Analiza matematyczna 2/Test 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Rozważmy funkcję $F(x,y)=x^y=y^x$ i jej $P(a,b)$. Wtedy

$a=1$ i $b=1$ Źle

poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $y=y(x)$ Źle

jeśli $(a,b)\ne (e,e)$, to w otoczeniu punktu $P$ poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $y=y(x)$. Dobrze

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=y(x)} uwikłana równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylexy”): {\displaystyle \displaystylexy-\ln y-1=0} i taka, że $y(\frac{2}{e})=e$, ma pochodną w punkcie $\frac{2}{e}$ równą

$e$ Źle

$-e^2$ Dobrze

$e^2$. Źle

Równanie $x^2+y^2=e^{x^2+y^2-1}$

przedstawia okrąg Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex^2+y^2=1} Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=y(x)} poza punktami $(-1,0)$ i $(1,0)$ Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex=x(y)} poza punktami $(0,-1)$ i $(0,1)$. Dobrze

Równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylez”): {\displaystyle \displaystylez^3-3xyz-20=0} określa jednoznacznie pewną funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylez”): {\displaystyle \displaystylez=z(x,y)} w otoczeniu punktu $(-1,2,2)$ Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex=x(y,z)} w otoczeniu punktu $(0,1,1)$ Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=y(x,z)} w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle (0,1,\root 3 \of {20})} . Źle

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} xy+yz+zx-11=0, \\ xyz-6=0\\ \end{array} }

określa jednoznacznie parę funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=y(x), z=z(x)} w otoczeniu punku $(1,2,3)$, których pochodne w punkcie $1$ są równe

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley'(1)=-8, z'(1)=9} Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley'(1)=9, z'(1)=-8} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley'(1)=8, z'(1)=-9} . Źle

Równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleF”): {\displaystyle \displaystyleF(x,y)=0}

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleF”): {\displaystyle \displaystyleF(x,y(x))=0} Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleF”): {\displaystyle \displaystyleF(x(y),y)=0} Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleF”): {\displaystyle \displaystyleF(x,y(x))=0} lub funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleF”): {\displaystyle \displaystyleF(x(y),y)=0} . Źle

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylez”): {\displaystyle \displaystylez=z(x,y)} określona równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex^6+y^6+z^6-6xyz=0}

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle(x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2)} maksimum lokalne Dobrze

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle(x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne Źle

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle(x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne. Dobrze

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y)=x^2+y^2-1} . Wtedy funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef(x,y)=x^3+y^3}

ma minimum warunkowe pod warunkiem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y)=0} w punkcie $(x,y)=(0,1)$ Źle

ma maksimum warunkowe pod warunkiem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y)=0} w punkcie $(x,y)=(0,1)$ Dobrze

nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$. Źle

Funkcja $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ ma ekstremum warunkowe w punkcie $(0,0,1)$ pod warunkiem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y,z)=x+y+z-1=0} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyleg”): {\displaystyle \displaystyleg(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0} . Dobrze