SW wykład 9 - Slajd7

<<powrót do strony wykładu

Dziedziny podstawowe Suma i produkt Suma spłaszczona i produkt spłaszczony Przestrzeń funkcji ciągłych Izomorfizm dziedzin Konstruowanie funkcji ciągłych Złożenie funkcji i indeksowanie Inne konstrukcje Operator punktu stałego Równania stałopunktowe Równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Problemy Dziedziny refleksywne Rozwiązanie naiwne dziedziny Scotta

Pokażemy teraz kilka konstrukcji bardziej złożonych funkcji ciągłych z danych funkcji ciągłych.

Podstawowe znaczenie ma oczywiście złożenie funkcji: łatwo pokazać, że złożenie dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Co więcej, sama dwuargumentowa funkcja złożenia (funkcja wyższego rzędu, której argumenty są funkcjami ciągłymi o odpowiednio zgodnej przeciwdziedzinie i dziedzinie, a wynikiem złożenie tych argumentów) jest funkcją ciągłą.

Trochę podobnie: dla dowolnego zbioru indeksów, dla dowolnej ciągłej funkcji wieloargumentowej, indeksowana wersja tej funkcji (patrz slajd 8, wykład 4) też jest funkcją ciągłą (na łańcuchowo zupełnych zbiorach funkcji z indeksów w dziedziny argumentów pierwotnie danej funkcji). Co więcej, jednoargumentowa funkcja wyższego rzędu, która danej funkcji wieloargumentowej przypisuje jej wersję indeksowaną, sama też jest funkcją ciągłą.

Powyżej rozważaliśmy, nieco niejawnie, funkcje wieloargumentowe jako funkcje jednoargumentowe zdefiniowane na odpowiednim produkcie dziedzin dla poszczególnych argumentów. Można pokazać, że tak rozważana funkcja wieloargumentowa na produkcie zbiorów łańcuchowo zupełnych jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła względem każdego ze swoich wielu argumentów osobno (to znaczy, dla każdego argumentu i dla dowolnych ustalonych wartości pozostałych argumentów, jednoargumentowa funkcja tego wyróżnionego argumentu przy ustalonych wartościach pozostałych argumentów jest ciągła). Uzasadnia to wykorzystanie notacji lambda, która odpowiada funkcji wyższego rzędu, przekształcającej dowolną ciągłą funkcję wieloargumentową w (też ciągłą) funkcję, która "opuszcza" jeden z argumentów dając w wyniku (ciągłą) funkcję tego "opuszczonego" argumentu. Pospieszmy też dodać, że ta funkcja wyższego rzędu sama też jest oczywiście ciągła.