CWGIĆwiczenie 2

Ćwiczenia 2. Elementy wspólne i przynależne w odwzorowaniach przestrzennych Zadanie2.1. Wyznaczyć krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn określonych śladami a i b Krawędź przecięcia się płaszczyzn równoległych do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , jest prostą również równoległą do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. W celu wyznaczenia rzutów krawędzi niezbędne jest przeprowadzenie operacji pozwalających określić usytuowanie tych rzutów względem osi x. W tym celu, oprócz rzutni pionowej i poziomej, wprowadzamy dodatkową rzutnię boczną, prostopadłą do tych dwóch. Wyznaczamy trzecie rzuty płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. W tym rzucie płaszczyzny przyjmą postać rzutujących, a więc otrzymamy trzecie rzuty śladów płaszczyzn będących jednocześnie ich rzutami. Trzecie rzuty płaszczyzn (ślady płaszczyzn) przecinają się w punkcie $k^{‴}$, który będzie jednocześnie trzecim rzutem krawędzi. Powracając do układu dwóch rzutni, pionowej i poziomej otrzymamy poszukiwane rzuty krawędzi przecięcia się płaszczyzn $k^{\prime }$, $k^{″}$.

---

Zadanie 2.2. Wyznaczyć punkt przebicia prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , z pasem płaszczyzny zawartym między prostymi $\alpha (a||b)$ Rozwiązując zadanie musimy się zastanowić nad trybem postępowania. W tym przypadku powinniśmy postąpić w sposób następujący: przez prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , poprowadzić dowolną płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,, najwygodniej rzutująca (pionowo-zutującą,) wyznaczyć krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} ,, przecięcia się płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , z płaszczyzna $\alpha (a||b)$, punkt, w którym krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , przetnie daną prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , jest poszukiwanym punktem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,, przebicia prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , z płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , Jak widać z przedstawionego schematu postępowania punkty należące do krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , będą należały jednocześnie do płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Zatem punkt przecięcia się prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , z krawędzią Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , będzie punktem wspólnym prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , i płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , (będzie punktem przebicia płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha (a||b)\} , przez prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , - rys. C2.2b). Dla wygody dalszego postępowania poprowadźmy przez prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , płaszczyznę pionowo-rzutujacą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Ponieważ płaszczyzna Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , jest rzutująca, to wszystkie elementy płaskie znajdujące się w tej płaszczyźnie w rzucie pionowym będą leżały na rzucie pionowym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , (ślad pionowy płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle v_{\beta}\} , będzie pokrywał się z rzutem płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,). Zatem rzut pionowy krawędzi $k^{″}$, przecięcia się płaszczyzn Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , będzie również pokrywał się z rzutem pionowym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} ,. Krawędź Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , należy również do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, a więc rzut pionowy krawędzi $k^{″}$ przecina proste $a^{″}$ i $b^{″}$, tworzące tą płaszczyznę, odpowiednio w punktach $1^{″}$ i $2^{″}$. Rzuty poziome tych punktów wyznaczymy na rzutach poziomych prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,. Następnie znajdujemy punkt przecięcia się wyznaczonej krawędzi z prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} ,. W rzucie pionowym obie proste pokrywają się, więc wyznaczenie tego punktu jest niemożliwe, natomiast w rzucie poziomym bez trudu wyznaczymy rzut poziomy $P^{\prime }$ poszukiwanego punktu przebicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle P\} ,. Na odnoszącej i rzutach pionowych prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , będzie znajdował się rzut pionowy punktu przebicia $P^{″}$. Do pełnego rozwiązania zadania niezbędne jest ustalenie widoczności prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} ,, przy założeniu, że pas między prostymi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} , jest nieprzezroczysty. W tym celu w miejscu przecięcia się rzutów prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , z prostą należącą do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , ( np. Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} ,) obieramy punkty i analizujemy, które z nich mają większą głębokość (dla rzutów pionowych) względnie wysokość (dla rzutów poziomych). Np. analizując punkty: punkt $2^{″}$, należący do prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , oraz punkt $3^{″}$ należący do prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} ,, widzimy w rzucie poziomym, że punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 3\} , ma większą głębokość, a więc prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} , w tym punkcie, w rzucie pionowym jest widoczna, prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle b\} , jest niewidoczna, co oznaczamy linią kreskową aż do punktu przebicia $P^{″}$. Analogiczne postępowanie przeprowadzamy dla punktów $4^{\prime }$ i $5^{\prime }$, należących do prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle m\} ,.

---

Zadanie 2.3. Wyznaczyć linię przenikania dwóch figur płaskich, trójkąta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle PQR\} , z równoległobokiem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} ,. Przyjmując, że płaszczyzny figur są nieprzezroczyste ustalić ich widoczność. Linia przenikania figur płaskich to nic innego jak odcinek krawędzi przecięcia się płaszczyzn, zdefiniowanych przez te figury, wspólny dla obu płaszczyzn. Należy, zatem wyznaczyć wspólną krawędź przecięcia się płaszczyzn reprezentowanych przez trójkąt i równoległobok. Krawędź wyznaczymy metodą pośrednią, poszukując punktów przebicia bokiem jednej z figur płaszczyzny drugiej figury. Wyznaczenie dwóch punktów przebicia, czyli dwóch punktów wspólnych tych płaszczyzn określi nam krawędź przecięcia się płaszczyzn (dwa punkty, jednoznacznie, określają prostą). 1). Wyznaczmy punkt przebicia boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle CD\} , równoległoboku z płaszczyzną trójkąta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle PQR\} ,. W tym celu poprowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , przez bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle CD\} , równoległoboku. Płaszczyzna jest rzutująca, a więc krawędź przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyzną równoległoboku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1\} , będzie leżała w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, ale również w płaszczyźnie trójkąta. Rzut pionowy tej krawędzi będzie pokrywał się z rzutem pionowym płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , oraz z rzutem pionowym boku $C^{″}{D}^{″}$. Przynależność krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle k_1\} , do płaszczyzny trójkąta oznacza, że punkty $1^{″}$ i $2^{″}$ są rzutami punktów przecięcia się krawędzi z rzutami boków $P^{″}{Q}^{″}$ oraz $R^{″}{Q}^{″}$. Rzuty poziome tych punktów znajdziemy na przecięciu się odnoszących prostopadłych do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , z rzutami poziomymi boków trójkąta $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ oraz $R^{\prime }{Q}^{\prime }$. W ten sposób znajdujemy rzuty krawędzi $k_1{\text{'}}^{\prime }$ oraz $k_1\text{'}$. W rzucie poziomym otrzymamy szukany punkt przebicia $II\text{'}$ boku $C^{\prime }{D}^{\prime }$ równoległoboku z płaszczyzną trójkąta. Rzut pionowy tego punktu wyznaczymy jako przecięcie odnoszącej z rzutem pionowym krawędzi $k_1{\text{'}}^{\prime }$ (oraz boku $C^{″}{D}^{″}$). 2). Podobną konstrukcję przeprowadzamy z inną parą np.: boku trójkąta oraz płaszczyzny równoległoboku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} ,. Wybierzmy do rozważań bok Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle RQ\} , trójkąta, przez który poprowadzimy płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , a następnie, w drodze postępowania analogicznego jak poprzednio, wyznaczymy krawędź przecięcia się płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta\} , z płaszczyzną równoległoboku oraz w konsekwencji punkt przebicia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle III\} , boku Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle QR\} , z równoległobokiem Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCD\} ,. Podobnie jak w poprzednim zadaniu ustalamy widoczność poszczególnych krawędzi analizując odpowiednio wysokość i głębokość punktów znajdujących się na przecięciu się rzutów poszczególnych boków figur płaskich. Dla rzutu pionowego analizujemy głębokości punktów 2 i 3, dla rzutu poziomego – wysokości punktów 7 i 8. Po analizie oznaczamy krawędzie i płaszczyzny widoczne oraz niewidoczne.

---

Zadanie 2.3. Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa ABCW prostą n. Ustalmy tok postępowania przy rozwiązaniu tego zadania: przez dowolny punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , leżący na prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , oraz wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , ostrosłupa poprowadźmy prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} ,, dwie proste przecinające się Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , określają płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,. Wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,, w punktach przecięcia się boków wielokąta przekroju z prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , wyznaczymy poszukiwane punkty przebicia ścian ostrosłupa z prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} ,. Obierając punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , na prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , oraz prowadząc prostą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , przez punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 1\} , i wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , ostrosłupa wyznaczamy przekrój ostrosłupa płaszczyzną określoną przez te proste. Wierzchołek W będzie stanowił jeden z wierzchołków figury płaskiej, będącej poszukiwanym przekrojem. Mając dane rzuty prostych Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , możemy wyznaczyć ich ślady poziome Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle H_a\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle H_n\} ,. Łącząc ze sobą te ślady wyznaczymy ślad poziomy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle h_{\alpha}\} , płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} ,. Jak widać na rzucie poziomym ślad Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle h_{\alpha}\} , (prosta leżąca na rzutni poziomej) przecina nam podstawę ostrosłupa w punktach $2^{\prime }$ i $3^{\prime }$ (podstawa ostrosłupa z założenia leży na rzutni poziomej). Łącząc rzuty poziome punktów $2^{\prime }$ i $3^{\prime }$ z rzutem poziomym $W^{\prime }$ wierzchołka, wyznaczymy rzut poziomy ($W^{\prime }{2}^{\prime }{3}^{\prime }$) trójkąta, który jest rzutem poszukiwanego przekroju. Prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , przecina boki przekroju w punktach $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$, które są punktami przebicia prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , ze ścianami ostrosłupa. Rzuty pionowe punktów przebicia znajdziemy na rzucie pionowym $n^{″}$ prostej oraz odnoszących punktów $Q^{\prime }$ i $R^{\prime }$. Ustalamy widoczność prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} ,, przyjmując, że ściany ostrosłupa są nieprzezroczyste. Widoczność prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , w rzucie pionowym określamy analizując widoczność ścian ostrosłupa (ocenę przeprowadzamy w rzucie poziomym). Widać wyraźnie, że ściana Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCW\} , jest widoczna w rzucie pionowym, natomiast ściana Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABW\} , jest niewidoczna w rzucie pionowym. Prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , w rzucie pionowym będzie niewidoczna aż do punktu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R\} , prostej ze ścianą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle BCW\} ,. Zaznaczamy to odpowiednio linią kreskową. Widoczność prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} , w rzucie poziomym jest oczywista. Wszystkie ściany są widoczne z wyjątkiem podstawy. Prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle n\} ,, zatem jest niewidoczna wyłącznie między ścianami ostrosłupa, co odpowiednio zaznaczamy na rzucie poziomym przekroju.

---