PF Moduł 12

Wykład

---

12.1 Natężenie i gęstość prądu elektrycznego. Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych pod wpływem pola elektrycznego. Nośnikami prądu mogą być ładunki dodatnie (np. jony w cieczy lub w gazie) i ładunki ujemne (elektrony w ciele stałym, elektrony i jony w cieczy lub w gazie). Jako kierunek prądu przyjęto kierunek ruchu nośników dodatnich, a więc prąd płynie od potencjału wyższego do potencjału niższego. Natężenie prądu jest określone jako szybkość przepływu ładunku, czyli stosunek ładunku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dq\} , przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dt\} ,, do tego czasu Jeśli w przepływie prądu uczestniczą różne nośniki ładunku, to natężenia prądu tych nośników dodają się. Gęstość prądu jest wektorem, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu, zaś wartość jest określona przez stosunek natężenia prądu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dI\} , przepływającego przez mały element powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dS_{\perp}\} , do pola powierzchni tego elementu. Zatem $\overrightarrow{j}=j\overrightarrow{w}$ , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \overrightarrow{w}\} , jest wersorem wskazującym kierunek ruchu dodatnich nośników prądu przez powierzchnię Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dS_{\perp}\} ,. Natężenie prądu jest strumieniem wektora gęstości prądu przez daną powierzchnię.

---

12.2 Prawo Ohma. Dla danego przewodnika stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężenia prądu płynącego przez przewodnik jest wielkością stałą. Wielkość tę nazywamy oporem elektrycznym. Z prawa tego wynika, że dla przewodnika natężenie prądu jest liniową funkcją napięcia, współczynnik kierunkowy prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I(U)\} , jest równy odwrotności oporu. Istnieją elementy przewodzące prąd dla których natężenie prądu nie jest liniową funkcją napięcia.

---

12.3 Opór elektryczny Opór elektryczny jednorodnego przewodnika o stałym przekroju jest zależny od jego długości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle l\} , i pola przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , oraz od rodzaju przewodnika, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} , to opór właściwy substancji, z której wykonany jest przewodnik. Wartość oporu właściwego silnie zależy od własności mikroskopowych substancji, z których wynika rodzaj nośników prądu (ładunek i masa) oraz ich koncentracja (liczba nośników w jednostce objętości). W przewodnikach (metalach) nośnikami są elektrony. Ich koncentracja jest duża, tego rzędu co koncentracja atomów, stąd małe wartości oporu właściwego. Opór właściwy metali rośnie wraz ze wzrostem temperatury. Wg. najprostszego modelu zależność ta ma charakter liniowy, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , jest temperaturowym współczynnikiem oporu. W izolatorach (dielektrykach) koncentracja nośników jest mała, stąd duże wartości oporu właściwego. W cieczach i w gazach duże wartości oporu właściwego wynikają nie tylko z małej koncentracji, ale również z małej ruchliwości nośników (duża masa jonów). W półprzewodnikach samoistnych (np. german, krzem) koncentracja nośników (elektrony i dziury) rośnie ze wzrostem temperatury, co prowadzi do zmniejszania wartości oporu właściwego. Silny wpływ na koncentrację nośników mają domieszki. Przewodnictwo właściwe Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \sigma\} , to odwrotność oporu właściwego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} ,.

---

12.4 Mikroskopowy opis przepływu prądu elektrycznego w przewodniku. W jednorodnym przewodzie o przekroju Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\} , i koncentracji elektronów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , pole elektryczne działa na elektrony siłą $\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}$ , zmuszając je do określonego ruchu. Natężenie prądu można wyznaczyć licząc ile elektronów przepłynie w czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dt\} , przez wybrany przekrój przewodu. Prowadzi to do wzorów określających natężenie prądu i powierzchniową gęstość prądu, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , jest koncentracją elektronów (liczba elektronów w jednostce objętości przewodnika), Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle e\} , - ładunkiem elementarnym, zaś Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle u\} , - prędkością unoszenia elektronów w kierunku wymuszonym przez pole elektryczne. Wzór określający zależność gęstości prądu od natężenia pola elektrycznego jest równoważny prawu Ohma. Poruszając się w kierunku wymuszonym przez pole elektryczne elektrony nie rezygnują z bezładnego ruchu cieplnego. Według prostego modelu klasycznego „gaz” elektronowy opisujemy podobnie jak gaz doskonały. Oznaczmy przez v średnią prędkość ruchu cieplnego elektronów w przewodniku, a przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle u\} , średnią prędkość unoszenia elektronów w tym przewodniku, gdy płynie w nim prąd stały. Przewodnik znajduje się w temperaturze pokojowej. Wartość prędkości średniej ruchu cieplnego można oszacować wykorzystując wzory: $\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}m⟨v^2⟩& ⟹& (v{)}_{\acute{s}r.kw.}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\approx 10^{5}m/s\end{array}$ w temperaturze pokojowej wartość prędkości unoszenia elektronów można oszacować wykorzystując wzory $\begin{array}{ccc}I=neuS& ⟹& u=\frac{I}{neS}\approx 2\cdot 10^{-5}m/s\end{array}$ dla typowych wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I, n, S\} ,: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I = 1A\} ,, grubość miedzianego przewodu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d = 2mm\} ,, $n=8,5\cdot 10^{28}/m3$ (każdy atom miedzi daje jeden elektron swobodny, zatem znając masę molową miedzi $\mu =63,5g/mol$, gęstość miedzi $\rho =8,96g/c{m}^3$ i liczbę Avogadro $N_A=6,02\cdot 1023/mol$ można obliczyć koncentrację elektronów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} ,). Warto zauważyć, że prędkość elektronów będących nośnikami prądu jest niezwykle mała w porównaniu z prędkością ruchu cieplnego. Można powiedzieć, że prąd płynie bardzo wolno. Oczywiście sygnał, który nakazuje elektronom przewodnictwa płynąć w określonym kierunku rozchodzi się niezwykle szybko. Sygnałem tym jest pole elektryczne, które rozchodzi się z prędkością równą prędkości światła. Mogłoby się wydawać, że pod wpływem pola elektrycznego elektrony będą się poruszać ruchem jednostajnie zmiennym, z rosnącą liniowo prędkością. Jednak, po przebyciu drogi równej średniej odległości międzyatomowej, wskutek zderzeń z atomami, prędkość elektronów spada do zera i przyspieszanie zaczyna się od nowa. W krótkim czasie od włączenia pola elektrycznego ustala się równowaga dynamiczna. Szybkość dostarczania energii przez pole zrównuje się z szybkością strat energii w zderzeniach i ustala się wartość prędkości unoszenia elektronów (tak, jakby oprócz stałej siły elektrycznej działała równa jej wartość siły oporu). Z takiego modelu przepływu prądu w wynika wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury) oraz interpretacja fizyczna oporu elektrycznego i pracy prądu elektrycznego.

---

12.5 Praca i moc Praca Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dW\} , wykonana przez pole elektryczne na wymuszenie przepływu ładunku dq w czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dt\} , powoduje wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury), a w konsekwencji do otoczenia może przepłynąć ciepło $dQ=dW$. Pracę wykonaną w czasie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle t\} , otrzymamy po zsumowaniu porcji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dW\} ,, które w przypadku prądu o stałym natężeniu daje wartość $W=UIt$. Wykorzystując prawo Ohma wzór ten można przedstawić w trzech postaciach. Moc jest równa szybkości wykonywania pracy i może być przedstawiona za pomocą trzech wzorów. W zastosowaniach praktycznych należy do danej sytuacji dostosować odpowiednią postać wzoru. Np. jeśli ustalona jest wartość napięcia zasilania U, to zarówno praca jak i moc są tym większe im mniejszy jest opór.

---

12.6 Siła elektromotoryczna Siła elektromotoryczna jest różnicą potencjałów wytwarzaną przez źródło prądu, czyli urządzenie przetwarzające energię (chemiczną, mechaniczną, ...) na energię elektryczną. Jej wartość jest określona przez wydatek energetyczny źródła Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dW\} , na wymuszenie przepływu ładunku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle dq\} ,, przypadający na jednostkę ładunku. Większe znaczenie praktyczne ma określenie siły elektromotorycznej jako napięcia na zaciskach źródła, gdy prąd w obwodzie zawierającym źródło nie płynie. (Uwaga: nazwa siła elektromotoryczna jest myląca, wielkość ta ma charakter napięcia i jej jednostką jest wolt).

---

12.7 Prawa Kirchhoffa Prawa Kirchhoffa wynikają z zasady zachowania ładunku i podstawowych własności pola elektrycznego. Za pomocą praw Kirchhoffa uzyskujemy równania, z których można obliczyć natężenie prądu w każdej części obwodu elektrycznego oraz napięcie między dwoma dowolnymi punktami obwodu.

---

12.8 Prosty obwód prądu stałego Składa się w swojej podstawowej wersji ze źródła o sile elektromotorycznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle E\} , i oporze wewnętrznym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , oraz obwodu zewnętrznego o oporze Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} ,. Natężenie prądu w obwodzie osiąga wartość największą dla $R=0$, jest to tzw. prąd zwarcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I_z\} ,. Napięcie na zaciskach źródła Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U_{AB}\} , dąży do wartości równej sile elektromotorycznej, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\to \infty\} , . Moc w oporniku zewnętrznym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , osiąga wartość największą dla $R=r$. Moc całkowita Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P_c\} , jest równa sumie mocy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P_z\} , w obwodzie zewnętrznym i mocy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P_w\} , wewnątrz źródła: $P_c(R)=P_z(R)+P_w(R)$ Sprawność jest określona jako stosunek mocy w oporniku zewnętrznym do mocy całkowitej. Na rysunkach zostały przedstawione przykładowe wykresy zależności natężenia prądu, napięcia na zaciskach źródła, mocy w obwodzie zewnętrznym i sprawności od wartości oporu zewnętrznego. Z charakteru zależności mocy w obwodzie zewnętrznym od wartości oporu zewnętrznego wynika, że określoną moc P można uzyskać dla dwóch różnych wartości oporu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_1<r\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_2>r\} ,. Na podstawie wykresu zależności sprawności od oporu zewnętrznego można stwierdzić, że bardziej korzystny jest wybór oporu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R > r\} ,, gdyż większa jest sprawność.

---

Materiały do ćwiczeń

12.9 Materiały do ćwiczeń Obliczanie oporu zastępczego układu oporników Jeśli układ oporników podłączymy do źródła napięcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U_0\} , to popłynie prąd o natężeniu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} ,. Opór zastępczy układu, to opór opornika, przez który po podłączeniu do takiego źródła popłynie prąd o takim samym natężeniu. Wynika stąd ogólna i uniwersalna metoda obliczania oporu zastępczego: należy obliczyć natężenie prądu, który popłynie do danego układu oporników po podłączeniu do źródła napięcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U_0\} ,. To natężenie prądu będzie proporcjonalne do napięcia, a współczynnik proporcjonalności to odwrotność oporu zastępczego układu $I=\frac{1}{R}\cdot U_0$ . Za pomocą tej metody można obliczyć opór dowolnego układu oporników, bez konieczności ustalania jak są połączone oporniki, a więc nawet bez znajomości wzorów na łączenie szeregowe, równoległe, łączenia w trójkąt i w gwiazdę, ... . Do obliczania natężenia prądu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I\} , wykorzystywane są dwa podstawowe prawa fizyczne: zasada zachowania ładunku (czyli tzw. pierwsze prawo Kirchhoffa), w polu elektrostatycznym suma zmian potencjału na drodze zamkniętej jest równa zeru (czyli tzw. drugie prawo Kirchhoffa). Spośród różnych możliwych połączeń oporników wyróżniamy dwa podstawowe - połączenie szeregowe i połączenie równoległe. Szeregowe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone szeregowo, jeżeli płynie przez nie prąd o takim samym natężeniu. Układ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , oporników połączonych szeregowo można zastąpić opornikiem o oporze równym sumie ich oporów Równoległe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone równolegle, jeżeli napięcie na nich ma taką samą wartość. Układ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , oporników połączonych równolegle można zastąpić opornikiem o oporze, którego odwrotność jest równa sumie odwrotności ich oporów Układy oporników spotykane w zadaniach są często zagmatwane. Aby obliczyć opór takiego układu, staramy się narysować go w prostszy sposób, ustalając które oporniki są połączone szeregowo a które równolegle. Układ oporników można oczywiście przekształcać tylko w taki sposób, aby natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki nie uległy zmianie. Najczęściej stosowane są dwa sposoby: punkty o tym samym potencjale można połączyć, pojedynczy opornik można zastąpić dwoma opornikami, które następnie można rozłączyć. Przy analizie połączeń oporników należy zwracać uwagę na symetrię układu, która ułatwia np. dostrzeżenie punktów o tym samym potencjale.

---

12.10 Materiały do ćwiczeń Łączenie źródeł napięcia Podstawowe sposoby połączenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , źródeł napięcia o sile elektromotorycznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle E\} , i oporności wewnętrznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , w baterię to połączenie szeregowe i połączenie równoległe. W przypadku połączenia szeregowego siła elektromotoryczna baterii jest sumą sił elektromotorycznych źródeł, opór wewnętrzny baterii jest sumą oporów wewnętrznych źródeł. W przypadku połączenia równoległego siła elektromotoryczna baterii jest równa sile elektromotorycznej pojedynczego źródła, opór wewnętrzny baterii wynika z połączenia równoległego oporów wewnętrznych źródeł. Maksymalna moc jaką można uzyskać w obwodzie zewnętrznym dołączonym do baterii jest niezależna od sposobu połączenia źródeł w baterię.

---

Przykład 12.1

W przedstawionym obwodzie przewody łączące oporniki mają opór bliski zeru.

Obliczyć natężenie prądu w przewodzie AB. Dane: U, R

Rozwiązanie

Rozwiązując układ równań otrzymany w wyniku wędrówek po obwodzie i sumowania zmian potencjału

$-I_{1}R+I_2\frac{R}{2}=0$

$-I_{3}R+I_{4}R=0$

$-I_2\frac{R}{2}-I_{3}R+U=0$

$-I_{1}R-I_{4}R+U=0$

otrzymamy wartość natężenia prądu w gałęzi AB: $I_{AB}=I_4-I_1=\frac{U}{5R}$

---

Przykład 12.2

Kondensator składa się z dwóch kulistych, współśrodkowych powierzchni metalowych. Przestrzeń między tymi powierzchniami wypełniona jest ebonitem. Kondensator naładowano ładunkiem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle Q\} ,. Po jakim czasie od chwili naładowania ładunek zmaleje o połowę? Względna przenikalność elektryczna ebonitu wynosi ${\epsilon }_r=3,1$ a oporność właściwa $\rho =10^{13}\mathrm{\Omega }\cdot m$.

Rozwiązanie

Obliczenie pojemności kondensatora: $C=\frac{Q}{U}$

$\begin{array}{ccc}E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{r}^2};& E=-\frac{d\phi }{dr};& d\phi =-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{r}^2}dr\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dr}{r^2}=-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\cdot \frac{b-a}{ab};& |U|=|\mathrm{\Delta }\phi |=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\cdot \frac{b-a}{ab};& C=\frac{Q}{U}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}ab}{b-a}\end{array}$

gdzie a i b promienie metalowych powierzchni.

Obliczenie oporności kulistej warstwy dielektryka: $R=\frac{U}{I}$

$\begin{array}{cccc}j=\frac{I}{4\pi r^2};& j=\sigma \cdot E\frac{E}{\rho };& E=\frac{\rho I}{4\pi r^2};& d\phi =-Edr=-\frac{\rho I}{4\pi r^2}dr\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }\phi =-\frac{\rho I}{4\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{dr}{r^2}=-\frac{\rho I(b-a)}{4\pi ab};& |U|=|\mathrm{\Delta }\phi |=\frac{\rho I(b-a)}{4\pi ab};& R=\frac{U}{I}=\frac{\rho (b-a)}{4\pi ab}\end{array}$

Zależność ładunku zgromadzonego w kondensatorze od czasu:

$\begin{array}{cc}Q(t)=Q_0{e}^{-t/\tau };& \tau ={\epsilon }_0{\epsilon }_r\rho \approx 274s\end{array}$

Pojemność kondensatora kulistego i opór warstwy kulistej zależą od parametrów geometrycznych oraz odpowiedniego parametru substancji. Iloczyn pojemności i oporu (stała czasowa rozładowania kondensatora) zależy tylko od stałych materiałowych: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varepsilon_r\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} , .

$\begin{array}{cc}Q(t_{1/2})=\frac{Q_0}{2};& t_{1/2}=\tau ln2\approx 190s\end{array}$

Wynik jest interesujący. Pokazuje, że ebonit mimo dużego (jak się wydaje) oporu właściwego nie nadaje się na izolator w kondensatorze.

---

Zadania

1. Dwie kule metalowe o promieniu a umieszczono w ośrodku przewodzącym o stałej oporności właściwej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} ,, odległość między ich środkami wynosi $d>>a$. Obliczyć natężenie prądu, jaki popłynie podłączeniu kul do źródła stałego napięcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U\} ,.

Odpowiedź

$I=\frac{2\pi a(d-a)}{\rho (d-2a)}$

---

2. Do źródła prądu o oporze wewnętrznym $r=1\mathrm{\Omega }$ podłączono dwa jednakowe oporniki Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , połączone raz szeregowo, a raz równolegle. W obu przypadkach otrzymano taką samą moc Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , w obwodzie zewnętrznym. Obliczyć wartość oporności Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} ,. Jaką część mocy całkowitej stanowi moc Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , w obu przypadkach? Ile razy moc Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} , jest mniejsza od maksymalnej mocy, jaką można uzyskać z tego źródła na oporniku zewnętrznym?

Odpowiedź

$\begin{array}{cccc}R=r=1\mathrm{\Omega },& (P/P_c{)}_{szer.}=2/3,& (P/P_c{)}_r=1/3,& P/P_{max}=8/9\end{array}$

---

3. Z drutu o średnicy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle d\} , i oporze właściwym Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \rho\} , , zrobiono sześcian o krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} ,. Obliczyć opór zastępczy, gdy napięcie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U_0\} , jest podłączone:

a. do wierzchołków leżących na końcach przekątnej sześcianu,

b. do wierzchołków leżących na końcach krawędzi sześcianu,

c. do wierzchołków leżących na końcach przekątnej ściany bocznej sześcianu.

Odpowiedź

$\begin{array}{cccc}a)R_1=\frac{5}{6}R,& b)R_2=\frac{7}{12}R,& c)R_3=\frac{3}{4}R,& R=\frac{4\rho a}{\pi d^2}\end{array}$

---

4. Obliczyć natężenia prądu płynącego przez oporniki oraz opór zastępczy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_{AB}\} , układu oporników przedstawionego na rysunku, po podłączeniu źródła napięcia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle U\} ,. Dane są: $U,Rik\in R_{+}$. Przedyskutować zależność oporu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_{AB}\} , od wartości parametru Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} ,.

Odpowiedź

oporniki R: $I_1=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R}$ , oporniki kR: $I_2=\frac{2U}{(3k+1)R}$ , opornik R - środkowy: $I_1=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R}$ ,

natężenie prądu płynącego ze źródła: $I=I_1+I_2=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R}$ , opór układu: $R_{AB}=\frac{U}{I}=\frac{3k+1}{(k+3)}R$

Dyskusja rozwiązania:

Dla $k=0$ opór układu przyjmuje wartość $R_{AB}=R/3$, a więc mamy układ trzech oporników połączonych równolegle.

Dla $k=1$ opór układu przyjmuje wartość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} ,. Ponieważ przez środkowy opornik prąd nie płynie (natężenie prądu</math>I_3 = 0</math>), układ składa się z dwóch równoległych gałęzi oporników połączonych szeregowo.

Dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\to \infty\} , opór układu dąży do wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3R\} ,, natężenie prądu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle I_2\} , do zera, a więc mamy układ trzech oporników połączonych szeregowo.

Z dyskusji rozwiązania wynika, że opór tego układu oporników zawiera się w przedziale

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R_{AB}\in \left \langle \frac{R}{3},\, 3R\bigg|}

---

Słowa kluczowe

natężenie prądu

gęstość prądu

prawo Ohma

opór elektryczny

opór właściwy

przewodnictwo właściwe

koncentracja nośników prądu

prędkość unoszenia

praca i moc prądu

siła elektromotoryczna

opór wewnętrzny źródła

prawa Kirchhoffa

opór zastępczy

---