SW wykład 9 - Slajd3

<<powrót do strony wykładu

Dziedziny podstawowe Suma i produkt Suma spłaszczona i produkt spłaszczony Przestrzeń funkcji ciągłych Izomorfizm dziedzin Konstruowanie funkcji ciągłych Złożenie funkcji i indeksowanie Inne konstrukcje Operator punktu stałego Równania stałopunktowe Równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Problemy Dziedziny refleksywne Rozwiązanie naiwne dziedziny Scotta

Przedstawione wyżej definicje produktu i sumy rozłącznej zbiorów łańcuchowo zupełnych mają pewną własność, która często okazuje się niewygodna: mianowicie, prowadzą do mnożenia się "elementów nieokreślonych". Operacja sumy rozłącznej, do istniejących już w zbiorach składowych elementów nieokreślonych (najmniejszych) dodaje nowy. Oczywiście, w ten sposób elementy najmniejsze zbiorów składowych przestają być najmniejszymi, ale jedyna informacja, którą one niosą, to nadal tylko wskazówka, w której składowej się one znajdują. Dla produktu, poza elementem najmniejszym, będącym parą elementów najmniejszych, mamy też dwie rodziny elementów "częściowo nieokreślonych", złożonych z elementu najmniejszego jednego ze zbiorów i dowolnego elementu ze zbioru drugiego.

Uniknąć tej "proliferacji nieokreśloności" można modyfikując nieco nasze operacje produktu i sumy.

Definiujemy produkt spłaszczony dwóch zbiorów łańcuchowo zupełnych, wyrzucając z ich produktu wszystkie pary zawierające element najmniejszy jednego lub drugiego zbioru, a w ich miejsce dodając tylko jeden, nowy element najmniejszy. Z definicji, taki zbiór ma element najmniejszy, a nietrywialne łańcuchy w tym zbiorze, poza być może owym dodanym elementem najmniejszym, leżą całkowicie w produkcie zdefiniowanym na poprzednim slajdzie. Ich kres górny wyznaczony jest tak, jak w "pełnym" produkcie. Zatem, tak zdefiniowany produkt spłaszczony zbiorów łańcuchowo zupełnych jest zbiorem łańcuchowo zupełnym.

Sumę spłaszczoną zbiorów łańcuchowo zupełnych definiujemy wyrzucając z ich sumy rozłącznej, zdefiniowanej na poprzednim slajdzie, pierwotne elementy najmniejsze zbiorów składowych (ale zachowując nowy, dodany, wspólny element najmniejszy). Łatwo też sprawdzić, że tak zdefiniowana suma spłaszczona zbiorów łańcuchowo zupełnych jest zbiorem łańcuchowo zupełnym.