AM1 Test 3

Odległość i ciągi w ${\mathbb{ℝ}\mathbb{𝟙}\mathbb{𝟚}}^N.$ Test

Odległość punktów $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ i $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr^2}
(1) jest większa w metryce $d_1$ niż w metryce $d_2$
(2) jest większa w metryce $d_2$ niż w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$
(3) jest większa w metryce $d_{\mathrm{\infty }}$ niż w metryce $d_1$

tak, tak, nie

Ciąg Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq \rr^2} dany wzorem $a_n=((-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^n)$
(1) jest ciągiem Cauchy'ego
(2) jest zbieżny w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr^2}
(3) ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego

nie, nie, tak

Niech $A$ będzie kulą o środku w punkcie $(1,1)$ i promieniu $1$ w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr^2} z metryką taksówkową $d_1.$ kula ta zawiera się w kuli
(1) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce taksówkowej $d_1$
(2) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce euklidesowej $d_2$
(3) o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ w metryce maksimowej $d_{\mathrm{\infty }}$

nie, nie, tak

Ciąg $\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\frac{1}{36},\dots$ jest podciągiem ciągu
(a) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n\in \nn}}
(b) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n^2}\bigg\}_{n\in \nn}}
(c) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\nn”): {\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{2n}\bigg\}_{n\in \nn}}

tak, tak, nie

Zbiór $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$ jest równy
(a) $\{0\}$
(b) $\mathrm{\varnothing }$
(c) $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$

tak, nie, tak

Niech $\{a_n\}$ będzie ciągiem w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle\rr^4,} takim, że $a_n=((-1{)}^n,\frac{1}{n},(-1{)}^n\frac{1}{n},(-1{)}^{n+1}).$ Wtedy
(a) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(1,0,0,1)$
(b) $a_n$ ma podciąg zbieżny do $(-1,0,0,1)$
(c) $a_n$ jest rozbieżny

nie, tak, tak