Sztuczna inteligencja/SI Moduł 2/Składnia języka logiki

Składnia języka logiki

Obecnie przystąpimy do zdefiniowania składni języka logiki predykatów, w którym będą zapisywane formuły przetwarzane w procesie wnioskowania, Składnia określa reguły budowania poprawnych formuł, czyli takich, które mogą być przetwarzane przez system wnioskujący. Definiując składnię nie będziemy się zajmować znaczeniem poszczególnych symboli i konstrukcji języka, choć oczywiście znaczenie części z nich będzie dla nas oczywiste ze względu na powszechne doświadczenie z używaniem notacji logicznej np. do zapisu twierdzeń matematycznych.

Alfabet

Alfabet, czyli zbiór symboli języka logiki predykatów, obejmuje poniższe kategorie symboli. Dla każdej z nich podano oznaczenia, jakie będą dalej stosowane.

• Symbole stałych: oznaczane za pomocą liter $a,b,c\dots$,.
• Symbole zmiennych: oznaczane za pomocą liter $x,y,z\dots$,.
• Symbole funkcyjne: oznaczane za pomocą liter $f,g,h\dots$,. każdy symbol funkcyjny ma ustaloną liczbę argumentów.
• Symbole predykatowe: oznaczane za pomocą liter $P,Q,R,\dots$,; każdy symbol predykatowy ma ustaloną liczbę argumentów.
• Operatory logiczne: $\mathrm{\neg }$, (negacja), $\wedge$, (koniunkcja), $\vee$, (alternatywa), $\to$, (implikacja), $\leftrightarrow$, (równoważność).
• Kwantyfikatory: kwantyfikator ogólny $\mathrm{\forall }$,, kwantyfikator szczegółowy $\mathrm{\exists }$,.
• Nawiasy: $($,, $)$,, w razie potrzeby także inne.

Będziemy czasem skrótowo mówić o symbolach stałych jako o stałych, o symbolach zmiennych jako o zmiennych, o symbolach funkcyjnych jako o funkcjach, o symbolach predykatowych jako o predykatach, trzeba jednak pamiętać, że - jak długo nie określimy ich znaczenia - są to wyłącznie symbole, czyli pewne napisy, z których konstruowane są bardziej złożone napisy (formuły) według opisanych dalej reguł.

Termy

Jak zobaczymy, formuły konstruowane są z symboli predykatowych stosowanych do argumentów. Poprawnej postaci argumenty dla symboli predykatowych nazywane są termami. Każda stała i zmienna jest termem. Ponadto, jeśli $f$, jest dowolnym $m$,-argumentowym symbolem funkcyjnym, a $t_1,t_2,\dots ,t_m$, są dowolnymi termami, to także $f(t_1,t_2,\dots ,t_m)$, jest termem. Jak widać, stosując dowolny symbol funkcyjny do argumentów będących termami uzyskujemy term.

Formuły atomowe

Jeśli $P$, oznacza dowolny $m$,-argumentowy symbol predykatowy, a $t_1,t_2,\dots ,t_m$, sa dowolnymi termami, to $P(t_1,t_2,\dots ,t_m)$, jest formułą atomową. Formułą atomową jest więc dowolne zastosowanie symbolu predykatowego do argumentów będących termami.

Formuły złożone

Formuły złożone są konstruowane z formuł atomowych przez zastosowanie operatorów logicznych, kwantyfikatorów i nawiasów, zgodnie z określonymi poniżej zasadami.

• Jeśli $\alpha$, jest formula, to $(\alpha )$, jest formułą.
• Jeśli $\alpha$, jest formula, to $\mathrm{\neg }\alpha$, jest formułą.
• Jeśli $\alpha$, i $\beta$, są formułami, to:
  • $\alpha \wedge \beta$, jest formułą,
  • $\alpha \vee \beta$, jest formułą,
  • $\alpha \to \beta$, jest formułą,
  • $\alpha \leftrightarrow \beta$, jest formułą.

• Jeśli $\alpha$, jest formula i $x$, jest symbolem zmiennej, to
  • $(\mathrm{\forall }x)\alpha$, jest formułą,
  • $(\mathrm{\exists }x)\alpha$, jest formułą.