Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ w przedziale $(1,+\mathrm{\infty })$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}} Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}+\sqrt {x+1}}} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}} . Dobrze

Styczna do wykresu funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef(x)=x\sin x} w punkcie $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ma równanie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=x} Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystyley”): {\displaystyle \displaystyley=x+\frac {\pi}{2}} . Źle

Funkcja

$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^3\sin (\frac{1}{x}),\text{dla}x\ne 0,\\ 0,\text{dla}x=0,\end{array}$

jest ciągła Dobrze

ma pochodną w punkcie $x=0$ Dobrze

ma ciągłą pochodną w punkcie $x=0$. Dobrze

Równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylex”): {\displaystyle \displaystylex^e=ke^x}

nie ma rozwiązań dla $k\in (0,1)$ Źle

nie ma rozwiązań dla $k>1$ Dobrze

ma dwa rozwiązania dla $k=1$. Źle

Pochodna funkcji $f(x)=x^{e^x}$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x}\ln x} Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}} . Źle

Niech $x_0\in (a,b)$ i niech $f$ będzie funkcją ciągłą w przedziale $(a,b)$ taką, że istnieje granica

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.$

Wtedy

istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=A} Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=A} Źle

jeśli istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\displaystylef”): {\displaystyle \displaystylef'(x_0)=\frac A2} . Dobrze