Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 7: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
następna edycja →
WizualnieWikikod
Kfijolek (dyskusja | edycje)
23 edycje
Utworzono nową stronę "=== Zadanie 1=== Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka <math>[0,1]</math>, w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu..."
 
Erykk (dyskusja | edycje)
3 edycje
Nie podano opisu zmian
Linia 18: Linia 18:
=== Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)===
=== Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)===
Niech  <math>X_1,...,X_n</math> niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, <math>X_i \sim \textrm{Exp}(\theta_i)</math>. Pokaż, że <math>X=\min{X_i}</math> ma rozkład wykładniczy z parametrem <math>\theta_1+..+\theta_n</math>. Niech <math>I</math> będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że <math>P(I=k) = \theta_k/(\theta_1+...+\theta_n)</math>.  Pokaż też, że zmienne <math>X</math> i <math>I</math> są niezależne.
Niech  <math>X_1,...,X_n</math> niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, <math>X_i \sim \textrm{Exp}(\theta_i)</math>. Pokaż, że <math>X=\min{X_i}</math> ma rozkład wykładniczy z parametrem <math>\theta_1+..+\theta_n</math>. Niech <math>I</math> będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że <math>P(I=k) = \theta_k/(\theta_1+...+\theta_n)</math>.  Pokaż też, że zmienne <math>X</math> i <math>I</math> są niezależne.
=== Zadanie 7 (igła Buffona)===
Mamy igłę (odcinek o długości <math>l</math>). Na kartce rysujemy równoległe linie (jak na kartce papieru w linie), tak, aby odległość między dwiema kolejnymi liniami była równa <math>l</math>. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona losowo na kartkę przetnie którąś z linii?
=== Zadanie 8 (losowy trójkąt)===
Losujemy trójkąt w ten sposób, że (niezależnie) losujemy dwa jego z boków z rozkładu <math>Unif(0,1)</math> i kąt między nimi z rozkładu <math>Unif(0,\pi)</math>. Jaka jest wartość oczekiwana pola wylosowanego w ten sposób trójkąta?
=== Zadanie 9 (próbkowanie z rozkładu normalnego) ===
W jaki sposób można próbkować z rozkładu normalnego?
<blockquote>Wskazówka: Metoda z Zadania 1 nie bardzo daje się tu zastosować, bo (odwrotna) dystrybuanta rozkładu normalnego nie jest funkcją elementarną. Ten sam problem wystąpił przy dowodzie, że całka z funkcji gęstości rozkładu normalnego jest 1 -- na wykładzie poradziliśmy sobie z tym w ten sposób, że wzięliśmy dwie zmienne z rozkładem normalnym i przeszliśmy ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowej. Z tego samego triku można skorzystać w tym zadaniu.</blockquote>
=== Zadanie 10 (próbkowanie ze sfery) ===
W jaki sposób można wylosować punkt ze sfery (jednostajnie -- prawdopodobieństwo wylosowania punktu z podzbioru sfery ma być proporcjonalne do jego powierzchni)?
<blockquote>Wskazówka: Są co najmniej 3 różne sposoby rozwiązania tego zadania.</blockquote>

Wersja z 10:15, 19 lis 2021

Zadanie 1

Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka [0,1], w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?

Zadanie 2

Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.

Zadanie 3

Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.

Zadanie 4 (brak pamięci)

Pokaż, że zmienna losowa X o wartościach nieujemnych spełnia warunek P(X>s+t|X>t)=P(X>s) dla wszystkich rzeczywistych s,t≥0 wtw, gdy X ma rozkład wykładniczy.

Wskazówka: Aby pokazać wynikanie w prawą stronę, zastanów się jak musi wyglądać funkcja

1−FX(t)

dla

X

spełniającego warunek powyżej.

Zadanie 5

Oblicz wariancję rozkładu normalnego.

Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)

Niech X1,...,Xn niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, Xi∼Exp(θi). Pokaż, że X=min⁡Xi ma rozkład wykładniczy z parametrem θ1+..+θn. Niech I będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że P(I=k)=θk/(θ1+...+θn). Pokaż też, że zmienne X i I są niezależne.

Zadanie 7 (igła Buffona)

Mamy igłę (odcinek o długości l). Na kartce rysujemy równoległe linie (jak na kartce papieru w linie), tak, aby odległość między dwiema kolejnymi liniami była równa l. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona losowo na kartkę przetnie którąś z linii?

Zadanie 8 (losowy trójkąt)

Losujemy trójkąt w ten sposób, że (niezależnie) losujemy dwa jego z boków z rozkładu Unif(0,1) i kąt między nimi z rozkładu Unif(0,π). Jaka jest wartość oczekiwana pola wylosowanego w ten sposób trójkąta?

Zadanie 9 (próbkowanie z rozkładu normalnego)

W jaki sposób można próbkować z rozkładu normalnego?

Wskazówka: Metoda z Zadania 1 nie bardzo daje się tu zastosować, bo (odwrotna) dystrybuanta rozkładu normalnego nie jest funkcją elementarną. Ten sam problem wystąpił przy dowodzie, że całka z funkcji gęstości rozkładu normalnego jest 1 -- na wykładzie poradziliśmy sobie z tym w ten sposób, że wzięliśmy dwie zmienne z rozkładem normalnym i przeszliśmy ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowej. Z tego samego triku można skorzystać w tym zadaniu.

Zadanie 10 (próbkowanie ze sfery)

W jaki sposób można wylosować punkt ze sfery (jednostajnie -- prawdopodobieństwo wylosowania punktu z podzbioru sfery ma być proporcjonalne do jego powierzchni)?

Wskazówka: Są co najmniej 3 różne sposoby rozwiązania tego zadania.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Rachunek_Prawdopodobieństwa_i_Statystyka_(UW)_Ćwiczenia_7&oldid=79375”