Matematyka dyskretna 1/Test 4: Sumy skończone i rachunek różnicowy

Czarta funkcja różnicowa ${\mathrm{\Delta }}^4(4^x)$ to:

$3^4\cdot 4^x$ Dobrze

$4^4\cdot 4^x$ Źle

$5^4\cdot 4^x$ Źle

$\frac{4^x}{5^4}$ Źle

Wskaż błędne przejścia (o ile istnieją) w poniższym wyprowadzeniu

$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^n{i}^4& =\sum _{i=0}^n(i^{\underset{\_}{1}}+7i^{\underset{\_}{2}}+6i^{\underset{\_}{3}}+i^{\underset{\_}{4}})\\ & =\sum _0^n(x^{\underset{\_}{1}}+7x^{\underset{\_}{2}}+6x^{\underset{\_}{3}}+x^{\underset{\_}{4}})\delta x\\ & =\sum _0^n{x}^{\underset{\_}{1}}\delta x+7\sum _0^n{x}^{\underset{\_}{2}}\delta x+6\sum _0^n{x}^{\underset{\_}{3}}\delta x+\sum _0^n{x}^{\underset{\_}{4}}\delta x\\ & =\frac{1}{2}{n}^{\underset{\_}{2}}+\frac{7}{3}{n}^{\underset{\_}{3}}+\frac{6}{4}{n}^{\underset{\_}{4}}+\frac{1}{5}{n}^{\underset{\_}{5}}\end{array}$

pierwsza równość Źle

druga równość Dobrze

trzecia równość Źle

czwarta równość Źle

wszystkie są poprawne Źle

Jeśli $f(n)$ jest $n$-tą liczbą Fibonacciego, to dla $n>1$ wartość funkcji $(\mathrm{\Delta }f)(n)$ wynosi:

$f(n-1)$ Dobrze

$f(n)$ Źle

$f(n+1)$ Źle

$\sum _{i=0}^{n}f(i)$ Źle

Zaznacz zdania prawdziwe:

$\mathrm{\Delta }{x}^{\underset{\_}{m}}=m{x}^{\underset{\_}{m-1}}$, dla dowolnego $m\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ Dobrze

$x^{\underset{\_}{m+n}}=x^{\underset{\_}{m}}{x}^{\underset{\_}{n}}$, dla dowolnego $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ Źle

$\sum _a^{a}g(x)\delta x=0$, dla dowolnego $a\in \mathbb{\mathbb{N}}$ Dobrze

$\mathrm{\Delta }(f(x)g(x))=g(x)\mathrm{\Delta }f(x)+f(x)\mathrm{\Delta }g(x)$ Źle

Suma nieoznaczona $\sum 10^x\delta x$ to:

$9\cdot 10^x+C$ Źle

$\frac{10^x}{9}+C$ Dobrze

$\frac{9^x}{10}+C$ Źle

$10\cdot 9^x+C$ Źle

Równość $\sum f(x)\delta x=H_x+C$ zachodzi dla:

$f(x)=\frac{1}{x+1}$ Dobrze

$f(x)=\frac{1}{x+1}+c$, przy dowolnym $c\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ Źle

$f(x)=\frac{1}{x+1}+\sin x\pi$ Dobrze

$f(x)=H_{x+1}$ Źle

Dla dowolnego wielomianu $p(x)$ o stopniu $n$:

${\mathrm{\Delta }}^{n}p(x)=0$ Źle

${\mathrm{\Delta }}^{n-1}p(x)=c$, dla pewnego $c\in \mathbb{ℝ}$ Źle

${\mathrm{\Delta }}^{n+1}p(x)=0$ Dobrze

${\mathrm{\Delta }}^{2n}{p}^2(x)=c$, dla pewnego $c\in \mathbb{ℝ}$ Dobrze

Wielomian $x^5$ można przedstawić jako następującą sumę dolnych silni:

$x^{\underset{\_}{1}}+15x^{\underset{\_}{2}}+25x^{\underset{\_}{3}}+10x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ Dobrze

$x^{\underset{\_}{1}}+2x^{\underset{\_}{2}}+7x^{\underset{\_}{3}}+6x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ Źle

$x^{\underset{\_}{1}}+11x^{\underset{\_}{2}}+21x^{\underset{\_}{3}}+11x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ Źle

$x^{\underset{\_}{1}}+7x^{\underset{\_}{2}}+15x^{\underset{\_}{3}}+10x^{\underset{\_}{4}}+x^{\underset{\_}{5}}$ Źle