Analiza matematyczna 2/Test 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {x^2y}{x^2+y^2} & \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }

ma pochodne cząstkowe w punkcie $(0,0)$ Dobrze

ma różniczkę w punkcie $(0,0)$ Źle

jest ciągła w punkcie $(0,0)$. Dobrze

Niech $P=\{(x,x^2):x\in \mathbb{ℝ},x\ne 0\}$. Wtedy funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, \end{array} }

ma różniczkę w punkcie $(0,0)$ Źle

jest ciągła w punkcie $(0,0)$ Źle

ma pochodne kierunkowe ${\partial }_{v}f(0,0)$ dla dowolnego wektora $v\ne 0$. Dobrze

Różniczka funkcji $f(x,y,x)=(xy,yz)$ jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz

$\left[\begin{array}{ccc}y& x& 0\\ 0& z& y\end{array}\right]$

Dobrze

$\left[\begin{array}{cc}y& 0\\ x& z\\ 0& y\end{array}\right]$

Źle

$\left[\begin{array}{ccc}y& x& 0\\ 0& z& y\\ x& y& z\end{array}\right].$

Źle

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji $f(x,y)=2x+3x{y}^2$ w punkcie $(a,b,f(a,b))$ jest równoległa do płaszczyzny $5x+12y-z=0$,

tylko jeśli $(a,b)=(2,1)$ Źle

jeśli $(a,b)=(1,2)$ lub $(a,b)=(-1,-2)$ Źle

jeśli $(a,b)=(-2,-1)$ lub $(a,b)=(2,1)$. Dobrze

Różniczka rzędu drugiego funkcji $f(x,y)=\sin x+\cos y+xy$ jest odwzorowaniem dwuliniowym danym przez macierz

$\left[\begin{array}{cc}-\sin x& 1\\ 1& -\cos y\end{array}\right]$

Dobrze

$\left[\begin{array}{cc}-\cos y& 1\\ 1& -\sin x\end{array}\right]$

Źle

$\left[\begin{array}{cc}-\sin x& -\cos y\\ 1& 1\end{array}\right].$

Źle

Jeśli $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\mapsto (x{e}^y,x^2+y^2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$, to

macierzą Jacobiego odwzorowania $f$ w punkcie $(3,0)$ jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]}

Źle

jakobian odwzorowania $f$ w każdym punkcie jest nieujemny Źle

jakobian odwzorowania $f$ zeruje się na paraboli $y=x^2$. Dobrze

Niech $f(x,y)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(x+y)$. Współczynnik przy wyrażeniu $h_1^2{h}_2$ we wzorze na wartość różniczki $d_{(0,1)}^3(h,h,h)$ na trójce takich samych wektorów $h=(h_1,h_2)$ jest równy

$\frac{1}{2}$ Źle

$\frac{3}{2}$ Dobrze

$\frac{1}{6}$. Źle

Niech $f(x)=(x+y,xy)$ i $g(x,y)=(x,xy,x^{2}y)$. Wtedy różniczka funkcji złożonej $g\circ f$ jest dana przez macierz powstałą z pomnożenia macierzy

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ y& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& y& 2xy\\ 0& x& x^2\end{array}\right]$

Źle

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ x& y\\ x^2& 2xy\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right]$

Źle

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ y& x\\ 2xy& x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ y& x\end{array}\right].$

Dobrze

Rozważmy następujące zdania

(a) $f$ ma różniczkę w punkcie $(x_0,y_0)$

(b) $f$ ma pochodne cząstkowe w punkcie $(x_0,y_0)$

(c) $f$ jest ciągła w punkcie $(x_0,y_0)$.

Wtedy prawdziwe są następujące implikacje

$(a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)$ Źle

$(a)\Rightarrow (b)$ i $(c)\Rightarrow (a)$ Źle

$(a)\Rightarrow (c)$ i $(b)\Rightarrow (c)$. Źle