Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 9

Zadanie 1 (german tank problem)

Losujemy próbę prostą $X_1,X_2,\dots ,X_n$ z rozkładu jednostajnego $Unif(0,M)$, gdzie $M$ jest nieznanym parametrem. Na podstawie naszej próby chcemy oszacować parametr $M$.

a) Znajdź estymator nieobciążony (postaci $\hat{M}=\max (X_1\dots X_n)a$, gdzie $a$ jest pewną stałą.

b) Znajdź estymator największej wiarygodności (MLE).

c) Znajdź dwa estymatory $\widehat{m_L}$ i $\widehat{m_R}$ tak, aby $P(M\in [\widehat{M_L}(X_1,\dots ,X_n),\widehat{M_R}(X_1,\dots ,X_n)])\ge 1-\alpha$ i żeby długość tego przedziału była możliwie najmniejsza.

Zadanie 2

Przeprowadzamy badania rozkładu liczby telefonów na minutę w help desku. Zakładamy, że rozkład liczby telefonów na minutę jest rozkładem Poissona o nieznanym parametrze $\lambda$. Przypuśćmy, że interesuje nas estymacja prawdopodobieństwa $p$ tego, że w ciągu dwóch kolejnych minut nie odbierzemy żadnego telefonu.

a) Pokaż, że dla próby jednoelementowej, jedyny estymator nieobciążony tego prawdopodobieństwa to $\hat{p}(X_1)=(-1{)}^{X_1}$.

b) Znajdź estymator MLE dla tego prawdopodobieństwa.