Teoria informacji/TI Ćwiczenia 8

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1 [Nieoptymalność reguły maksymalnego podobieństwa]

Skonstruuj rozkład $A$ i kanał $\mathrm{\Gamma }$, dla którego reguła maksymalnego podobieństwa nie jest optymalną regułą. Skonstruuj przykład, w którym reguła ta powoduje błąd z prawdopodobieństwem powyżej 90%.

Wskazówka

Można znaleźć przykład, gdy reguła ta nie odtworzy poprawnie ani jednego symbolu.

Rozwiązanie

Przykładem może być kanał opisywany następującą macierzą:

$\left(\begin{array}{ccccc}0.9& 0& 0& 0& 0.1\\ 0& 0.9& 0& 0& 0.1\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

i rozkład $A=⟨0.5,0.5,0,0,0⟩$, czyli używający tylko dwóch pierwszych symboli. Reguła największego podobieństwa zawsze zinterpretuje sygnał jako któryś z ostatnich trzech symboli.

Ćwiczenie 2 [Wiedza zwiększająca niepewność]

Na wykładzie wcześniej zostało pokazane, że $H(Y|X)\le H(Y)$. Pokaż, że nie zawsze tak jest w przypadku innych miar entropii.

Znajdź przykład, w którym uzyskanie jakiejś informacji może zwiększyć entropię Shannona innej informacji, tzn. $H(Y|X=a)>H(Y)$

Ćwiczenie 3 [Binarny kanał wymazujący]

Binarny kanał wymazujący wygląda następująco:

W tym przypadku ${𝒜}=\{0,1\}$, ${ℬ}=\{0,1,?\}$. Jego macierz przejść to:

$\left(\begin{array}{ccc}P& 0& 1-P\\ 0& P& 1-P\end{array}\right)$ Oblicz przepustowość tego kanału. Naszkicuj wykres informacji wzajemnej między wejściem a wyjściem w zależności od P i od rozkładu prawdopodobieństwa na wejściu.

Rozwiązanie

Rozpisujemy

$I(A;B)=H(B)-H(B|A)$

Wynik możemy traktować jako kombinację źródeł - z prawdopodobieństwem $P$ zwracamy wartość na wejściu (o entropii $H(A)$), a z prawdopodobieństwem $1-P$ zwracamy wartość ? (o entropii 0).

$H(B)=H(P)+P\cdot H(A)+(1-P)\cdot 0$

Gdy znamy symbol wejściowy, entropia $B$ jest zawsze taka sama, równa $H(P)$. Tym samym

$I(A;B)=H(P)+P\cdot H(A)-H(P)=P\cdot H(A)$ $C_{\mathrm{\Gamma }}=ma{x}_A(P\cdot H(A))=P$

Wykres informacji wzajemnej w zależności od P oraz od rozkładu prawdopodobieństwa na wejściu powinien wyglądać mniej więcej tak:

Ćwiczenie 4 [Feedbacku dla kanału wymazującego]

W wielu praktycznych zastosowaniach nadawca może dowiedzieć się od odbiorcy, jak przebiega komunikacja. Załóżmy, że nadawca, dysponujący binarnym kanałem wymazującym, po każdym przesłanym symbolu poznaje wartość symbolu wyjściowego. Pokaż, jak może wykorzystać tę informację do przesyłania wiadomości bezbłędnie z szybkością odpowiadającą przepustowości kanału.

Rozwiązanie

Wystarczy, że będzie po każdym symbolu sprawdzał, czy dotarł poprawnie, a jeśli został zgubiony, będzie przesyłał go jeszcze raz. Dla każdego symbolu oczekiwana liczba prób będzie wynosiła $\frac{1}{P}$, a więc szybkość transmisji będzie równa $P$

Zadania domowe

Zadanie 1 - Przepustowość kanałów z feedbackiem

Rozważmy kanał z pełną informacją zwrotną, w którym po przesłaniu każdego symbolu nadawca poznaje symbol na wyjściu. Kod z feedbackiem definiujemy jako sekwencję mapowań $x_i(W,Y^{i-1})$ określających kolejny symbol $x_i$ na podstawie przesyłanej wiadomości $W$ i dotychczas dostarczonych symboli $Y_1,Y_2,\dots ,Y_{i-1}$. Przepustowość kanału z feedbackiem jest określana jako maksymalna szybkość transmisji przez kanał przy wykorzystaniu kodu takiej postaci. Udowodnij, że ta przepustowość jest równa klasycznej przepustowości kanału, czyli że wykorzystanie informacji zwrotnej nie może zwiększyć szybkości transmisji. Zauważ, że nie jest to sprzeczne z ćwiczeniem 4 - jej wykorzystanie może znacząco uprościć konstrukcję samego kodu.