SW wykład 9 - Slajd2

<<powrót do strony wykładu

Dziedziny podstawowe Suma i produkt Suma spłaszczona i produkt spłaszczony Przestrzeń funkcji ciągłych Izomorfizm dziedzin Konstruowanie funkcji ciągłych Złożenie funkcji i indeksowanie Inne konstrukcje Operator punktu stałego Równania stałopunktowe Równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Rekurencyjne równania dziedzinowe Problemy Dziedziny refleksywne Rozwiązanie naiwne dziedziny Scotta

Mając dane dwa zbiory łańcuchowo zupełne, można je "złożyć" na przynajmniej dwa oczywiste sposobu.

Po pierwsze, można zbudować ich iloczyn kartezjański (produkt), przyjmując dla tak otrzymanego zbioru par porządek po współrzędnych (dany na każdej ze współrzędnych przez porządek na odpowiednim wyjściowym zbiorze łańcuchowo zupełnym). Łatwo sprawdzić, że w tak zadanym porządku elementem najmniejszym jest para elementów najmniejszych z tych dwóch zbiorów. Podobnie, każdy (przeliczalny) łańcuch po zrzutowaniu na pierwszą i na drugą współrzędną daje (przeliczalny) łańcuch w pierwszym lub drugim zbiorze, odpowiednio, a jego kresem górnym jest para złożona z kresów górnych tak otrzymanych (przez rzutowania) łańcuchów w pierwszym i drugim zbiorze, odpowiednio. Zatem: produkt zbiorów łańcuchowo zupełnych z tak zdefiniowanym porządkiem jest zbiorem łancuchowo zupełnym.

Warto tu od razu zauważyć, że podobnie można zdefiniować produkt dowolnej niepustej rodziny zbiorów łańcuchowo zupełnych --- zostawiamy to Państwu jako łatwe ćwiczenie. Przy okazji: czym byłby produkt pustej rodziny zbiorów?

Po drugie, możemy zbudować sumę rozłączną tych zbiorów. Jednak proste dodanie ich zbiorów elementów (po ich urozłącznieniu), z zachowaniem porządku w każdej składowej daje porządek częściowy, w którym każdy (niepusty) przeliczalny łańcuch ma kres górny, ale w którym nie istnieje element najmniejszy. Aby temu zaradzić, budując sumę rozłączną dwóch zbiorów dodajemy dodatkowy, nowy element najmniejszy. Jest to jedyny element w nowym zbiorze łańcuchowo zupełnym, który jest w relacji porządku z elementami obu zbiorów składowych. Tak powstały zbiór z definicji ma element najmniejszy, a każdy łańcuch w nim albo jest jednoelementowy, albo poza co najwyżej najmniejszym elementem leży całkowicie w jednym ze zbiorów składowych i jego kres górny jest tożsamy z jego kresem górnym po odrzuceniu nowego elementu najmniejszego w tym właśnie zbiorze składowym. Widać zatem, że tak zdefiniowana suma rozłączna zbiorów łańcuchowo zupełnych jest zbiorem łańcuchowo zupełnym.

Znów warto przez chwilę zastanowić się, jak uogólnić tę konstrukcję na sumę rozłączną dowolnej rodziny zbiorów łańcuchowo zupełnych --- oczywistą definicję pozostawiamy Państwu.