Użytkownik:Opozda

 Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin) [Edytuj] Opis

Algebra liniowa i geometria analityczna. [Edytuj] Sylabus [Edytuj] Autorzy

   * Barbara Opozda,
   * Jacek Dębecki 

[Edytuj] Wymagania wstępne

   * Logika i teoria mnogości 

[Edytuj] Zawartość

   * Ciała:

         o definicja ciała przemiennego,
         o charakterystyka ciała,
         o przykłady ciał, m.in. ciało liczb zespolonych.

   * Przestrzenie wektorowe:
    
         o definicja przestrzeni wektorowej,
         o podprzestrzenie, operacje na podprzestrzeniach,
         o podzbiory generujące, układy liniowo niezależne, bazy, przestrzeń skończenie wymiarowa, wymiar przestrzeni,
         o przestrzeń dualna, baza dualna.  

   * Odwzorowania liniowe:
    
         o definicja odwzorowania liniowego, 
         o jądro i obraz odwzorowania  liniowego, rząd  odwzorowania liniowego,
         o monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm liniowy,
         o odwzorowanie dualne.

   * Macierze:
 
         o podstawowe pojęcia, przestrzeń macierzy o ustalonych wymiarach,
         o macierz odwzorowania liniowego, 
         o mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych,
         o macierz dualna a odwzorowanie dualne,
         o rząd macierzy,
         o macierz odwrotna (na razie bez wzoru na wyrazy tej macierzy) i macierz przejścia. 

   * Układy równań liniowych: 
 
         o zapis macierzowy układu równań,
         o twierdzenie Kroneckera-Capellego,
         o zbiór rozwiązań układu równań liniowych.

  * Algebra wieloliniowa, wyznacznik:

         o formy wieloliniowe antysymetryczne, przestrzeń r-form,
         o mnożenie zewnętrzne form,
         o wyznacznik macierzy i endomorfizmu, metody obliczania wyznacznika, 
         o minory i rząd macierzy,
         o układy Cramera,
         o wzór na wyrazy macierzy odwrotnej.

   * Odwzorowania dwuliniowe:
        
         o rząd i macierz odwzorowania dwuliniowego,
         o formy kwadratowe.

   * Euklidesowe przestrzenie wektorowe:

         o iloczyn skalarny,
         o nierówność Schwarza, 
         o norma wyznaczona przez iloczyn skalarny,
         o kąt między wektorami.

   * Formy kwadratowe na przestrzeniach euklidesowych:
      
         o twierdzenia Lagrange'a i Sylvestera (bez dowodu),
         o sygnatura formy kwadratowej,
         o diagonalizowalność macierzy odwzorowania liniowego symetrycznego względem iloczynu skalarnego.

   * Endomorfizmy:

         o wartość własna i wektor własny,
         o wielomian charakterystyczny.

   * Geometria analityczna:

         o przestrzenie afiniczne, 
         o układ bazowy, ukośnokątny układ współrzędnych,
         o podprzestrzenie afiniczne,operacje na podprzestrzeniach afinicznych,
         o podprzestrzeń rozwiązań układu równań liniowych,
         o równania ogólne, krawędziowe i parametryczne podprzestrzeni afinicznych,
         o równoległość podprzestrzeni afinicznych, 
         o zbiory wypukłe,
         o odwzorowania afiniczne,
         o afiniczne przestrzenie euklidesowe.

[Edytuj] Literatura

[1] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1979, Biblioreka Matematyczna t.48.

[2] J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii, Wydawnicwo Naukowe UJ, Kraków, 2001.

[3] J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.

[4] K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I - Geometria, PWN, Warszawa 1979, Biblioteeka Matematyczna t.53.