Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe $V$ i $W$ nad ciałem $𝕂$ oraz odwzorowanie liniowe $f : V ⟶ W$ .

Niech $e_{1}, \dots, e_{n}$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$ , zaś $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ bazą przestrzeni $W$ . Dla odwzorowania liniowego $f$ mamy

$\begin{array}{rcl} f (e_{1}) = a_{11} e'_{1} + / l d o t s + a_{m 1} e'_{m}, \\ . \\ . \\ . \\ f (e_{n}) = a_{1 n} e'_{1} + / l d o t s + a_{m n} e'_{m} . \end{array}$ (1.1)

dla pewnych skalarów $a_{i j}$ , $i = 1, \dots, m$ , $j = 1, \dots, n$ . Inaczej zapisując

f (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} e'_{i}

dla każdego $j = 1, \dots, n$ .

Plik:Ag6 1a.mp4

Macierz odwzorowania liniowego

Otrzymaliśmy więc macierz $A = [a_{i j}]_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \end{matrix}}$ , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe $f$ . Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania $f$ przy bazach $e_{1}, \dots, e_{n}$ i $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ .

Jeśli mamy daną macierz $A$ , ustalone bazy w przestrzeniach $V$ , $W$ , to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego $f : V ⟶ W$ . Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz $A = A_{m \times n}$ możemy traktować jako odwzorowanie liniowe $f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂^{m}$ dane przepisem (1.1), gdzie $e_{1}, \dots, e_{n}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $𝕂^{n}$ , zaś $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ jest bazą kanoniczną przestrzeni $𝕂^{m}$ .

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f : V ⟶ W$ i przez $A_{1}, \dots, A_{n}$ oznaczymy kolumny macierzy $A$ , to każda kolumna $A_{j}$ jest ciągiem współrzędnych wektora $f (e_{j})$ w bazie $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ . Oznacza to, że układ kolumn macierzy $A$ można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie $e_{1}, \dots, e_{n}$ ) $f (e_{1}), \dots, f (e_{n})$ . Rząd odwzorowania $f$ jest więc rzędem układu wektorów $A_{1}, \dots, A_{n}$ macierzy $A$ .

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f : V ⟶ W$ przy pewnych bazach przestrzeni $V$ i $W$ , to $r k A = r k f$ .

Niech $f, h : V ⟶ W$ będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach $e_{1}, \dots, e_{n}$ , $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ przestrzeni $V$ i $W$ odpowiednio, macierz odwzorowania $f + h$ jest sumą macierzy $A_{f} + A_{h}$ , gdzie $A_{f}$ jest macierzą odwzorowania $f$ a $A_{h}$ macierzą odwzorowania $h$ . A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe $V$ , $W$ , $U$ . Załóżmy ponadto, że $e_{1}, \dots, e_{n}$ jest bazą $V$ , $e'_{1}, \dots, e'_{k}$ jest bazą $W$ i $e^{'}'_{1}, \dots, e^{'}'_{m}$ jest bazą $U$ . Niech $f : V ⟶ W$ i $h : W ⟶ U$ będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

A = [a_{l j}]_{\begin{array}{l} 1 \leq l \leq k \\ 1 \leq j \leq n \end{array}}, B = [b_{i l}]_{\begin{array}{l} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq l \leq k \end{array}}, C = [c_{i j}]_{\begin{array}{l} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \end{array}}

,

macierze odwzorowania $f$ , $h$ i $h \circ f$ odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

f (e_{j}) = \sum_{l = 1}^{k} a_{l j} e'_{l}, h (e'_{l}) = \sum_{i = 1}^{m} b_{i l} e^{'}'_{i}, (h \circ f) (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} c_{i j} e^{'}'_{i}

.

Z drugiej strony

\begin{aligned} (h \circ f) (e_{j}) = h (f (e_{j})) & = h (\sum_{l = 1}^{k} a_{l j} e'_{l}) = \sum_{l = 1}^{k} a_{l j} h (e'_{l}) \\ = \sum_{l = 1}^{k} a_{l j} (\sum_{i = 1}^{m} b_{i l} e^{'}'_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{l = 1}^{k} b_{i l} a_{l j}) e^{'}'_{i} . \end{aligned}

Zatem

c_{i j} = \sum_{l = 1}^{k} b_{i l} a_{l j}

.

Oznacza to, że

C = B A

.

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli $h_{1}, h_{2} : W ⟶ U$ , to $(h_{1} + h_{2}) \circ f = h_{1} \circ f + h_{2} \circ f$ . Jeśli $f_{1}, f_{2} : V ⟶ W$ , to $h \circ (f_{1} + f_{2}) = h \circ f_{1} + h \circ f_{2}$ . W języku macierzy oznacza to, że $(B_{1} + B_{2}) A = B_{1} A + B_{2} A$ oraz $B (A_{1} + A_{2}) = B A_{1} + B A_{2}$ (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech $e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*}$ będzie bazą dualną do bazy $e_{1}, \dots, e_{n}$ przestrzeni $V$ i $e'_{1}^{*}, \dots, e'_{m}^{*}$ bazą dualną do bazy $e'_{1}, \dots, e'_{m}$ przestrzeni $W$ . Rozważmy odwzorowanie dualne $f^{*} : W^{*} ⟶ V^{*}$ . Chcemy znaleźć macierz $f^{*}$ przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez $B = [b_{j i}]_{\begin{matrix} 1 \leq j \leq n \\ 1 \leq i \leq m \end{matrix}}$ , czyli

f^{*} (e'_{i}^{*}) = \sum_{j = 1}^{n} b_{j i} e_{j}^{*}

.

Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z $V^{*}$ , czyli odwzorowania liniowe określone na $V$ i o wartościach w $𝕂$ . Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy $e_{1}, \dots, e_{n}$ . Otrzymujemy

\begin{aligned} (f^{*} (e'_{i}^{*})) (e_{s}) & = ((e'_{i}^{*}) \circ f) (e_{s}) = e'_{i}^{*} (\sum_{l = 1}^{m} a_{l s} e'_{l}) \\ = \sum_{l = 1}^{m} a_{l s} (e'_{i}^{*} (e'_{l})) \\ = \sum_{l = 1}^{m} a_{l s} δ_{i l} = a_{i s} . \end{aligned}

Z drugiej strony

(\sum_{j = 1}^{n} b_{j i} e_{j}^{*}) (e_{s}) = \sum_{j = 1}^{n} b_{j i} (e_{j}^{*} (e_{s})) = \sum_{j = 1}^{n} b_{j i} δ_{j s} = b_{s i}

.

A zatem $a_{i s} = b_{s i}$ , co oznacza, że macierz $B$ jest macierzą dualna do macierzy $A$ .

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła $(f \circ h)^{*} = h^{*} \circ f^{*}$ , otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.

Twierdzenie 2.1

Jeśli iloczyn $A B$ jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn $B^{*} A^{*}$ oraz

(A B)^{*} = B^{*} A^{*}

.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Rząd odwzorowania dualnego do $f$ jest równy rzędowi odwzorowania $f$ .

Dowód

Wiemy, że

$r k f^{*} = \dim W^{*} - \dim k e r f^{*} = \dim W - \dim \ker f^{*}$ (2.2)

Przyjrzyjmy się więc przestrzeni $\ker f^{*}$ . Mamy

\ker f^{*} = {β \in W^{*} | β \circ f = 0} = {β \in W^{*} | β_{| i m f} = 0}

.

Weźmy bazę $w_{1}, \dots, w_{k}$ przestrzeni $i m f$ . Jeśli $i m f = W$ , to $r k f = \dim W$ i $\ker f^{*} = {0}$ . Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli $i m f \neq W$ , to układ $w_{1}, \dots, w_{k}$ rozszerzmy do bazy

w_{1}, \dots, w_{k}, w_{k + 1}, \dots, w_{m}

przestrzeni $W$ . Przestrzeń $U$ rozpięta na wektorach $w_{k + 1}, \dots, w_{m}$ jest dopełnienieniem algebraicznym do $i m f$ w $W$ , czyli $W = U \oplus i m f$ . Zauważmy, że odwzorowanie

ϕ : \ker f^{*} ∋ β ⟶ β_{| U} \in U^{*}

jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie $ϕ$ jest liniowe. Jeśli $ϕ (β) = 0$ , to $β_{| U}$ i $β_{| i m f}$ są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, $β$ jest odwzorowaniem zerowym na całym $W$ . Odwzorowanie $ϕ$ jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem $γ : U ⟶ 𝕂$ jest liniowe, to odwzorowanie liniowe $β : W ⟶ 𝕂$ zdefiniowane na bazie przestrzeni $W$ następująco: $β (w_{i}) = 0$ dla $i = 1, \dots, k$ , $β (w_{i}) = γ (w_{i})$ dla $i = k + 1, \dots, m$ , jest takie, że $ϕ (β) = γ$ .

Ponieważ $ϕ$ jest izomorfizmem, więc $\dim \ker f^{*} = \dim U^{*} = \dim U = m - k = \dim W - r k f$ . Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.3

Dla dowolnej macierzy $A$ zachodzi równość $r k A = r k A^{*}$ .

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości $r k A = r k A^{*}$ dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy $A$ kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]

Niech $A \in M (m, n; 𝕂)$ .

Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$ .
Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$ .

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że $V = W$ i $f : V ⟶ V$ jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę $e_{1}, \dots, e_{n}$ przestrzeni $V$ , i definiujemy macierz kwadratową $A = [a_{i j}]_{\begin{matrix} 1 \leq i, j \leq n \end{matrix}}$ formułą

$\begin{array}{rcl} f (e_{1}) = a_{11} e_{1} + \dots + a_{n 1} e_{n}, \\ . \\ . \\ . \\ f (e_{n}) = a_{1 n} e_{1} + \dots + a_{n n} e_{n} . \end{array}$ (3.3)

Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy $A$ jest równoważna izomorficzności odwzorowania $f$ . Ponadto macierz odwrotna $A^{- 1}$ do macierzy $A$ jest macierzą odwzorowania odwrotnego $f^{- 1}$ .

Ogólną grupę liniową $G L (n; 𝕂)$ możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych $f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂^{n}$ , z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla $n > 1$ jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe $f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂^{n}$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $r k f = n$ . Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa $A = A_{n \times n}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy $r k A = n$ .

Macierz przejścia

Niech $e_{1}, \dots, e_{n}$ będzie bazą przestrzeni $V$ i niech $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary $p_{i j}$ , $1 \leq i, j \leq n$ , takie, że

$e'_{j} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i j} e_{i}$ , (4.4)

dla $j = 1, \dots, n$ . Macierz $P = [p_{i j}]_{1 \leq i, j \leq}$ nazywa się macierzą przejścia od bazy $e_{1}, \dots, e_{n}$ do bazy $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ . Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni $V$ , który przekształca bazę $e_{1}, \dots, e_{n}$ na bazę $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ i macierz ta jest utworzona przy bazie $e_{1}, \dots, e_{n}$ . W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary $q_{i j}$ , $1 \leq i, j \leq n$ , takie, że

e_{i} = \sum_{j = 1}^{n} q_{j i} e'_{j}

.

Macierz $[q_{i j}]$ oznaczmy przez $Q$ .

Otrzymujemy więc następujące równości

e_{i} = \sum_{j = 1}^{n} q_{j i} e'_{j} = \sum_{j = 1}^{n} q_{j i} \sum_{l = 1}^{n} p_{l j} e_{l} = \sum_{l = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} p_{l j} q_{j i}) e_{l}

dla każdego $i = 1, \dots, n$ . Oznacza to, że $\sum_{j = 1}^{n} p_{l j} q_{j i} = δ_{l i}$ i, w konsekwencji, macierze $P$ i $Q$ są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz $f : V ⟶ V$ będzie odwzorowaniem liniowym. Niech $A$ będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie $e_{1}, \dots, e_{n}$ i $B$ będzie macierzą tego samego odwzorowania $f$ przy bazie $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ . Chcemy ustalić związek między macierzami $A$ i $B$ .

Mamy następujące równości

f (e'_{i}) = \sum_{j = 1}^{n} b_{j i} e'_{j} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} p_{l j} b_{j i} e_{l} = \sum_{l = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} p_{l j} b_{j i}) e_{l}

.

Z drugiej strony

\begin{aligned} f (e'_{i}) = f (\sum_{j = 1}^{n} p_{j i} e_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} p_{j i} f (e_{j}) & = \sum_{j = 1}^{n} p_{j i} (\sum_{l = 1}^{n} a_{l j} e_{l}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} a_{l j} p_{j i} e_{l} = \sum_{l = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{l j} p_{j i}) e_{l} . \end{aligned}

Otrzymaliśmy równość $A P = P B$ . A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli $A$ jest macierzą endomorfizmu $f$ przy bazie $e_{1}, \dots, e_{n}$ i $B$ jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ , to

B = P^{- 1} A P

,

gdzie $P$ jest macierzą przejścia od bazy $e_{1}, \dots, e_{n}$ do bazy $e'_{1}, \dots, e'_{n}$ .

Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Spis treści

Macierz odwzorowania liniowego

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Macierz przejścia

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia