Analiza matematyczna 2/Test 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {x^2y}{x^2+y^2} & \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }


ma pochodne cząstkowe w punkcie

ma różniczkę w punkcie

jest ciągła w punkcie .


Niech . Wtedy funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, \end{array} }


ma różniczkę w punkcie

jest ciągła w punkcie

ma pochodne kierunkowe dla dowolnego wektora .


Różniczka funkcji jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz


Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie jest równoległa do płaszczyzny ,

tylko jeśli

jeśli lub

jeśli lub .


Różniczka rzędu drugiego funkcji jest odwzorowaniem dwuliniowym danym przez macierz


Jeśli , to

macierzą Jacobiego odwzorowania w punkcie jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]}

jakobian odwzorowania w każdym punkcie jest nieujemny

jakobian odwzorowania zeruje się na paraboli .


Niech . Współczynnik przy wyrażeniu we wzorze na wartość różniczki na trójce takich samych wektorów jest równy

.


Niech i . Wtedy różniczka funkcji złożonej jest dana przez macierz powstałą z pomnożenia macierzy


Rozważmy następujące zdania

(a) ma różniczkę w punkcie

(b) ma pochodne cząstkowe w punkcie

(c) jest ciągła w punkcie .

Wtedy prawdziwe są następujące implikacje

i

i .