Wstęp do programowania/Reprezentacja liczb/Ćwiczenia

To są zadania na reprezentację liczb rzeczywistych.

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

W poniższych zadaniach należy korzystać z 3-bitowej cechy i 4-bitowej mantysy. Przyjmujemy uzupełnieniową reprezentację cechy i mantysy.

Zadanie 1

Podaj reprezentację liczb $\frac{2}{7}$ i $\frac{4}{5}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   $\frac{2}{7}=0.(010)$    i    $\frac{4}{5}=0.(1100)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 111 0101 i 000 0110. Warto zauważyć, że reprezentowane wartości to w istocie
   $2^{-1}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5}{16}$    i    $2^0\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$.
3. Aby zsumować te liczby, należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00101 + 01100 = 10001. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go do 4 bitów, gubiąc ostatnie 2 bity 01.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 001 0100, której dokładna wartość to $2^1\cdot \frac{1}{2}=1$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
$\frac{|\frac{2}{7}-\frac{5}{16}|}{\frac{2}{7}}=\frac{\frac{3}{112}}{\frac{2}{7}}=\frac{3}{32}$    i    $\frac{|\frac{4}{5}-\frac{3}{4}|}{\frac{4}{5}}=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}$,
a w wyniku dodawania
$\frac{|\frac{38}{35}-1|}{\frac{38}{35}}=\frac{\frac{3}{35}}{\frac{38}{35}}=\frac{3}{38}$.

W tym obliczeniu mieliśmy szczęście: błąd względny wyniku jest pomiędzy błędami względnymi reprezentacji składników.

Zadanie 2

Podaj reprezentację liczb $\frac{5}{7}$ i $\frac{3}{7}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   $\frac{5}{7}=0.(101)$    i    $\frac{3}{7}=0.(011)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 000 0110 i 111 0111. Reprezentowane wartości to w istocie
   $2^0\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$    i    $2^{-1}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{16}$.
3. Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę drugiej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 01100 + 00111 = 10011. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go (w górę) do 4 bitów.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0101, czyli w sumie reprezentację 001 0101, której dokładna wartość to $2^1\cdot \frac{5}{8}=\frac{10}{8}$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
$\frac{|\frac{5}{7}-\frac{3}{4}|}{\frac{5}{7}}=\frac{\frac{1}{28}}{\frac{5}{7}}=\frac{1}{20}$    i    $\frac{|\frac{3}{7}-\frac{7}{16}|}{\frac{3}{7}}=\frac{\frac{1}{112}}{\frac{3}{7}}=\frac{1}{48}$,
a w wyniku dodawania
$\frac{|\frac{8}{7}-\frac{10}{8}|}{\frac{8}{7}}=\frac{\frac{6}{56}}{\frac{8}{7}}=\frac{3}{32}$.

W tym obliczeniu błąd względny wyniku jest większy niż błędy reprezentacji składników.

Zadanie 3

Podaj reprezentację liczb $\frac{2}{10}$ i $\frac{3}{10}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   $\frac{2}{10}=0.0(0011)$    i    $\frac{3}{10}=0.0(1001)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 110 0110 i 111 0101. Reprezentowane wartości to w istocie
   $2^{-2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}$    i    $2^{-1}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5}{16}$.
3. Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00110 + 01010 = 10000. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 0 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 000 0100, której dokładna wartość to $2^0\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
$\frac{|\frac{2}{10}-\frac{3}{16}|}{\frac{2}{10}}=\frac{\frac{1}{80}}{\frac{2}{10}}=\frac{1}{16}$    i    $\frac{|\frac{3}{10}-\frac{5}{16}|}{\frac{3}{10}}=\frac{\frac{1}{80}}{\frac{3}{10}}=\frac{1}{24}$,
a w wyniku dodawania
$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\frac{1}{2}}=0$.

W tym obliczeniu mieliśmy naprawdę szczęście. Błędy reprezentacji zniosły się, dając dokładny wynik.