla k = 1, 2, 3

gdzie $P$ jest rozkładem $N (m, σ)$ . Otrzymujemy:

r_{k} = Φ_{m, σ} (m + k σ) - Φ_{m, σ} (m - k σ) = Φ (k) - Φ (- k) = 2 Φ (k) - 1

Korzystając z tablic lub z komputera, bez trudu dostajemy:

r 1 \approx 0.682689492, r 2 \approx 0.954499736, r 3 \approx 0.997300204

Tak więc szansa znajdowania się poza przedziałem $(m - 3 σ, m + 3 σ)$ wynosi istotnie mniej niż $1 %$ . Im mniejszy jest parametr $σ$ , tym bardziej rozkład $N (m, σ)$ jest "skupiony w okolicy" punktu $x = m$ .

Dystrybuanta $Φ$ rozkładu normalnego $N (0, 1)$ (w tablicy podano wartości $Φ (x)$ dla $x \in [0, 3.09]$ ).


$x$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990

Jak powyżej wspomnieliśmy, rozkład normalny jest bardzo ważnym rozkładem. Dzieje się tak między innymi dlatego, że wiele zjawisk przyrodniczych, społecznych i innych przebiega zgodnie z tym rozkładem. Ma on również olbrzymie znaczenie teoretyczne. Poniżej przedstawiamy tak zwane centralne twierdzenie graniczne, które częściowo wyjaśnia znaczenie rozkładu normalnego. Twierdzenie to gwarantuje, że (pod pewnymi dość naturalnymi założeniami) suma dużej ilości niezależnych zmiennych losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny. Na zakończenie tego punktu wypowiemy jeszcze jedno ważne twierdzenie dotyczące rozkładu normalnego.

Twierdzenie 9.2

Niech $X_{1}$ oraz $X_{2}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, odpowiednio $N (m_{1}, σ_{1})$ oraz $N (m_{2}, σ_{2})$ .

Wtedy:

$X_{1} + X_{2} \sim N (m_{1} + m_{2}, \sqrt{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}})$ ,
$a X_{1} + b \sim N (a m_{1} + b, | a | σ_{1})$ dla wszystkich $a, b \in ℝ$ .

Centralne twierdzenie graniczne

Prawa wielkich liczb mówią o zbieżności średnich arytmetycznych, interpretowanych czasem jako średnie czasowe, niezależnych zmiennych losowych. Twierdzenia te mają olbrzymią wartość poznawczą, jednak ich wartość praktyczna jest nieco mniejsza. W szczególności, prawa wielkich liczb nie dają żadnej informacji o rozkładzie sumy zmiennych losowych, podczas gdy w wielu konkretnych zagadnieniach znajomość rozkładu ma podstawowe znaczenie. Właśnie centralne twierdzenie graniczne pozwala rozwiązać ten problem. Jak już wspominaliśmy, wynika z niego, że suma niezależnych zmiennych losowych spełniających zupełnie naturalne warunki ma w przybliżeniu rozkład normalny.

Ze względu na wagę centralnego twierdzenia granicznego wypowiemy je w trzech wersjach. Pierwsza z nich - do niedawna najczęściej używana - ma w dobie komputerów mniejsze znaczenie praktyczne,jednak w dalszym ciągu jest najbardziej popularna.

Założenie.

$(Ω, Σ, P)$ jest przestrzenią probabilistyczną, zaś $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots$ - ciągiem niezależnych zmiennych losowych określonych na $Ω$ . Wszystkie zmienne losowe $X_{i}$ mają taki sam rozkład, a ich wspólna nadzieja matematyczna $m$ oraz wariancja $σ^{2}$ istnieją i są skończone, przy czym $σ > 0$ (ten ostatni warunek oznacza, że zmienne losowe nie są stałymi). Jak zawsze oznaczamy:

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

Będziemy badać najpierw zbieżność tak zwanych sum standaryzowanych, a dopiero potem wyciągniemy wnioski dotyczące samych sum $S_{n}$ oraz średnich $\frac{S_{n}}{n}$ .

Zmienną losową:

Z_{n} : = \frac{S_{n} - E (S_{n})}{\sqrt{D^{2} (S_{n})}} = \frac{S_{n} - n m}{σ \sqrt{n}}

nazywamy standaryzacją sumy $S_{n}$ . Jak łatwo zauważyć:

E (Z_{n}) = 0 oraz D^{2} (Z_{n}) = 1

Twierdzenie 9.3 [Lindeberga-Levy'ego]

Dla każdego $x \in ℝ$ zachodzi równość:

\lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \leq x) = Φ (x)

,

gdzie $Φ$ jest dystrybuantą rozkładu $N (0, 1)$ .

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest długi i skomplikowany, więc nie przytaczamy go tutaj.

Twierdzenie Lindeberga-Levy'ego można wypowiedzieć w wersjach bardziej naturalnych - bez używania standaryzacji $Z_{n}$ .

Twierdzenie 9.4 [Centralne tw. graniczne dla sum]

Rozkład zmiennej losowej $S_{n}$ jest asymptotycznie równy rozkładowi $N (n m, σ \sqrt{n})$ . Inaczej:

\lim_{n \to \infty} (F_{S_{n}} (x) - Φ_{n m, σ \sqrt{n}} (x)) = 0

,

dla

x \in ℝ

.

Twierdzenie 9.5 [Centralne tw. graniczne dla średnich]

Rozkład zmiennej losowej $\frac{S_{n}}{n}$ jest asymptotycznie równy rozkładowi $N (m, \frac{σ}{\sqrt{n}})$ . Inaczej:

\lim_{n \to \infty} (F_{\frac{S_{n}}{n}} (x) - Φ_{m, \frac{σ}{\sqrt{n}}} (x)) = 0

,

dla

x \in ℝ

.

Przykład 9.6.

Zinterpretujemy twierdzenie, mówiące o rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych. Wyobraźmy sobie eksperyment polegający na wielokrotnym rzucie kostką do gry. Suma uzyskanych oczek $S$ jest zmienną losową mającą, zgodnie z cytowanym twierdzeniem, w przybliżeniu rozkład $N (n m, σ \sqrt{n})$ , gdzie $m$ oraz $σ$ są odpowiednio nadzieją matematyczną oraz odchyleniem standardowym zmiennej losowej $X$ , reprezentującej wynik pojedynczego rzutu, a $n$ jest liczbą wykonanych prób. Ponieważ $X$ ma rozkład dyskretny, skupiony w punktach $1, 2, 3, 4, 5, 6$ przyjmowanych z jednakowym prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}$ , więc bez trudu można stwierdzić, że:

m = 3.5 oraz σ = \frac{\sqrt{105}}{6} \approx 1.7078251

Przypuśćmy, że wykonano 1000 rzutów ( $n = 1000$ ). Wówczas suma $S_{1000}$ ma w przybliżeniu rozkład $N (3500, 54, 00617)$ .

Zweryfikujmy "doświadczalnie" uzyskany wynik. W tym celu można przeprowadzić symulację tysiąca rzutów kostką za pomocą komputera, uzyskując odpowiednią wartość sumy wszystkich uzyskanych oczek. Doświadczenie to powtórzymy 400 razy, uzyskując $400$ wartości sumy oczek. Poniżej przytaczamy kod programu Maple, umożliwiający przeprowadzenie takiej symulacji.

 > kostka := rand(1..6):
 > k := 400: n := 1000: lista := NULL:
 > from 1 to k do
 > S := 0:
 > from 1 to n do
 > S := S + kostka():
 > od:
 > lista := lista,S
 > od:

Aby graficznie zinterpretować otrzymane dane, najpierw sporządzamy odpowiedni szereg rozdzielczy (rozważamy 18 klas):

 > dane := stats[transform,tallyinto['skrajne']]([lista],
 > [seq(3320 + (i - 1)*20..3320 + i*20, i = 1..18)]);

         dane := [Weight(3480 .. 3500,55),
         Weight(3560 .. 3580,33), Weight(3660 .. 3680,0),
         Weight(3340 .. 3360,5), Weight(3540 .. 3560,31),
         Weight(3640 .. 3660,4), Weight(3360 .. 3380,2),
         Weight(3520 .. 3540,43), Weight(3420 .. 3440,28),
         Weight(3620 .. 3640,4), Weight(3460 .. 3480,53),
         Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,66),
         Weight(3600 .. 3620,10), Weight(3380 .. 3400,8),
         Weight(3400 .. 3420,13), Weight(3440 .. 3460,28),
         Weight(3580 .. 3600,17)];

Sprawdzamy, czy są sumy, które nie zostały uwzględnione - sumy te byłyby wpisane na listę o nazwie skrajne:

 > skrajne;

s k r a j n e

Okazało się więc, że w tym przypadku wszystkie sumy zostały uwzględnione.

W celu sporządzenia histogramu, dobieramy wysokości słupków tak, aby pola wszystkich słupków dawały w sumie $1$ :

 > dane1 := stats[transform,
 > scaleweight[1/nops([lista])]](dane);}{}

         dane1 := [Weight(3480 .. 3500,11/80), Weight(3560 .. 3580,33/400),
         Weight(3660 .. 3680,0), Weight(3340 .. 3360,1/80), Weight(3540 .. 3560,31/400),
         Weight(3640 .. 3660,1/100), Weight(3360 .. 3380,1/200), Weight(3520 .. 3540,43/400),
         Weight(3420 .. 3440,7/100), Weight(3620 .. 3640,1/100), Weight(3460 .. 3480,53/400),
         Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,33/200), Weight(3600 .. 3620,1/40),
         Weight(3380 .. 3400,1/50), Weight(3400 .. 3420,13/400), Weight(3440 .. 3460,7/100),
         Weight(3580 .. 3600,17/400)];

Teraz rysujemy histogram:

 > stats[statplots,histogram](dane1);

<flash>file=Rp.1.94.swf|width=350|height=350</flash>

oraz zachowujemy powyższy wykres:

> g1 := %:

Dla wygody obliczamy jeszcze raz nadzieję i wariancję dla pojedynczej kostki:

> ek := add(i,i=1..6)/6: vk := add(i^2,i=1..6)/6 - ek^2:

a następnie obliczamy nadzieję i wariancję sumy:

> es := n*ek;  vs := n*vk;

e s : = 3500

v s : = \frac{8750}{3}

Przygotowujemy wykres gęstości rozkładu teoretycznego (lecz go jeszcze nie wyświetlamy):

 > g2 := plot(f(es,sqrt(vs)),3320..3680, color=black):

Obliczamy średnią i odchylenie standardowe dla szeregu rozdzielczego:

 > ee := evalf(stats[describe,mean]([lista]));

e e : = 3501.587500

 > ve := evalf(stats[describe,standarddeviation]([lista]));

v e : = 57.07764311

Teraz przygotowujemy wykres gęstości rozkładu normalnego o parametrach obliczonych z szeregu rozdzielczego:

 > g3 := plot(f(ee,ve),3320..3680, color=black,thickness=2):

aby następnie wyświetlić, na jednym rysunku, histogram i dwie poprzednio otrzymane gęstości:

 > plots[display](g1,g2,g3);

<flash>file=Rp.1.95.swf|width=350|height=350</flash>

Ponieważ bardzo często zmiennymi losowymi są niezależne próby Bernoulliego, więc sformułujemy centralne twierdzenie graniczne specjalnie dla tego przypadku. Jest to natychmiastowy wniosek z twierdzenia Lindeberga-Levy'ego (twierdzenie 9.3).

Twierdzenie 9.7 [de Moivre'a-Laplace'a]

Niech $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \dots$ będzie ciągiem niezależnych prób Bernoulliego, z takim samym prawdopodobieństwem sukcesu $p$ i porażki $q = 1 - p$ w każdej próbie ( $0 < p < 1$ ). Wtedy:

P (\frac{S_{n} - n p}{\sqrt{n p q}} \leq x) ⟶ Φ (x)

,

dla każdego

x \in ℝ

.

Oczywiście, twierdzenie 9.4 i twierdzenie 9.5 można także z łatwością przeformułować dla przypadku niezależnych prób Bernoulliego.

Uwaga 9.8

Wyraźnie zaznaczamy, że centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe przy dużo ogólniejszych założeniach. W szczególności zmienne losowe nie muszą mieć takiego samego rozkładu, a nawet nie muszą być niezależne. Jednakże, różnym wersjom centralnego twierdzenia granicznego przyświeca ta sama idea:

suma niewiele zależnych od siebie składników losowych, z których żaden nie dominuje istotnie nad pozostałymi, ma w przybliżeniu rozkład normalny.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Wykład 9: Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:46, 11 wrz 2023

Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne

Rozkład normalny

Centralne twierdzenie graniczne

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-{dal}{{-1.1cm}}[chapter]
+==Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne==
-{dak}[dal]{{-0.1cm}}
-{zad}{Zadanie }[chapter]
-{zam}{Ćwiczenie}[chapter]
-{ptst}{Pytanie}[chapter]
-{{przyklad|||
+Centralną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce
+pełni tak zwany rozkład normalny. Związane jest z nim słynne
+twierdzenie nazywane centralnym twierdzeniem granicznym. Na jego
+podstawie można w wielu sytuacjach zakładać, że zmienna losowa,
+którą jesteśmy właśnie zainteresowani, ma rozkład normalny.
-}
+==Rozkład normalny==
-{{przyklad|#1||
+[[grafika:Gauss.jpg|thumb|right||Carl Friedrich Gauss (1777-1855)<br>[[Biografia Gauss|Zobacz biografię]]]]Chyba najważniejszym ze znanych rozkładów jest tak zwany rozkład normalny, określany niekiedy jako rozkład Gaussa.
-}
+Rozkład <math>P</math> nazywamy rozkładem normalnym,  jeżeli
+istnieją takie liczby rzeczywiste <math>m</math> oraz <math>\sigma>0</math>, że funkcja
+<math>f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określona wzorem:
-{mapleex}
-{Przegląd ważniejszych rozkładów}
+<center>
+<math>
-==Streszczenie==
+f(x) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,e^{-\frac{1}{2}(\frac{x
+- m}{\sigma})^2}\;\;\mbox{ dla } x\in {\Bbb R}</math>,
+</center>
-Omówimy kilka najczęściej spotykanych w zastosowaniach
-rozkładów dyskretnych i ciągłych, charakteryzujących często
-zmienne losowe związane ze zliczaniem oraz czasem oczekiwania na
-szczególne zdarzenia. Jednak najważniejszy rozkład, tak zwany
-rozkład normalny, zostanie omówiony w następnym rozdziale.
-'''Słowa kluczowe: ''' rozkład dwumianowy, rozkład wielomianowy, rozkład geometryczny, rozkład hipergeometryczny, rozkład Pascala,
+jest gęstością tego rozkładu.
-rozkład Poissona, rozkład wykładniczy, proces
-Poissona.<br>[1cm]
-W poprzednich wykładach  "uprawialiśmy" dość
-ogólną teorię rachunku prawdopodobieństwa, dlatego teraz
-zajmiemy się aspektem bardziej praktycznym i omówimy kilka
-podstawowych rozkładów oraz wskażemy na niektóre typowe
-sytuacje, w których rozkłady te występują. Pragniemy jednak
-podkreślić, iż rozważane tutaj rozkłady nie wyczerpują
-wszystkich ważnych, występujących w literaturze przedmiotu
-rozkładów prawdopodobieństwa.
-==Rozkłady związane ze zliczaniem==
+Stosowana w tym przypadku notacja jest następująca:
-* Ile eksperymentów zakończy się sukcesem?
+<math>N(m,\sigma)</math> oznacza rozkład normalny o
-* Ile jest zdarzeń sprzyjających wylosowaniu "naszych" numerów w grze
+parametrach <math>m</math> oraz <math>\sigma</math> - jego
-liczbowej?
+dystrybuantę oznaczamy przez <math>\Phi_{m,\sigma}</math>. Wykres gęstości rozkładu normalnego nosi
-* Ile zgłoszeń  napływa średnio w ciągu godziny do
+nazwę krzywej Gaussa.
-pogotowia ratunkowego w  godzinach nocnych?
-* Ile wypadków śmiertelnych ma miejsce podczas kąpieli w  morzu?
--0.2in
+Poniższy wykres przedstawia gęstości rozkładów
+<math>N(20,1)</math>, <math>N(20,2)</math> i <math>N(20,3)</math>, przy czym mniejszym wartościom <math>\sigma</math>
+odpowiada bardziej stromy wykres.
-Aby umieć odpowiadać na te i podobne  pytania, najpierw należy zawsze zdać sobie
+<center>
-sprawę z natury rozważanego zjawiska, czyli, mówiąc bardziej precyzyjnie, z
+<flash>file=Rp.1.91.swf|width=350|height=350</flash>
-charakteru rozkładu prawdopodobieństwa odpowiadającego   danej
+</center>
-sytuacji. Okazuje się, że wiele zupełnie różnych od siebie zjawisk
-zachodzi według podobnych schematów -- na przykład jest   w istocie
-losowaniem bez zwracania lub ze zwracaniem. Omówimy teraz  kolejno kilka
-podstawowych rozkładów, odpowiedzialnych za  większość  tego typu
-sytuacji.
-Na początku powtórzymy poznaną już wcześniej (patrz przykład [[##prd|Uzupelnic prd|]]) definicję rozkładu dwumianowego.
+Znaczenie parametru <math>\sigma</math> ilustruje też następująca animacja (tutaj <math>m = 20</math>):
-===Rozkład dwumianowy===
+[[File:Rp91-rys.mp4|253x253px|thumb|center]]
-Rozkład <math>\displaystyle P</math> nazywamy rozkładem  dwumianowym,  jeżeli
-istnieją liczby <math>\displaystyle n > 0</math> oraz <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math> takie, że <math>\displaystyle 0 <p,q <1</math>, <math>\displaystyle p +
-q = 1</math>  oraz zachodzi równość:
-<center><math>\displaystyle  P(k) = \left(\begin{array} {@{}c@{}}n\\k\end{array} \right)p^kq^{n-k}\;\; \mbox{
-dla } k = 0,1,\dots,n.
-</math></center>
-Następujący wykres przedstawia rozkład dwumianowy z parametrami
+Kolejny wykres przedstawia gęstości rozkładów
-<math>\displaystyle n = 12</math> i <math>\displaystyle p = 0.6</math>:
+<math>N(15,3)</math>, <math>N(20,3)</math> i <math>N(25,3)</math>.
-''tutaj rysunek 81.eps''
+<center>
+<flash>file=Rp.1.92.swf|width=350|height=350</flash>
+</center>
-Wzór  dwumienny   Newtona   pozwala   stwierdzić,
+Aby jeszcze lepiej uzmysłowić sobie  znaczenie parametru <math>m</math>, proponujemy uruchomić następującą animację (<math>\sigma = 2</math>):
-że <math>\displaystyle \sum_{k=0}^n P(k) = 1</math>, a&nbsp;więc powyższa równość
-rzeczywiście określa rozkład <math>\displaystyle P</math> w  sposób
-jednoznaczny (jest to oczywiście rozkład dyskretny).
-Poprzednio mieliśmy już okazję poznać różne sytuacje, w których on występuje --
-następujące twierdzenie formalizuje nasze dotychczasowe rozważania:
-{{twierdzenie|||
+[[File:Rp92-rys.mp4|253x253px|thumb|center]]
-Niech  <math>\displaystyle X_1,\dots,  X_n</math>  będą  niezależnymi
+<span id="dystrybuanta">Dystrybuantę</span> <math>\Phi_{0,1}</math>
-zmiennymi losowymi o takim  samym  rozkładzie
+oznaczamy krótko przez <math>\Phi</math>. Wyraża się więc ona następującym wzorem:
-dwupunktowym. Wtedy suma: <center><math>\displaystyle S_n = X_1 + \dots + X_n</math></center>
-ma rozkład dwumianowy.  }}
-'''Dowód.   '''   Zdarzenie <math>\displaystyle \{S_n = k\}</math> jest sumą rozłącznych zdarzeń polegających na tym, że dokładnie <math>\displaystyle k</math> spośród
-zmiennych losowych <math>\displaystyle X_1,  \dots , X_n</math> przyjmuje wartość <math>\displaystyle 1</math>, a więc pozostałe <math>\displaystyle n-k</math> zmiennych przyjmuje wartość <math>\displaystyle 0</math>.
-Niech <math>\displaystyle A_{i_1, \dots, i_k}</math> będzie jednym z takich zdarzeń, gdzie <math>\displaystyle i_1, \dots, i_k</math> oznaczają numery tych zmiennych, które
-przyjmują wartość <math>\displaystyle 1</math>. Z kolei każde zdarzenie <math>\displaystyle A_{i_1, \dots, i_k}</math> jest iloczynem <math>\displaystyle n</math> zdarzeń postaci <math>\displaystyle \{X_j = \varepsilon_j\}</math>,
-gdzie <math>\displaystyle \varepsilon_j = 1</math> lub <math>\displaystyle \varepsilon_j = 0</math>, a prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe odpowiednio <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math>. Z niezależności
-zmiennych <math>\displaystyle X_1,  \dots , X_n</math> wynika, że: <center><math>\displaystyle P(A_{i_1, \dots, i_k} ) = p^kq^{n-k}.</math></center> Ponieważ wskaźniki
-<math>\displaystyle i_1, \dots, i_k</math> można wybrać na <math>\displaystyle \left(\begin{array} {@{}c@{}}n\\k\end{array} \right)</math> sposobów, więc: <center><math>\displaystyle
-P(A) = P\left(\bigcup_{i_1, \dots, i_k}A_{i_1, \dots, i_k}\right) = \sum_{i_1, \dots, i_k}P(A_{i_1, \dots, i_k})
-</math></center>
-<center><math>\displaystyle  =
-\sum_{i_1, \dots, i_k}p^kq^{n-k} = \left(\begin{array} {@{}c@{}}n\\k\end{array} \right)p^kq^{n-k}.
-</math></center>
-<math>\displaystyle \hfill{\Box}</math>
-{Losowanie ze zwracaniem} Przypuśćmy,  że  pewna
+{{wzor|9.1|9.1|
-populacja  składa  się  z  <math>\displaystyle N</math>  elementów.
+<math>
-Niech <math>\displaystyle p</math> będzie prawdopodobieństwem tego, że dany  element  z
+\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
-tej populacji ma pewną własność, powiedzmy własność
+\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}t^2}dt
-<math>\displaystyle W</math>. Losujemy ze zwracaniem  <math>\displaystyle n</math>  elementów  i
+</math>}}
-oznaczamy  przez  <math>\displaystyle X</math>  liczbę tych spośród nich, które
-mają  własność  <math>\displaystyle W</math>.  Widać,  że zmienna losowa
-<math>\displaystyle X</math> ma rozkład dwumianowy.
-Przypomnimy teraz wyprowadzone w ćwiczeniu [[##cprd|Uzupelnic cprd|]] wzory na nadzieję matematyczną i wariancję zmiennej losowej
-o rozkładzie dwumianowym.
-Wyrażają się one następującymi wzorami:
-<center><math>\displaystyle
-{\Bbb E}(X) = np, \hspace{1.5cm} {\Bbb D}^2(X) = npq.
-</math></center>
-W celu wyrobienia sobie intuicji związanej z rozkładem dwumianowym, proponujemy obejrzeć animację:
+Poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu
+<math>N(0,1)</math>, który nazywamy standardowym rozkładem normalnym. Zauważmy, że zakreskowany obszar posiada pole równe <math>\Phi(1)</math>.
-===Rozkład wielomianowy===
+<center>
+<flash>file=Rp.1.93.swf|width=350|height=350</flash>
+</center>
-Uogólnieniem rozkładu  dwumianowego  jest  rozkład
-wielomianowy.
-Rozkład <math>\displaystyle P</math> nazywamy rozkładem
+Wartości dystrybuanty <math>\Phi</math> zostały stablicowane
-wielomianowym,  jeżeli  istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle n</math>
+oraz są dostępne w wielu komputerowych
-oraz liczby <math>\displaystyle p_i > 0</math>, <math>\displaystyle   i  =  1.\dots  r</math>, <math>\displaystyle r>1</math>,
+programach matematycznych lub statystycznych.
-takie, że
+Oczywiście, pakiety statystyczne programu Maple zawierają odpowiednie procedury (jakie?).
-<math>\displaystyle \sum_{i= 1}^rp_i = 1</math> oraz  dla  wszystkich
-układów liczb całkowitych nieujemnych <math>\displaystyle k_1, \dots ,k_r</math>,
-dla których <math>\displaystyle \sum_{i=1}^r k_i = n</math>, zachodzi równość:
-<center><math>\displaystyle
-P(k_1,  \dots,  k_r)   =   \frac{n!}{k_1!   \cdot   \dots   \cdot
-k_r!}p_1^{k_1} \cdot \dots \cdot p_r^{k_r}.
-</math></center>
-Widzimy oczywiście, że gdy <math>\displaystyle r= 2</math>,  rozkład
+Zwróćmy uwagę na dwie własności
-wielomianowy  jest  w istocie równoważny rozkładowi
+funkcji <math>\Phi</math>,posiadające (przede wszystkim)
-dwumianowemu (kładziemy <math>\displaystyle p_1  =  p</math> i <math>\displaystyle p_2 =q</math>).
+rachunkowe znaczenie. Wynikają one
+bezpośrednio ze wzoru na [[#9.1|9.1]] <math>\Phi_{0,1}</math>
+i mają oczywistą interpretację geometryczną (ćwiczenie). Mianowicie:
-Wyobraźmy sobie, że   pewien  eksperyment powtarzamy
-<math>\displaystyle n</math> razy, przy czym spełnione są następujące warunki:
-każdy eksperyment może dać dokładnie <math>\displaystyle r</math>  różnych  wyników,
-powiedzmy "<math>\displaystyle 1</math>", , "<math>\displaystyle r</math>",
-prawdopodobieństwa poszczególnych  wyników  są  w  każdym
+<center><math>
-eksperymencie    zawsze   takie   same   --
+\Phi (0) = \frac{1}{2}\;\; \mbox{ oraz } \;\;\Phi
-oznaczamy   je przez <math>\displaystyle p_i</math>, <math>\displaystyle i = 1
+(x) = 1 - \Phi (-x) \mbox{ dla każdego } x \in {\Bbb R}
-\dots r</math>,
+</math></center>
-eksperymenty są niezależne od siebie.
-Niech  <math>\displaystyle X_1,  \dots  ,  X_r</math>  oznaczają
+oraz
-odpowiednio   liczbę eksperymentów
-zakończonych  wynikiem  "<math>\displaystyle 1</math>",  ,  "<math>\displaystyle r</math>". Wtedy
-łatwo stwierdzić, stosując indukcję, że wektor
-losowy  <math>\displaystyle (X, \dots ,X_r)</math> ma rozkład wielomianowy.
-===Rozkład Poissona===
-Rozkład <math>\displaystyle P</math> jest rozkładem Poissona, jeżeli istnieje
+<center><math>
-taka  liczba <math>\displaystyle \lambda > 0</math>, że:
+\Phi^{-1} (\alpha) = -\Phi^{-1}(1-\alpha) \mbox{ dla każdego } \alpha \in [0,1]
-<center><math>\displaystyle
-P(k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}\;\; \mbox{ dla } k  =
-,1,2,\dots
 </math></center>
-Poniższy wykres przedstawia rozkład Poissona o parametrze <math>\displaystyle \lambda = 5</math>.
-''tutaj rysunek 82.eps''
+Użyteczność powyższych wzorów można zaobserwować zwłaszcza wtedy, gdy nie
+dysponujemy odpowiednim pakietem komputerowym czy
+kalkulatorem, ale są one także ważne przy pewnych
+przekształceniach. Podobnie następna równość, którą
+można otrzymać stosując prostą  zmianę zmiennych (patrz wykład z [[Analiza matematyczna|Analizy matematycznej]]), pozwala za
+pomocą <math>\Phi</math> obliczać dystrybuanty
+<math>\Phi_{m,\sigma}</math> dla pozostałych parametrów <math>m</math> i <math>\sigma</math>. Mianowicie:
-Okazuje się, że wiele zjawisk podlega  właśnie
-rozkładowi Poissona. Kolejne twierdzenie
-mówi o tym, że  jest on  w   pewnym   sensie   granicą
-rozkładów   dwumianowych.   W szczególności, gdy mamy do
-czynienia z dużą  <math>\displaystyle (n  >100)</math>  liczbą  niezależnych
-prób Bernoulliego, z jednakowym, małym <math>\displaystyle (p <0.1)</math>
-prawdopodobieństwem sukcesu każda,  to liczba
-sukcesów ma niemal dokładnie rozkład Poissona z
-parametrem <math>\displaystyle \lambda  =  np</math>. Zgodność taka została
-zaobserwowana w wielu konkretnych sytuacjach
-praktycznych.  Co  więcej,  istnieją  dość  dokładne
-oszacowania błędu, jaki popełniamy przybliżając
-rozkład dwumianowy rozkładem Poissona. W tym miejscu
-poprzestaniemy jedynie na wykazaniu prostego
-twierdzenia wskazującego na możliwość takiego
-przybliżania  oraz  na  podaniu danych liczbowych
-ilustrujących jego dokładność.
-{{twierdzenie|||
+{{wzor|9.2|9.2|
+<math>
+\Phi_{m,\sigma}(x) = \Phi\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)
+</math>}}
-Niech   liczby   <math>\displaystyle p_n   >0</math>   tworzą   taki
-ciąg,    że: <center><math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}n  p_n  =
+Parametry  <math>m</math> i <math>\sigma</math> mają bardzo wyraźną interpretację
-\lambda  >0</math></center>  oraz niech  <math>\displaystyle k   </math>   będzie nieujemną liczbą
+probabilistyczną. Okazuje się bowiem, iż nadzieja
-naturalną. Wtedy:
+matematyczna oraz wariancja w rozkładzie <math>N(m,\sigma)</math>
-<center><math>\displaystyle
+wyrażają się wzorami:
-\lim_{n\rightarrow \infty} \left(\begin{array} {@{}c@{}}n\\k\end{array} \right)p_n^k(1 - p_n)^{n-k} =
-e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}.
+<center><math>
+{\Bbb E}(X) = m, {\Bbb D}^2 (X) = \sigma^2
 </math></center>
+Zauważmy też, że <math>m</math> jest punktem, w którym  gęstość
+rozkładu <math>N(m,\sigma)</math> osiąga wartość
+największą, prosta <math>x = m</math> jest osią symetrii jej wykresu,
+zaś punkty  <math>m-  \sigma</math> i  <math>m+\sigma</math> - punktami
+przegięcia (patrz wykład z [[Analiza matematyczna|Analizy matematycznej]]).
+{{przyklad|9.1|przy_9.1||
+Postaramy się uzasadnić ilościowo, że  parametr  <math>\sigma</math>
+jest miarą "rozrzutu" rozkładu
+<math>N(m,\sigma)</math>, względem punktu <math>m</math>. Obliczmy w tym celu:
 }}
-'''Dowód. '''Oznaczając  <math>\displaystyle \lambda_n  =  np_n</math>,  dostajemy
+<center><math>
-równość:
+r_k = P(m - k\sigma,m +k\sigma) \;\;\mbox{ dla } k =1,2,3
-<center><math>\displaystyle
-\left(\begin{array} {@{}c@{}}n\\k\end{array} \right)p_n^k(1-p_n)^{n-k}  =
-\frac{\lambda_n^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdot
-\dots \cdot(n-k+1)}{n^k}\cdot\left(1- \frac{\lambda_n}{n}\right)^n\cdot
-\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^{-k}\!\!.
 </math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle k</math> jest ustalone, zatem  ostatni
-czynnik  zmierza  do  1. Drugi czynnik jest równy:
-<center><math>\displaystyle 1\cdot (1 - \frac{1}{n})  \cdot  \dots  \cdot (1-
-\frac{k-1}{n}),</math></center> a więc też zmierza do 1. Istotne są
-natomiast czynniki pierwszy oraz trzeci, które zmierzają
-odpowiednio  do: <center><math>\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!}\;\;\textrm {oraz}\;\;
-e^{-\lambda}.</math></center> <math>\displaystyle \hfill{ \Box}</math>
-Poniższa tabela porównuje  rozkład  dwumianowy
-rozkładem Poissona.
-{-0.6cm}
+gdzie <math>P</math> jest rozkładem <math>N(m,\sigma)</math>.
+Otrzymujemy:
+<center><math>
+r_k = \Phi_{m,\sigma}(m + k\sigma) - \Phi_{m,\sigma}(m - k\sigma)
+= \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1</math></center>
-{| border=1
+Korzystając z tablic lub z komputera, bez trudu dostajemy:
-|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+<center><math>
+r1 \approx 0.682689492, \;\;r2 \approx 0.954499736, \;\;r3 \approx 0.997300204</math></center>
+Tak  więc  szansa znajdowania się poza przedziałem  <math>(m  -3\sigma,\;m  +
+\sigma)</math> wynosi istotnie mniej niż <math>1\%</math>. Im mniejszy
+jest parametr <math>\sigma</math>, tym bardziej rozkład
+<math>N(m,\sigma)</math> jest "skupiony w  okolicy"  punktu <math>x
+=m</math>.
+Dystrybuanta <math>\Phi</math> rozkładu normalnego <math>N(0,1)</math> (w tablicy podano wartości     <math>\Phi(x)</math> dla <math>x\in [0, 3.09]</math>).
+{| border=1 align="center" cellpadding="5" cellspacing="0"
+|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
 |-
-|
+| <math>x</math> || 0,00 || 0,01 || 0,02 || 0,03 || 0,04 || 0,05 || 0,06 || 0,07 || 0,08 || 0,09
-||  <math>\displaystyle n = 100</math>,  || <math>\displaystyle p = 0,01</math>  || <math>\displaystyle n = 50</math>,  ||  <math>\displaystyle p = 0,1</math>  || <math>\displaystyle n = 100</math>,   ||
-<math>\displaystyle p = 0,1</math>
 |-
-|  || rozkład  ||  rozkład  ||  rozkład  ||  rozkład  ||  rozkład  ||   rozkład
+| 0,0 || 0,5000 || 0,5040 || 0,5080 || 0,5120 || 0,5160 || 0,5199 || 0,5239 || 0,5279 || 0,5319 || 0,5359
 |-
-| <math>\displaystyle k</math>  || dwum.  ||  Poissona ||  dwum.  ||  Poissona ||  dwum.  ||  Poissona
+| 0,1 || 0,5398 || 0,5438 || 0,5478 || 0,5517 || 0,5557 || 0,5596 || 0,5636 || 0,5675 || 0,5714 || 0,5753
 |-
-|  0  ||  0,3660  ||  0,3679  ||  0,0052  ||  0,0067  ||  0,0000  ||  0,0000
+| 0,2 || 0,5793 || 0,5832 || 0,5871 || 0,5910 || 0,5948 || 0,5987 || 0,6026 || 0,6064 || 0,6103 || 0,6141
 |-
-| 1  ||  0,3697  ||  0,3679  ||  0,0286  ||  0,0337  ||  0,0003  ||  0,0005
+| 0,3 || 0,6179 || 0,6217 || 0,6255 || 0,6293 || 0,6331 || 0,6368 || 0,6406 || 0,6443 || 0,6480 || 0,6517
 |-
-| 2  ||  0,1849  ||  0,1839  ||  0,0779  ||  0,0842  ||  0,0016  ||  0,0023
+| 0,4 || 0,6554 || 0,6591 || 0,6628 || 0,6664 || 0,6700 || 0,6736 || 0,6772 || 0,6808 || 0,6844 || 0,6879
 |-
-| 3  ||  0,0610  ||  0,0613  ||  0,1386  ||  0,1404  ||  0,0059  ||  0,0076
+| 0,5 || 0,6915 || 0,6950 || 0,6985 || 0,7019 || 0,7054 || 0,7088 || 0,7123 || 0,7157 || 0,7190 || 0,7224
 |-
-| 4  ||  0,0149  ||  0,0153  ||  0,1809  ||  0,1755  ||  0,0159  ||  0,0189
+| 0,6 || 0,7257 || 0,7291 || 0,7324 || 0,7357 || 0,7389 || 0,7422 || 0,7454 || 0,7486 || 0,7517 || 0,7549
 |-
-| 5  ||  0,0029  ||  0,0031  ||  0,1849  ||  0,1755  ||  0,0339  ||  0,0378
+| 0,7 || 0,7580 || 0,7611 || 0,7642 || 0,7673 || 0,7704 || 0,7734 || 0,7764 || 0,7794 || 0,7823 || 0,7852
 |-
-| 6  ||  0,0005  ||  0,0005  ||  0,1541  ||  0,1462  ||  0,0596  ||  0,0631
+| 0,8 || 0,7881 || 0,7910 || 0,7939 || 0,7967 || 0,7995 || 0,8023 || 0,8051 || 0,8078 || 0,8106 || 0,8133
 |-
-| 7  ||  0,0001  ||  0,0001  ||  0,1076  ||  0,1044  ||  0,0889  ||  0,0901
+| 0,9 || 0,8159 || 0,8186 || 0,8212 || 0,8238 || 0,8264 || 0,8289 || 0,8315 || 0,8340 || 0,8365 || 0,8389
 |-
-| 8  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0643  ||  0,0653  ||  0,1148  ||  0,1126
+| 1,0 || 0,8413 || 0,8438 || 0,8461 || 0,8485 || 0,8508 || 0,8531 || 0,8554 || 0,8577 || 0,8599 || 0,8621
 |-
-| 9  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0333  ||  0,0363  ||  0,1304  ||  0,1251
+| 1,1 || 0,8643 || 0,8665 || 0,8686 || 0,8708 || 0,8729 || 0,8749 || 0,8770 || 0,8790 || 0,8810 || 0,8830
 |-
-| 10  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0152  ||  0,0181  ||  0,1319  ||  0,1251
+| 1,2 || 0,8849 || 0,8869 || 0,8888 || 0,8907 || 0,8925 || 0,8944 || 0,8962 || 0,8980 || 0,8997 || 0,9015
 |-
-| 11  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0061  ||  0,0082  ||  0,1199  ||  0,1137
+| 1,3 || 0,9032 || 0,9049 || 0,9066 || 0,9082 || 0,9099 || 0,9115 || 0,9131 || 0,9147 || 0,9162 || 0,9177
 |-
-| 12  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0022  ||  0,0034  ||  0,0988  ||  0,0948
+| 1,4 || 0,9192 || 0,9207 || 0,9222 || 0,9236 || 0,9251 || 0,9265 || 0,9279 || 0,9292 || 0,9306 || 0,9319
 |-
-| 13  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0007  ||  0,0013  ||  0,0743  ||  0,0729
+| 1,5 || 0,9332 || 0,9345 || 0,9357 || 0,9370 || 0,9382 || 0,9394 || 0,9406 || 0,9418 || 0,9429 || 0,9441
 |-
-| 14  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0002  ||  0,0005  ||  0,0513  ||  0,0521
+| 1,6 || 0,9452 || 0,9463 || 0,9474 || 0,9484 || 0,9495 || 0,9505 || 0,9515 || 0,9525 || 0,9535 || 0,9545
 |-
-| 15  ||  0,0000  ||  0,0000  ||  0,0001  ||  0,0002  ||  0,0327  ||  0,0347
+| 1,7 || 0,9554 || 0,9564 || 0,9573 || 0,9582 || 0,9591 || 0,9599 || 0,9608 || 0,9616 || 0,9625 || 0,9633
 |-
-|
+| 1,8 || 0,9641 || 0,9649 || 0,9656 || 0,9664 || 0,9671 || 0,9678 || 0,9686 || 0,9693 || 0,9699 || 0,9706
+|-
+| 1,9 || 0,9713 || 0,9719 || 0,9726 || 0,9732 || 0,9738 || 0,9744 || 0,9750 || 0,9756 || 0,9761 || 0,9767
+|-
+| 2,0 || 0,9772 || 0,9778 || 0,9783 || 0,9788 || 0,9793 || 0,9798 || 0,9803 || 0,9808 || 0,9812 || 0,9817
+|-
+| 2,1 || 0,9821 || 0,9826 || 0,9830 || 0,9834 || 0,9838 || 0,9842 || 0,9846 || 0,9850 || 0,9854 || 0,9857
+|-
+| 2,2 || 0,9861 || 0,9864 || 0,9868 || 0,9871 || 0,9875 || 0,9878 || 0,9881 || 0,9884 || 0,9887 || 0,9890
+|-
+| 2,3 || 0,9893 || 0,9896 || 0,9898 || 0,9901 || 0,9904 || 0,9906 || 0,9909 || 0,9911 || 0,9913 || 0,9916
+|-
+| 2,4 || 0,9918 || 0,9920 || 0,9922 || 0,9925 || 0,9927 || 0,9929 || 0,9931 || 0,9932 || 0,9934 || 0,9936
+|-
+| 2,5 || 0,9938 || 0,9940 || 0,9941 || 0,9943 || 0,9945 || 0,9946 || 0,9948 || 0,9949 || 0,9951 || 0,9952
+|-
+| 2,6 || 0,9953 || 0,9955 || 0,9956 || 0,9957 || 0,9959 || 0,9960 || 0,9961 || 0,9962 || 0,9963 || 0,9964
+|-
+| 2,7 || 0,9965 || 0,9966 || 0,9967 || 0,9968 || 0,9969 || 0,9970 || 0,9971 || 0,9972 || 0,9973 || 0,9974
+|-
+| 2,8 || 0,9974 || 0,9975 || 0,9976 || 0,9977 || 0,9977 || 0,9978 || 0,9979 || 0,9979 || 0,9980 || 0,9981
+|-
+| 2,9 || 0,9981 || 0,9982 || 0,9982 || 0,9983 || 0,9984 || 0,9984 || 0,9985 || 0,9985 || 0,9986 || 0,9986
+|-
+| 3,0 || 0,9987 || 0,9987 || 0,9987 || 0,9988 || 0,9988 || 0,9989 || 0,9989 || 0,9989 || 0,9990 || 0,9990
+|-
+|}
+Jak powyżej wspomnieliśmy,  rozkład  normalny
+jest bardzo ważnym rozkładem. Dzieje się tak między
+innymi dlatego, że wiele  zjawisk przyrodniczych,
+społecznych i  innych  przebiega  zgodnie  z  tym
+rozkładem. Ma on również olbrzymie znaczenie
+teoretyczne. Poniżej przedstawiamy tak  zwane
+centralne  twierdzenie  graniczne, które częściowo
+wyjaśnia znaczenie rozkładu normalnego. Twierdzenie to
+gwarantuje,  że (pod  pewnymi  dość  naturalnymi
+założeniami) suma dużej ilości niezależnych
+zmiennych  losowych  ma  w  przybliżeniu rozkład
+normalny. Na zakończenie tego punktu wypowiemy jeszcze jedno ważne twierdzenie dotyczące rozkładu normalnego.
+{{twierdzenie|9.2|tw_9.2|
+Niech <math>X_1</math> oraz <math>X_2</math> będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, odpowiednio <math>N(m_1,\sigma_1)</math> oraz <math>N(m_2,\sigma_2)</math>.
+Wtedy:
+# <math>X_1 + X_2 \sim N(m_1+m_2, \sqrt{\sigma_1^2+ \sigma_2^2})</math>,
+# <math>aX_1 + b \sim N(am_1 + b, |a|\sigma_1)</math> dla wszystkich <math>a, b \in {\Bbb R}</math>.
+}}
-|}
+==Centralne twierdzenie graniczne==
+Prawa wielkich liczb mówią o zbieżności średnich
+arytmetycznych, interpretowanych czasem jako średnie
+czasowe,  niezależnych zmiennych losowych.
+Twierdzenia te mają olbrzymią  wartość poznawczą,
+jednak  ich   wartość   praktyczna   jest   nieco
+mniejsza.   W szczególności, prawa wielkich liczb nie
+dają żadnej informacji o rozkładzie sumy zmiennych
+losowych, podczas gdy  w  wielu  konkretnych  zagadnieniach
+znajomość rozkładu ma podstawowe znaczenie.  Właśnie  centralne twierdzenie
+graniczne   pozwala rozwiązać ten problem. Jak  już
+wspominaliśmy,  wynika  z&nbsp;niego, że  suma
+niezależnych zmiennych  losowych spełniających
+zupełnie naturalne warunki ma w przybliżeniu rozkład
+normalny.
+Ze względu na wagę centralnego twierdzenia granicznego
+wypowiemy je w trzech wersjach. Pierwsza z nich - do
+niedawna  najczęściej używana - ma w dobie komputerów
+mniejsze  znaczenie  praktyczne,jednak w dalszym
+ciągu jest najbardziej popularna.
+'''Założenie.'''<br>
+''<math>(\Omega, \Sigma,P)</math> jest przestrzenią
+probabilistyczną, zaś  <math>X_1,\,X_2,\, X_3,\dots</math>
+- ciągiem niezależnych zmiennych losowych
+określonych na <math>\Omega</math>. Wszystkie zmienne losowe
+<math>X_i</math> mają taki sam rozkład, a ich wspólna nadzieja
+matematyczna <math>m</math> oraz wariancja <math>\sigma^2</math> istnieją i
+są skończone, przy czym <math>\sigma
+> 0</math> (ten ostatni warunek oznacza, że zmienne losowe nie są stałymi). Jak zawsze oznaczamy:''
+<center><math>
+S_n = X_1 + \dots +X_n</math></center>
-Nadzieja  matematyczna  oraz  wariancja  w rozkładzie
-Poissona wyrażają się wzorami:
-<center><math>\displaystyle
+Będziemy   badać  najpierw zbieżność tak zwanych
-{\Bbb E}(X) = \lambda, \hspace{2cm} {\Bbb D}^2 (X) = \lambda.
+sum standaryzowanych, a dopiero potem wyciągniemy
-</math></center>
+wnioski dotyczące samych sum <math>S_n</math> oraz średnich <math>S_n
+\over n</math>.
-Następująca animacja pokazuje, jak zmienia się kształt rozkładu Poissona dla najczęściej spotykanych wartości parametrów:
+Zmienną losową:
-===Rozkład hipergeometryczny===
-Rozkład <math>\displaystyle P</math> nazywamy hipergeometrycznym, jeżeli
+<center><math>
-istnieją  liczby naturalne <math>\displaystyle N</math> i <math>\displaystyle n</math> oraz liczby
+Z_n   :=   \frac{S_n   -E(S_n)}{\sqrt{D^2(S_n)}}   =    \frac{S_n
-dodatnie <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math> takie, że <math>\displaystyle p+q=1</math>  oraz dla każdego <math>\displaystyle k
+-nm}{\sigma \sqrt{n}}
-=0,1,2, \dots n</math> zachodzi równość:
-<center><math>\displaystyle
-P(k) =\frac{\left(\begin{array} {@{}c@{}}Np\\k\end{array} \right) \left(\begin{array} {@{}c@{}}Nq\\n-k\end{array} \right)} {\left(\begin{array} {@{}c@{}}N\\k\end{array} \right)}. </math></center>
-Mamy tutaj
-do czynienia z uogólnionym  symbolem  Newtona  (<math>\displaystyle Np</math>
-nie jest na ogół liczbą naturalną). Symbol ten
-definiuje się  dla <math>\displaystyle x\in {\Bbb R}</math> oraz <math>\displaystyle k\in \mathbb{N}</math>
-w sposób nastpujący:
-<center><math>\displaystyle
-\left(\begin{array} {@{}c@{}}x\\k\end{array} \right) = \frac{x(x-1) \dots (x-k+1)}{k!},
 </math></center>
-co oczywiście jest zgodne ze standardową definicją, gdy
-<math>\displaystyle x</math>  jest liczbą naturalną.
-Poniższy wykres przedstawia rozkład hipergeometryczny o
-parametrach <math>\displaystyle N = 50</math>,  <math>\displaystyle n = 5</math> oraz  <math>\displaystyle p = 0.4</math>.
-''tutaj rysunek 83.eps''
+nazywamy standaryzacją  sumy <math>S_n</math>.
+Jak łatwo zauważyć:
-{Losowanie bez zwracania} Przypuśćmy,  że  pewna
-populacja  składa  się  z  <math>\displaystyle N</math>  elementów.
-Niech <math>\displaystyle p</math> będzie prawdopodobieństwem tego, że dany  element  z
-tej populacji ma pewną własność, powiedzmy własność
-<math>\displaystyle A</math>. Losujemy bez zwracania  <math>\displaystyle n</math>  elementów  i
-oznaczamy  przez  <math>\displaystyle X</math>  liczbę wylosowanych elementów
-mających  własność  <math>\displaystyle A</math>.   Dość   łatwo zauważyć,
-nawiązując  do przeprowadzonych w  punkcie  [[##schkl|Uzupelnic schkl|]] rozważań  dotyczących losowania   ze
-zwracaniem,  że zmienna  losowa
-<math>\displaystyle X</math>  ma rozkład hipergeometryczny.
-Nadzieja    matematyczna    oraz    wariancja     w
+<center><math>
-rozkładzie hipergeometrycznym wyrażają się wzorami:
+E(Z_n) = 0\;\; \text{oraz}\;\; D^2(Z_n) = 1</math></center>
-<center><math>\displaystyle
-{\Bbb E}(X) = np, \hspace{2cm} {\Bbb D}^2 (X) = npq\frac{N-n}{N-1}.
-</math></center>
-{{uwaga|||
-Przy losowaniu <math>\displaystyle n</math> elementów ze zwracaniem i przy
+{{twierdzenie|9.3 [Lindeberga-Levy'ego]|tw 9.3|
-losowaniu  <math>\displaystyle n</math> elementów  bez  zwracania  z  populacji
-o  liczebności   <math>\displaystyle N</math>   z frakcją elementów wyróżnionych, losujemy
-średnio '''tyle samo'''  elementów  wyróżnionych.
-Zauważmy jednak, że przy losowaniu bez zwracania wariancja  jest
-mniejsza. }}
-W poniższej animacji założono, że losujemy bez zwracania <math>\displaystyle n</math> elementów spośród 50 elementów, przy czym wiadomo,
-że 20 elementów ma własność <math>\displaystyle A</math>. Animacja pokazuje rozkład liczby wylosowanych elementów mających własność <math>\displaystyle A</math>, w
-zależności od <math>\displaystyle n</math>.
-==Rozkłady czasu oczekiwania==
+Dla każdego <math>x \in  {\Bbb R}</math> zachodzi równość:
-[*]
-Jak długo trzeba rzucać kostką, aby wypadła "szóstka"?
-Jak  długi jest  czas  oczekiwania  na  kolejne
+<center><math>
-zgłoszenie   do   centrali telefonicznej?
+\lim_{n\rightarrow \infty}P(Z_n \le  x)  =  \Phi(x)</math>,</center>
-Jak często dochodzi  do  wypadków  drogowych?
-Podobnie jak  w
-poprzednim  punkcie,  omówimy tutaj  kilka   typowych
-rozkładów  prawdopodobieństwa,  które  na  ogół
-występują,   gdy rozważamy zmienną losową będącą
-czasem  czekania  na  określone zdarzenie.
-===Rozkład geometryczny===
+gdzie <math>\Phi</math>  jest
+dystrybuantą rozkładu <math>N(0,1)</math>.
+}}
-Rozkład <math>\displaystyle P</math> jest rozkładem geometrycznym, jeżeli
+{{dowod|||
-istnieją liczby <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math> takie, że <math>\displaystyle 0<p</math>, <math>\displaystyle q <1</math>, <math>\displaystyle p + q = 1</math>
+Dowód tego twierdzenia jest długi  i skomplikowany, więc nie przytaczamy go tutaj.
-oraz zachodzi równość:
+}}
-<center><math>\displaystyle
-P(k) = q^{k-1}p \;\; \mbox{ dla } k = 1,2,3,\dots
-</math></center>
-Następujący wykres przedstawia rozkład geometryczny o parametrze <math>\displaystyle p = 0.25</math>:
+Twierdzenie Lindeberga-Levy'ego można wypowiedzieć
+w  wersjach bardziej naturalnych - bez używania
+standaryzacji <math>Z_n</math>.
-''tutaj rysunek 84.eps''
+{{twierdzenie|9.4 [Centralne tw. graniczne dla sum]|tw 9.4|
-Zauważmy, że jest to rozkład dyskretny skupiony  na
+Rozkład zmiennej losowej <math>S_n</math> jest asymptotycznie równy rozkładowi
-zbiorze nieskończonym.
+<math>N(nm,\sigma\sqrt{n})</math>. Inaczej:
-Rozkład   geometryczny   jest   związany    z
-nieskończonym ciągiem niezależnych prób Bernoulliego.
-Wykażemy mianowicie, że czas oczekiwania na pierwszy
-sukces w takim ciągu posiada właśnie rozkład geometryczny.
-Konkretną  sytuację  (oczekiwanie  na pierwszą "szóstkę") omawia ćwiczenie [[##cw41|Uzupelnic cw41|]].
-{{twierdzenie|||
+<center><math>
+\lim_{n\rightarrow              \infty}(F_{S_n}(x)              -
+\Phi_{nm,\sigma\sqrt{n}}(x)) = 0</math>,</center>
-Niech  <math>\displaystyle X_1,X_2,X_3,\dots   </math>   będą
-niezależnymi zmiennymi losowymi o&nbsp;takim samym
-rozkładzie  dwupunktowym.  Wtedy funkcja:
-<center><math>\displaystyle T =\min  \{n  \ge  1:  X_n  =  1\},</math></center>
-nazywana    czasem     oczekiwania     na pierwszy
-sukces w&nbsp;nieskończonym ciągu prób Bernoulliego,
-jest  zmienną   losową   o rozkładzie  geometrycznym.
-}}
-'''Dowód. '''
+dla  <math>x
-Zauważmy, że zdarzenie <math>\displaystyle \{T = n\}</math> jest takie samo jak
+\in  {\Bbb R}</math>.  }}
-zdarzenie: <center><math>\displaystyle \{X_1 =  0,\dots,X_{n-1}  =  0,  X_n  =
-\}.</math></center> Z niezależności zmiennych losowych <math>\displaystyle X_i</math>
-otrzymujemy:
-<center><math>\displaystyle
-P(T=n)  = P(X_1 =  0,\dots,X_{n-1}  =  0,  X_n  =
-) =
-</math></center>
-<center><math>\displaystyle
-P(X_1 = 0)\cdot\dots\cdot P(X_{n-1} =  0)\cdot  P(X_n  =
-) =   q^{n-1}p.
-</math></center>
-<math>\displaystyle \hfill{ \Box}</math>
-Pokażemy jeszcze inną sytuację,  w  której
+{{twierdzenie|9.5 [Centralne tw. graniczne dla średnich]|tw_9.5|
-pojawia się rozkład geometryczny -- będzie  to,  w pewnym sensie,
+Rozkład zmiennej losowej <math>\frac{S_n}{n}</math>  jest   asymptotycznie   równy
-uogólnienie poprzedniego twierdzenia.  Mianowicie,  intuicja  podpowiada,  że
+rozkładowi <math>N(m,{\sigma\over \sqrt{n}})</math>.
-czas oczekiwania na pierwszy sukces w&nbsp;nieskończonym
+Inaczej:
-ciągu  niezależnych  prób Bernoulliego ma następującą
-własność,    zwaną    brakiem pamięci:
-<center><math>\displaystyle P(T > m + n|T > n) = P(T > m)\;\; \mbox{ dla wszystkich } m,n  \ge
-.
-</math></center>
-Poniższe    twierdzenie,  a  w     szczególności
+<center><math>
-implikacja "<math>\displaystyle \Longleftarrow</math>", odpowiada powyższej
+\lim_{n\rightarrow         \infty}(F_{\frac{S_n}{n}}(x)         -
-intuicji.  Ponieważ  zachodzi nawet równoważność,
+\Phi_{m,{\sigma\over \sqrt{n}}}(x)) = 0</math>,</center>
-warunek ([[##eq:42|Uzupelnic eq:42|]]) może  być  przyjęty  za  inną
-definicję rozkładu geometrycznego.
-{{twierdzenie|||
-Niech     <math>\displaystyle T</math>     będzie     zmienną      losową przyjmującą
+dla  <math>x
-jedynie wartości naturalne taką, że
+\in  {\Bbb R}</math>. }}
-<math>\displaystyle P(T>1)>0</math>. Wtedy:
-<math>\displaystyle T</math>       spełnia        warunek        ([[##eq:42|Uzupelnic eq:42|]])
+{{przyklad|9.6.|przy_9.6|
-<math>\displaystyle \,\Longleftrightarrow\,\displaystyle T</math> ma rozkład geometryczny.
+Zinterpretujemy twierdzenie, mówiące
-}}
+o  rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych.
+Wyobraźmy sobie  eksperyment polegający na wielokrotnym
+rzucie kostką do gry. Suma  uzyskanych oczek <math>S</math> jest
+zmienną losową mającą, zgodnie  z  cytowanym twierdzeniem,  w
+przybliżeniu rozkład <math>N(nm, \sigma \sqrt{n})</math>,
+gdzie <math>m</math> oraz <math>\sigma</math> są odpowiednio nadzieją
+matematyczną oraz odchyleniem standardowym zmiennej
+losowej <math>X</math>, reprezentującej wynik pojedynczego
+rzutu, a <math>n</math> jest liczbą wykonanych prób. Ponieważ
+<math>X</math>  ma rozkład dyskretny,  skupiony  w  punktach
+<math>1,2,3,4,5,6</math>  przyjmowanych  z jednakowym
+prawdopodobieństwem   <math>\frac{1}{6}</math>, więc   bez
+trudu    można stwierdzić, że:
-'''Dowód.  '''<math>\displaystyle (\Longrightarrow)</math>  Oznaczmy  <math>\displaystyle a_n  =
-P(T>n)</math>. Z założenia otrzymujemy: <center><math>\displaystyle a_{n+1} = P(T>  n+1)  =
-P(T>  n+  1,T>  1)  =  P(T  >n  + 1|T > 1)\,P(T>1)</math></center>
-<center><math>\displaystyle =P(T>n)\,P(T>1)  =  a_nq,</math></center>  gdzie  <math>\displaystyle q  = P(T>1)</math>. Tak
-więc liczby <math>\displaystyle a_n</math>  tworzą  ciąg  geometryczny  i stąd
-mamy: <center><math>\displaystyle a_n = q^{n-1}a_1  =  q^n.</math></center>  Następnie
-obliczamy:  <center><math>\displaystyle P(T=n)   = P(T>n-1) - P(T>n) = q^{n-1} -
-q^n = q^{n-1}p,</math></center> gdzie <math>\displaystyle p = 1  -q</math>.
-<math>\displaystyle (\Longleftarrow)</math> Obliczmy lewą stronę  wzoru
+<center><math>
-([[##eq:42|Uzupelnic eq:42|]]):
+m =  3.5 \;\;\text{oraz}\;\; \sigma  =
-<center><math>\displaystyle
+\frac{\sqrt{105}}{6}  \approx  1.7078251</math></center> }}
-P(T>m+n|T      >n)      =      \frac{P(T>m+n,T>n)}{P(T>n)}      =
-\frac{P(T>m+n)}{P(T>n)}= </math></center>
-<center><math>\displaystyle
-\frac{\sum_{k>m+n}P(T=k)}{\sum_{k>n}P(T=k)} =
-\frac{\sum_{k>m+n}q^{k-1}p}{\sum_{k>n}q^{k-1}p} =
-\frac{\frac{q^{n+m}p}{1-q}}{\frac{q^np}{1-q}}  =  q^m.
-</math></center>
-Jak łatwo sprawdzić, również <math>\displaystyle P(T > m) = q^m</math>. <math>\displaystyle \hfill{
-\Box}</math>
-Nadzieja matematyczna oraz wariancja  w  rozkładzie
-geometrycznym wyrażają się wzorami:
-<center><math>\displaystyle
+Przypuśćmy, że wykonano 1000 rzutów (<math>n = 1000</math>). Wówczas  suma <math>S_{1000}</math>
-{\Bbb E}(X) = \frac{1}{p}, \hspace{2cm} {\Bbb D}^2 (X) = \frac{1-p}{p^2}.
+ma w przybliżeniu rozkład <math>N(3500,54,00617)</math>.
-</math></center>
-Poniższa animacja pokazuje kształt rozkładu geometrycznego w zależności od parametru <math>\displaystyle p</math>.
+Zweryfikujmy "doświadczalnie" uzyskany wynik. W  tym
+celu  można przeprowadzić  symulację  tysiąca rzutów
+kostką   za   pomocą komputera, uzyskując odpowiednią
+wartość  sumy  wszystkich  uzyskanych oczek.
+Doświadczenie to powtórzymy 400 razy, uzyskując <math>400</math>
+wartości sumy oczek. Poniżej przytaczamy kod programu Maple, umożliwiający przeprowadzenie takiej symulacji.
-===Rozkład Pascala===
+  > kostka := rand(1..6):
+  > k := 400: n := 1000: lista := NULL:
+  > from 1 to k do
+  > S := 0:
+  > from 1 to n do
+  > S := S + kostka():
+  > od:
+  > lista := lista,S
+  > od:''
-Rozkład  <math>\displaystyle P</math>  nazywamy  ujemnym  rozkładem
+Aby graficznie zinterpretować  otrzymane dane,  najpierw sporządzamy odpowiedni szereg rozdzielczy
-dwumianowym (lub
+(rozważamy 18 klas):
-rozkładem  Pascala),  jeżeli istnieją liczba
-naturalna <math>\displaystyle r \ge 1</math> oraz liczba rzeczywista  <math>\displaystyle p  >0</math> takie,
-że:
-<center><math>\displaystyle
-P(r+k) = \left(\begin{array} {@{}c@{}}r+k-1\\\ r-1\end{array} \right)p^r(1-p)^k\;\; \mbox{ dla
-} k = 0,1,2,\dots
-</math></center>
-Poniższy wykres przedstawia ujemny rozkład dwumianowy
+  ''> dane := stats[transform,tallyinto['skrajne']]([lista],
-o parametrach <math>\displaystyle r = 5</math> i <math>\displaystyle p = 0.25</math>.
+  > [seq(3320 + (i - 1)*20..3320 + i*20, i = 1..18)]);
-''tutaj rysunek 85.eps''
+          dane := [Weight(3480 .. 3500,55),
+          Weight(3560 .. 3580,33), Weight(3660 .. 3680,0),
+          Weight(3340 .. 3360,5), Weight(3540 .. 3560,31),
+          Weight(3640 .. 3660,4), Weight(3360 .. 3380,2),
+          Weight(3520 .. 3540,43), Weight(3420 .. 3440,28),
+          Weight(3620 .. 3640,4), Weight(3460 .. 3480,53),
+          Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,66),
+          Weight(3600 .. 3620,10), Weight(3380 .. 3400,8),
+          Weight(3400 .. 3420,13), Weight(3440 .. 3460,28),
+          Weight(3580 .. 3600,17)];''
-Zauważmy, że rozkład geometryczny  jest  szczególnym
+Sprawdzamy, czy są sumy, które nie zostały
-przypadkiem ujemnego rozkładu dwumianowego.
+uwzględnione - sumy te byłyby wpisane na listę o nazwie
+<tt>skrajne</tt>:
-{{twierdzenie|||
+  ''> skrajne;''
-Niech <math>\displaystyle X_1,X_2,X_3,\dots</math> będzie ciągiem
+<center><math>\mathit{skrajne}
-niezależnych  prób Bernoulliego o takim samym
-prawdopodobieństwie sukcesu <math>\displaystyle p</math> w każdej
-próbie. Określmy:
-<center><math>\displaystyle
-T_r =  \min\{n: \exists k_1,\ldots, k_r
-\mbox{ takie, że } 1\leq k_1<\ldots<k_r=n</math></center>
-<center><math>\displaystyle  \textrm{ oraz } X_{k_i} =1 \mbox{ dla } i =1,\dots,r\}.
 </math></center>
-Wtedy  <math>\displaystyle T_r</math>  jest  zmienną  losową   o   ujemnym
-rozkładzie dwumianowym.
-Inaczej: czas  oczekiwania  na  pierwszych   <math>\displaystyle r</math>
+Okazało się więc, że w tym przypadku wszystkie sumy zostały uwzględnione.
-sukcesów   w nieskończonym  schemacie   Bernoulliego
-ma   ujemny   rozkład dwumianowy. }}
-'''Dowód.  '''Dowód  jest  bardzo   podobny   do
+W celu sporządzenia histogramu, dobieramy wysokości słupków tak,
-analogicznego twierdzenia o&nbsp;rozkładzie geometrycznym
+aby pola wszystkich słupków dawały w sumie <math>1</math>:
-(twierdzenie [[##d41|Uzupelnic d41|]]). <math>\displaystyle \hfill{ \Box}</math>
-Można  także  udowodnić następujące twierdzenie,  które jeszcze
+  > dane1 := stats[transform,
-inaczej pozwala spojrzeć na problem czasu oczekiwania:
+  > scaleweight[1/nops([lista])]](dane);}{}
-{{twierdzenie|||
+          dane1 := [Weight(3480 .. 3500,11/80), Weight(3560 .. 3580,33/400),
+          Weight(3660 .. 3680,0), Weight(3340 .. 3360,1/80), Weight(3540 .. 3560,31/400),
+          Weight(3640 .. 3660,1/100), Weight(3360 .. 3380,1/200), Weight(3520 .. 3540,43/400),
+          Weight(3420 .. 3440,7/100), Weight(3620 .. 3640,1/100), Weight(3460 .. 3480,53/400),
+          Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,33/200), Weight(3600 .. 3620,1/40),
+          Weight(3380 .. 3400,1/50), Weight(3400 .. 3420,13/400), Weight(3440 .. 3460,7/100),
+          Weight(3580 .. 3600,17/400)];''
-Niech   <math>\displaystyle T_1,\dots,T_r</math>   będzie
+Teraz rysujemy histogram:
-ciągiem    niezależnych zmiennych losowych
-o&nbsp;takim samym rozkładzie geometrycznym każda.
-Wtedy suma <math>\displaystyle T_1 + \dots +  T_r</math>  ma  ujemny  rozkład
-dwumianowy. }}
-Nadzieja matematyczna oraz wariancja  w  rozkładzie
+  ''> stats[statplots,histogram](dane1);''
-Pascala wyrażają się wzorami:
-<center><math>\displaystyle
+<center>
-{\Bbb E}(X) = \frac{r}{p}, \hspace{2cm} {\Bbb D}^2 (X) = \frac{r(1-p)}{p^2}.
+<flash>file=Rp.1.94.swf|width=350|height=350</flash>
-</math></center>
+</center>
-===Rozkład wykładniczy===
+oraz zachowujemy powyższy wykres:
-Rozkład  <math>\displaystyle P</math>  nazywamy  rozkładem  wykładniczym, jeżeli
+''<pre> > g1 := %:</pre>''
-istnieje taka liczba <math>\displaystyle \lambda > 0</math>, że funkcja <math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>,
-określona wzorem:
-<center><math>\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array} {rl}
+Dla wygody obliczamy jeszcze raz nadzieję i wariancję dla pojedynczej kostki:
-& \mbox{ dla } x<0\\
-\lambda e^{-\lambda x} & \mbox{ dla }  x \ge 0,
-\end{array}  \right. </math></center>
-jest gęstością tego rozkładu.
+ ''> ek := add(i,i=1..6)/6: vk := add(i^2,i=1..6)/6 - ek^2:''
-Poniższy wykres przedstawia rozkład wykładniczy o parametrze <math>\displaystyle \lambda = 0.25</math>.
+a następnie obliczamy nadzieję i wariancję sumy:
-''tutaj rysunek 86.eps''
+ ''> es := n*ek;  vs := n*vk;''
-Wykres ten oraz wykres  ze strony {prr13} sugerują, że
-między rozkładem geometrycznym i wykładniczym mogą
-istnieć  pewne związki. Tak rzeczywiście  jest -- będzie to
-uzasadnione poniżej.
-Jak łatwo sprawdzić, dystrybuanta tego rozkładu wyraża
+<center><math>\mathit{es} := 3500
-się wzorem:
+</math></center>
-<center><math>\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^xf(t)\,dt =
-\left\{ \begin{array} {rl}
-& \mbox{ dla } x<0\\
--  e^{-\lambda x} & \mbox{ dla }  x \ge 0.
-\end{array}  \right. </math></center>
-Nadzieja matematyczna oraz  wariancja  w  rozkładzie
+<center><math>
-wykładniczym wyrażają się wzorami:
+\mathit{vs} := {\frac {8750}{3}}
-<center><math>\displaystyle
-{\Bbb E}(X) = \frac{1}{\lambda},  \hspace{2cm}  {\Bbb D}^2 (X)  =
-\frac{1}{\lambda^2}.
 </math></center>
-Następująca animacja pokazuje, jak zmienia się gęstość rozkładu wykładniczego w zależności od parametru <math>\displaystyle \lambda</math>:
-Spróbujemy  teraz uzasadnić,  że  rozkład wykładniczy jest
+Przygotowujemy wykres gęstości rozkładu teoretycznego (lecz go
-ciągłym  odpowiednikiem  rozkładu
+jeszcze nie wyświetlamy):
-geometrycznego. Mówiąc niezbyt ściśle, najpierw pokażemy, że
-czas oczekiwania  na  pierwszy sukces w
+  ''> g2 := plot(f(es,sqrt(vs)),3320..3680, color=black):''
-nieskończonym ciągu niezależnych prób Bernoulliego ma  w
-przybliżeniu rozkład  wykładniczy  o  parametrze
-<math>\displaystyle \lambda</math>,   o   ile   czas pomiędzy kolejnymi
-próbami jest bardzo mały, a
-prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej
-próbie jest małe i wprost proporcjonalne do tego czasu, przy
-czym parametr  <math>\displaystyle \lambda</math>  jest współczynnikiem tej
-proporcjonalności.
-Niech  <math>\displaystyle \lambda  >  0</math>
+Obliczamy średnią i odchylenie standardowe dla szeregu rozdzielczego:
-będzie ustalone. Oznaczamy:  <center><math>\displaystyle p  =
-p_\delta  =  \lambda \delta\;\; \textrm{dla każdego} \;\delta >0.</math></center> Niech
-<math>\displaystyle X_1,X_2,X_3,\dots</math>       będzie       ciągiem
-niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma
-rozkład  dwupunktowy  o parametrze <math>\displaystyle p</math> oraz niech: <center><math>\displaystyle T =
-\delta \min\{n \ge 1: X_n = 1\}.</math></center> Oznaczmy przez <math>\displaystyle F</math>
-dystrybuantę rozkładu wykładniczego o  parametrze
-<math>\displaystyle \lambda</math>.
-{{twierdzenie|||
+  ''> ee := evalf(stats[describe,mean]([lista]));''
-Dla każdego <math>\displaystyle t \in {\Bbb R}</math>:
-<center><math>\displaystyle
-F_T(t)   \longrightarrow   F(t),    \;\;    \mbox{    gdy    }\;
-\delta\longrightarrow 0. </math></center>
-}}
-'''Dowód. '''Dla <math>\displaystyle t\le  0</math>  sytuacja  jest  trywialna.
+<center><math>\mathit{ee} := 3501.587500
-Niech zatem <math>\displaystyle t > 0</math>. Zauważając, że zmienna losowa <math>\displaystyle \displaystyle T\over
-\delta</math>  ma rozkład geometryczny  (patrz twierdzenie
-[[##d41|Uzupelnic d41|]])   i&nbsp;oznaczając część całkowitą liczby
-<math>\displaystyle t\over \delta</math> przez <math>\displaystyle n</math>, mamy kolejno:
-<center><math>\displaystyle
-F_T(t) = P(T \le t) = 1 - P(T>t) = 1 - P(\frac{T}{\delta}  >
-\frac{t}{\delta}) = 1 - \sum_{k = n+1}^\infty (1-p)^{k-1}p
 </math></center>
-<center><math>\displaystyle
-=1     -     (1     -     p)^n     =     1     -     (1     -
-\frac{\lambda}{\delta^{-1}})^{\delta ^{-1}t
+  ''> ve := evalf(stats[describe,standarddeviation]([lista]));''
--r_\delta} \longrightarrow 1 - e^{-\lambda t} = F(t),
+<center><math>\mathit{ve} := 57.07764311
 </math></center>
-przy   <math>\displaystyle \delta   \rightarrow   0</math>,   gdyż   <math>\displaystyle 0   \le
-r_\delta   = \frac{t}{\delta} - n < 1</math>. <math>\displaystyle \hfill{ \Box}</math>
-Można też  pokazać (dowody pomijamy)  odpowiedniki
-twierdzeń [[##d42|Uzupelnic d42|]] i [[##duj2|Uzupelnic duj2|]] dla przypadku ciągłego.
-{{twierdzenie|||
+Teraz przygotowujemy wykres gęstości rozkładu normalnego o parametrach
+obliczonych z szeregu rozdzielczego:
+  ''> g3 := plot(f(ee,ve),3320..3680, color=black,thickness=2):''
+aby następnie wyświetlić, na jednym rysunku, histogram i dwie
+poprzednio otrzymane gęstości:
+  ''> plots[display](g1,g2,g3);''
+<center>
+<flash>file=Rp.1.95.swf|width=350|height=350</flash>
+</center>
+Ponieważ bardzo  często zmiennymi losowymi są
+niezależne próby Bernoulliego, więc  sformułujemy centralne  twierdzenie
+graniczne specjalnie dla tego przypadku. Jest
+to  natychmiastowy wniosek z&nbsp;twierdzenia Lindeberga-Levy'ego ([[#tw_9.3|twierdzenie 9.3]]).
-Niech <math>\displaystyle T</math> będzie  nieujemną  zmienną  losową,
-spełniającą warunek:
-<center><math>\displaystyle
-P(T  >  t  +  s|T  >  s)  = P(T  >  t)\;  \mbox{  dla  wszystkich } s,t > 0,
-</math></center>
-zwany  brakiem  pamięci.  Wówczas  <math>\displaystyle T</math>  ma   rozkład
-wykładniczy.
-}}
-{{uwaga|||
+{{twierdzenie|9.7 [de Moivre'a-Laplace'a]|tw_9.7|
+Niech   <math>X_1,
+\,X_2,   \,   X_3,\dots</math>   będzie   ciągiem
+niezależnych prób Bernoulliego, z takim samym
+prawdopodobieństwem  sukcesu <math>p</math> i
+porażki <math>q = 1 - p</math> w każdej próbie (<math>0<p<1</math>). Wtedy:
-Zachodzi także twierdzenie odwrotne do twierdzenia [[##trwbp|Uzupelnic trwbp|]]. }}
-{{twierdzenie|||
+<center><math>
+P\left(\frac{S_n - np}{\sqrt{npq}} \le  x\right)  \longrightarrow
+\Phi(x)</math>,</center>
-Niech  <math>\displaystyle T_1,\dots, T_n</math>   będą   niezależnymi zmiennymi   losowymi
-o&nbsp;takim  samym  rozkładzie
-wykładniczym   z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math> oraz niech <math>\displaystyle S_n
-=T_1+\dots+T_n</math>.
-Wtedy <math>\displaystyle S_n</math> ma rozkład o gęstości <math>\displaystyle f_n</math>, zadanej wzorem:
-<center><math>\displaystyle
-f_n(x)=\left\{ \begin{array} {rl}
-\frac{\lambda(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}  e^{-\lambda  x} & \mbox{ dla } x>0\\
-& \mbox{ dla }  x \le 0.
-\end{array}  \right.
-</math></center>
-Rozkład ten nosi
-nazwę  rozkładu Erlanga. }}
-===Proces Poissona===
+dla każdego <math>x \in {\Bbb R}</math>. }}
-Na zakończenie niniejszego wykładu sformułujemy twierdzenie, które pokazuje
+Oczywiście, [[#tw_9.4|twierdzenie 9.4]] i [[#tw_9.5|twierdzenie 9.5]] można także z&nbsp;łatwością przeformułować dla
-głęboki  związek między rozkładem wykładniczym i
+przypadku  niezależnych  prób Bernoulliego.
-rozkładem Poissona.  Zdefiniujemy mianowicie tak
-zwany  proces  Poissona,  czyli  dla  każdego
-dodatniego <math>\displaystyle t</math> określimy  zmienną  losową  <math>\displaystyle N_t</math>
-mającą  rozkład Poissona   o   parametrze   <math>\displaystyle \lambda
-t</math>.   Mówiąc   (na    razie) nieprecyzyjnie, zmienna
-<math>\displaystyle N_t</math> oznacza  liczbę  sukcesów  w&nbsp;ciągu niezależnych
-prób Bernoulliego, o ile próby te mogą być powtarzane
-nieskończenie często, zaś prawdopodobieństwo pojawienia się
-sukcesu w bardzo krótkim odcinku czasu <math>\displaystyle \Delta t</math> wynosi w
-przybliżeniu  <math>\displaystyle \lambda t</math> -- mamy więc sytuację  opisaną
-w  twierdzeniu  [[##dgw3|Uzupelnic dgw3|]]  i  w poprzedzającym go
-komentarzu. W takim razie, czas  oczekiwania  na
-pierwszy sukces ma rozkład wykładniczy o parametrze
-<math>\displaystyle \lambda</math>,  a czas  oczekiwania  na  <math>\displaystyle n</math>  sukcesów  ma,
-zgodnie  z   twierdzeniem
-[[##derlang|Uzupelnic derlang|]], rozkład Erlanga. Na  tej podstawie
-nietrudno jest już określić rozkład zmiennej <math>\displaystyle N_t</math>.
-{{twierdzenie|||
+{{uwaga|9.8|uw 9.8|
+Wyraźnie zaznaczamy,  że  centralne  twierdzenie
+graniczne  jest prawdziwe przy dużo ogólniejszych
+założeniach.  W  szczególności zmienne losowe nie muszą
+mieć takiego samego rozkładu, a nawet nie  muszą być
+niezależne. Jednakże, różnym wersjom centralnego  twierdzenia
+granicznego  przyświeca ta sama idea:
-Niech  <math>\displaystyle T_1,T_2, T_3,\dots </math>   będą niezależnymi  zmiennymi   losowymi
+suma  niewiele  zależnych  od  siebie   składników
-o&nbsp;takim  samym  rozkładzie
+losowych, z których żaden nie dominuje istotnie nad
-wykładniczym   z parametrem  <math>\displaystyle \lambda</math>.  Niech  <math>\displaystyle S_n
+pozostałymi, ma w przybliżeniu rozkład normalny.
-=T_1+\dots+T_n</math> oraz niech <math>\displaystyle S_0 = 0</math>.
-Wtedy zmienna losowa <math>\displaystyle N_t</math>, zdefiniowana wzorem:
-<center><math>\displaystyle
-N_t := \max \{n: S_n \le  t\},
-</math></center>
-gdzie <math>\displaystyle t> 0</math> jest ustaloną liczbą,
-ma  rozkład  Poissona  o
-parametrze <math>\displaystyle \lambda t.</math> }}
-'''Dowód. ''' Zauważmy, że zdarzenie <math>\displaystyle \{N_t  =  k\}</math>
+}}
-jest  równoważne zdarzeniu: <center><math>\displaystyle \{S_k \le t\} \setminus
+<div class="references-small">
-\{S_{k+1} \le t \}.</math></center> Tak więc:
+<references/>
-<center><math>\displaystyle
+</div>
-P(N_t = k) = F_k(t) - F_{k+1}(t),
-</math></center>
-gdzie  <math>\displaystyle F_k</math>  oznacza  dystrybuantę  zmiennej  losowej
-<math>\displaystyle S_k</math>.  Z twierdzenia  [[##derlang|Uzupelnic derlang|]] wynika, że <math>\displaystyle S_k</math> na rozkład Erlanga, tak więc:
-<center><math>\displaystyle
-F_k(t)  =   \int_0^t   \frac{\lambda(\lambda   x)^{k-1}}{(k-1)!}
-e^{-\lambda x}\, dx \;\; \mbox{ dla } t >0.
-</math></center>
-Indukcyjnie można pokazać, że:
-<center><math>\displaystyle
-F_k(t) = 1 - e^{-\lambda t} \left(1  +  \frac{\lambda  t}{1!}  +
-\dots + \frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} \right),
-</math></center>
-a stąd: <center><math>\displaystyle  \displaystyle P(N_t = k) = \frac{(\lambda
-t)^k}{k!}e^{-\lambda t}.</math></center> <math>\displaystyle \hfill{ \Box}</math>