Test GR: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „<math> ” na „<math>”
 
(Nie pokazano 83 wersji utworzonych przez 3 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
{theor}{TWIERDZENIE}[section]
<quiz type="exclusive">
{rem}{UWAGA}[section]
{corol}{WNIOSEK}[section]
{fact}{FAKT}[section]
{ex}{PRZYKŁAD}[section]
{defin}{DEFINICJA}[section]
{lem}{LEMAT}[section]


{prf}{DOWÓD}


{algorithm}{Algorytm}
</quiz>


{ automat skończenie stanowy}


; Wprowadzenie
------------------------------
:  W rozdziale tym zdefiniujemy automat - drugi, obok gramatyki, model
obliczeń. Określimy język rozpoznawany przez automat i podamy warunki równoważne na to,
by język był rozpoznawany.


; Słowa kluczowe
:  automat skończenie stanowy, język rozpoznawany, prawa kongruencja
automatowa, homomorfizm automatów, monoid przejść automatu.


==AUTOMATY==
1111111111111111111111111111111111111111111


Wprowadzimy teraz pojęcie automatu. Jak już wspomnieliśmy w wykładzie drugim
automat to drugi, obok gramatyki, model obliczeń będący przedmiotem badań
teorii języków i automatów. Model realizujący  warunek efektywności analitycznej,
czyli taki na podstawie którego możliwe jest sformułowanie algorytmu rozstrzygającego
w skończonej liczbie kroków, czy dowolne słowo należy
czy też nie należy do  języka rozpoznawanego przez ten automat. Lub inaczej możemy
powiedzieć, że taki automat daje algorytm efektywnie rozstrzygający  czy dowolne
obliczenie sformułowane nad alfabetem automatu jest poprawne.


Wprowadzony w tym wykładzie automat, zwany automatem skończenie stanowym, jest jednym
z najprostszych modeli obliczeń. Jest to model z bardzo istotnie ograniczoną pamięcią.
Działanie takiego automatu sprowadza się do zmiany stanu  pod
wpływem określonego zewnętrznego sygnału czy impulsu.


Pomimo tych ograniczeń urządzenia techniczne oparte o modele takich automatów spotkać
1111111111111111111111111111111111111111111
możemy dość często. Jako przykład służyć mogą automatyczne drzwi, automaty sprzedające
napoje, winda czy też urządzenia sterujące taśmą produkcyjną.


{{cwiczenie|[Uzupelnij]||


Drzwi automatycznie otwierane są sterowane automatem, którego działanie opisać
można, przyjmując następujące oznaczenia. Fakt, że osoba chce wejść do pomieszczenia
zamykanego przez takie drzwi, identyfikowany przez odpowiedni czujnik, opiszemy symbolem
<math>WE</math>. Zamiar wyjścia symbolem <math>WY</math>. Symbol <math>WEWY</math> będzie związany z równoczesnym zamiarem
wejścia jakiejś osoby i wyjścia innej. Wreszcie symbol <math>BRAK</math> oznaczał będzie brak osób, które
chcą wejść lub wyjść. Zatem zbiór <math>\{ WE, WY,WEWY,BRAK \}</math>, to alfabet nad którym określimy automat
o <math>2</math> stanach: <math>OTWARTE, ZAMKNIĘTE</math> poniższym grafem.


RYSUNEK  ja-lekcja3-w-rys6
22222222222222222222222222222222222222222


ANIMACJA ja-lekcja-w-rys7 działania drzwi
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test==


}}


Automaty reagują więc na określone sygnały zewnętrzne reprezentowane przez
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
litery alfabetu <math>A</math> zmieniając swój
stan.  Jeśli ustalimy  stan początkowy automatu oraz dopuszczalne stany
końcowe, to automat będzie testował dowolne słowo z <math>A^{*} </math>  startując ze
stanu początkowego. Jeśli rezultatem finalnym działania automatu (obliczenia)
będzie stan końcowy, to słowo będzie
rozpoznawane przez automat, a obliczenie określone takim słowem poprawne.


Podamy teraz definicję automatu. Niech <math>A</math> oznacza dowolny alfabet.
==Norma. Iloczyn skalarny. Test==
Od tego momentu wykładu zakładamy, że alfabet jest zbiorem skończonym.


'''Automatem''' nad alfabetem <math>A </math> nazywamy system <math>\mathcal{A} =(S,f)</math>,
w którym


<math>S</math> - jest dowolnym skończonym zbiorem zwanym zbiorem stanów,
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444


<math>f: S \times A \rightarrow S</math> - jest funkcją przejść.
==Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test==


Automat będąc w stanie <math>s_{i} </math> po przeczytaniu litery <math>a </math> zmienia
<quiz>
stan na <math>s_{j} </math> zgodnie z funkcją przejścia <math>f(s_{i},a)=s_{j} </math>.
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie
<math>
  f_n(x)=
  \left\{
  \begin{array} {lll}
  1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\
  0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1]
  \end{array}
  \right</math>
dla <math>n\in\mathbb{N}</math>
Ciąg ten jest
<rightoption>zbieżny punktowo do <math>f(x)\equiv 0</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do  <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
<wrongoption>zbieżny punktowo do funkcji <math>f(x)=
  \left\{
  \begin{array} {lll}
    1 & \text{dla} & x\geq 1\\
    0 & \text{dla} & x<0
  \end{array}  
  \right</math></wrongoption>
</quiz>


Funkcję przejść rozszerzamy na cały wolny monoid <math>A^{*} </math> do postaci <center><math>f: S \times A^* \rightarrow S</math></center> przyjmując:
  tak, nie, nie


dla każdego <math> s \in S\;\;\;f(s,1) = s </math> oraz
<quiz>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>\{f_n\}</math> gdzie


dla każdego <math>s \in S,\;\;a \in A</math> i dla dowolnego <math>w \in A^*</math>
<center><math>f_n(x)=
 
  \left\{
<center><math>
  \begin{array} {lll}
f(s,wa) = f(f(s,w),a).
\frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \text{dla} & x>0\\
</math></center>
  \\
 
  \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \text{dla} & x<0\\
Działanie automatu pokazane jest na rysunku.
  \\
 
  0 & \text{dla} & x=0\\
rys3.1
  \end{array}  
 
  \right.
Zdefiniowany powyżej automat <math>\mathcal{A} </math> nazywamy '''skończonym''' lub
  \quad</math> dla <math>\ n=1,2,\ldots
'''skończenie stanowym''' ze względu na założenie skończoności zbioru stanów <math>S</math>.<br>
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Niech <math>A=\left\{ a,b\right\}  </math> będzie alfabetem, a <math>\mathcal{A}=(S,f) </math>
automatem takim, że
 
<math>S=\left\{ s_{0},s_{1},s_{2}\right\}  </math>, a funkcja przejść zadana jest przy
pomocy tabelki
 
{
 
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-  
|
<math>f </math> ||
<math>s_{0} </math> ||
<math>s_{1} </math> ||
<math>s_{2} </math>
|-
|
 
<math>a </math> ||
<math>s_{1} </math> ||
<math>s_{2} </math> ||
<math>s_{2} </math>
|-
|
<math>b </math> ||
<math>s_{0} </math> ||
<math>s_{0} </math> ||
<math>s_{0} </math>
|-
|
 
|}
 
}
 
Automat możemy również jednoznacznie określić przy pomocy grafu.<br>
 
rys3.2
 
}}
 
Podamy teraz bardzo interesujący przykład zastosowania automatów  skończonych.
Przedstawimy mianowicie wykorzystanie  tak zwanych
automatów synchronizujących w przemyśle. Automat synchronizujący nad alfabetem <math>A</math> to
automat <math>(S,f)</math>  o
następującej własności: istnieje stan <math>t \in S</math> oraz słowo <math>w \in
A^*</math> takie, że dla każdego stanu <math>s</math> tego automatu <math>  f(s, w)=t</math>. Istnieje więc pewne uniwersalne
słowo <math>w</math>, pod wpływem którego wszystkie stany przechodzą w jeden,
ustalony stan automatu <math>t \in S</math>. Mówimy, że następuje wtedy synchronizacja
wszystkich stanów automatu.
 
Poniżej prezentujemy przykład zaczerpnięty z pracy Ananicheva i
Volkova (D. S. Ananichev, M. V. Volkov, Synchronizing Monotonic
Automata, ''Lecture Notes in Computer Science'', 2710(2003),
111--121.), ukazujący ideę użycia automatów synchronizujących w tej
dziedzinie.
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
RYSUNEK pojedynczego detalu - ja-lekcja3-w-rys-s1
 
Załóżmy, że pewna fabryka produkuje detale w kształcie kwadratu z
"wypustką" na jednym boku
(patrz rys. [[##ja-lekcja3-w-rys-s1|Uzupelnic ja-lekcja3-w-rys-s1|]]).
Po wyprodukowaniu detale należy umieścić w opakowaniach w ten sposób,
by wszystkie były w tej samej orientacji - mianowicie "wypustką" w
lewo.
 
Załóżmy ponadto dla uproszczenia, że detale mogą przyjmować jedną z
czterech orientacji (rys. [[##ja-lekcja3-w-rys-s2|Uzupelnic ja-lekcja3-w-rys-s2|]]): "wypustką" w
górę, w dół, w lewo lub w prawo.
 
RYSUNEK ja-lekcja3-w-rys-s2
 
Należy zatem skonstruować takie urządzenie (orienter), które będzie
ustawiało wszystkie detale w żądanej orientacji. Oczywiście istnieje
wiele metod rozwiązania tego problemu, ale z praktycznego punktu
widzenia potrzebne jest rozwiązanie najprostsze i najtańsze. Jednym
z takich sposobów jest umieszczanie detali na pasie transmisyjnym z
zamontowaną wzdłuż niego pewną ilością przeszkód dwojakiego rodzaju:
niskich (''low'') oraz wysokich (''HIGH''). Wysoka
przeszkoda ma tę własność, że każdy detal, który ją napotka zostanie
obrócony o 90 stopni w prawo (zakładamy, że elementy jadą od lewej
do prawej strony). Przeszkoda niska obróci o 90 stopni w prawo tylko
te detale, które są ułożone "wypustką" w dół. Na rys.
[[##ja-lekcja3-w-rys-s3|Uzupelnic ja-lekcja3-w-rys-s3|]] przedstawione zostały przejścia pomiędzy
orientacjami detali w zależności od napotkania odpowiedniej
przeszkody.
 
RYSUNEK ja-lekcja3-w-rys-s3
 
Można zauważyć, że automat z rysunku [[##ja-lekcja3-w-rys-s3|Uzupelnic ja-lekcja3-w-rys-s3|]] jest
automatem synchronizującym. Słowem, które go synchronizuje jest
następująca sekwencja przeszkód:
 
low-HIGH-HIGH-HIGH-low-HIGH-HIGH-HIGH-low.
 
Niezależnie od tego, w jakiej orientacji początkowej znajduje się
detal, po przejściu przez powyższą sekwencję przeszkód zawsze będzie
ułożony "wypustką" w lewo. Sytuację przedstawia poniższa animacja:
 
ANIMACJA ja-lekcja3-w-anim-s4
 
}}
 
Rozszerzymy teraz wprowadzone pojęcie automatu w ten sposób by uzyskać możliwość
efektywnego rozstrzygania czy dowolne słowo utworzone nad alfabetem <math>A</math>
reprezentuje poprawne obliczenie,
czyli spełnia kryteria określone przez rozszerzony automat.
 
'''Język''' <math>\; L~\subset A^* \;</math> jest '''rozpoznawany''' ('''akceptowany''')
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje automat skończony <math>\mathcal{A} = (S,f) , \;</math> stan <math>\; s_0 \in S \;</math> oraz zbiór <math>\; T \subset S \;</math> takie, że
<center><math>L = \{ w \in A^* \; : \; f(s_0,w) \in T \}. </math></center> Stan <math>s_0 \;</math> nazywamy '''stanem początkowym''',
a <math>\; T \;</math> '''zbiorem stanów końcowych''' automatu <math>\mathcal{A} </math>.
 
Rozszerzony w powyższy sposób automat, poprzez dodanie stanu początkowgo i zbioru stanów końcowych, w dalszym ciągu
nazywamy automatem i oznaczamy jako piątkę <math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math> lub czwórkę <math>\mathcal{A} =(S,f,s_0,T)</math>, jeśli
wiadomo, nad jakim alfabetem rozważamy działanie automatu.
 
Fakt, że język <math>\; L \;</math> jest rozpoznawany przez automat <math>\mathcal{A}, </math> zapisujemy jako
 
<center><math>L=L(\mathcal{A}). </math></center>
 
Rodzinę wszystkich języków rozpoznawalnych nad alfabetem <math>A</math>
oznaczamy przez <math>\mathcal{REC}(\mathcal{A}^{*}) </math>.
 
Podobnie jak w przypadku gramatyk nie ma jednoznacznej odpowiedniości pomiędzy językami
rozpoznawalnymi a automatami. Wprowadza się więc relację, która identyfikuje
automaty rozpoznające ten sam język.
 
Automaty <math>\mathcal{A}_{1} </math> i <math>\mathcal{A}_{2} </math> są '''równoważne''',
jeśli rozpoznają ten sam język, czyli
 
<center><math>L(\mathcal{A}_{1})=L(\mathcal{A}_{2}).</math></center>
 
W dalszych rozważaniach języków rozpoznawanych ograniczymy się do automatów
<math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math>,
które spełniają warunek  <math>f(s_0,A^*) = S.</math>
Nie zawęża to naszych rozważań. Jeśli bowiem język <math>\; L \;</math> jest rozpoznawany
przez pewien automat <math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math>, to jest również
rozpoznawany przez automat
 
<center><math>\mathcal{B}=\left( f(s_{0},A^{*}),A,f|_{f(s_{0},A^{*})\times A^{*}},s_{0},T\cap f(s_{0},A^{*})\right) ,</math></center>
 
który spełnia powyższy warunek. Zauważmy, że przyjmując to założenie upraszczamy strukturę
automatu. Z punktu widzenia grafu automatu można powiedzieć, że nie występują w nim
wierzchołki (stany) nieosiagalne ze z <math>s_0</math>.  Poniżej przedstawiamy algorytm usuwający
z automatu stany nieosiągalne ze stanu początkowego.
 
{{UsuńStanyNieosiągalne} - usuwa z automatu
<math>\mathcal{A}</math> stany nieosiągalne}
[1]
Wejście: <math>\mathcal{A}=(S, A, f, s_0, T)</math> - automat
 
Wyjście: <math>\mathcal{A}'=(S', A, f', s_0, T')</math> - automat
równoważny automatowi <math>\mathcal{A}</math> bez stanów nieosiągalnych.
 
'''procedure''' {Oznacz}<math>(x \in S)</math>
 
{<math>p \in S:\ \exists a \in A\ f(x,a)=p \wedge
\mbox{\textbf{zaznaczone}}[p]==0</math>}
 
'''zaznaczone'''<math>[p] \leftarrow 1</math>;
 
{Oznacz}<math>(p)</math>;
 
'''end procedure'''
 
{<math>p \in S</math>}
 
'''zaznaczone'''<math>[p] \leftarrow 0</math>;
 
'''zaznaczone'''<math>[s_0] \leftarrow 1</math>;
 
{Oznacz}<math>(s_0)</math>;
 
<math>S' = \{s \in S:\ \mbox{\textbf{zaznaczone}}[s]==1\}</math>;
 
<math>T' = T \cap S'</math>;
 
jeśli istnieje przynajmniej jeden stan, dla którego funkcja
przejścia <math>f</math> nie jest określona dla jakiejś litery <math>a \in A</math>, dodaj
stan <math>s_f</math> do <math>S'</math> i dla każdego stanu <math>s</math> i litery <math>a</math> jeśli <math>f(s,
a)</math> jest nieokreślone, to zdefiniuj <math>f(s,a)=s_f</math>;
 
<math>f' \leftarrow f</math>;
 
<math>\mathcal{A}'=(S', A, f', s_0, T')</math>;
 
Powyższy algorytm, dla ustalonego alfabetu <math>A</math>, posiada złożoność <math>O(|A|
\cdot |S|)</math>, czyli liniową względem liczby stanów.
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Jeśli w przykładzie [[##ex.3.1.1|Uzupelnic ex.3.1.1|]] przyjmiemy stan <math>s_{0} </math> jako stan
początkowy, <math>T=\left\{ s_{2}\right\}  </math> jako zbiór stanów końcowych, to
automat <math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math>  rozpoznaje język
 
<center><math>L(\mathcal{A})= A^{*}\left\{ a^2\right\}</math></center>
 
złożony ze słów, kończących się na <math>a^2 </math>.<br>
Słowo <math>aba</math> nie jest akceptowane.
rys3.3<br>
Słowo <math>abaa</math>  jest akceptowane.
rys3.4
}}
 
Każdy automat <math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math> wyznacza w wolnym monoidzie <math>A^*</math>
prawą kongruencję, nazywaną '''prawą kongruencją automatową''', określoną w następujący
sposób:<br>
<math>\forall u,v \in A^*</math>
 
<center><math>u\sim _{\mathcal{A}}v\Longleftrightarrow f(s_{0},u)=f(s_{0},v).</math></center>
 
Dla automatu skończonego ( o skończonym zbiorze stanów), a takie rozważamy,
relacja <math>\sim _{A} </math> ma
skończony indeks, czyli skończoną liczbę klas równoważności.
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Automat z przykładu [[##ex.3.1.1|Uzupelnic ex.3.1.1|]] ze stanem <math>s_{0} </math> jako początkowym wyznacza
relację równoważności o trzech klasach:
 
<math>[1]=A^*\left\{ b \right\}\cup \left\{ 1\right\}[a]=A^*\left\{ ba\right\} \cup \left\{ a\right\} [a^2]=A^*\left\{ a^2 \right\}  </math>
 
}}
 
Na odwrót, każda prawa kongruencja <math>\;\rho \subset (A^*)^2\;</math> wyznacza automat, zwany
'''ilorazowym''', w następujący sposób:
 
<center><math>\mathcal{A}_{\rho }=(A^{*}/_{\rho },f^{*}),\; \; gdzie\; \; f^{*}([w]_{\rho },u)=[wu]_{\rho }.</math></center>
 
<math>\mathcal{A} </math></center>_<math> jest automatem ze stanem początkowym </math>[1]_<math>. </math>{A}_{ } <math> jest automatem skończonym
wtedy i~tylko wtedy, gdy relacja  ma skończony indeks.\\
Z definicji prawej kongruencji wynika, że funkcja przejść </math>f^*<math> jest określona poprawnie.
 
\begindefin
 
Niech </math>{A} <nowiki>=</nowiki>(S,f)<math> i </math> {B} <nowiki>=</nowiki>(T,g)<math> będą dowolnymi automatami.
Odwzorowanie </math> :S T <math>
nazywamy \textbf{homomorfizmem automatów}\index{homomorfizm automatów}
wtedy i~tylko
wte\-dy, jeśli </math></center> s  S,  w  A^*(f(s,w))  <nowiki>=</nowiki>  g((s),w).<center><math> Homomorfizm
automatów oznaczamy </math> :{A} {B} <math>.
 
\enddefin
 
\begintheor 
 
Prawdziwe są następujące fakty:
 
#  Dla dowolnej prawej kongruencji </math>    (A^*)^2 </center> _{{A}_{ }}<nowiki>=</nowiki> ,<center><math>
 
#  Dowolny automat </math>{A} <nowiki>=</nowiki> (S,A,f,s_0,T)<math> jest izomorficzny z automatem </math>{A}_{ _{{A}}} <math>,
 
#  Dla dowolnych automatów </math>{A}_1<nowiki>=</nowiki> (S_1,A,f_1,s^1_0,T_1)<math>
i </math>{A}_2 <nowiki>=</nowiki> (S_2,A,f_2,s^2_0,T_2)<math>  prawdziwa jest równoważność
 
{\par\centering </math> _{{A}_1}    _{{A}_2}    <math>
istnieje epimorfizm </math> :{A}_1 {A}_2 <math> taki,
że </math>(s^1_0) <nowiki>=</nowiki> s^2_0<math>. \par}
 
\endtheor
 
\beginprf \hfill
 
# Identyczność relacji wynika wprost z~defi\-ni\-cji automatu ilorazowego </math>{A} <center><math>_\rho</math> oraz prawej kongruencji <math>\sim _{A_{\rho }} </math>.
 
# Rozważmy automat <math>\mathcal{A} = (S,A,f,s_0,T)</math> i  odwzorowanie
 
<center><math>\psi :\mathcal{A}\longrightarrow \mathcal{A}_{\sim _{\mathcal{A}}}, </math></center>
 
gdzie
<math>\forall s\in S </math> 
 
<center><math>\psi (s)=[w]_{\sim _{\mathcal{A}}} \;\;\text{dla}\;\;  w\in A^{*} \;\;\text{i} \;\; f(s_{0},w)=s. </math></center>
 
Istnienie słowa <math>w</math> wynika z faktu, że <math>s_0</math> jest stanem początkowym, natomiast z definicji relacji <math>\sim _{\mathcal{A}}</math> wynika, że odwzorowanie <math>\psi</math> jest poprawnie określone.<br>
Odwzorowanie <math>\psi</math> ma być homomorfizmem, czyli dla każdego stanu <math>s\in S </math> i dowolnego
słowa <math>w\in A^{*} </math> spełniać warunek
 
<center><math>\psi (f(s,w))=f^{*}(\psi (s),w). </math></center>
 
Warunek ten wynika z następujących równości
 
<center><math>\begin{array} {c}
f^{*}(\psi (s),w)=f^{*}([u]_{\sim_{\mathcal{A}}},w)=[uw]_{\sim _{\mathcal{A}}}=\\
=\left\{ v\in A^{*}:f(s_{0},uw)=f(s_{0},v)\right\} = \\
\left\{ v\in A^{*}:f(f(s_{0},u),w)=f(s_{0},v)\right\} = \\
=\left\{ v\in A^{*}:f(s,w)=f(s_{0},v)\right\} =\psi (f(s,w))
\end{array} </math></center>
 
gdzie <math>f(s_0,u)=s</math>.
 
Z prostych  obserwacji wynika, że <math>\psi </math> jest suriekcją i iniekcją.
 
# Dowód implikacji "<math>\Rightarrow</math>" <br>
Załóżmy, że <math>\: \sim _{\mathcal{A}_1}\: \subseteq \: \sim _{\mathcal{A}_2 } </math>. Niech
 
<center><math>\varphi :\mathcal{A}_1\longrightarrow \mathcal{A}_2 </math></center>
 
będzie odwzorowaniem takim, że<br>
<math>\forall  s\in S_1 </math> <center><math> \varphi (s) = f_2(s^2_0,w),\;\;\text{gdzie}\;\;  w\in A^{*}\;\; i \;\; f_1(s^1_0,w) = s.</math></center>
Stąd, że <math>s^1_0 </math> jest stanem początkowym automatu <math>\mathcal{A}_1, </math>
wynika, że istnieje słowo <math>\; w \in A^* \;</math> potrzebne do określenia epimorfizmu <math> \varphi</math>.<br>
Z założenia <math>\: \sim _{\mathcal{A}_1}\: \subseteq \: \sim _{\mathcal{A}_2} </math>
wynika, że <math>\varphi \;</math> jest poprawnie zdefiniowaną funkcją. <br>
Uzasadnienie faktu, że <math>\varphi</math> jest
homomorfizmem, jest analogiczne jak w punkcie [[##tb|Uzupelnic tb|]] dla <math>\psi</math>.<br>
<math>\varphi</math> jest suriekcją, gdyż <math>\; s^2_0 \; </math>
jest stanem początkowym automatu <math>\mathcal{A}_2 </math>.<br>
<math>\; \varphi (s^1_0) = s^2_0, \;</math> ponieważ <math>\; f_1(s^1_0,1) = s^1_0</math>. <br>
Dowód implikacji "<math>\Leftarrow</math>" <br>
Niech <math>\varphi :\mathcal{A}_1\longrightarrow \mathcal{A}_2 </math> będzie epimorfizmem
takim, że <math>\; \varphi (s^1_0) = s^2_0 \;</math>.<br>
Wówczas prawdziwy jest następujący ciąg wnioskowań.
 
<center><math>\begin{array} {c}
u\sim _{\mathcal{A}_1}v \Leftrightarrow f_1(s^1_0,u)=f_1(s^1_0,v)
\Rightarrow\\
\Rightarrow \varphi (f_1(s^1_{0},u))=\varphi (f_1(s^1_{0},v))\Rightarrow f_2(s^2_{0},u)=f_2(s^2_{0}v)\Leftrightarrow
u\sim _{\mathcal{A}_2}v
\end{array}
</math></center>
</math></center>


To oznacza, że <math>\sim _{\mathcal{A}_1}\subseteq \sim _{\mathcal{A}_2} </math>.
Ten ciąg funkcyjny jest
 
<wrongoption>zbieżny jednostajnie</wrongoption>
<math>\diamondsuit</math>   
<rightoption>zbieżny punktowo ale nie jednostajnie</rightoption>
 
<wrongoption>rozbieżny</wrongoption>
Symbolem <math>S^S</math> oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji określonych na zbiorze <math>S</math> i przyjmujących
</quiz>
wartości w <math>S</math>. Łatwo zauważyć, iż  rodzina ta wraz ze składaniem odwzorowań jest
monoidem  <math>(S^S,\circ)</math> .
 
Niech <math>\mathcal{A} = (S,f)</math> będzie dowolnym automatem.
'''Reprezentacją automatu''' <math>\mathcal{A} </math> nazywamy funkcję
<math>\tau _{\mathcal{A}}:A^{*}\longrightarrow S^{S} </math>
określoną dla dowolnych <math> w \in A^*</math> i <math>\; s \in S \;</math> równością
 
<center><math>\tau _{\mathcal{A}}(w)(s)=f(s,w). </math></center>
 
Reprezentacja automatu jest
homomorfizmem monoidu <math>A^*</math> w monoid <math>S^S</math>, bowiem dla dowolnych <math> v,w \in A^* </math>
spełnione są warunki
 
<center><math>\begin{array} {c}
\tau _{\mathcal{A}}(vw)=\tau _{\mathcal{A}}(w)\circ \tau _{\mathcal{A}}(v),\\
\tau _{\mathcal{A}}(1)=id_{S}.
\end{array} </math></center>
 
Niech <math>\mathcal{A} </math></center><nowiki>=</nowiki> (S,f)<math> będzie dowolnym automatem. \textbf{Monoidem przejść}\index{monoid przejść}
automatu </math>{A} <math> nazywamy monoid
 
</math></center>{M}({A})<nowiki>=</nowiki> _{{A}}(A^{*}) S^{S}.<center><math>
 
\enddefin
 
Następujace wnioski są konsekwencjami rozważań przeprowadzonych powyżej.
\begincorol  \vspace{-5truemm}\\
 
# Monoid przejść automatu </math>{A} <math> jest podmonoidem monoidu </math> S^S <math> i  zbiór
</math>  _{{A}}(a):a A  <math> jest zbiorem generatorów tego monoidu.
 
</math></center>{M}({A})<nowiki>=</nowiki>  _{{A}}(a):a A ^{*} <center><math>
 
Wynika to z faktu, że </math> _{{A}} <math> jest epimorfizmem i z twierdzenia~[[##tw:z|Uzupelnic tw:z|]].
 
# Monoid przejść automatu skończonego jest skończony.
 
# Monoid przejść automatu </math>{A} <math> jest izomorficzny z monoidem ilorazowym </math>A^{*}/_{Ker_{ _{{A}}}} <math>.
Jest to wniosek z twierdzenia o rozkładzie epimorfizmu, które w tym przypadku ilustruje poniższy diagram.
 
rys3.5
\endcorol
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Określimy monoid przejść dla automatu z przykładu [[##ex.3.1.1|Uzupelnic ex.3.1.1|]]. Wypisujemy kolejne
funkcje </math> _{{A}}(w) <math> dla </math>w a,b^{*} <math>. Zauważmy,
że ze względu na występujące w tabelce powtórzenia będace wynikiem równości,
np. </math> _{{A}}(b^2)<nowiki>=</nowiki> _{{A}}(b), <math> nie ma potrzeby
określać funkcji </math> _{{A}}(b^{n}) <math> dla </math>n 3 <math>. Podobna
obserwacja ma miejsce w innych przypadkach, co sprawia, że tabelka zawiera skończoną
liczbę różnych funkcji.
 
\vspace{0.3cm}
{\centering \begintabular {|c||c|c|c|}
\hline
&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
\hline
</math> _{{A}}(1) <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(a) <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{2} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(b) <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{0} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(a^{2}) <math>&
</math>s_{2} <math>&
</math>s_{2} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(ab) <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(ba) <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{1} <math> \\
\hline
</math> _{{A}}(b^{2}) <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{0} <math>&
</math>s_{0} <math>\\
\hline
</math> _{{A}}(aba) <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{1} <math>&
</math>s_{2} <math>\\
\hline
...&
...&
...&
...\\
\hline
\endtabular \par}
\vspace{0.3cm}
 
</math></center>M({A})<nowiki>=</nowiki>  _{{A}}(1), _{{A}}(a), _{{A}}(b),
_{{A}}(a^2), _{{A}}(b),  _{{A}}(ba),  _{{A}}(aba)
.<center><math>
 
}}
 
Poniżej zamieszczamy algorytm obliczający monoid przejść dla automatu skończenie stanowego.
 
\beginalgorithm 
\caption{\textsc{WyznaczMonoidPrzejść} - wyznacza monoid przejść dla
automatu}
\beginalgorithmic [1]
\STATE Wejście: </math>{A}<nowiki>=</nowiki>(S, A, f, s_0, T)<math> - automat
 
\STATE Wyjście: </math>M<math> - monoid przejść dla </math>{A}<math>
 
\STATE </math>L  <math>; </math>  L<math> jest listą
 
\STATE </math>M  <math>;
 
\FOR{</math>a  A  1<math>}
 
\STATE \textbf{insert}</math>(L, _{{A}}(a))<math>;  gdzie
</math>_{{A}}(a)(s)<nowiki>=</nowiki>f(s, a)<math> dla każdego </math>s  S<math>
 
\ENDFOR
 
\WHILE{</math>L  <nowiki>=</nowiki> <math>;}
 
\STATE </math>_{{A}}(w)  '''first'''(L)<math>;
 
\STATE </math>M  M  _{{A}}(w)<math>;
 
\FOR{</math>a  A<math>}
 
\STATE </math> s  S'_{{A}}(wa)(s)<nowiki>=</nowiki>f(_{{A}}(w)(s),a)<math>;
 
\IF{</math>'_{{A}}(wa)  L  M<math>}
 
\STATE \textbf{insert}</math>(L, '_{{A}}(wa))<math>;
 
\ENDIF
 
\ENDFOR
 
\ENDWHILE
 
\RETURN </math>M<math>;
 
\endalgorithmic
\endalgorithm
 
\eject
 
Procedura \textbf{insert}</math>(L, x)<math> wkłada na koniec listy </math>L<math> element
</math>x<math>. Funkcja \textbf{first}</math>(L)<math> wyjmuje pierwszy element znajdujący
się na liście </math>L<math> i zwraca go. Algorytm działa w następujący sposób:
najpierw na listę </math>L<math> wkładane są elementy monoidu przejść
</math>_{{A}}(a)<math> dla każdej litery </math>a  A  1<math>. Te
funkcje można obliczyć bezpośrednio z tabelki reprezentującej
funkcję przejścia automatu </math>{A}<math>. Następnie z listy po kolei
ściągane są poszczególne funkcje </math>_{{A}}(w)<math>. Każda z
nich dodawana jest do zbioru </math>M<math>, a następnie algorytm sprawdza dla
każdej litery </math>a  A<math>, czy funkcja </math>_{{A}}(wa)<math>
istnieje już na liście </math>L<math> lub w zbiorze </math>M<math>. Jeśli nie, to funkcja
ta dodawana jest do listy. Procedura powyższa trwa do czasu, gdy
lista </math>L<math> zostanie pusta. Wtedy wszystkie elementy monoidu przejść
znajdą się w zbiorze </math>M<math>.
 
Przeanalizujmy działanie algorytmu dla automatu z przykładu
[[##ex.3.1.1|Uzupelnic ex.3.1.1|]].
 
Na początku na listę </math>L<math> włożone zostaną funkcje
</math>_{{A}}(1)<math>, </math>_{{A}}(a)<math> oraz
</math>_{{A}}(b)<math>. Z listy zdejmujemy funkcję
</math>_{{A}}(1)<math> i dodajemy ją do zbioru </math>M<math>. Ponieważ
</math> a  A_{{A}}(1a)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(a)<math>, a
funkcje </math>_{{A}}(a)<math> oraz </math>_{{A}}(b)<math>
znajdują się już na liście, zatem nie dodajemy ich do </math>L<math>. Bierzemy
kolejny element listy, </math>_{{A}}(a)<math>, dodajemy go do </math>M<math> i
obliczamy funkcje </math>_{{A}}(aa)<math> oraz
</math>_{{A}}(ab)<math>. Ponieważ </math>_{{A}}(aa)<math> nie jest
tożsama z żadną funkcją ze zbioru </math>L  M<math>, dodajemy ją do listy.
Funkcja </math>_{{A}}(ab)<math> również nie jest równa żadnej z
funkcji należących do zbioru </math>L  M<math>, zatem wstawiamy ją na
koniec listy. Na liście </math>L<math> mamy zatem teraz następujące elementy:
</math>_{{A}}(b)<math>, </math>_{{A}}(a^2)<math> oraz
</math>_{{A}}(ab)<math>. Zdejmujemy z listy funkcję
</math>_{{A}}(b)<math>, dodajemy ją do </math>M<math> i obliczamy
</math>_{{A}}(ba)<math> oraz </math>_{{A}}(bb)<math>. Pierwsza z
tych funkcji jest nowa, tzn. nie jest tożsama z żadną funkcją ze
zbioru </math>L  M<math> więc dodajemy ją na koniec listy. Druga z nich
równa jest funkcji </math>_{{A}}(b)<math>, więc nie dodajemy jej do
listy. W tym momencie zbiór </math>M<math> zawiera następujące elementy:
</math>_{{A}}(1)<math>, </math>_{{A}}(a)<math>,
</math>_{{A}}(b)<math>, natomiast lista zawiera elementy
</math>_{{A}}(a^2)<math>, </math>_{{A}}(ab)<math>,
</math>_{{A}}(ba)<math>. Zdejmujemy z </math>L<math> funkcję
</math>_{{A}}(a^2)<math>, dodajemy ja do </math>M<math> i ponieważ
</math>_{{A}}(a^2a)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(a^2)<math> i
</math>_{{A}}(a^2b)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(b)<math> nic nie dodajemy do
</math>L<math>. Zdejmujemy teraz z listy funkcję </math>_{{A}}(ab)<math>,
dodajemy ją do </math>M<math> i ponieważ </math>_{{A}}(aba)<math> nie należy
do </math>L  M<math> dodajemy ją do listy.
</math>_{{A}}(abb)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(b)<math>, więc tej funkcji
nie dodajemy do </math>L<math>. Z </math>L<math> ściągamy </math>_{{A}}(ba)<math>,
dodajemy ją do </math>M<math> i widzimy, że
</math>_{{A}}(baa)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(a^2)<math> oraz
</math>_{{A}}(bab)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(b)<math>, więc nic nie
dodajemy do </math>L<math>. Na liście pozostała funkcja
</math>_{{A}}(aba)<math>. Ściągamy ją z listy i dodajemy do </math>M<math>.
Widzimy, że </math>_{{A}}(abaa)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(a^2)<math> i
</math>_{{A}}(abab)<nowiki>=</nowiki>_{{A}}(b)<math>, zatem nic nie
dodajemy do listy </math>L<math>. Lista jest w tym momencie pusta i działanie
algorytmu zakończyło się. Ostatecznie mamy
</math></center>M({A})<nowiki>=</nowiki> _{{A}}(1),_{{A}}(a),
_{{A}}(b),_{{A}}(a^2),_{{A}}(ab),
_{{A}}(ba),_{{A}}(aba).<center><math>
Co zgadza się z wynikiem otrzymanym w przykładzie.


Twierdzenie poniższe zbiera dotychczas uzyskane charakteryzacje języków rozpoznawanych.
  nie, tak, nie


\begintheor 
<quiz>
Dany jest ciąg funkcyjny <math>f_n(x)=\sqrt[n]{x}</math> dla <math>x\ge 0</math> Ten ciąg
<wrongoption>jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła</wrongoption>
<wrongoption>jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła</wrongoption>
<rightoption>jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła</rightoption>
</quiz>


Niech </math> L  A^* <math> będzie dowolnym językiem. Równoważne są następujące warunki:
  nie, nie, tak


#  Język </math> L <math> jest rozpoznawalny,
<quiz>
Dany jest szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}</math> Ten szereg jest
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)\equiv 0</math></wrongoption>
<rightoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f</math> takiej, że <math>0<f(x)<3</math></rightoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie do funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}</math></wrongoption>
</quiz>


#  Język </math> L <math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej prawej
  nie, tak, nie
kongruen\-cji  na </math> A^* <math> o skończonym indeksie: </math></center>L <nowiki>=</nowiki> _{w L}[w]_.<center><math>


#  Język </math> L <math> jest sumą wybranych klas równoważności pewnej
<quiz>
kongruencji  na </math> A^* <math> o skończonym indeksie: </math></center>L <nowiki>=</nowiki> _{w L}[w]_.<center><math>
Funkcja <math>
    f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}</math>
Granica <math>\lim_{x\to 3}f(x)</math> wynosi
<rightoption><math>\frac{1}{10}</math></rightoption>
<wrongoption><math>\sqrt{3}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>0</math></wrongoption>
</quiz>


#  Istnie\-je skończony monoid </math> M <math> i istnie\-je epimorfizm </math> : A^*  M<math> taki,
  tak, nie, nie
że </math></center>L <nowiki>=</nowiki> ^{-1}( (L)).<center><math>


\endtheor
<quiz>
Szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)}</math> jest
<wrongoption>zbieżny punktowo</wrongoption>
<wrongoption>zbieżny jednostajnie </wrongoption>
<rightoption>rozbieżny</rightoption>
</quiz>


\beginprf
  nie, nie, tak


Dowód równoważności czterech powyższych warunków przeprowa\-dzi\-my zgodnie z następującym schematem:
<quiz>
Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji <math>f(x)=\cos 2x</math> to
<wrongoption><math>-\frac{2^6}{6!}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\frac{2^6}{6!}x^6</math></wrongoption>
 
<rightoption><math>\frac{-4}{45}x^6</math></rightoption>
</quiz>


</math></center>[[##tg|Uzupelnic tg|]][[##tf|Uzupelnic tf|]][[##te|Uzupelnic te|]][[##td|Uzupelnic td|]]  [[##tg|Uzupelnic tg|]]<center><math>
  nie, nie, tak


[[##tg|Uzupelnic tg|]] [[##tf|Uzupelnic tf|]]
<quiz>
Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>f(x)=\frac{1}{2+x}</math> o środku w <math>x_0=0</math> wynosi
<wrongoption><math>\frac{-1}{64}x^6</math></wrongoption>
 
<rightoption><math>\frac{-1}{64}x^5</math></rightoption>
 
<wrongoption><math>\frac{1}{2}x^6</math></wrongoption>
</quiz>


Dany jest homomorfizm </math></center>: A^*  M, <center><math> gdzie </math>M<math> jest skończonym monoidem.\\
  nie, tak, nie
Określamy relację  na </math>A^*<math>, przyjmując dla dowolnych </math> u, v  A^* </center>u    v    (u) <nowiki>=</nowiki>  (v).<center><math>
Tak określona relacja jest kongruencją.  Natomiast jej skończony indeks wynika z faktu, że monoid </math> M <math> jest skończony.
Pokażemy teraz, że:


</math></center>L <nowiki>=</nowiki> _{w L}[w]_ .<center><math> Inkluzja  jest oczywista.\\
<quiz>
Inkluzja w przeciwną stronę (</math>L  _{w L}[w]_,<math>) oznacza, że każda klasa równoważności relacji
Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji <math>\sqrt{x}</math> ośrodku w <math>x_0=1</math> Współczynnik przy <math>x</math> wynosi
albo cała zawiera się w języku </math>L<math>, albo cała zawiera się w uzupełnieniu języka </math>L<math>.\\
<rightoption><math>\frac{15}{16}</math></rightoption>
Załóżmy, że </math> u  [w]_<math> dla pewnego </math> w  L. <math>
 
Oznacza to, że
<wrongoption><math>\frac{5}{16}</math></wrongoption>
</math></center>u    w   (u) <nowiki>=</nowiki> (w)  (L)
    
u  ^{-1}( (u))  ^{-1}( (L)) <nowiki>=</nowiki> L.<center><math>
<wrongoption><math>\frac{1}{16}</math></wrongoption>
Implikuje to ostatecznie, że </math>u  L<math>.
</quiz>


[[##tf|Uzupelnic tf|]] [[##te|Uzupelnic te|]]
  tak, nie, nie


Każda kongruencja jest prawą kongruencją.
5555555555555555555555555555555555555555555555555555


[[##te|Uzupelnic te|]] [[##td|Uzupelnic td|]]
==Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test==


Niech  będzie prawą kongruencją o skończonym indeksie na </math> A^* <math> taką, że
</math></center>L <nowiki>=</nowiki> _{w L}[w]_ .<center><math>
Automat </math>{A}_{ } <nowiki>=</nowiki> (A^*/,f^*,[1]_,T),<math> dla którego


</math></center>f^*([w]_,u) <nowiki>=</nowiki>[wu]_ ,  T <nowiki>=</nowiki>  [w]_  :  w  L <center><math> akceptuje język </math>L<math>.
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010


[[##td|Uzupelnic td|]] [[##tg|Uzupelnic tg|]]
==Wielowymiarowa całka Riemanna. Test==


Niech język </math> L<nowiki>=</nowiki>L({A}) <math>, gdzie  </math>{A} <nowiki>=</nowiki> (S,f,s_0,T)<math>.\\
Określamy odwzorowanie


</math></center> :A^{*} A^{*}/_{Ker _{{A}}}, <center><math>
1111111111111111111111111111111111111111111111111111


przyjmując dla każdego </math>v A^{*} </center> (v)<nowiki>=</nowiki>[v]_{Ker _{{A}}}. <center><math>
==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test==


Jest to odwzorowanie kanoniczne monoidu </math> A^* <math> na monoid ilorazowy, a więc jest to epimorfizm.\\
</math>A^{*}/_{Ker _{{A}}} <math> jest monoidem skończonym, ponieważ </math> S <math> jest zbiorem skończonym.


Dla dowodu równości </math>L <nowiki>=</nowiki> ^{-1}( (L))<math> wystarczy udowodnić
1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
inkluzję </math>L  ^{-1}( (L))<math>. (Inkluzja </math> L  ^{-1}( (L))<math>
wynika z~definicji przeciwobrazu.) \\
Niech </math> u  ^{-1}( (L)) .<math> Oznacz to, że


</math></center> {c}
==Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test==
(u)  (L)  v L : (u)<nowiki>=</nowiki> (v)
v L : [u]_{_{Ker _{{A}}}}<nowiki>=</nowiki>[v]_{_{Ker _{{A}}}}  <br>
v L :  _{{A}}(u)<nowiki>=</nowiki> _{{A}}(v) ,
v L :  s  S f(s,u)<nowiki>=</nowiki>f(s,v)


<center><math>


W szczególności  </math></center> f(s_0,u) <nowiki>=</nowiki> f(s_0,v)  T, <center><math> czyli  </math>u  L.<math>
1414141414141414141414141414141414141414141414141414


\begincenter  \endcenter  \endprf</math>
==Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test==

Aktualna wersja na dzień 22:12, 11 wrz 2023




1111111111111111111111111111111111111111111


1111111111111111111111111111111111111111111


22222222222222222222222222222222222222222

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Test

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Norma. Iloczyn skalarny. Test

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Test

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \text{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array} \right} dla n∈ℕ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do f(x)≡0

zbieżny punktowo do funkcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \text{dla} & x\geq 1\\ 0 & \text{dla} & x<0 \end{array} \right} 

 tak, nie, nie

Dany jest ciąg funkcyjny {fn} gdzie

fn(x)={1−n−x1+n−xdlax>02−nx2+nxdlax<00dlax=0 dla  n=1,2,…

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie

rozbieżny 

 nie, tak, nie

Dany jest ciąg funkcyjny fn(x)=xn dla x≥0 Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła 

 nie, nie, tak

Dany jest szereg ∑n=1∞sin⁡nx2n(x2+1), x∈ℝ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)≡0

zbieżny jednostajnie do funkcji f takiej, że 0<f(x)<3

zbieżny jednostajnie do funkcji f(x)=12(x2+1) 

 nie, tak, nie

Funkcja f(x):=∑n=1∞xnn(n+1)(x2+1) Granica limx→3f(x) wynosi

110

3

0 

 tak, nie, nie

Szereg ∑n=1∞1n(x4+4) jest

zbieżny punktowo

zbieżny jednostajnie

rozbieżny 

 nie, nie, tak

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji f(x)=cos⁡2x to

−266!

266!x6

−445x6 

 nie, nie, tak

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji f(x)=12+x o środku w x0=0 wynosi

−164x6

−164x5

12x6 

 nie, tak, nie

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji x ośrodku w x0=1 Współczynnik przy x wynosi

1516

516

116 

 tak, nie, nie

5555555555555555555555555555555555555555555555555555

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera. Test

101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010

Wielowymiarowa całka Riemanna. Test

1111111111111111111111111111111111111111111111111111

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Test

1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

Całki krzywoliniowe. Twierdzenie Greena. Test

1414141414141414141414141414141414141414141414141414

Równania różniczkowe zwyczajne -- przegląd metod rozwiązywania. Test

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR&oldid=82477”